Projektpraktikum zur Makroskopischen Linearen Paulfalle

Physikalisches Anfängerpraktikum
Projektpraktikum zur
Makroskopischen Linearen Paulfalle
Marcel Bischoff, Martin Creutziger, Andreas Dirks,
Björn-Uwe Meyer, Carsten Thees, Christina Thiede
Betreuender Assistent: Sören Eyhusen
Durchführungszeitraum: 21. Februar – 4. März 2005
Projektpraktikum Physik 2005
2
Projektpraktikum Physik 2005
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
5
2 Theorie
2.1 Idee und Konzept der Paulfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Zeitinvariante Elektrostatische Felder . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Der Elektrische Quadrupol . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Die Ideale Makroskopische Paulfalle . . . . . . . . . . . . .
2.2 Stabilitätsbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Stabilitätstheoretische Betrachtung der Mathieugleichung .
2.2.2 Stabilitätsbetrachtung der idealen makroskopischen linearen
2.3 Stabilitätsbetrachungvbei der realen Paulfalle . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Reibungskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Teilchen in der realen Paulfalle . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Zurückführung der Reibung auf die Mathieugleichung . . .
2.4 Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Simulation der Stabilität mit Reibung . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Simulation der Bahnkurven der Teilchen in einer Paulfalle .
2.5 Das Pseudopotential der realen Paulfalle . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Teilchen in schnell oszillierenden Kraftfeldern . . . . . . . .
2.5.2 Applikation auf die Paulfalle . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Relevanz für Stabilitätsparameter . . . . . . . . . . . . . . .
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Paulfalle
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7
7
8
8
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10
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16
17
17
19
19
20
22
22
23
25
3 Durchführung
3.1 Projektprotokoll . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Entwicklung des Versuchsaufbaus . . . . . .
3.1.2 Erster Testlauf der Paulfalle . . . . . . . . .
3.1.3 Weitere Verbesserung des Versuchsaufbaus
3.2 Durchführung der Stabilitätsmessungen . . . . . .
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27
27
32
32
35
4 Auswertung
4.1 Die Eichung der Apparatur . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Die Eichung der Wechselspannung . . . . . . . . .
4.1.2 Die Eichung der Gleichspannung . . . . . . . . . .
4.1.3 Die Eichung der Optik . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Bestimmung des Parameters ε . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Bestimmung der Wertepaare (a, b) in der Stabilitätskarte .
4.5 Bestimmung von q/m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
5 Diskussion
5.1 Erfolg der Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Anhang
6.1 Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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59
Literatur
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Stichwortverzeichnis
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Projektpraktikum Physik 2005
Kapitel 1
Einleitung
Dieses Projekt beschäftigt sich mit der sogenannten Paulfalle, einer auf elektrostatischer Wechselwirkung beruhende Ionen- bzw. Partikelfalle. Sie wird im Moment praktisch bei Quantencomputerexperimenten und in Form von Quadrupolmassenspektrometern verwendet.
Das Projekt hat die Primärziele, eine Paulfalle für makroskopische Teilchen zu bauen und die Stabilitätsbereiche der resultierenden Teilchenbahnen in Abhängigkeit der auftretenden Parameter
(spezifische Teilchenladung, angelegte Gleich- und Wechselspannung etc.) genauer zu untersuchen.
Die Paulfalle ist nach dem deutschen Physiker Wolfgang Paul (siehe Abbildung 1.1) benannt,
der am 10. August 1913 in Lorenzkirch in Sachsen geboren wurde. Er schloss eine Ausbildung
in Feinmechanik ab und studierte anschließend Physik (anfangs in München, später in Berlin).
Er promovierte im Jahre 1939, kam 1942 als Oberassistent an das 2. Physikalische Institut
der Universität Göttingen und habilitierte hier 1944. 1952 wurde er schließlich Direktor des
Physikalischen Instituts in Bonn.
Die Hauptforschungsinteressen Pauls lagen im Bereich der Atom- und Molekülphysik, der Massenspektrometrie und der Elementarteilchenphysik. Während seiner Zeit als Direktor wurde in
Bonn das erste europäische Elektronensynchrotron mit starker Fokussierung gebaut. Ab 1979
war er zehn Jahre lang Präsident der Alexander-von-Humboldt-Stiftung.
Die von ihm entwickelten und nach ihm benannten Ionenfallen brachten Paul 1989 den PhysikNobelpreis ein.
Wolfgang Paul starb am 7. Dezember 1993.
Abbildung 1.1: Wolfgang Paul
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Projektpraktikum Physik 2005
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KAPITEL 1. EINLEITUNG
Projektpraktikum Physik 2005
Kapitel 2
Theorie
2.1
2.1.1
Idee und Konzept der Paulfalle
Zeitinvariante Elektrostatische Felder
Zweck einer Paulfalle ist es, elektrisch geladene Teilchen mit elektrischen Feldern räumlich zu
fixieren. Mit rein elektrostatischen zeitlich invarianten Felder ist dies nicht möglich, wie in diesem
Abschnitt gezeigt werden soll.
Es liege ein zeitlich invariantes elektrisches Potential φ(~x) vor. Die Betrachtung beziehe sich
ferner auf das Vakuum.
Um eine räumlich fixierte Testladung am Orte ~x zu erhalten, muss notwendigerweise ein striktes
lokales Minimum im Potential vorhanden sein und somit zwangsläufig zumindest
Dφ(~x) = ∇φ(~x) = 0
gelten. Leitet man ein zweites Mal ab, so hat man
D2 φ(~x) = (∇ ⊗ ∇)φ(~x),
womit bekanntermaßen für die kanonische Basis
tr D2 φ(~x) = ∆φ(~x)
folgt. Nun gilt aber nach Poisson
∆φ = 0.
Somit verschwindet also die Summe der Eigenwerte der Hessematrix des Potentials, und damit
kann kein striktes lokales Extremum vorliegen, denn dafür müssten die Eigenwerte alle von Null
verschieden sein und ein gleiches Vorzeichen haben aufgrund der zwingend notwendigen positiven
Definitheit der Hesseform.1
Damit ist der Nachweis erbracht, dass derartige Felder Ladungen nicht räumlich fixieren können.
1 Dies ist differentialgeometrisch (siehe z.B. Car76) auch als verschwindende mittlere Krümmung des Potentialgraphen zu deuten, d.h. für die Hauptkrümmungen λi (i = 1, 2, 3), welche gerade die Eigenwerte der Ableitung
der zugehörigen Gaußabbildung sind, gilt:
λ1 + λ2 + λ3 = 0.
Auch anschaulich erkennt man damit, dass ein Sattelpunkt vorliegen muss.
Weitere Anmerkung: Die positive Definitheit wird nicht zwingend aufgrund lokaler Minimalität notwendig,
aber aus stabilitätstheoretischen Gründen.
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Projektpraktikum Physik 2005
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2.1.2
KAPITEL 2. THEORIE
Der Elektrische Quadrupol
Als Ausgangspunkt weiterer Überlegungen bietet sich das Feld des elektrischen Quadrupols an,
denn dieser ist intuitiv gedacht wohl die einfachste Form einer räumlich ausgedehnten Ladungsverteilung, die sich über mehr als nur eine Dimension erstreckt.
Hier seien nun nur quadratisch angeordnete Ladungen Q bzw. −Q entsprechend der Quadrupolanordnung an den Orten
~x1 = d · (1, 0, 1),
~x2 = d · (1, 0, −1),
~x3 = d · (−1, 0, −1),
~x4 = d · (−1, 0, 1),
betrachtet. Das resultierende Coulombpotential berechnet sich damit bekannterweise zu
φ(~x) =
4
Q X (−1)i−1
.
4πε0 i=1 |~x − ~xi |
Bei Null verschwinden dieses Potential und seine Ableitung, und Taylorentwicklung bis zur zweiten Ordnung um diese Stelle liefert damit approximierenderweise
√
3 2
Q
xz
φ(~x) ≈
·
,
·
8
4πε0 d3
wobei ~x = (x, y, z). Wie bereits implizit erwähnt wurde und wie es offensichtlich ist, handelt es
sich hierbei um eine quadratische Form in ~x, die rechnerisch recht einfach zu behandeln ist. Als
Äquipotentialflächen des zugehörigen Feldes ergeben sich dabei Hyperboloidflächen.
Wir nehmen nun die gemachte Näherung als exakt an, da sie sich als einfach für rechnerische Zwecke erweist und entsprechend experimentell realisiert werden kann, wie in den späteren
Ausführungen noch deutlich wird.
Die Hauptachsen der zum Potential gehörenden quadratischen Form sind genau die Winkelhalbierenden der xz-Ebene. Somit sei nun die Äquipotentialfläche betrachtet, die den Abstand r0
vom Nullpunkt habe und deren Potential genau φ0 /2 > 0 betrage.
Damit gilt nun offenbar unter der Annahme Q > 0
√
φ0
Q
r2
3 2
r0 (1, 0, 1)
√
=φ
·
· 03 ,
=
2
8
4πε0 2d
2
und damit vereinfacht sich die Gleichung für das Potential zu
! φ0
0
φ0
x
2r02
φ(~x) = 2 xz = (x, z) · φ0
·
.
z
0
r0
2
2r
0
Transformiert man in das Hauptachsensystem und trägt man nun x entlang der einen und z
entlang der anderen Hauptachse – also zwischen den jeweils zwei zusammengehörigen Hyperboloidflächen – auf, so ergibt sich letztendlich
φ=
2.1.3
φ0 2
(x − z 2 ).
2r02
(2.1)
Die Ideale Makroskopische Paulfalle
Das in Gleichung (2.1) gefundene Potential lässt sich also in Form von hyperboloidförmigen Elektroden des Abstandes 2r0 realisieren, wie es in Abbildung (2.1) illustriert ist. Eine Alternative
Projektpraktikum Physik 2005
2.1. IDEE UND KONZEPT DER PAULFALLE
9
Abbildung 2.1: Die Elektrodenanordnung der idealen linearen Paulfalle
zu dieser Bauform der idealen Paulfalle ist die punktförmige Variante, auf die hier aber nicht
näher eingegangen werden soll.
Wie bereits in Abschnitt (2.1.1) gezeigt wurde, ist auch mit dieser Anordnung keine Fixierung
von Ladungsträgern durch ein zeitlich konstantes φ0 möglich. Stattdessen aber wählte Paul den
Ansatz
φ0 (t) = U + V cos ωt,
also den experimentell naheliegenden Ansatz einer an die Hyperboloidelektroden angelegten
Wechselspannung der Amplitude V und der Kreisfrequenz ω, welche von einer Gleichspannung
U überlagert wird.
Im Weiteren werde nun ein punktförmiger Probekörper der Masse m und der Ladung q betrachtet2 . Es lassen sich nun die Newtonschen Bewegungsgleichungen in Form folgender Beziehungen
finden:
q
ẍ +
(U + V cos ωt)x = 0,
(2.2)
mr02
q
z̈ −
(U + V cos ωt)z = 0.
(2.3)
mr02
Dabei sind x und z noch immer die Koordinaten im Hauptachsensystem. Hier werden folgende
Substitutionen vorgenommen:
a :=
4qU
,
mr02 ω 2
b :=
2qV
,
mr02 ω 2
τ :=
1
ωt.
2
Damit transformieren sich die Bewegungsgleichungen unter Verwendung von dt =
(2.4)
2 dτ
ω
zu
d2 x
+ (a + 2b cos 2τ )x = 0,
(2.5)
dτ 2
d2 z
− (a + 2b cos 2τ )z = 0.
(2.6)
dτ 2
Diese Gleichungen gehören zu der Kategorie der regulären Mathieuschen Differentialgleichungen. Ein Teilchen wird in der Falle also genau dann gefangen“, falls die Parameter beider
”
Gleichungen zu stabilen Lösungen führen.
2 Diese Annahme ist für die Anwendung als Ionenfalle oftmals ausreichend, manchmal jedoch müssen auch
quantenmechanische Betrachtungen angestellt werden.
Projektpraktikum Physik 2005
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2.2
KAPITEL 2. THEORIE
Stabilitätsbetrachtungen
In diesem Abschnitt sollen die hergeleiteten Bewegungsgleichungen der idealen linearen makroskopischen Paulfalle stabilitätstheoretisch untersucht werden, sowie numerische Verfahren und
Simulationen dafür entwickelt und untersucht werden.
2.2.1
Stabilitätstheoretische Betrachtung der Mathieugleichung
Wir wollen die für unseren Fall relevante reguläre Mathieusche Differentialgleichung
d2 Θ
+ (a − 2q cos 2η) Θ = 0
dη 2
(2.7)
betrachten, wobei a und q zwei konstante reelle Parameter seien, und η die Parametrisierung der
Lösung Θ. Zur stabilitätstheoretischen Analyse verwendet man nach Floquet den Ansatz
Θ(η) = eµη
∞
X
bn einη ,
n=−∞
wie er auch beim allgemeineren Fall der Hillschen Differentialgleichungen(vgl. Kam42, 410)
Verwendung findet. Die dabei auftretende (komplexe) Zahl µ heißt der charakteristische Exponent
der Lösung Θ. Für ihn trifft man die
Definition 2.2.1 Eine Lösung Θ(η) heißt stabil oder labil, je nachdem ob µ einen nichtpositiven Realteil hat oder nicht.
Auch anschaulich macht diese Definition Sinn, denn der Imaginärteil von µ ändert nichts am
Betrag der Lösung, der Realteil geht aber in die Änderung desselben exponentiell ein. Im Betrage
anwachsende Lösungen sind insbesondere bei der Paulfalle als instabil zu betrachten, weil hier
die Teilchen zum Beispiel einfach an eine Elektrode stoßen.
Von Interesse ist die Grenze von Stabilität und Instabilität. Evidenterweise gilt für sie µ = 0, und
es liegen periodische Lösungen vor. Physikalisch sinnvoll sind nur Lösungen der Periode 2π, wobei
zwischen symmetrischen und antisymmetrischen Lösungen bzgl. η = 0 und η = π2 unterschieden
wird. Entsprechende Fourierdarstellungen liefern die folgenden vier grundlegenden periodischen
Lösungen der Gleichung:
ce2n (η, q)
ce2n+1 (η, q)
se2n+2 (η, q)
se2n+1 (η, q)
:=
:=
:=
:=
∞
X
j=0
∞
X
j=0
∞
X
j=0
∞
X
A2j (q) cos 2jη,
(2.8)
A2j+1 (q) cos(2j + 1)η,
(2.9)
B2j+2 (q) sin(2j + 2)η,
(2.10)
B2j+1 (q) sin(2j + 1)η,
(2.11)
j=0
wobei n = 0, 1, 2, . . .
Derartige Lösungen existieren bei einem gegebenen Wert von q nur für diskrete Werte von a.
Dies gibt Anlass zu der
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2.2. STABILITÄTSBETRACHTUNGEN
11
Definition 2.2.2 Koeffizienten a, die für fest vorgegebene q periodische Lösungen der Differentialgleichung (2.7) liefern, heißen Eigenwert zum Parameter q. Einer jeden der aufgeführten
nichtnegativen ganzen Zahlen n wird dabei ein Eigenwert an bzw. bn zugeordnet, je nachdem ob
eine Kosinus- oder Sinuslösung vorliegt.
Das wesentliche Problem besteht offensichtlich nun darin, die an und bn in Abhängigkeit von q
zu bestimmen, da die Bereiche, die sie trennen, eben gerade die instabilen bzw. stabilen Bereiche
der Mathieugleichung ergeben, wobei dies also nur von den Parametern selbiger und nicht von
den Anfangsbedingungen abhängt.
Bestimmung der Rekurrenzrelationen für die Aj und Bj
Es stellt sich heraus, dass sich Rekurrenzrelationen für die Fourierkoeffizienten der periodischen
Lösungen in Abhängigkeit von den Eigenwerten ermitteln lassen. Dies soll im Folgenden getan
werden.
