Übungen Statistische Physik Blatt 4

Übungen Statistische Physik
TU Ilmenau, Institut für Physik
Blatt 4
Aufgabe 14: Zustandsgleichung verdünnter Quantengase
a) Entwickeln Sie das groÿkanonische Potential für ideale Quantengase aus Fermionen
(Spin
s=
1
2 ) sowie Bosonen (Spin
s = 0)
nach Potenzen der Fugazität
z = eβµ
in 1.
Ordnung (d.h. betrachten Sie die zwei niedrigsten Entwicklungsterme) und fassen Sie
das Ergebnis in einer gemeinsamen Form zusammen.
Zeigen Sie, dass
z=
mit der therm. de Broglie-Wellenlänge
1
λ3 n ,
2s + 1
λ=
√
h
und der Teilchendichte
2πmkB T
n=
N
V .
b) Zeigen Sie dass die erste quantenmechanische Korrektur für die thermische Bewegungsgleichung gegeben ist durch
p = nkB T (1 + Bqm (T ) n)
mit
+
für Fermionen und
−
mit
Bqm (T ) = ±
1
25/2
1
λ3
2s + 1
für Bosonen. Berechnen Sie die freie Energie
F
in dieser
Näherung.
Aufgabe 15: Richardson-Eekt: thermische Emission von Elektronen
Man betrachte ein Metall mit freien Elektronen und das angrenzende Vakuum. Bei T = 0
sind alle Zustände bis zur Fermi-Energie
F
besetzt. Bei endlichen Temperaturen gibt es
einige Elektronen mit genügend hoher Energie, so daÿ sie aus dem Metall in das Vakuum
austreten.
Man berechne die Zahl der Elektronen, die pro Zeiteinheit und pro Flächeneinheit die Oberäche in positiver z-Richtung verlassen. Die Austrittsarbeit
kB T .
φ
ist üblicherweise groÿ gegen
Die Fermi-Energie kann temperaturunabhängig behandelt werden..
Aufgabe 16: Stabilität eines weissen Zwerges gegen Gravitationskollaps
Für ein Stern werde angenommen, dass er etwa die gleiche Zahl
N
an Protonen und Elek-
tronen enthält, da sonst die Coulomb-Abstoÿung über die gravitative Anziehung dominieren
könnte. Etwas willkürlich kann auch die Zahl der Neutronen und Protonen als gleich angenommen werden. Im Fall der Erde ist der Gravitationsdruck nicht groÿ genug, um die
Abstossung zwischen Atomen und Molekülen auf kurzen Längenskalen zu überwinden. In
der Sonne gibt es keine Materie in der Form von Atomen und Molekülen, aber die Fusionsprozesse erzeugen einen genügend hohen Strahlungsdruck, um einen Gravitationskollaps zu
verhindern.
In dieser Aufgabe betrachte man einen ausgebrannten Stern, wie beispielsweise einen
Zwerg.
weissen
Man nehme an, dass die Temperatur des Sternes im Vergleich zur elektronischen
Fermi-Temperatur relativ niedrig ist, so dass die Elektronen als ein Fermi-Gas bei
T =0
behandelt werden können. Wegen der höheren Masse ist die kinetische Energie von Protonen
und Neutronen zur Energie der Elektronen vernachlässigbar.
a) Man zeige, dass die gesamte elektronische kinetische Energie geschrieben werden kann
als
Ekin =
R
ist der Radius des Sternes,
me
3~2
10me
9π
4
2/3
N 5/3
.
R2
ist die Masse des Elektrons, und das elektronische
Gas sei nichtrelativistisch.
b) Zeigen Sie, dass sich die durch Protonen und Neutronen dominierte potentielle Gravitationsenergie schreiben lässt als
Epot = −
wobei
G
die Gravitationskonstante und
5 2 N2
m G
,
12 N R
mN
die Masse eines Nukleons ist.
c) Bei welchem Radius wird die Gesamtenergie minimiert? Drücken Sie Ihre Antwort
für einen Stern mit Sonnenmasse (2
(7
×
× 1030 kg)
aus in Einheiten des Sonnenradius
108 m).
d) Bei grossen Dichten kann die Fermienergie vergleichbar mit der Ruhemasse der Elektronen werden, und man sollte relativistisch rechnen. Zeigen Sie, dass im ultrarelativistischen Limes (Ekin
' cp)
die elektronische kinetische Energie proportional ist zu
N 4/3
R . Finden Sie die kritische Teilchenzahl
N = N,
bei der die Gesamtenergie kein
Minimum mehr hat
und der
Stern kollabiert.
Antwort:
Nkrit =
5~c
36πm2N G
3/2
9π 2
4
≈ 1.71 Sonnenmassen.
Aufgabe 17: Kosmische Hintergrundstrahlung
Bekanntlich ist das Universum von einer Schwarzkörperstrahlung der Temperatur
T ≈ 3K
erfüllt, die man als Folge der adiabatischen Expansion des Universums aus einer sehr heiÿen
Anfangsphase (big bang) ansehen kann.
a) Geben Sie eine Abschätzung der Anzahl der Photonen der Hintergrundstrahlung inerhalb von
1 cm3
an.
b) Welche Temperatur besitzt die Hintergrundstrahlung nach den nächsten
1010
Jahren,
wenn man annimmt, dass sich bis dahin das Volumen des Universums verdoppelt?
(Man nehme hierzu an, dass die Expansion quasistatisch-adiabatisch verläuft.)
Aufgabe 18: Bose-Einstein-Kondensation in einem isotropen Parabelpotential
N = O(106 )
Bosonen der Masse
m
seien in einem Parabelpotential
V (~r) = αr2
mit
α > 0
gefangen. Ihre Wechselwirkung untereinander werde vernachlässigt. Leiten Sie
die Bestimmungsgleichung für die kritische Temperatur
ab und geben Sie die Besetzungszahl
N0 (T )
Tc
der Bose-Einstein-Kondensation
des Oszillatorgrundzustandes für
T < Tc
an.
Hinweise:
•
3
2 ~ω0 zusammenzufassen zu einer Gröÿe
•
µ mit der 1-Teilchen-Grundzustandsenergie
µ̃ = µ − 23 ~ω0 .
Es ist zweckmäÿig, das chemische Potential
Zur Bestimmung der Zustandsdichte
D()
berechne man zunächst die integrierte Zu-
standsdichte
Z
G() =
D(0 )d0 ,
0
die für
~ω0
als glatte Funktion zu betrachten ist. Ergebnis:
•
Es gilt näherungsweise:
•
Man beachte, dass
Tc
g3 (z) ≈ ζ(3)
(für
N-abhängig ist!
z → 1)
mit
G() =
ζ(3) ≈ 1.202.
1
6
~ω0
3
.