Wir schreiben dazu die Differentialgleichung um zu
(2.12)
Θ00 + a − q ei2η + e−i2η Θ = 0
und nehmen eine allgemeine Lösung der Form
∞
X
Θ(η) = Θ1 (η) + Θ2 (η) = eiβη
cj eijη + e−iβη
∞
X
cj e−ijη
j=−∞
j=−∞
an, wobei die cj die unbekannten reellen Koeffizienten sind, β ∈ {0, 1}.
Zweifache Ableitung liefert:
Θ001 (η) = −
∞
X
(j + β)2 cj ei(j+β)η ,
j=−∞
was in Gleichung (2.12) eingesetzt
−
∞
X
j=−∞
∞
X
cj ei(j+β)η = 0
(j + β)2 cj ei(j+β)η + a − q(ei2η + e−i2η
j=−∞
und damit
∞
X
j=−∞
∞ h
i
X
cj ei(j+2+β)η + cj ei(j−2+β)η = 0
a − (j + β)2 cj ei(j+β)η − q ·
j=−∞
ergibt. Indexverschiebung im rechten Term führt zu
∞
X
j=−∞
∞ h
i
X
cj−2 ei(j+β)η + cj+2 ei(j+β)η = 0,
a − (j + β)2 cj ei(j+β)η − q ·
j=−∞
womit sich die unendlichen Reihen zusammenfassen lassen als
∞
X
a − (j + β)2 cj − q(cj−2 + cj+2 ) ei(j+β)η = 0.
j=−∞
Projektpraktikum Physik 2005
12
KAPITEL 2. THEORIE
Wie man leicht zeigen kann, ist die Menge ϕ : R → C, η 7→ ei(j+β)η | j ∈ Z linear unabhängig,
und damit folgt
a − (j + β)2 cj − q(cj−2 + cj+2 ) = 0,
j ∈ Z.
Analoges Vorgehen für Θ2 liefert eine zweite solche Relation, womit sich für die Funktionen (2.8),
(2.9), (2.10) und (2.11) die Fourierkoeffizienten rekursiv aus q und dem zugehörigen Eigenwert
ergeben.
Auf den weiteren Rechenweg (siehe z.B. Veg03, 41 ff.) soll nicht genauer eingegangen werden, es
ergeben sich aber konkret folgende Relationen:
1. ce2n (zugehöriger Eigenwert: a = a2n ):
aA0 − qA2
wobei j ∈ N \ {1}.
(a − 4)A2 − q(2A0 + A4 )
a − (2j)2 A2j − q(A2j−2 + A2j+2 )
= 0,
(2.13)
= 0,
= 0,
(2.14)
(2.15)
2. ce2n+1 (zugehöriger Eigenwert: a = a2n+1 ):
wobei j ∈ N.
(a − 1)A1 − q(A1 + A3 ) = 0,
a − (2j + 1)2 A2j+1 − q(A2j−1 + A2j+3 = 0,
(2.16)
(2.17)
3. se2n+2 (zugehöriger Eigenwert: b = b2n+2 ):
wobei j ∈ N \ {1}.
(b − 4)B2 − qB4 = 0,
b − (2j)2 − q(B2j−2 + B2j+2 ) = 0,
(2.18)
(2.19)
4. se2n+1 (zugehöriger Eigenwert: b = b2n+1 ):
wobei j ∈ N.
(b − 1)B1 − q(B3 − B1 )
b − (2j)2 B2j − q(B2j−2 + B2j+2 )
= 0,
= 0,
(2.20)
(2.21)
Berechnungsvorschriften für die Stabilitätsgrenzen
Über diese Rekurrenzrelationen ist es umgekehrt möglich, die Eigenwerte zu dem weiterhin
gegebenen Parameter q zu bestimmen, was einer Berechnung der Grenzen von Stabilität und
Instabilität gleichkommt.
Man setzt dazu zunächst
A2j
a − j2
G2j :=
,
Vj :=
,
A2j−2
q
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2.2. STABILITÄTSBETRACHTUNGEN
13
setzt dies in Gleichung (2.15) ein und erhält die Identität
G2j+2 +
a − (2j)2
1
=
= V2j ,
G2j
q
(2.22)
die in (Veg03, S. 9) noch genauer untersucht wird im Hinblick auf ihre Eigenschaften und deren
numerische Nutzbarmachung. Wir lösen Gleichung (2.22) nach jedoch einfach nach G2j auf und
erhalten
1
G2j =
,
V2j − G2j+2
was nach einmaliger Ausführung der vorhandenen Rekursion zu
1
G2j =
V2j −
1
V2j+2 −G2j+4
führt für j ∈ N\{1}. Sukzessive derartige Anwendung führt also zu einer Kettenbruchdarstellung
(unter Nutzung der Notation von WHP97)3 der Form
G4 =
1
1
1
1
.
V4 − V6 − V8 − V10 − · · ·
(2.23)
Man kann nun weiter die Gleichungen (2.13) und (2.14) umschreiben zu
G2 = V0 ,
G4 = V2 −
2
G2
Gleichsetzung mit Gleichung (2.23) liefert
G4 = V2 −
2
2
1
1
1
1
= V2 −
=
,
G2
V0
V4 − V6 − V8 − V10 − · · ·
und damit gilt letztendlich die Gleichung
V0 =
2
1
1
,
V2 − V4 − V6 − · · ·
(2.24)
deren Wurzeln genau die a2n sind und sich mittels numerischer Standardverfahren4 berechnen
und als Stabilitätskarte gegen q auftragen lassen.
Für die anderen Eigenwerte ergeben sich denn auch Kettenbruchgleichungen durch analoges
Vorgehen mit den anderen Rekurrenzrelationen.
Für die a2n+1 hat man dabei die Beziehung
V1 − 1 =
3 Hier
setzt man
1
1
1
,
V3 − V5 − V7 − · · ·
1
1
1
:=
g1 − g2 − g3 − · · ·
g1 −
(2.25)
1
1
1
g2 − g −···
3
für gi ∈ R, i ∈ N.
4 Gewöhnlich: Abbruch des Kettenbruches an adäquater Stelle, danach Lösen des Polynomnullstellenproblems
mit auf Bisektion und feineren Methoden folgendem Newtonalgorithmus.
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14
KAPITEL 2. THEORIE
30
a0
b1
a1
b2
a2
b3
a3
b4
a4
b5
a5
25
20
Eigenwert a
15
10
5
0
-5
-10
-15
-10
0
Parameter q
-5
5
10
15
Abbildung 2.2: Berechnete Struttsche Stabilitätskarte der regulären Mathieugleichung
für die b2n+2 hat man
V2 =
1
1
1
,
V4 − V6 − V8 − · · ·
(2.26)
und für die b2n+1 gilt
V1 + 1 =
1
1
1
.
V3 − V5 − V7 − · · ·
(2.27)
Betrachtung der resultierenden Stabilitätsbereiche
Die hier vorgestellte Kettenbruchmethode ist das gängigste Verfahren, um die Eigenwerte der
DGL zu berechnen. Daneben existiert noch ein Verfahren, dass mit der Determinante des hergeleiteten Differenzenschemas arbeitet und für den gesamten Typus der Hillschen Differentialgleichungen funktioniert aufgrund allgemeinerer Theorie, die dazu existiert. Dieses Verfahren ist
aber numerisch aufwendiger als das Kettenbruchverfahren, es konvergiert langsamer.
Eine FORTRAN-Implementation beider Verfahren wurde von Shirts (vgl. Shi93, S. 391-406)
veröffentlicht. In dieser Arbeit wurde dieser ein wenig modifiziert, entsprechend mit F2C nach C
konvertiert und verwendet.
Eine Auftragung eines Teiles der resultierenden Struttschen Stabilitätskarte der regulären Mathieugleichung wurde mit dem Programm von Listing (6.1) angestellt und befindet sich in Abbildung (2.2). Dabei sind die um q = 0 spiegelsymmetrischen Bereiche zwischen den jeweils
asymptotisch ineinander übergehenden Graphen stabil.
Projektpraktikum Physik 2005
2.2. STABILITÄTSBETRACHTUNGEN
15
0.25
Stabilitaetskarte der idealen Paulfalle
Parameter a
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Parameter b
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Abbildung 2.3: Berechnete Stabilitätskarte der idealen makroskopischen linearen Paulfalle
2.2.2
Stabilitätsbetrachtung der idealen makroskopischen linearen Paulfalle
Aus dieser Stabilitätskarte folgt nun direkt die Stabilitätskarte für das System von Mathieugleichungen, das bei der Paulfalle vorliegt. Die beiden Gleichungen (2.5) und (2.6), welche (zur
Klarstellung)
d2 x
+ (a + 2b cos 2τ )x
dτ 2
d2 z
− (a + 2b cos 2τ )z
dτ 2
= 0,
= 0
lauten mit den, wie bereits diskutiert, aus den physikalischen Parametern resultierenden Koeffizienten
4qU
2qV
1
a :=
,
b :=
, τ := ωt,
mr02 ω 2
mr02 ω 2
2
müssen für die Paulfalle zu stabilen Lösungen führen, und somit müssen für Stabilitätsbetrachtungen die Stabilitätsbereiche der zugehörigen Struttschen Diagramme geschnitten werden.
Dies führt im Wesentlichen zu dem Stabilitätsbereich der Abbildung (2.3), welcher sich als eine Kombination von a0 , b1 und Abszisse der Auftragung ergibt und durch das Programm von
Listing (6.2) erhalten wurde.
Projektpraktikum Physik 2005
16
KAPITEL 2. THEORIE
2.3
Stabilitätsbetrachungvbei der realen Paulfalle
Hier soll diskutiert werden, in wie weit sich das Verhalten der Teilchen in der Falle ändert, wenn
auf diese weitere Kräfte wirken. Insbesondere soll das Einwirken dissipativer Kräfte, wie sie bei
der Luftreibung auftreten, und der Erdbeschleunigung betrachtet werden. Desweiteren soll hier
die Rede von der realen Paulfallen, in welcher gerade die Reibung und Gravitation berücksichtigt
wird.
2.3.1
Reibungskräfte
Auf ein kugelförmiges Teilchen mit dem Radius R, welches sich mit der Geschwindigkeit v in
einem Medium mit der Viskosität η und der Dichte % bewegt, wirkt nach Oseen die Reibungskraft:
3%R · v
FR = −6πηR · v 1 +
.
(2.28)
8η
Für R 1 lässt sich der zweite Term vernachlässigen und die Reibungskraft vereinfacht sich
zu dem sogenannten Stokesschen Gesetz mit:
FR = −6πηR · v .
(2.29)
Teilchen unter Reibung im homogenen Kraftfeld
Nun soll hier betrachtet werden, wie sich die Geschwindigkeit v(t) des Teilchen unter der Reibungskraft nach dem Stokesschen Gesetz in einem homogenen Kraftfeld F = const., z.B. der
Erdbeschleunigung 5 , verhält. Dabei sei v die Komponente der Geschwindigkeit in die Kraft vom
Betrag F zeigt.
6πηR
F
v̇(t) +
· v(t) =
(2.30)
m
m
Die Lösung dieser DGL lautet:
v(t) =
6πηR
6πηR
F
· 1 − e− m t + v(0) · e− m t .
6πηR
(2.31)
Wie auch einfach aus dem Kräftegleichgewicht zu sehen, stellt sich also im stationären Zustand
eine Gleichgewichtsgeschwindigkeit:
F
v0 =
(2.32)
6πηR
ein. Für eine fallende Kugel mit der Dichte % im Schwerefeld F = meff g =
bedeutet das also eine stationäre Endgeschwindigkeit:
v0 =
2
R2
g(% − %Luft )
.
9
η
4
3 π(%
− %Luft )R3
(2.33)
v0 lässt sich experimentell bestimmen.
5 welche
~G = m~g als konstant angesehen wird
in der üblichen Näherung F
Projektpraktikum Physik 2005
2.3. STABILITÄTSBETRACHUNGVBEI DER REALEN PAULFALLE
2.3.2
17
Teilchen in der realen Paulfalle
Damit ergibt sich für das Teilchen in der Paulfalle folgende Bewegungsgleichung, wobei die
Erdbeschleunigung in die Richung (−1, 0, −1)6 wirken soll:
q
g
6πηR
· ẋ(t) +
(U + V cos ωt) · x(t) = − √
2
m
mr0
2
q
g
6πηR
· ż(t) −
(U + V cos ωt) · z(t) = − √ .
z̈(t) +
m
mr02
2
ẍ(t) +
(2.34)
(2.35)
Nach einsetzen der Geschwindigkeit v0 lassen sich die Gleichungen auch schreiben als:
g
q 1
g
· ẋ(t) +
(U + V cos ωt) · x(t) = − √
v0
m r02
2
g
g
q 1
z̈(t) +
(U + V cos ωt) · z(t) = − √
· ż(t) −
v0
m r02
2
ẍ(t) +
(2.36)
(2.37)
und man sieht, dass die Bahnkurve nur von den Werten der Falle r0 , U , V und den Eigenschaften
q
und v0 abhängen. Man kommt auf die beiden Gleichungen:
der Teilchen m
d2 x
dx
+ (a + 2b cos 2τ )x
+c
2
dτ
dτ
d2 z
dz
− (a + 2b cos 2τ )z
+c
dτ 2
dτ
= d
(2.38)
= d
(2.39)
√
2 2g
.
ω2
(2.40)
mit a und b wie in (2.4) und
c :=
2.3.3
2g
12πηR
=
,
v0 ω
mω
d := −
Zurückführung der Reibung auf die Mathieugleichung
Hier wird der Fall d = 0 betrachtet. Hiermit lässt sich (2.38) und (2.39) auf zwei Mathieugleichungen zurücktransformieren. Dies geschieht mit Hilfe der Transformation (vgl. Sch98, S.
27):
x
z
c
= e− 2 τ · ξ
= e
− 2c τ
·ζ,
(2.41)
(2.42)
Dann folgt aus (2.41):
dx
dτ
d2 x
dτ 2
c c
c
dξ
= − e− 2 τ ξ + e − 2 τ
2
dτ
c 2 c
c
c
dξ
dξ
+ e− 2 τ
=
e− 2 τ ξ − ce− 2 τ
2
dτ
dτ
(2.43)
(2.44)
und damit ergibt sich aus (2.38):
c 2
2
6 Dies
ξ+
c 2
d2 ξ
c2
d2 ξ
−
ξ
+
(a
+
2b
cos
2τ
)ξ
=
+
a
−
+
2b
cos
2τ
ξ = 0,
dτ 2
2
dτ 2
2
ist durch den im späteren speziell gewälten Aufbau begründet.
Projektpraktikum Physik 2005
18
KAPITEL 2. THEORIE
Analog berechnet man eine Gleichung für ζ, in dem man (2.42) in (2.39) einsetzt. Man erhält
wieder zwei Mathieusche Differentialgleichungen:
d2 ξ
+ (aξ + 2b cos 2τ ) ξ
dτ 2
2
d ζ
− (aζ + 2b cos 2τ ) ζ
dτ 2
= 0
(2.45)
= 0
(2.46)
mit
aξ = a −
c 2
2
, aζ = a +
c 2
2
.
(2.47)
Damit lässt sich also die Stabilitität für ξ und ζ aus der Struttschen Stabilitätskarte ablesen.
Aus der Stabilität von ξ und ζ folgt definitionsgemäß auch eine Stabilität von x und z, da in
den Transformationen für t → ∞ also τ → ∞ ja x → 0 und z → 0 geht, solange ξ < ∞ und
ζ < ∞ für alle t (also alle τ ), was genau der Fall ist wenn ξ und ζ stabil sind.
Jedoch wenn x und z stabil sind, dann heißt das nicht zwingend, dass auch ξ und ζ stabil
c
sein müssen. Evtl. geht e− 2 τ schneller gegen null, als die Lösungen ξ(τ ) und ζ(τ ) divigieren. In
diesem Fall wäre x stabil, obwohl ξ dies nicht ist. Der Bereich in dem x und z stabil sind, ist
also anscheinend größer, als der den man mit der Transformation (2.47) und der Stabilität der
Mathieuschen DGLs erhält. In Abbildung 2.4 wird gezeigt, wie sich der Stabilitätsbereich der
Karte: Abbildung 2.3 mit der Transformation (2.47) für verschiedene c verschiebt.
0.25
c=0
c = 0.2
c = 0.4
Parameter a
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Parameter b
Abbildung 2.4: Verschiebung der Stabilitätskarte, wie in Abschnitt 2.3.3 berechnet, für verschiedene Reibungen c. Die Bereiche für Reibung mit c > 0 sind hier jedoch nur ein Ausschnitt des
Stabilitätsbereiches.
Projektpraktikum Physik 2005
2.4. SIMULATIONEN
2.4
19
Simulationen
2.4.1
Simulation der Stabilität mit Reibung
Um den Einfluss der Reibung auf die Veränderung der Stabilitätsbereiche trotzdem diskutieren
zu können, wird die Stabilität mit Hilfe einer Simulation berechnet. Hierfür wird ein C-Programm
benutzt, welches die Bewegungslgeichung durch aufaddieren berechnet und somit die Bewegung
simuliert. Bleibt ein Teilchen 7 bei dieser Simulation für eine hinreichend lange Zeit in einem
hinreichen kleinen Bereich, so soll es als stabil gelten. Dieses Verfahren lässt sich nutzen, da
die Stabilität nicht von den Anfangsbedingungen abhängt. In dem instabilen Bereich reicht
eine kleine Auslenkung aus der Ruhelage, um schnell wachsende Schwingungen hervorzurufen
(vgl. Kuy03). Man spricht hier auch von parametrischer Resonanz . Ohne Reibung liefert diese
Simulation genau die gleiche Stabilitätskarte wie Abbildung 2.3 bereits dargestellt. In Abbildung
2.5 ist das Ergebnis der Simulation für vrschiedene Reibungen c aufgetragen.
0.5
c
c
c
c
c
c
0.45
0.4
Parameter a
0.35
0.3
=
=
=
=
=
=
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.5
1
1.5
2
Parameter b
Abbildung 2.5: Simulierte Stabilitätskarte der Paulfalle mit Reibung für verschiedene Reibungen
c. Zusätzlich sind die jeweiligen, in Abschnitt 2.3.3 berechneten Kurven mit eingezeichnet
7 dessen
Anfangswerte für Ort und Geschwindigkeit ungleich Null sind.
Projektpraktikum Physik 2005
20
KAPITEL 2. THEORIE
2.4.2
Simulation der Bahnkurven der Teilchen in einer Paulfalle
Mit Hilfe von des C-Programmes (Listing 6.4) wurden die Bahnkurven der Teilchen in der Paulfalle simuliert. Dabei wurden neue Koordinaten x und z gewält, welche dem späteren Aufbau
entsprechen. Hierzu wurde das Koordinatensystem mit einer enstprechendenn Drehmatrix um
45◦ gedreht. Die Bahnkurve sind in Abbildung 2.6 für die vier Fälle, also mit oder ohne Reibung
und mit oder ohne Gravitation eingzeichnet. Im Fall der idealen Paulfalle findet die Bewegung
in einer begrenztenn Umgebung statt. Mit Reibung hingegen geht die Bewegung in den meisten
Fällen gegen null, wie man an (2.41) und (2.42) sieht. Dies ist offenbar solange der Fall, solange a und b für entsprechdes c aus dem Stabilitätsbereich in Abbildung 2.4 sind, also ξ und η
stabil sind. Für den Fall der Gravitation ohne Reibung verschiebt sich die Umgebung, in der
die Bewegung des Teilchens stattfindet. Für den realen Fall, also mit Reibung und Gravitation,
geht die Bewegung, nach dem Einpendeln, gegen eine anscheinend periodische Bewegung (siehe
Abbildung 2.7), änlich wie es ohne Reibung gegen null geht.
0.003
0.002
0.002
0.001
0.001
0
0
-0.001
-0.001
-0.002
-0.002
-0.003
-0.003
-0.002
-0.001
0
x
0.002
-0.003
-0.003
0.003
-0.002
-0.001
0
x
0.001
0.002
0.002
0.001
0.001
0
0
-0.001
-0.001
-0.002
-0.002
-0.002
-0.001
0
x
0.001
0.002
0.003
-0.003
-0.003
0.002
0.003
real
ohne Gravitation
z
z
0.001
0.003
0.003
-0.003
-0.003
ohne Reibung
ideal
z
z
0.003
-0.002
-0.001
0
x
0.001
0.002
0.003
Abbildung 2.6: Bahnkurven
Projektpraktikum Physik 2005
2.4. SIMULATIONEN
21
-0.00154
Bahnkurve
-0.00155
z
-0.00156
-0.00157
-0.00158
-0.00159
-0.0016
-0.0006
-0.0004
-0.0002
0
x
0.0002
0.0004
0.0006
Abbildung 2.7: Die Bahnkurve der realen Paulfalle nach einiger Zeit
Projektpraktikum Physik 2005
22
KAPITEL 2. THEORIE
2.5
Das Pseudopotential der realen Paulfalle
In diesem Abschnitt soll die halbwegs reale Paulfalle (weiterhin hyperboloidförmige Elektroden
des Abstandes 2r0 , aber auch Reibung und Gravitation) betrachtet werden. Dabei liegt das
Ziel darin, für die stabilen Bewegungszustände, also diejenigen Bewegungen, bei denen Eigenschwingungen sich nicht aufschaukeln“, Aussagen über ein über das zeitliche Mittel vorliegendes
”
Potential, ein Pseudopotential zu treffen, um experimentell quantitativ arbeiten zu können.
2.5.1
Teilchen in schnell oszillierenden Kraftfeldern
Im folgenden sei dazu zunächst (vgl. auch LDL97, S. 113-115) ein Teilchen der Masse m gegeben,
das sich unter vernachlässigbar geringer Eigenschwingung8 in einem Kraftfeld der Form
f = f1 cos ωt + f2 sin ωt
(2.48)
befindet und weiter von einem zeitunabhängigen Potential U abhängt, wobei die Frequenz des
Kraftfeldes groß gegenüber der Eigenfrequenz des Teilchens im Potential U sein soll. Die (bereits als gering vorausgesetzte) Amplitude der am Teilchen von dem Wechselfeld verursachten
Schwingung werde als max |ξ| bezeichnet.
Zunächst sei nur eine Raumkoordinate x vorhanden, entlang der sich das Teilchen bewegen kann.
Die Bewegungsgleichung für dieses Problem lautet nach dem Zweiten Newtonschen Gesetz:
mẍ = −
dU
+f
dx
(2.49)
Intuitiv ist klar, dass die Bewegung des Teilchens aus eine makroskopischen Bewegung entlang
einer glatten Kurve X(t) besteht, die von einer kleinen mikroskopischen Oszillation ξ(t) der
Kreisfrequenz ω überlagert wird:
x(t) = X(t) + ξ(t).
(2.50)
Mittelt man den Wert von ξ(t) über die Periode 2π/ω, so verschwindet dieser also, X(t) bleibt
hingegen nahezu konstant. Damit liefert die zeitliche Mittelung x̄ über die Oszillationen genau
die Bewegung X, also x̄ = X. Die nachfolgend beschriebene Methode von Kapiza soll das X
aus den anliegenden äußeren Bedingungen berechnen.
Setzt man Gleichung (2.50) in Gleichung (2.49) ein, und entwickelt man dann nach Potenzen
von ξ bis zur ersten Ordnung, so ergibt sich
dU
d2 U
∂f
mẌ + mξ¨ = −
−ξ
+ f (X, t) + ξ
.
2
dX
dX
∂X
(2.51)
In dieser Gleichung treten Terme unterschiedlichen Charakters auf, einige oszillieren, andere sind
glatt“. Beide Arten kann man getrennt gleichsetzen. Setzt man also die oszillierenden Terme
”
gleich, so erhält man näherungsweise
mξ¨ = f (X, t),
(2.52)
da die anderen Terme nur den als verhältnismäßig klein vorausgesetzten Faktor ξ beinhalten9 .
Integriert man Gleichung (2.52) nach Einsetzen der Kraft von Gleichung (2.48), so bekommt
man unter Verwendung von X ≈ const. die Beziehung
ξ=−
f
.
mω 2
(2.53)
8 Dies
9 ξ̈
ist bei der Paulfalle durch das Stabilitätskriterium gegeben.
ist dabei nicht klein, da es proportional zu ω 2 ist.
Projektpraktikum Physik 2005
2.5. DAS PSEUDOPOTENTIAL DER REALEN PAULFALLE
23
Mittelt man nun die Gleichung (2.51) über die Zeit im Sinne der 2π/ω-Zeiten, so erhält man
mẌ = −
dU
1
dU
∂f
∂f
+ξ
=−
−
,
f
2
dX
∂X
dX
mω ∂X
wobei aus naheliegenden Gründen die Komponenten in ξ entfallen sind. Mit einer durch
Ueff = U +
1
1
(f 2 + f22 )
f2 = U +
2mω 2
4mω 2 1
(2.54)
definierten effektiven potentiellen Energie vereinfacht sich diese Gleichung zu
mẌ = −
dUeff
.
dX
(2.55)
Unter Betrachtung von Gleichung (2.53) erhält man die Interpretation
Ueff = U +
m 2
ξ̇ ,
2
die effektive potentielle Energie macht also wirklich Sinn als Überlagerung des Potentials U mit
der mittleren kinetischen Energie der Eigenschwingungsbewegung.
Das Ergebnis von Gleichung (2.54) lässt sich verallgemeinern auf beliebige vektorielle Kraftfelder.
Für ein Kraftfeld
F~ = F~0 cos ωt
erhält man dabei ganz analog die Formel
Ueff = U +
2.5.2
1 ~2
F .
4mω 2 0
(2.56)
Applikation auf die Paulfalle
Zur experimentellen Nutzung der im vorigen Abschnitt dargelegten Tatsachen wurde das resultierende Ergebnis auf die Paulfalle umgerechnet.
Hier soll wieder die Paulfallennotation verwendet werden. Es sei wieder eine hyperboloidförmige
Geometrie mit charakteristischer Größe r0 gegeben, sowie eine anliegende Wechselspannung der
Amplitude V und der Kreisfrequenz ω. Weiter liege eine Gleichspannung der Größe U an. Die
Gravitation wirke in Richtung (−1, 0, −1) mit der Erdbeschleunigung g und unter Verwendung
der Hauptachsenkoordinaten (x, y, z). Ein betrachtetes Probeteilchen habe eine Masse m und
eine elektrische Ladung q.
Anstelle von Kraftfeldern sollen hier äquivalente elektrische Felder betrachtet werden, da sich
dies notationell einfacher gestaltet. Gleichung (2.56) lässt sich nun umschreiben zu
φeff = φ0 +
1 ~2
E ,
4mω 2 0
(2.57)
wobei hier von elektrischen Potentialen die Rede ist. φ0 ist dabei ein zeitinvariantes skalares
Feld, das nur von Gravitation und Gleichspannung abhängt in offensichtlich folgender Weise:
√
U 2
2
m
2
φ0 = 2 (x − z ) −
·
(x + z)g.
(2.58)
2r0
q
2
Projektpraktikum Physik 2005
24
KAPITEL 2. THEORIE
~ 0 berechnet werden. Für das korrespondierende
Um φeff zu bestimmen, muss die Amplitude E
~
Potential ψ von E0 gilt offenbar
ψ(x, z) =
und das liefert
~0 = −
E
∂ ∂ ∂
,
,
∂x ∂y ∂z
V
(x2 − z 2 ),
2r02
ψ=
V
V
− 2 x, 0, 2 z ,
r0
r0
also
2
~ 2 = V (x2 + z 2 ).
E
0
4
r0
Für das Pseudopotential der realen linearen Paulfalle10 ergibt sich dadurch letztendlich
φeff
√
U
m
2
V2 2
q
2
2
= 2 (x − z ) − ·
(x + z)g +
·
(x + z 2 ) .
2r0
q
2
4mω 2 r04
{z
} |
{z
} |
{z
}
|
Gravitation
Gleichspannung
(2.59)
Wechselspannung
Man sieht, dass die Gravitation linear zum Potential beiträgt, die Gleichspannung in Form eines
Hyperboloides und die Wechselspannung in Form eines Paraboloides.
Das Hamiltonsche Prinzip lässt das Probeteilchen – abgesehen von seiner Eigenschwingung –
in einem lokalen Minimum des Pseudopotentials verharren. Damit gilt:
~ eff =
0 = ∇φ
√
q
U
1
V2
2m
2x + 2 x −
·
·
g,
m 4ω 2 r04
r0
2 q
0,
!
√
U
q
1
V2
2m
2x − 2 x −
·
·
g
m 4ω 2 r04
r0
2 q
Hieraus folgt erstens die Formel
V2
V2
q
q
·
·
+
U
x
=
−
U
z,
m 2ω 2 r02
m 2ω 2 r02
(2.60)
die die räumlich-relative Anordnung der Teilchen beschreibt und für U = 0 in das anschaulich
vollkommen evidente x = z übergeht, welches das bloße Durchhängen“ des Paraboloidpotentials
”
unter Gravitationseinfluss beschreibt.
Zweitens folgt für den Fall U = 0 unter komponentenweiser Betrachtung die Gleichung
0=
√
q
2m
1
V2
·
g,
·
2x
−
m 4ω 2 r04
2 q
welche sich zu
√
x= 2
1
q
· 2
m ωr0
−2
·g·
1
V2
(2.61)
umstellen lässt.
10 Auch
der Fall, dass Reibung vorhanden ist, ist natürlich mit berücksichtigt!
Projektpraktikum Physik 2005
2.5. DAS PSEUDOPOTENTIAL DER REALEN PAULFALLE
2.5.3
25
Relevanz für Stabilitätsparameter
Die Stabilitätsparameter der Paulfalle berechnen sich gemäß Gleichung (2.4) zu
a=
4ε
U,
ω
b=
2ε
V,
ω
(2.62)
wobei die teilchenspezifische Größe ε durch
ε :=
q
1
· 2
m ωr0
(2.63)
q
definiert sei. Da im Experiment – wie später noch ausgeführt wird – weder r0 noch m
wirklich
bekannt sind, ist die Bestimmung von ε ein wichtiger Fortschritt hin zu der experimentellen
Abmessung von Stabilitätsgrenzen.
Gleichung (2.61) lässt sich unter Verwendung von ε umschreiben als
√
x = 2ε−2 g · V −2 .
Führt man die Koordinate z̃ ein, die entgegen der Richtung der Gravitationswirkung aufgetragen
sei, so ergibt sich wegen x = z die Beziehung
z̃ =
√
√
2g
2
(x + z) = 2x = 2 · V −2 .
2
ε
(2.64)
Resultierendes experimentelles Verfahren zur Bestimmung von ε. Trägt man experimentell also gegen eine beliebige Nullage von z̃ selbiges gegen V −2 auf, so sollten die Messpunkte
auf einer Geraden verlaufen, und aus der nach entsprechendem Fit bestimmten Geradensteigung
α lässt sich dann der teilchenspezifische Parameter ε in den Stabilitätskoeffizienten durch
r
2g
ε=
(2.65)
α
bestimmen.
Projektpraktikum Physik 2005
26
KAPITEL 2. THEORIE
Projektpraktikum Physik 2005
Kapitel 3
Durchführung
3.1
Projektprotokoll
Im Folgenden soll die Entstehungsgeschichte des gewählten Versuchsaufbaus erläutert werden,
da die Eigenheiten der Falle, die sich im Entwicklungsprozeß ergeben haben, nicht jedem sofort
einleuchten werden. Für eine genaue Fixierung von Teilchen scheint z. B. eine rotationssymmetrische Paulfalle sehr gut geeignet zu sein. Ist man jedoch an den Teilchenbahnen interessiert,
so lassen sich diese in einer linearen Paulfalle viel besser beobachten. Außerdem stellten wir
im Laufe der Recherchen fest, dass ein lineare Paulfalle viele Erweiterungsmöglichkeiten bietet.
Da im Vorhinein nicht genau klar war, welche der theoretisch möglichen Versuche sich an den
eingefangenen Partikeln praktisch durchführen lassen, mußte der Aufbau auch eine ausreichende
Flexibilität bieten. Dies führte zu unserer Entscheidung für eine Paulfalle des linearen Typs.
Andere Eigenheiten der Falle ergaben sich aus dem Entstehungsprozeß, der hier kurz skizziert
werden soll.
3.1.1
Entwicklung des Versuchsaufbaus
Um eine möglichst gute Annäherung an die Optimalform der Elektroden (d.h. hyperboloidförmige Flächen) zu erhalten und etwaige Spezialanfertigungen zu vermeiden, entschlossen wir uns,
Metallrohre als Elektroden zu wählen, die möglichst groß im Verhältnis zum Fallendurchmesser
sein sollten.
Für unsere Teilchengrößenordnungen schienen Heizungsrohre aus Kupfer (ca. 1,8 cm Durchmesser) recht gut geeignet zu sein. Der Abstand der Rohre mußte hingegen mindestens so groß
gewählt werden, dass bei den verwendeten Spannungen keine Überschläge auftreten konnten.
kV
Die Durchschlagfestigkeit von Luft beträgt je nach Feuchtigkeitsgehalt etwa 2,4 bis 3,0 mm
(s.
kV
hierzu Sch04, S.98). Wegen der hohen Durchschlagsfestigkeit von Plexiglas [30 mm ] (s. ebenfalls
Sch04) sollte die Halterung und die Sicherheitsabdeckung aus diesem Material bestehen. Die
für unsere Zwecke abgeschätzte maximal nötige Potentialdifferenz lag in der Größenordnung
von 20 bis 25 kV und schien uns realisierbar. Die Rohre sollten also einen Abstand von minkV
desten dmin = 25 kV/2,4 mm
≈ 10, 5 mm haben. Nach diesen Vorgaben fertigten wir eine erste
Konstruktionplanung für die Apparatur an, wie sie in Abbildung (3.1) zu betrachten ist.
Die Erzeugung der benötigten Wechselspannung gestaltete sich jedoch schwieriger als erwartet. Wir hatten nicht damit gerechnet, dass schon in diesem Spannungsbereich Nebeneffekte,
wie z.B. Sprühentladungen an Unebenheiten auf der Rohroberflächen, eine relativ große Rolle spielen können. Bei den ersten Aufbauten der Spannungsversorgung hatten wir zudem nur
27
Projektpraktikum Physik 2005
28
KAPITEL 3. DURCHFÜHRUNG
Abbildung 3.1: Die vor Beginn des Versuches geplante und in Auftrag gegebene Paulfalle aus
Heizungsrohren und Plexiglas im Raytracer visualisiert.
einen ausgedienten Zündtransformator aus einer Ölheizung zur Verfügung, der für etwa 10 kV
ausgelegt war. Zur Erdung war die Mittelanzapfung der Spule vorgesehen, um die Gefahr von
Überschlägen zu mindern. Dies ist zum Betrieb mit einer überlagerten Gleichspannung relativ
ungeeignet, da der eine Pol von Gleichspannungs-Generatoren meist schon über den Netzstecker
geerdet ist. Es hätte zwar die Möglichkeit bestanden, den Massepunkt des Transformators zu
isolieren und ungeerdet zu lassen, was aber sehr wahrscheinlich zu Überschlägen geführt hätte.
Statt dessen konnten wir noch vier Transformatoren beschaffen, die jeweils für 5 kV (einer für
6,5 kV) ausgelegt und deren Wicklungen vernünftig gegen Erde isoliert waren. Die Transformatoren wurden bei konstruktiver Phasenkopplung in Reihe geschaltet, wobei die Mitte dieser
Reihe geerdet wurde. Nun hatten wir die Gefahr von Überschlägen reduziert und es war möglich,
zusätzlich eine Gleichspannungsquelle dazwischen zu schalten (Schaltplan: s. Abbildung (3.2)).
Alle vorstehenden Gehäuse- und Metallteile, die optische Bank, sowie Abschirmungen von Kabeln, wurden geerdet. Abgesehen von der Erdung, die mit normalem Klingeldraht verkabelt
wurde, arbeitetn wir stets mit speziellem Hochspannungskabel (Koaxialkabel) aus der Elektronikwerkstatt. Als weiteres Problem stellten sich hierbei die Anschlüsse an den Metallrohren der
Paulfalle dar. Direktes Festschrauben war nicht möglich, da an den scharfen Kanten der Verschraubung besonders hohe Feldstärken aufgetreten wären, die zu Überschlägen und Sprühentladungen geführt hätten. Eine gute Möglichkeit fand sich darin, die Kabelenden auf Stücken aus
Kupferblech anzulöten, diese etwas zu verbiegen und in die Heizungsrohre zu schieben, so dass
sie fest am Rohr anlagen.
Natürlich kann man in der bisher beschriebenen Anordnung nur eine Stabilisierung in zwei
Dimensionen erreichen. In der Praxis verwendet man daher zwei abstoßend gepolte EndkappenElektroden. In unserem Aufbau sollten diese durch Ringelektroden realisiert werden. Hierfür
wurden Drähte um die Plexiglas-Halterungen gewickelt, die für diesen Zweck eine Nut erhalten
hatte. (Konstruktionsskizze: s. Abbildung (3.4))
Später stellte sich aber heraus, dass wir mit Hilfe der Ringelektrode keinen nachweisbaren Einfluß
Projektpraktikum Physik 2005
3.1. PROJEKTPROTOKOLL
29
5kV
5kV
1
2
6.5kV
3
5kV
4
Uprim
Usek
5kV
Abbildung 3.2: Schaltplan der Spannungsversorgung der Paulfalle
Abbildung 3.3: Die aus den vier Trafos erstellte Wechselspannungsquelle
Projektpraktikum Physik 2005
30
KAPITEL 3. DURCHFÜHRUNG
Abbildung 3.4: Die CAD-Skizze der Paulfalle
Projektpraktikum Physik 2005
3.1. PROJEKTPROTOKOLL
31
Abbildung 3.5: Die experimentelle Realisierung der makroskopischen Paulfalle.
auf die Partikel in der Falle ausüben konnten. Die Stabilisierung der Partikel gelang letztendlich
durch den Effekt der elektrischen Polarisation. Die Dielektrizitätskonstante von Plexiglas bei
50 Hz beträgt etwa εr = 3,6. Aus diesem Grund war der Betrag der Feldstärke zwischen den
Rohren in Bereichen der Plexiglas-Halterungen am größten und es ergab sich für die Partikel
eine abstoßende Wirkung von den Plexiglas-Halterungen weg, die dann sogar unabhängig von
dem Vorzeichen seiner Ladung war. Um den Aufenthaltsbereich der Teilchen längs der Falle
möglichst klein zu halten, plazierten wir zwei Plexiglas-Halterungen im Abstand von ca. 5 cm
voneinander. Daraus resultierte der in Abbildung (3.5) gezeigte Aufbau.
Zur weiteren Absenkung des Gefahrenpotentials, hatten wir uns eine Plexiglas-Haube für die
Anordnung bauen lassen. Außerdem sollte zwischen Hochspannungserzeugung und Paulfalle
ein Schutzwiderstand von 100 MΩ eingebaut werden, um einen möglichen Fehlerstrom auf ein
möglichst ungefährliches Maß zu senken und den Lichtbogen eines Durchschlages sofort abreißen zu lassen. Da normale Widerstände nur etwa 300 V Potentialdifferenz aushalten, mußte der
Widerstand aus hundert 1 MΩ Widerständen zusammengelötet werden. Bei einer ersten Probemessung untersuchten wir mit einem Hochspannungstastkopf, angeschlossen an einem Oszilloskop, welche Spannungen an den Rohren der Paulfalle anlagen. Der gemessene Wert betrug
etwa nur ein Zehntel des Erwartungswertes. Eine Messung ohne Widerstand lieferte in etwa
den Erwartungswert. Wir führten mit Hilfe eines Multimeters eine Kapazitätsmessung an der
Paulfalle durch. Wie wir schon befürchtet hatten, konnte der Vorwiderstand gegenüber dem
Wechselstromwiderstand der Paulfalle nicht vernachlässigt werden. Dies führte dazu, dass nicht
die ganze Spannung an der Paulfalle abfiel. Wir reduzierten den Vorwiderstand daher auf 10
MΩ, wodurch der mögliche Stromfluß weiterhin relativ ungefährlich blieb. Erneute Messungen
erbrachten, dass die Spannungen nun in der nötigen Größenordnung lag. Unter Verwendung aller vier Transformatoren fiel etwa die Hälfte der Spannung an der Paulfalle ab. Die Beziehung
1
RC = ωC
läßt hier eine grobe Schätzung der Paulfallen-Kapazität CP zu:
CP =
1
1
≈
= 0, 3(1)nF
ωR
2π · 50s−1 · 10MΩ
Projektpraktikum Physik 2005
32
KAPITEL 3. DURCHFÜHRUNG
Im Betrieb konnte man bei hohen Spannungen deutliches Knistern, als Zeichen der Vorentladungen wahrnehmen. Bei sehr hohen Spannungen kam es vereinzelt zu Überschlägen zwischen den
Rohrenden (Bereiche größter Feldstärke). Eine erste Idee zur Vermeidung der Überschläge war
das Verschieben der Plexiglas-Halterungen über die Rohrenden hinaus, so dass sich die Weglänge
zwischen ihnen vergrößerte. Diese einfache Modifikation ermöglichte noch einmal deutlich höhere
Spannungen. Das Knistern wurde dadurch jedoch nicht beseitigt und nach kurzer Zeit konnte
eine leichte Verformung auf einer Plexiglas-Halterung zwischen zwei Rohren entdeckt werden.
Vermutlich entstand sie durch einen Stromfluß auf der Oberfläche des Plexiglases, der durch
Verunreinigungen (z.B. Fett/Feuchtigkeit) begünstigt wurde. Eine sorgfältige Isolation der Rohrenden wurde nötig. Die Plexiglas-Halterungen wurde in die ursprüngliche Stellung gebracht und
die Rohrenden inkl. der Anschlußkabel vollständig mit Isolierband umwickelt. An den Rohrenden
gab es anschließend keine Überschläge mehr.
3.1.2
Erster Testlauf der Paulfalle
Dann sollte die Falle ein erstes Mal getestet werden. In der Vorbereitungsphase hatten wir nach
einigen Partikelsorten gesucht, die sich besonders gut zum Einfangen eignen. Nach Empfehlungen sollte sich dafür, neben Bärlappsporen und Styropor, Kakao hervorragend eignen. Mit
einem Pinsel wurde also aus großer Entfernung etwas Kakao in die Falle gestreut. Erst nach
Erhöhung der Dosis, als es durch die Kakaoberge“ auf den Elektroden zu Überschlägen kam,
”
meinten wir kurzzeitig einige wenige schwebende Teilchen beobachtet zu haben, waren uns jedoch nicht ganz sicher. Angesichts dieses ernüchternden Ergebnisses vermuteten wir weitere
Fehler im Versuchsaufbau. Zunächst installierten wir einen Laser in der Weise, dass sein Strahl
entlang der Paulfalle verlief (Längs-Laser), um zumindest die wenigen Teilchen in der Falle (falls
überhaupt vorhanden) deutlich sehen zu können. Erstaunlicher Weise waren schon nach dem
Wiedereinschalten der Spannungsquelle, deutlich sichtbar, viele kleine Kakaopartikel in der Falle beobachtbar. Man hatte sie bei Tageslicht, auf Grund ihrer Oszillation, mit bloßem Auge nur
nicht erkennen können. Damit war das erste Ziel erreicht.
Eine interessante Beobachtung war, dass die Partikel sich zu Clustern“ formierten, die mitein”
ander in Wechselwirkung traten. Im weiteren wurde dann auch mit anderen Materialien experimentiert. Besonders gut eignete sich auch feingemahlener Styropor. Ein Vorteil des Styropors
bestand darin, dass sich hiervon relativ große Partikel einfangen ließen.
Einen Eindruck vom Testbetrieb vermittelt Abbildung (3.6), in welcher allerdings schon die
fertige Messeinrichtung verwendet wird.
3.1.3
Weitere Verbesserung des Versuchsaufbaus
Zur Vorbereitung quantitativer Messungen wurde die Spannungsquelle geeicht. Zudem wurde
der Laser mit Hilfe einer Optik aufgeweitet und ein zweiter aufgeweiteter Laser installiert,
dessen Strahl quer durch die Falle verlief (Quer-Laser). Das von den Partikeln gestreute Licht,
wurde über eine geschickt gewählte Optik auf eine Mattscheibe projiziert und sollte von dort
abfotografiert werden. Wir stellten jedoch fest, dass die Intensität des gestreuten Lichtes nicht
ausreichend war, um die Teilchen fotografisch festzuhalten. Mit bloßem Auge konnte man sie
hingegen recht gut erkennen. Noch verbessert wurde dies durch eine stroboskopische Beleuchtung, realisiert durch eine, auf einem Computerlüfter rotierende, eingeschnittene Pappscheibe,
die in den Strahlengang des Quer-Lasers gebracht wurde. Über ein Netzgerät ließ sich die Geschwindigkeit des Lüfters so einstellen, dass eine stroboskopische Beleuchtung von ca. 50 Hz
entstand. Die Bewegung der Teilchen erschien dadurch sehr langsam oder sogar völlig eingefroren zu sein. Die Lichtintensität wurde dadurch jedoch noch weiter abgeschwächt. Gelöst wurde
Projektpraktikum Physik 2005
3.1. PROJEKTPROTOKOLL
33
Abbildung 3.6: Die Paulfalle im Testbetrieb bzw. in der Einbringphase bei den späteren quantitativen Messungen. Teilchen werden mittels eines Pinsels aus sicherer Entfernung eingebracht.
das Problem der Abbildung, indem wir nicht mehr versuchten, die Teilchen bzw. ihr Streulicht
direkt zu fotografieren. Wir benutzten den Längs-Laser entlang der Paulfalle zusammen mit der
stroboskopischen Beleuchtung, um den Schatten der eingefangenen Teilchen an die Wand in etwa 2,5 m Entfernung zu projizieren. Nach einigen verschiedenen Optikaufbauten erwies sich ein
Kameraobjektiv (Mittelformat, 80 mm Brennweite) als geeignet. Es wurde so aufgestellt, dass
der Brennpunkt kurz vor den Teilchen lag um eine möglichst starke Vergrößerung zu erreichen.
Bei großen Styroporpartikeln konnte man nun in der Projektion deutlich deren Oberflächenstruktur erkennen. Bei leichter Verstimmung der stroboskopischen Beleuchtung gegen die 50 Hz
Wechselspannung, vollführte der Partikelschatten in der Projektion eine langsame horizontale Schwingung in der sich der Partikel mit drehte, so dass man sogar einen dreidimensionalen
Eindruck von ihm bekommen konnte (s. Abbildung (3.7)).
Meist ließ es sich jedoch nicht vermeiden, dass mehrere Partikel in die Falle gelangten. Wie
schon im Theorieteil gezeigt wurde, kann man nun aus der vertikalen Positionsänderung bei
q
Variierung der Wechselspannung Rückschlüsse auf einen, zu m
der Partikel proportionalen, Wert
ziehen und dann das Teilchen nutzen um einen Punkt der Instabilität im Stabilitätsdiagramm
aufzufinden. Dies geschieht durch gezieltes Ändern von angelegter Wechsel- und Gleichspannung
bis das Teilchen die Falle verläßt. Nach diesem Prinzip begannen wir dann mit den quantitativen
Messungen. Zusätzlich wurde jeweils der durchschnittliche Durchmesser des Teilchenschattens
an der Wand ausgemessen.
Projektpraktikum Physik 2005
34
KAPITEL 3. DURCHFÜHRUNG
Abbildung 3.7: Schattenriß der Partikel invertiert und nachbearbeitet
Projektpraktikum Physik 2005
3.2. DURCHFÜHRUNG DER STABILITÄTSMESSUNGEN
gefangenes
Teilchen
Pulsgeber
35
Laser
Spiegel
Linse
Paulfalle
Lampe
Schirm
Objektiv
Abbildung 3.8: Versuchsaufbau von oben
3.2
Durchführung der Stabilitätsmessungen
Neben dem Bau der Paulfalle selbst war – wie bereits in der Einleitung erwähnt – ein erklärtes
Ziel, die theoretisch berechneten Stabilitätsbereiche (siehe z.B. Abschnitt 2.2.2) experimentell
zu bestätigen. Dazu wurde der in Abbildung (3.8) skizzierte Versuchsaufbau verwendet: Der
Laser ist auf einen fein beweglichen Spiegel gerichtet, so dass es später möglich ist, die gesammte
Paulfalle mit dem Laserstrahl auszuleuchten. Um die Bahnen der gefangenen Teilchen besser
verfolgen zu können, wird der Laserstrahl mittels eines Pulsgebers zu einer stroboskopischen
Beleuchtung. Der Pulsgeber besteht aus einem alten Prozessor-Lüfter, auf den eine an einer
Stelle eingeschnittene Pappscheibe geklebt ist. So kann der Laser auf verschiedene Frequenzen
um 25 Hz und 50 Hz gepulst werden. Der Strahl wird von einer Linse mit einer Brennweite von
12 cm aufgeweitet und verläuft dann durch die Löcher der Plexiglasscheiben also mittig durch
die Paulfalle. Er trifft auf ein gefangenes Teilchen, tritt aus der Falle und wird schließlich mit
einem Objektiv, das eine Brennweite vom 8 cm hat, auf einen Schirm abgebildet.
Eine Übersicht über den experimentellen Aufbau ist in Form eines Fotos auch in Abbildung (3.9)
zu finden.
Bei der Messung wird zunächst ein geeignetes Styropor-Teilchen in der Paulfalle gefangen. Geeignet heißt dabei, daß ein Teilchen zwar klein sein soll, da die Bahnen dieser Teilchen besser zu
beobachten sind, aber auch noch groß genug sein muß, um es mit bloßem Auge gut erkennen zu
können. Ist ein geeignetes Teilchen gefangen, wird die Wechselspannung von zunächst ca.10 kV
schrittweise abgesenkt und das Minimum der jeweiligen Bahn des Teilchens auf einem auf den
Schirm aufgeklebten Blatt markiert. Zusätzlich wird die Größe des Teilchens abgeschätzt und
notiert.
Dann wird die Wechselspannung auf einen bestimmten Wert festgelegt und an die Paulfalle eine
zusätzliche Gleichspannung, die bis maximal 5 kV hochgeregelt werden kann, angelegt.
Der Laser wird ausgeschaltet und der Bereich um das zuvor vermessene Teilchen mit einer
Lampe ausgeleuchtet. Mit bloßem Auge beobachtet man nun, bei welcher Gleichspannung, die
dabei langsam immer höher geregelt wird, das Teilchen aus der Falle fällt und notiert diesen
Gleichspannungswert.
Projektpraktikum Physik 2005
36
KAPITEL 3. DURCHFÜHRUNG
Abbildung 3.9: Übersicht über den wesentlichen Teil des Messaufbaus. Es fehlt die sich ca. vier
Meter weiter in Richtung Strahlengang befindende Projektionsfläche, an welcher die Teilchenpositionen im Laserspot bestimmt wurden.
Abbildung 3.10: Die Pacmaneinheit“. Die stroboskopische Beleuchtung wird über diesen Teil
”
des Aufbaus realisiert.
Projektpraktikum Physik 2005
Kapitel 4
Auswertung
4.1
Die Eichung der Apparatur
Vor der eigentlichen Versuchsdurchführung bzw. der anschließenden Auswertung war es nötig,
die verwendete Apparatur zu eichen. Die Eichung gliederte sich in drei Bereiche: die Eichung
der an der Paulfalle anliegenden Wechselspannung, die der anliegenden Gleichspannung und eine
Eichung der verwendeten Optik, d.h. der auf dem Schirm erzielten Vergrößerung.
4.1.1
Die Eichung der Wechselspannung
Zunächst wurde die Sekundärspannung Vs der Transformatoren in Abhängigkeit der angelegten Primärspannung Vp gemessen, und zwar versuchsweise als nur zwei Transformatoren in die
Spannungsquelle integriert waren. Es ergaben sich die Werte in Tabelle (4.1).
Diese Messungen wurden ohne Vorwiderstand durchgeführt. Bedenkt man also, dass ein nicht
unerhebliche Anteil der Spannung schon an diesem Widerstand abfällt, so war die insgesamt
erzeugbare Spannung an der Paulfalle noch zu gering. Deshalb wurden noch zwei weitere Transformatoren (aus Symmetriegründen nicht nur ein einzelner) in die Spannungsquelle eingebaut.
An diese nun wurde dann die Paulfalle gemeinsam mit dem Vorwiderstand angeschlossen und
eine Eichung durchgeführt.
Die an der Paulfalle anliegenden Wechselspannungen V2a und V2b wurden nacheinander an beiden
Rohrpaaren per Oszilloskop gemessen, und zwar in Abhängigkeit von der an die Transformatoren
Vp in V
4,90
9,31
50,0
56,5
60,9
66,7
71,3
75,5
80,8
Vs in V
239
460
2470
2820
3040
3320
3550
3770
4040
Vp in V
85,1
90,8
95,5
100,6
104,9
110,1
116,2
121,5
125,7
Vs in V
4260
4540
4770
5020
5240
5500
5810
6070
6280
Vp in V
130,8
136,4
140,4
146,6
150,4
155,5
160,0
165,4
171,3
Vs in V
6530
6820
7020
7310
7500
7760
7970
8240
8530
Vp in V
176,1
181,4
187,6
190,8
196,4
200,0
206,0
212,0
Vs in V
8770
9020
9310
9480
9730
9940
10300
10600
Tabelle 4.1: Messwerte an der Wechelspannungsquelle mit 2 Transformatoren
37
Projektpraktikum Physik 2005
38
KAPITEL 4. AUSWERTUNG
V1 in V
10,6
20,2
31,0
40,3
51,0
60,3
70,6
81,2
90,5
100,3
104,9
110,1
115,5
120,2
124,5
129,8
135,1
140,0
144,9
150,3
155,4
160,2
σV1 in V
0,4590
0,6030
0,7650
0,9045
1,0650
1,2045
1,3590
1,5180
1,6575
1,8045
1,8735
1,9515
2,0325
2,1030
2,1675
2,2470
2,3265
2,4000
2,4735
2,5545
2,6310
2,7030
V2a in V
437,0
829,0
1270,0
1650,0
2080,0
2450,0
2860,0
3290,0
3660,0
4050,0
4240,0
4440,0
4650,0
4840,0
5020,0
5230,0
5470,0
5680,0
5870,0
6070,0
6290,0
6490,0
V2b in V
69,5
262,0
664,0
1000,0
1390,0
1710,0
2050,0
2360,0
2660,0
2980,0
3130,0
3290,0
3460,0
3600,0
3730,0
3900,0
4080,0
4220,0
4370,0
4550,0
4720,0
4900,0
V2 in V
506,5
1091,0
1934,0
2650,0
3470,0
4160,0
4910,0
5650,0
6320,0
7030,0
7370,0
7730,0
8110,0
8440,0
8750,0
9130,0
9550,0
9900,0
10240,0
10620,0
11010,0
11390,0
σV2 in V
100,0
100,0
100,0
100,0
100,0
100,0
100,0
100,0
100,0
100,0
100,0
100,0
100,0
100,0
100,0
100,0
100,0
100,0
100,0
100,0
100,0
100,0
mW e
47,783
54,010
62,387
65,757
68,039
68,988
69,547
69,581
69,834
70,090
70,257
70,209
70,216
70,216
70,281
70,339
70,688
70,714
70,669
70,659
70,849
71,099
σm W e
9,659
5,207
3,575
2,888
2,422
2,157
1,949
1,792
1,691
1,608
1,576
1,541
1,509
1,484
1,464
1,441
1,425
1,408
1,390
1,373
1,362
1,353
Tabelle 4.2: Messwerte an der Wechelspannungsquelle mit 4 Transformatoren
angelegten Primärspannung V1 . Für V1 ergibt sich ein Fehler σV1 aus den Eigenschaften des
verwendeten Multimeters. Auch V2a und V2b sind nicht fehlerlos, Abweichungen ergeben sich
durch Anzeigeschwankungen des Oszilloskops, die mit jeweils 50 V veranschlagt wurden.
Gesucht ist der Eichfaktor mW e , für den gilt:
V2 = m W e · V1 ⇔ m W e =
V2
,
V1
wobei V2 = V2a + V2b die gesamte effektive Potentialdifferenz darstellt, die zwischen zwei Rohren
der Paulfalle besteht.
Aus den Messwerten ergaben sich die in Tabelle (4.2) aufgelisteten Werte für mW e .
Die ersten vier Werte für den Eichfaktor fallen niedriger aus als die übrigen. Da dieser Bereich der
Wechselspannung für die Experimente nicht genutzt wird, werden diese vier Werte im Folgenden
nicht mehr berücksichtigt. Bildet man aus den oben aufgeführten Ergebnissen für mW e den
gewichteten Mittelwert, ergibt sich:
mW e = (70, 31 ± 0, 37).
(4.1)
Zeichnet man die Messwerte und die Gerade V2 (V1 ) = 70, 31 · V1 in ein gemeinsames Koordinatensystem, so erhält man den Graphen (4.1).
4.1.2
Die Eichung der Gleichspannung
Bei der Eichung der Gleichspannung wurde die an einem Rohrpaar der Paulfalle anliegende
Gleichspannung U in Abhängigkeit von den am Gleichspannungsgerät eingestellten Werten u0
Projektpraktikum Physik 2005
4.1. DIE EICHUNG DER APPARATUR
39
Eichung der Wechselspannung
14000
Messwerte
V2 (V1 ) = 70, 31 · V1
12000
V2 in V
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
50
100
150
200
V1 in V
Abbildung 4.1: Messwerte und Eichgerade für die Wechselspannung
gemessen. Es ergaben sich die in Tabelle (4.3) augfgeführten Messwerte sowie die ebenfalls aufgelisteten Werte für den gefolgerten Eichfaktor mGl , für den
U = mGl · u0 ⇔ mGl =
U
u0
gelten soll.
Der erste Wert für den Eichfaktor fällt dabei deutlich niedriger aus als die anderen. Da der
niedrige Gleichspannungsbereich sowieso nicht genutzt werden wird, wird dieser Wert bei der
weiteren Berechnung nicht miteinbezogen. Der oben aufgeführte Fehler σU resultierte aus Ableseungenauigkeiten am Oszilloskop, er steigt mit größer werdender Spannung, da mit höherer
Spannung auch ein höherer Maßstab am Oszilloskop gewählt werden musste.
Bildet man aus den obigen Werten für mGl den gewichteten Mittelwert mit Fehler, so ergibt sich
u0 in SkE
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
U in V
390
880
1400
1800
2400
2870
3330
3800
4350
4780
σU in V
5
20
20
50
50
50
50
50
100
100
V
mGl in SkE
7,800
8,800
9,333
9,000
9,600
9,567
9,514
9,500
9,667
9,560
V
σmGl in SkE
0,100
0,200
0,134
0,250
0,200
0,167
0,143
0,125
0,223
0,200
Tabelle 4.3: Messwerte an der Gleichspannungsquelle
Projektpraktikum Physik 2005
40
KAPITEL 4. AUSWERTUNG
schließlich für den Eichfaktor der Gleichspannung:
mGl = (9, 423 ± 0, 057)
V
.
SkE
(4.2)
Trägt man nun die Messwerte mit der Geraden U (u0 ) = 9, 423·u0 in einem gemeinsamen Graphen
auf, ergibt sich der in Abbildung (4.2) dargestellte Graph.
Eichung der Gleichspannung
5000
Messwerte
U (u0 ) = 9, 423 · u0
4500
4000
U in V
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0
u in SkE
Abbildung 4.2: Messwerte und Eichgerade für die Gleichspannung
4.1.3
Die Eichung der Optik
Zur Eichung der durch den optischen Aufbau bewirkten Vergrößerung wurde die Größe z̃ 0 von
bestimmten Gegenständen auf dem Schirm bestimmt, wobei ein nicht unerheblicher Fehler σz̃0
beim Messen gemacht wurde, da der Rand der Figuren wegen Interferenzerscheinungen nicht
klar auszumachen war. Anschließend wurde noch die tatsächliche Größe z̃ bestimmt. Für den
Eichfaktor mOp gilt:
z̃ 0
z̃ 0 = mOp · z̃ ⇔ mOp = .
z̃
Aus den verschiedenen Messwerten in Tabelle (4.4) ließen sich dann Werte für mOp bestimmen.
Die letzten drei Werte, die sich aus einem relativ großen Gegenstand ergaben, fallen deutlich
niedriger aus als die restlichen. Diese Werte werden bei der folgenden Mittelwertbildung nicht
miteinbezogen, da die im Folgenden auftretenden Längen auch eher in den Bereich von nur
wenigen Zentimeteren (auf dem Schirm) fallen. Die Bildung des gewichteten Mittelwerts aus den
obenstehenden Werten ergibt für den Eichfaktor der Optik:
mOp = (44, 30 ± 0, 31).
(4.3)
Die Auftragung der Messwerte und der Geraden z̃ 0 (z̃) = 44, 30 · z̃ ergibt Abbildung (4.3).
Projektpraktikum Physik 2005
4.1. DIE EICHUNG DER APPARATUR
z̃ in mm
3,0
3,0
3,0
2,0
2,0
2,0
1,8
1,8
1,8
6,4
6,4
6,4
10,5
10,5
10,5
z̃ 0 in mm
133,5
134,0
132,0
88,5
88,8
88,1
80,7
82,9
83,7
283,0
282,0
283,0
404,0
403,0
402,0
41
σz̃0 in mm
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
mOp
44,500
44,667
44,000
44,250
44,400
44,050
44,833
46,056
46,500
44,219
44,063
44,219
38,476
38,381
38,286
σmOp
1,333
1,333
1,333
2,000
2,000
2,000
2,222
2,222
2,222
0,625
0,625
0,625
0,381
0,381
0,381
Tabelle 4.4: Messwerte für die tatsächliche Größe und die Bildgröße verschiedener Objekte
Eichung der Optik
500
Messwerte
b(g) = 44, 30 · g
450
400
z̃ 0 in mm
350
300
250
200
150
100
50
0
0
2
4
6
8
10
12
z̃ in mm
Abbildung 4.3: Messwerte und Eichgerade für die Vergrößerung durch die Optik
Projektpraktikum Physik 2005
42
4.2
KAPITEL 4. AUSWERTUNG
Vorgehensweise
Das Ziel der experimentellen Untersuchungen sollte die Ausmessung des stabilen Bereiches unserer realen Paulfalle sein. Um einen Punkt in der Stabilitätskarte (Parameter a und b) zu messen,
mußte für je ein zunächst gefangenes, also stabiles, Teilchen ein Wertepaar (a, b) gefunden werden, bei dem die Bahn gerade instabil wird. Nach der in Abschnitt (2.5.2 und 2.5.3) angegebenen
Methode muß dazu zunächst der Teilchenspezifische Parameter ε bestimmt werden, um dann
bei einer bekannten Wechselspannungsamplitude V (und damit bekanntem Parameter b) durch
langsames Vergrößern der überlagerten Gleichspannung U die Grenze des stabilen Bereiches
(zugehörigen Parameter a) zu finden.
Insgesamt wurden 34 Teilchen nach dieser Methode untersucht, davon 33 aus Styropor und eines
aus Grieß (Weizenschrot). Jedes Teilchen erhielt einen eindeutigen, dreikomponentigen Namen
der Form
[Material][Nummer][Ladung], wobei S“ Styropor und G“ Grieß bedeuten, die Ladungen mit
”
”
P“ (+) beziehungsweise N“ (-) bezeichnet sind. Die Bestimmung des Vorzeichens der Ladung
”
”
konnte bei zugeschalteter Gleichspannung durchgeführt werden, da mit Erreichen der Grenzen
für die Stabilität die Bahn der Teilchen deutlich sichtbar zwischen den diagonal gegenüberliegenden, dem Teilchen entgegengesetzt geladenen Elektroden verlief. Es stellte sich heraus, daß
alle untersuchten Teilchen positiv geladen waren.
4.3
Bestimmung des Parameters ε
Die Bestimmung des in Abschnitt (2.5.3) eingeführten Parameters ε in (2.63 und 2.65) konnte
aus einem Geradenfitting f (x) = αx+β bei Auftragung der relativen vertikalen Teilchenposition
z̃ gegen 1/V 2 berechnet werden. Es gilt wie in (2.65):
r
2g
ε=
(4.4)
α
2
mit der als konstant betrachteten Fallbeschleunigung g = 9.81m/s . Dazu mußten zunächst
die gemessenen Positionen z̃ 0 der Teilchen in der Projektion entsprechend unseres optischen
Eichfaktors Eopt umgerechnet werden, sowie die gemessenen Primärspannungen V1 entsprechend
des Wechselspannungseichfaktors Ews . Es gilt jeweils:
√
z̃ = z̃ 0 /Eopt und V = 2Ews V1 .
Die fortgepflanzten Fehler aus den Eichfaktoren wurden jeweils zur Ermittlung von α und dessen
Fehler einbezogen; das verwendete Programm zur linearen Regression (fudgit) berücksichtigt bei
der Ermittlung des Fehlers der linearen Regression auch die absoulte Größe der Fehler der Einzelmesspunkte. Es ergäben sich nun 34 Diagramme zum Nachweis der jeweiligen Messpunkte,
Regressionsgeraden und Fehler. Die Berechnungen mit fudgit wurden mit einem Skript automatisiert, so daß die entsprechenden Diagramme nie einzeln berechnet werden mußten. Anhand der
vorgelegten Werte (siehe Tabelle 4.5) sollte ersichtlich sein, daß die Wiedergabe der Auftragung
für eines der Teilchen exemplarisch für die meisten verstanden werden kann; gewählt wurde das
erste (S4P), siehe Abbildung (4.4).
Bei einigen Teilchen ergaben sich jedoch ernsthafte Abweichungen vom erwarteten Zusammenhang (soweit dies bei der stets eher kleinen Zahl an Messpunkten überhaupt festgestellt werden
kann), für diese (S8P, S21P, S23P) wurden die Auftragungen gesondert in den Abbildungen
(4.5), (4.6) und (4.7) vorgenommen. Die größten Fehler in α ergaben sich hingegen für S33P,
S24P, S35P und S31P (in dieser Reihenfolge), mit jeweils über 30%. Die Abbildungen (4.8), (4.9),
Projektpraktikum Physik 2005
4.4. BESTIMMUNG DER WERTEPAARE (A, B) IN DER STABILITÄTSKARTE
0.003
43
umgerechnete Messpunkte Teilchen S4P
Regressionsgerade
0.0025
0.002
z in [m]
0.0015
0.001
0.0005
0
-0.0005
3e-09
4e-09
5e-09
7e-09
6e-09
1/V^2 in [1/Volt^2]
8e-09
9e-09
1e-08
Abbildung 4.4: Zur Ermittlung von α am Beispiel des Teilchens S4P.
(4.10) und (4.11) machen deutlich, daß hier vor allem der große absolute Fehler der einzelnen
Messpunkte ausschlaggebend ist.
Gemäs (4.4) ergeben sich schließlich Werte und Fehler für den gesuchten Parameter ε. Tabelle
(4.5) stellt die Ergebnisse soweit zusammen.
4.4
Bestimmung der Wertepaare (a, b) in der Stabilitätskarte
Zur Ermittlung der Parameter a und b im Stabilitätsdiagramm wurde nun bei einer ausgewählten
Wechselspannungsamplitude V eine Gleichspannung U überlagert. Entscheidend für die Grenze
im Stabilitätsdiagramm ist dabei die Spannung U , bei der das Teilchen jeweils gerade instabil
wurde (und herausfiel). Entsprechend des Gleichspannungseichfaktors Egs sowie wiederum Ews
für die Wechselspannungsamplitude V gilt
√
U = u0 Egs und V = 2V1 Ews
mit der in Skalenteilen abgelesenen Grenzgleichspannung u0 . Die angenommenen Ablesefehler
und Fehler in den Eichfaktoren wurden wiederum berücksichtigt. Anhand Gleichung (2.62) ergaben sich so die in Tabelle (4.7) aufgelisteten Werte. Zur besseren Nachvollziehbarkeit wurden
in Tabelle (4.6) die Wertepaare (V, U ) zur Bestimmung der Stabilitätsgrenzen für die einzelnen
Teilchen zusammengetragen. Die angegebenen Fehler in V1 und u0 sind von uns angenommene
Ablese- beziehungsweise Einstell-Fehler. Ablesefehler
Zur Veranschaulichung dieser Messergebnisse dienen die beiden Abbildungen (4.12) und (4.13).
Einen Überblick über die Lage jedes der 34 Teilchen bezüglich der theoretische berechneten
Projektpraktikum Physik 2005
44
KAPITEL 4. AUSWERTUNG
0.0018
umgerechnete Messpunkte S8P
Regressionsgerade
0.0016
0.0014
0.0012
z in [m]
0.001
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
0
-0.0002
-0.0004
3.4e-09 3.5e-09 3.6e-09 3.7e-09 3.8e-09 3.9e-09 4e-09 4.1e-09 4.2e-09 4.3e-09 4.4e-09 4.5e-09
1/V^2 in [1/Volt^2]
Abbildung 4.5: Ermittlung von α des Teilchens S8P.
0.0035
umgerechnete Messpunkte S21P
Regressionsgerade
0.003
0.0025
z in [m]
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
-0.0005
4e-09
6e-09
8e-09
1e-08
1/V^2 in [1/Volt^2]
1.2e-08
1.4e-08
1.6e-08
Abbildung 4.6: Ermittlung von α des Teilchens S21P.
Projektpraktikum Physik 2005
4.4. BESTIMMUNG DER WERTEPAARE (A, B) IN DER STABILITÄTSKARTE
0.0025
umgerechnete Messpunkte S23P
Regressionsgerade
0.002
z in [m]
0.0015
0.001
0.0005
0
-0.0005
1e-08
1.5e-08
3e-08
2.5e-08
1/V^2 in [1/Volt^2]
2e-08
3.5e-08
4e-08
4.5e-08
Abbildung 4.7: Ermittlung von α des Teilchens S23P.
0.001
umgerechnete Messpunkte S33P
Regressionsgerade
0.0008
0.0006
z in [m]
0.0004
0.0002
0
-0.0002
-0.0004
3.8e-09
4e-09
4.2e-09
4.4e-09
4.6e-09 4.8e-09
1/V^2 in [1/Volt^2]
5e-09
5.2e-09
5.4e-09
5.6e-09
Abbildung 4.8: Ermittlung von α des Teilchens S33P.
Projektpraktikum Physik 2005
45
46
KAPITEL 4. AUSWERTUNG
0.0012
umgerechnete Messpunkte S24P
Regressionsgerade
0.001
0.0008
z in [m]
0.0006
0.0004
0.0002
0
-0.0002
-0.0004
1e-08
1.5e-08
2e-08
2.5e-08
1/V^2 in [1/Volt^2]
3e-08
3.5e-08
4e-08
Abbildung 4.9: Ermittlung von α des Teilchens S24P.
0.0012
umgerechnete Messpunkte S35P
Regressionsgerade
0.001
0.0008
z in [m]
0.0006
0.0004
0.0002
0
-0.0002
-0.0004
5e-09 5.2e-09 5.4e-09 5.6e-09 5.8e-09 6e-09 6.2e-09 6.4e-09 6.6e-09 6.8e-09 7e-09 7.2e-09
1/V^2 in [1/Volt^2]
Abbildung 4.10: Ermittlung von α des Teilchens S35P.
Projektpraktikum Physik 2005
4.4. BESTIMMUNG DER WERTEPAARE (A, B) IN DER STABILITÄTSKARTE
Name
S4P
S5P
S6P
S7P
S8P
S10P
S11P
S12P
S13P
S14P
S15P
S16P
S17P
S18P
S19P
S20P
S21P
S22P
S23P
S24P
S25P
S26P
S27P
S28P
S29P
S30P
S31P
S32P
S33P
S34P
S35P
S36P
S37P
G1P
n
8
10
8
8
6
8
9
9
8
7
8
9
8
6
7
10
9
8
6
7
7
6
7
8
8
7
7
7
6
6
5
7
7
7
α in [103 · V2 m]
413.19 ± 45.41
285.28 ± 30.89
389.05 ± 49.74
484.20 ± 49.67
1490.15 ± 276.60
280.01 ± 28.32
208.00 ± 22.49
287.44 ± 35.26
216.08 ± 43.77
366.63 ± 54.34
278.21 ± 43.66
182.68 ± 35.43
95.68 ± 17.69
238.54 ± 69.03
309.16 ± 53.73
396.03 ± 30.83
279.03 ± 21.67
200.18 ± 16.94
57.87 ± 9.61
27.86 ± 9.21
306.85 ± 38.11
879.84 ± 154.99
502.48 ± 56.53
1738.88 ± 26.04
100.44 ± 21.81
396.38 ± 101.45
262.56 ± 79.39
281.21 ± 68.05
444.35 ± 165.74
568.43 ± 123.44
466.94 ± 152.02
322.95 ± 68.38
243.02 ± 62.30
442.02 ± 80.52
σα /α
11.0%
10.8%
12.8%
10.3%
18.6%
10.1%
10.8%
12.3%
20.3%
14.8%
15.7%
19.4%
18.5%
28.9%
17.4%
7.8%
7.8%
8.5%
16.6%
33.0%
12.4%
17.6%
11.2%
1.5%
21.7%
25.6%
30.2%
24.2%
37.3%
21.7%
32.6%
21.2%
25.6%
18.2%
ε in [103 ·Vm/s]
6.89 ± 0.38
8.29 ± 0.45
7.10 ± 0.46
6.37 ± 0.33
3.63 ± 0.34
8.37 ± 0.43
9.71 ± 0.53
8.26 ± 0.51
9.53 ± 0.97
7.32 ± 0.55
8.40 ± 0.66
10.36 ± 1.01
14.32 ± 1.33
9.07 ± 1.32
7.97 ± 0.70
7.04 ± 0.28
8.39 ± 0.33
9.90 ± 0.42
18.41 ± 1.53
26.54 ± 4.39
8.00 ± 0.50
4.72 ± 0.42
6.25 ± 0.36
3.36 ± 0.03
13.98 ± 1.52
7.04 ± 0.91
8.64 ± 1.31
8.35 ± 1.02
6.64 ± 1.24
5.88 ± 0.64
6.48 ± 1.06
7.79 ± 0.83
8.99 ± 1.16
6.66 ± 0.61
47
σε /ε
5.5%
5.4%
6.4%
5.1%
9.3%
5.1%
5.4%
6.1%
10.1%
7.4%
7.8%
9.7%
9.2%
14.5%
8.7%
3.9%
3.9%
4.2%
8.3%
16.5%
6.2%
8.8%
5.6%
0.7%
10.9%
12.8%
15.1%
12.1%
18.6%
10.9%
16.3%
10.6%
12.8%
9.1%
Tabelle 4.5: Geradensteigungen α und daraus errechneter Parameter ε, mit der Zahl n der jeweils
ausgewerteten Messpunkte. σα und σε bezeichnen die jeweiligen Fehler in α beziehungsweise ε.
Projektpraktikum Physik 2005
48
KAPITEL 4. AUSWERTUNG
Name
S4P
S5P
S6P
S7P
S8P
S10P
S11P
S12P
S13P
S14P
S15P
S16P
S17P
S18P
S19P
S20P
S21P
S22P
S23P
S24P
S25P
S26P
S27P
S28P
S29P
S30P
S31P
S32P
S33P
S34P
S35P
S36P
S37P
G1P
V1 in [V]
99.9 ± 1.0
90.1 ± 1.0
110.1 ± 1.0
100.0 ± 1.0
170.0 ± 1.0
161.2 ± 1.0
159.0 ± 1.0
140.0 ± 1.0
130.2 ± 1.0
120.3 ± 1.0
135.0 ± 1.0
125.1 ± 1.0
70.0 ± 1.0
115.1 ± 1.0
145.3 ± 1.0
94.8 ± 1.0
139.7 ± 1.0
143.0 ± 1.0
143.0 ± 1.0
69.0 ± 1.0
109.4 ± 1.0
190.0 ± 1.0
139.1 ± 1.0
114.5 ± 1.0
80.1 ± 1.0
149.9 ± 1.0
110.4 ± 1.0
126.5 ± 1.0
170.0 ± 1.0
125.4 ± 1.0
111.0 ± 1.0
100.6 ± 1.0
100.1 ± 1.0
125.2 ± 1.0
V in [kV]
9.93 ± 0.12
8.96 ± 0.12
10.95 ± 0.12
9.94 ± 0.12
16.90 ± 0.14
16.03 ± 0.14
15.81 ± 0.13
13.92 ± 0.13
12.95 ± 0.13
11.96 ± 0.12
13.42 ± 0.13
12.44 ± 0.12
6.96 ± 0.11
11.44 ± 0.12
14.45 ± 0.13
9.43 ± 0.12
13.89 ± 0.13
14.22 ± 0.13
14.22 ± 0.13
6.86 ± 0.11
10.88 ± 0.12
18.89 ± 0.15
13.83 ± 0.13
11.39 ± 0.12
7.96 ± 0.11
14.91 ± 0.13
10.98 ± 0.12
12.58 ± 0.12
16.90 ± 0.14
12.47 ± 0.12
11.04 ± 0.12
10.00 ± 0.12
9.95 ± 0.12
12.45 ± 0.12
u0 in [Skt]
174 ± 10
142 ± 10
110 ± 10
52 ± 10
128 ± 10
172 ± 10
362 ± 10
250 ± 10
231 ± 10
191 ± 10
202 ± 10
182 ± 10
118 ± 10
212 ± 10
191 ± 10
104 ± 10
232 ± 10
0 ± 10
0 ± 10
76 ± 10
168 ± 10
110 ± 10
182 ± 10
220 ± 10
224 ± 10
410 ± 10
185 ± 10
260 ± 10
190 ± 10
40 ± 10
40 ± 10
17 ± 10
95 ± 10
75 ± 10
U in [V]
1640 ± 95
1338 ± 95
1037 ± 95
490 ± 95
1206 ± 95
1621 ± 95
3411 ± 97
2356 ± 96
2177 ± 96
1800 ± 95
1903 ± 95
1715 ± 95
1112 ± 95
1998 ± 96
1800 ± 95
980 ± 95
2186 ± 96
0 ± 95
0 ± 95
716 ± 95
1583 ± 95
1037 ± 95
1715 ± 95
2073 ± 96
2111 ± 96
3863 ± 98
1743 ± 95
2450 ± 96
1790 ± 95
377 ± 95
377 ± 95
160 ± 95
895 ± 95
707 ± 95
Tabelle 4.6: Wechselspannungsamplitude V und Grenzgleichspannung U aus den abgelesenen
beziehungsweise eingestellten Werten.
Projektpraktikum Physik 2005
4.4. BESTIMMUNG DER WERTEPAARE (A, B) IN DER STABILITÄTSKARTE
Name
S4P
S5P
S6P
S7P
S8P
S10P
S11P
S12P
S13P
S14P
S15P
S16P
S17P
S18P
S19P
S20P
S21P
S22P
S23P
S24P
S25P
S26P
S27P
S28P
S29P
S30P
S31P
S32P
S33P
S34P
S35P
S36P
S37P
G1P
a in [V2 m]
0.144 ± 0.012
0.141 ± 0.013
0.094 ± 0.011
0.040 ± 0.008
0.056 ± 0.007
0.173 ± 0.014
0.422 ± 0.026
0.248 ± 0.019
0.264 ± 0.030
0.168 ± 0.016
0.204 ± 0.019
0.226 ± 0.026
0.203 ± 0.026
0.231 ± 0.036
0.183 ± 0.019
0.088 ± 0.010
0.233 ± 0.014
0.000 ± 0.012
0.000 ± 0.023
0.242 ± 0.052
0.161 ± 0.014
0.062 ± 0.008
0.136 ± 0.011
0.089 ± 0.005
0.376 ± 0.045
0.346 ± 0.046
0.192 ± 0.031
0.261 ± 0.034
0.151 ± 0.030
0.028 ± 0.008
0.031 ± 0.010
0.016 ± 0.010
0.102 ± 0.017
0.060 ± 0.010
σa /a
8.0%
8.9%
11.1%
19.9%
12.1%
7.7%
6.1%
7.3%
11.0%
9.1%
9.3%
11.2%
12.6%
15.2%
10.2%
10.4%
5.8%
0.0%
0.0%
21.1%
8.6%
12.7%
7.9%
4.6%
11.8%
13.0%
16.1%
12.7%
19.4%
27.3%
29.8%
59.8%
16.6%
16.2%
b in [V2 m]
0.436 ± 0.025
0.473 ± 0.027
0.495 ± 0.033
0.403 ± 0.022
0.390 ± 0.037
0.854 ± 0.044
0.978 ± 0.054
0.732 ± 0.046
0.785 ± 0.080
0.557 ± 0.042
0.718 ± 0.057
0.821 ± 0.080
0.635 ± 0.060
0.661 ± 0.096
0.733 ± 0.064
0.422 ± 0.018
0.742 ± 0.030
0.896 ± 0.039
1.667 ± 0.140
1.159 ± 0.193
0.554 ± 0.035
0.568 ± 0.051
0.550 ± 0.032
0.243 ± 0.004
0.709 ± 0.078
0.668 ± 0.086
0.604 ± 0.092
0.669 ± 0.082
0.715 ± 0.134
0.466 ± 0.051
0.455 ± 0.075
0.496 ± 0.053
0.569 ± 0.074
0.528 ± 0.049
49
σb /b
5.6%
5.6%
6.5%
5.3%
9.3%
5.1%
5.5%
6.2%
10.2%
7.5%
7.9%
9.7%
9.4%
14.5%
8.7%
4.1%
4.0%
4.3%
8.3%
16.6%
6.3%
8.8%
5.7%
1.3%
10.9%
12.8%
15.2%
12.1%
18.7%
10.9%
16.3%
10.6%
12.9%
9.2%
Tabelle 4.7: Bestimmung der Messpunkte (a, b) für die jeweiligen Teilchen im Stabilitätsdiagramm.
Projektpraktikum Physik 2005
50
KAPITEL 4. AUSWERTUNG
0.0012
umgerechnete Messpunkte S31P
Regressionsgerade
0.001
0.0008
z in [m]
0.0006
0.0004
0.0002
0
-0.0002
-0.0004
5e-09
5.5e-09
6e-09
7e-09
6.5e-09
1/V^2 in [1/Volt^2]
7.5e-09
8e-09
8.5e-09
Abbildung 4.11: Ermittlung von α des Teilchens S31P.
Kurve zeigt dabei Abbildung (4.12), Abbildung (4.13) beschränkt sich auf den Bereich nahe
an der theoretischen Kurve. Die jeweiligen Fehler sind mit eingezeichnet. Gegenüber Abbildung
(4.12) fehlen in (4.13) lediglich die 5 Teilchen S11P, S23P, S24P, S29P und S30P.
4.5
Bestimmung von q/m
Aus der Definition von ε (2.63) folgt ein Zusammenhang zwischen der spezifischen Ladung q/m
der untersuchten Teilchen und dem charakteristischen Parameter r0 der Paulfalle. Bei der idealen Paulfalle (mit hyperboloiden Grenzflächen der Elektroden) beträgt der diagonale Abstand
gegenüberliegender Elektroden gerade 2r0 . Für unsere Paulfalle nahmen wir einen Wert von
r0 = (0.01 ± 0.003)m an. Insbesondere die Wahl des Fehlers in r0 erfolgte dabei einigermaßen willkürlich, da neben dem Messfehler des diagonlen Elektrodenabstandes auch die Abweichung von der idealen Elektrodenform irgendwie“ berücksichtigt werden sollte. Die meisten
”
Teilchen wurden zudem in der Projektion abgezeichnet, um eine etwaige Größenbestimmung
durchzuführen. Die in Tabelle (4.8) zusammengestellten Werte für Radius r (der idealerweise als
Kugeln angenommenen Teilchen) und spezifische Ladung q/m erheben also keinerlei Anspruch;
sie dienen lediglich dem mehr oder weniger gefühlsmäßigen Vergleich. Dennoch wurde die Fehlerfortpflanzung in allen fehlerbehafteten Größen mit der üblichen Genauigkeit durchgeführt.
Projektpraktikum Physik 2005
4.5. BESTIMMUNG VON Q/M
51
0.45
Messpunkte mit x- und y- Fehlern
S11P
theoretische
Grenze des stabilen Bereiches.
0.4
S29P
0.35
S30P
Parameter a
0.3
S13P
S32P
0.25
S12P
S24P
S18P S21P S16P
0.2
S17P
S31P
S15P
S19P
S10P
S14P
S25P
0.15
S33P
S4PS5P
0.1
S27P
S37P
S28P
S20P
S6P
G1PS26P
S8P
0.05
S7P
S34P
S36P
0
S22P
S35P
S23P
-0.05
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Parameter b
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Abbildung 4.12: Grenzen des stabilen Bereiches unserer Paulfalle, aus den Daten aller untersuchten Teilchen. Die Fehlerbereiche sind durch Kästen eingezeichnet.
Projektpraktikum Physik 2005
52
KAPITEL 4. AUSWERTUNG
0.3
Messpunkte mit x- und y- Fehlern
theoretische Grenze des stabilen Bereiches.
S13P
S32P
0.25
S12P
S21P
S18P
S17P
0.2
S16P
S15P
S31P
Parameter a
S19P
S10P
S14P
S25P
0.15
S33P
S4P
S5P
S27P
0.1
S37P
S6P
S28P
S20P
G1P
S8P
0.05
S26P
S7P
S34P
S36P
0
S35P
0
0.1
0.2
0.3
0.5
0.4
Parameter b
S22P
0.6
0.7
0.8
0.9
Abbildung 4.13: Ausschnitt aus der Stabilitätskarte. Geplottet wurde nur in der Nähe des theoretisch erwarteten Bereiches der idealen Paulfalle.
Projektpraktikum Physik 2005
4.5. BESTIMMUNG VON Q/M
Name
S4P
S5P
S6P
S7P
S8P
S10P
S11P
S12P
S13P
S14P
S15P
S16P
S17P
S18P
S19P
S20P
S21P
S22P
S23P
S24P
S25P
S26P
S27P
S28P
S29P
S30P
S31P
S32P
S33P
S34P
S35P
S36P
S37P
G1P
r in [µm]
174 ± 47
0±0
0±0
312 ± 26
312 ± 26
312 ± 26
191 ± 43
233 ± 35
156 ± 52
156 ± 52
151 ± 54
114 ± 72
110 ± 74
145 ± 56
161 ± 51
0±0
127 ± 64
0±0
0±0
114 ± 72
221 ± 37
337 ± 25
156 ± 52
114 ± 72
159 ± 52
205 ± 40
248 ± 33
145 ± 56
161 ± 51
337 ± 25
201 ± 41
201 ± 41
161 ± 51
156 ± 52
53
σr /r
26.7%
0.0%
0.0%
8.3%
8.3%
8.3%
22.2%
14.9%
33.3%
33.3%
35.7%
62.5%
66.7%
38.5%
31.2%
0.0%
50.0%
0.0%
0.0%
62.5%
16.7%
7.1%
33.3%
62.5%
32.3%
19.2%
13.2%
38.5%
31.2%
7.1%
20.0%
20.0%
31.2%
33.3%
q/m in [µC/kg]
216 ± 131
261 ± 157
223 ± 135
200 ± 121
114 ± 70
263 ± 159
305 ± 184
260 ± 157
299 ± 183
230 ± 139
264 ± 160
326 ± 198
450 ± 274
285 ± 176
250 ± 152
221 ± 133
263 ± 159
311 ± 188
578 ± 351
834 ± 519
251 ± 152
148 ± 90
196 ± 119
106 ± 64
439 ± 268
221 ± 136
272 ± 169
262 ± 161
209 ± 132
185 ± 113
204 ± 127
245 ± 150
282 ± 174
209 ± 128
σq/m
60.3%
60.2%
60.3%
60.2%
60.7%
60.2%
60.2%
60.3%
60.8%
60.5%
60.5%
60.8%
60.7%
61.7%
60.6%
60.1%
60.1%
60.1%
60.6%
62.2%
60.3%
60.6%
60.3%
60.0%
61.0%
61.3%
61.9%
61.2%
62.8%
61.0%
62.2%
60.9%
61.4%
60.7%
Tabelle 4.8: Ungefähre Radien r und spezifische Ladungen q/m der untersuchten Teilchen.
Projektpraktikum Physik 2005
54
KAPITEL 4. AUSWERTUNG
Projektpraktikum Physik 2005
Kapitel 5
Diskussion
5.1
Erfolg der Messungen
Bereits rein qualitativ kann das Experiment als gelungen bezeichnet werden: Der verwendete
Aufbau eignete sich tatsächlich zum Festhalten und in gewissem Maße Einfangen makroskopischer Teilchen (im Bereich einiger Hundert µm, siehe Tabelle 4.8) unter realen Bedingungen.
Die Schwierigkeiten bestanden eher darin, nur genau ein Teilchen für die Messungen festzuhalten, beziehungsweise ausgewählte Teilchen einzufangen. Die verwendete Methode (eine große
Menge Styroporstaub abreiben und in die Falle rieseln lassen) schien unter den möglichen zwar
die beste zu sein; der Erfolg, ein für geeignet befundenes Teilchen auf diese Weise festzuhalten,
war aber eher zufällig. Ausreichend geladene Teilchen neigten eher dazu, von der Plexiglashaube
angezogen oder abgestoßen zu werden (statt in die Fallenmitte zu fallen), andererseits waren die
meisten durchrieselnden Teilchen zu wenig geladen, um eingefangen zu werden. Möglicherweise
könnte eine geeignete Vorrichtung zum direkten Einführen eines Partikels in die Mitte (ohne den
Umweg, von oben hineinzurieseln) diese Schwierigkeiten beseitigen.
Neben diesem ersten Versuchsziel war es von Anfang an unser Hauptanliegen, mit geeigneten Probeteilchen den stabilen Bereich unserer Paulfalle auszumessen, und dessen Grenzen mit denen aus
der numerischen Berechnung bzw. der Simulation zu vergleichen. Zu unserer Überraschung gelang auch dies in großer Übereinstimmung mit der Theorie, wie schon Abbildung (4.12) vermuten
läßt. Zwar erscheinen die Fehlerbereiche auf den ersten Blick recht groß, was aber in Anbetracht
der Möglichkeiten nicht verwundert. Bereits die optische Eichung der Apparatur erzeugte einige
Schwierigkeiten, da die Abbildungen der Objekte maßgeblich durch Beugungserscheinungen an
deren Kanten gekennzeichnet waren. Die Eichungen der beiden Spannungsquellen (Gleich- und
Wechselspannung) ergab deutlich den linearen Zusammenhang, so daß hier kaum Fehlerquellen zu suchen sind; vielmehr die beschriebene Methode zur Bestimmung des Parameters ε trug
maßgeblich zu größeren Fehlern bei. Zum einen war die Zahl der Messpunkte stets eher klein
(zwischen 6 und 10, bei S35P nur 5), vor allem aber die Messbarkeit der Höhenverschiebung
in der Projektion trotz stroboskopischer Beleuchtung verhältnismäßig ungenau. Die Teilchen
vollführten neben der durch die 50 Hz der Wechselspannung hervorgerufenen Oszillation eine
eher statistische Mikrobewegung, zappelten und hielten nur selten still. Größere, nicht kugelsymetrische Teilchen neigten dazu, je nach eingestellter Wechselspannung verschiedene räumliche
Lagen zu bevorzugen, zwischen denen sie beim Überschreiten bestimmter Spannungswerte wechselten. Die Messung der ohnehin eher kleinen Verschiebungen wurde dadurch erschwert. Einige
Teilchen verfügten über eine sehr unregelmäßige Oberflächenstruktur, so daß sie während ihrer
Drehungen in der Falle verschiedene Gestalten in der Projektion annahmen. Die im Besonderen
55
Projektpraktikum Physik 2005
56
KAPITEL 5. DISKUSSION
betroffenen Teilchen finden diesbezüglich bereits in der Auswertung Erwähnung.
Die so untersuchten und angeführten Fehler sind, auf die Paulfalle als ganzes bezogen, statistische Fehler, die in gewohnter Weise bei allen Rechnungen berücksichtigt wurden. Systematische
Abweichungen von der idealen Paulfalle unter Einfluss der Reibung wurden bereits in der Theorie erörtert und führen zu den in Abbildung (2.5) gezeichneten Kurven. Da die Art der Reibung
aufgrund der sehr verschiedenen Teilchenformen und -oberflächen bei unseren Untersuchungen
nicht einheitlich waren, konnten wir diese Effekte bei der eigentlichen Auswertung leider nicht
berücksichtigen (wir hätten, um es genau zu machen, dazu von jedem untersuchten Teilchen
etwa per Fallexperiment die Reibung ermitteln müssen; nach erfolgter Stabilitätsmessung waren
die Teilchen aber für gewöhnlich schlicht verschwunden im Berg der einfach durchgerieselten,
vor der Messung konnte nicht klar sein, welches Teilchen gefangen würde). Dennoch ist deutlich
eine Verschiebung der Stabilitätsgrenze in Richtung gröserer Werte für (a, b) zu sehen, eine Beobachtung, die sich grob mit den von uns gemessenen Werten deckt. Generell ist bei größerer
Reibung und kleinerem a ein zu frühes“ Herausfallen zu erwarten, sowie bei größerem a ein zu
”
”
spätes“. Hinzu kommen jedoch gerade bei den zu früh herausgefallenen Teilchen nicht elektrodynamische Effekte wie Luftbewegungen (die Grenze des stabilen Bereiches wurde ja gemessen,
indem auf das Herausfallen des Teilchens gewartet wurde, was eben auch durch einen Windstoß
beschleunigt werden konnte). Die drei Teilchen S22P, S23P, S35P liegen auf der a-Achse, also
b = 0. Hier fielen die Teilchen also bereits ohne eingeschalteter Gleichspannung heraus, nachdem
auf das gewünschte Wechselspannungsniveau geregelt wurde. Vermutlich hat dieses Herausfallen
nichts mit elektrodynamischen Instabilitäten zu tun und ist eher zufällig, der Vollständigkeit
halber sind sie dennoch aufgeführt. Recht deutlich zeigen unsere Ergebnisse den instabilen Bereich in der Nähe kleiner b und größer werdender a. Teilchen S28P scheint zwar eine Ausnahme
zu machen, im Ganzen geben die Messpunkte am linken Rand der Kurve aber qualitativ recht
deutlich den erwarteten Verlauf wieder.
Schließlich macht auch Abbildung (4.13), welche ebenfalls unsere Stabilitätskarte lediglich unter
Auslassung der 5 Partikel S11P, S23P, S24P, S29P und S30P zeigt, nocheinmal deutlich, daß
unsere Messungen sowohl die Größenordnung, als auch den qualitativen Verlauf der Stabilitätsgrenzen, wie per Simulation vorhergesagt wiedergeben.
5.2
Ausblick
Um den Stabilitätsbereich noch besser zu bestätigen, sind einige Erweiterungen denkbar, die
wir teilweise auch angestrebt hatten, jedoch mit unseren Mitteln nicht zu realisieren waren.
Grundsätzlich wäre eine Spannungsquelle mit variabler Frequenz sehr sinnvoll, da sie neben
Betrag von Gleich- und Wechselspannung, einen weiteren Parameter zur Beeinflussung der Teilchenbewegung bietet. Es wäre z.B. möglich die gefangenen Teilchen über die Frequenz der Wechselspannung instabil zu machen.
Um die Fehlerquelle Luftströmung zu mindern, könnte man die komplette Apparatur in eine von
der Umwelt isolierte Atmosphäre einschließen. Wenn möglich wäre eine Atmosphäre aus einem
Gas mit hoher Durchschlagsfestigkeit hilfreich (evtl. einfach trockenere Luft). Zum einen würde
das den Ladungsverlust der Teilchen durch Luftfeuchtigkeit herabsetzen, zum anderen könnten
höhere Gesamtspannungen erreicht und somit unabhängig vom Ladung-Masse-Verhältnis des
Teilchens ein beliebiger Punkt der Instabilität anvisiert werden. Wir mußten teilweise einen
Punkt der Instabilität ausfindig machen, den wir noch erreichen konnten, bevor Überschläge
auftreten würden.
Interessant wäre eine Möglichkeit zur genaueren Festlegung von q/m. In ähnlichen Versuchen
werden hier Piezo-Injektoren verwendet, die geladene Flüssigkeitströpfchen erzeugen. Die Tröpfchen werden vor dem Ablösen zwischen zwei kleinen geladenen Kondensatorplatten polarisiert,
Projektpraktikum Physik 2005
5.2. AUSBLICK
57
so dass das Tröpfchen auf Grund von Influenz beim Ablösen seine Ladung erhält. Die Ladung
ist hierbei relativ konstant und kann daher geeicht werden.
Es könnten hier auch schon etwas homogenere Probekörper Verbesserung schaffen. Wäre z.B.
die Luftreibung für alle Teilchen annähernd gleich, so könnten die Reibungsparameter aus Fallexperimenten gewonnen werden. Eventuell lassen sich auch Probekörper finden, die bzgl. q/m
relativ homogen sind.
Im weiteren sollte sich auch noch die Optik des Versuches verbessern lassen. So könnte z.B.
ein Laser mit noch höherer Intensität (> Laserklasse 2) installiert werden, der deutliche Aufnahmen der Teilchenschatten möglich machen würde. Damit müßte es dann auch gelingen die
Teilchenbahnen auf Film festzuhalten und auszuwerten.
Man kann die Probekörper aber auch noch hinsichtlich anderer Eigenschaften untersuchen. Die
Möglichkeiten der makroskopischen Paulfalle wurden auch hier bei weitem nicht ausgeschöpft. So
besteht eine Möglichkeit darin, Messungen über den Effekt der Mie-Streuung zu machen, wenn
man das Konzept der stroboskopischen Beleuchtung beibehält, um die Teilchen effektiv ruhig zu
halten. Mit der Mie-Streuung wäre es möglich, Flüssigkeitströpfchen genau zu vermessen und
entsprechend damit zu experimentieren, vielleicht um thermodynamische Effekte zu untersuchen.
Dies wäre insbesondere interessant, im Rahmen von Untersuchungen zum Verdunstungsverhalten
der Flüssigkeiten zu gegebenen Umgebungsbedingungen (Luftfeuchte, Temperatur, . . . ), da hier
recht klar definierte Parameter möglich sind.
Auch in diesem Rahmen besteht eine Möglichkeit darin, vernünftige Beschleunigungsspannungen
in Längsrichtung zu installieren, um die getesteten Teilchen gezielt interagieren zu lassen.
Ein Punkt, auf den hier nicht näher eingegangen wurde, ist die interessante Clusterbildung, die
sich bei vielen eingestreuten Teilchen in Längsrichtung der Paulfalle ergibt. Diese könnte man
noch genauer auf Regelmäßigkeiten untersuchen.
Interessant wäre weiter die Ersetzung der montagebedingten Plexiglasscheiben durch Materialien
mit längsgerichtetem Gradienten in der Dielektrizitätszahl. Damit lassen sich aufgrund des resultierenden effektiven Potentials Beschleunigungen erreichen bzw. entsprechend geformte effektive
Potentiale, deren Verhalten man dann untersuchen kann.
Projektpraktikum Physik 2005
58
KAPITEL 5. DISKUSSION
Projektpraktikum Physik 2005
Kapitel 6
Anhang
6.1
Programme
Listing 6.1: Programm zur Mathieustabilität unter Verwendung von Alg. 721
1
2
3
#include<s t d i o . h>
#include<s t d l i b . h>
#include<s t r i n g . h>
4
5
6
#include ” 7 2 1 . c ” // bad s t y l e , b u t ok b e c a u s e i t was
// auto−g e n e r a t e d from 7 2 1 . f
7
8
9
10
11
12
13
14
i n t main ( i n t argc , char ∗ argv [ ] ) {
d o u b l e r e a l anu , q , a ;
i n t e g e r ia0b1 , i v e c ;
d o u b l e r e a l amurd ;
i n t e g e r n l e v , method ;
d o u b l e r e a l ∗ vec = m a l l o c ( 1 0 0 0 0 ) ;
integer i b i t , ic0 , ncof ;
15
16
17
18
19
i f ( argc ! = 3 ) {
p r i n t f ( ”USAGE: % s ( ’ a ’ | ’ b ’) < o r d e r >\n” , argv [ 0 ] ) ;
exit (0);
}
20
21
i n t o r d e r = a t o i ( argv [ 2 ] ) ;
22
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30
i f ( strcmp ( argv [ 1 ] , ” a ” ) == 0)
ia0b1 = 0;
e l s e i f ( strcmp ( argv [ 1 ] , ”b” ) == 0)
ia0b1 = 1;
else {
p r i n t f ( ”USAGE: % s ( ’ a ’ | ’ b ’) < o r d e r >\n” , argv [ 0 ] ) ;
exit (0);
}
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33
#i f n d e f EPS
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KAPITEL 6. ANHANG
#define EPS 0 . 0 0 1
#endif
/∗ a c c u r a c y o f p l o t ∗/
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f o r ( q = −15; q <= 15; q = q + EPS ) {
// p r i n t some o f t h e f u n c t i o n s :
anu = o r d e r ; // o r d e r
i v e c = 1 ; // y e s t o e i g e n v a l u e s .
m t i e u 2 (&anu , & q , & a , & ia0b1 , & i v e c , & amurd , & n l e v ,
&method , vec , & i b i t , & i c 0 , & n c o f ) ;
p r i n t f ( ”%l f \ t%l f \n” , q , a ) ;
}
}
Listing 6.2: Programm zur Berechnung des Stabilitätsdiagrammes der idealen Paulfalle
1
#include<s t d i o . h>
2
3
4
#include ” 7 2 1 . c ” // bad s t y l e , b u t ok b e c a u s e i t was
// auto−g e n e r a t e d from 7 2 1 . f
5
6
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12
i n t main ( void ) {
d o u b l e r e a l anu , q , a ;
i n t e g e r ia0b1 , i v e c ;
d o u b l e r e a l amurd ;
i n t e g e r n l e v , method ;
d o u b l e r e a l ∗ vec = m a l l o c ( 1 0 0 0 0 ) ;
integer i b i t , ic0 , ncof ;
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16
#i f n d e f EPS
#define EPS 0 . 0 0 0 0 1
#endif
/∗ a c c u r a c y o f p l o t ∗/
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f o r ( q = EPS ; q < = 1 . 0 ; q = q + EPS ) {
anu = 0 ;
i a 0 b 1 = 0 ; // even
i v e c = 1 ; // y e s t o e i g e n v a l u e s .
m t i e u 2 (&anu , & q , & a , & ia0b1 , & i v e c
&method , vec , & i b i t
d o u b l e r e a l aeven = −a ;
anu = 1 ;
i a 0 b 1 = 1 ; // odd
i v e c = 1 ; // y e s t o e i g e n v a l u e s .
m t i e u 2 (&anu , & q , & a , & ia0b1 , & i v e c
&method , vec , & i b i t
d o u b l e r e a l aodd = a ;
, &amurd , & n l e v ,
, & ic0 , & ncof ) ;
, & amurd , & n l e v ,
, & ic0 , & ncof ) ;
31
// t a t s a e c h l i c h e r a−Wert d e r G r e n z l i n i e :
a = ( aodd < aeven ) ? aodd : aeven ;
i f ( a >= 0.0)
p r i n t f ( ”%l f \ t%l f \n” , q , a ) ;
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}
return 0 ;
} // end o f main
Projektpraktikum Physik 2005
6.1. PROGRAMME
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Listing 6.3: Simulation zur Berechnung des Stabilitätsdiagrammes der realen Paulfalle
1
2
3
#include < s t d i o . h>
#include < s t d l i b . h>
#include <math . h>
4
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12
/∗ ” i n f i n i t e s i m a l ” time s t e p STD: 1 e−3∗/
#define dt 1 e−3
/∗Number o f I t e r a t i o n s STD: 5 0 0 0 0 0 ∗/
#define ITERATIONS 5 0 0 0 0 0
/∗ c o n v e r g e n c e r a d i u s ( t a k e t h e s q u a r e ) STD: 0 . 0 1 ∗/
#define CRADIUS 0 . 0 1
#define STEP B 0 . 0 0 1
#define R RESOLUTION 0 . 0 0 0 5
13
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15
i n t s t a b l e ( double a , double b , double c , double d ) ;
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22
23
i n t main ( i n t argc , char ∗ argv [ ] )
{
double r ;
double a ;
/∗ Parameter a ∗/
double b ;
/∗ Parameter b ∗/
double c ;
24
i f ( a r g c <2) {
p r i n t f ( ” Usage %s < v a l u e o f \” c \”>\n\n” , argv [ 0 ] ) ;
return 1 ;
}
s s c a n f ( argv [ 1 ] , ”%l f ” , & c ) ;
25
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30
p r i n t f ( ”#c = %e ” , c ) ;
p r i n t f ( ”#b\ t a \n” , b , a ) ;
31
32
33
f o r ( b = 0 ; b < 2 ; b += STEP B ) {
a = 0;
f o r ( r = 0 . 1 ; r > R RESOLUTION ; r = r / 2 . 0 ) {
while ( s t a b l e ( a+r , b , c , 0 ) ) {
a = a + r;
}
}
/∗ p u t d a t a t o s t d o u t ∗/
p r i n t f ( ”%e \ t%e \n” , b , a ) ;
}
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return ( 0 ) ;
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}
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i n t s t a b l e ( double a , double b , double c , double d ) {
/∗ r e s e t v a l u e s ∗/
double DDx = 0 ;
double DDz = 0 ;
double Dx = 0 ;
Projektpraktikum Physik 2005
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KAPITEL 6. ANHANG
double Dz= 0 ;
double x = 0 . 0 1 ;
double z = − 0 . 0 1 ;
double t ;
/∗ t − time ∗/
/∗ r e s e t c o u n t e r ∗/
long i =1;
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while ( ( x∗x < CRADIUS) && ( z ∗ z < CRADIUS) )
/∗ don ’ t f o r g e t t o c o u n t ∗/
i ++;
/∗ c a l c u l a t i n g time ∗/
t = i ∗ dt ;
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{
66
/∗ D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g f u e r x ( t ) ∗/
DDx = −( a + 2∗ b∗ c o s ( 2 ∗ t ) ) ∗ x − c ∗Dx −d ;
/∗ c a l c u l a t i n g new v a l u e s i n p h a s e s p a c e ∗/
Dx = Dx + DDx∗ dt ;
x = x + Dx∗ dt ;
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72
/∗ D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g f u e r z ( t ) ∗/
DDz = ( a + 2∗ b∗ c o s ( 2 ∗ t ) ) ∗ z − c ∗Dz −d ;
/∗ c a l c u l a t i n g new v a l u e s i n p h a s e s p a c e ∗/
Dz = Dz + DDz∗ dt ;
z = z + Dz∗ dt ;
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78
i f ( i == ITERATIONS ) {
/∗ ( ITERATIONS ) i t e r a t i o n s done w i t h o u t g o i n g o u t o f t h e
convergence radius :
| ( x , z ) | 1 < s q r t (CRADIUS) ∗/
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83
/∗ s t a b l e r e t u r n t r u e ∗/
return 1 ;
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85
}
}
/∗ o u t o f CRADIUS seems t o be u n s t a b l e ∗/
return 0 ;
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89
90
}
Listing 6.4: Programm zur Berechnung von Bahnkurven der Paulfalle
1
2
3
#include < s t d i o . h>
#include < s t d l i b . h>
#include <math . h>
4
5
6
7
8
/∗ ” i n f i n i t e s i m a l ” time s t e p STD: 1 e−3∗/
#define dt 1 e−3
/∗Number o f I t e r a t i o n s STD: 5 0 0 0 0 o d e r x10 ∗/
#define ITERATIONS 5 0 0 0 0 0
9
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void bahn ( double a , double b , double c , double d , long i t e r a t i o n s ,
long p l o t e v e r y ) ;
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6.1. PROGRAMME
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i n t main ( i n t argc ,
{
double a ;
/∗
double b ;
/∗
double c ;
/∗
double d ;
/∗
double s t e p ;
char ∗ argv [ ] )
Parameter
Parameter
Parameter
Parameter
a ∗/
b ∗/
c ∗/
d ∗/
22
/∗ p a r s e c m d l i n e ∗/
i f ( a r g c <6) {
p r i n t f ( ” Usage %s <a> <b> <c> <d> <s t e p >\n\n” , argv [ 0 ] ) ;
return 1 ;
}
s s c a n f ( argv [ 1 ] , ”%l f ” , & a ) ;
s s c a n f ( argv [ 2 ] , ”%l f ” , & b ) ;
s s c a n f ( argv [ 3 ] , ”%l f ” , & c ) ;
s s c a n f ( argv [ 4 ] , ”%l f ” , & d ) ;
s s c a n f ( argv [ 5 ] , ”%l f ” , & s t e p ) ;
23
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33
/∗ o u t p u t some i n f o ∗/
p r i n t f ( ”#a = %e \n” , a ) ;
p r i n t f ( ”#b = %e \n” , b ) ;
p r i n t f ( ”#c = %e \n” , c ) ;
p r i n t f ( ”#d = %e \n” , d ) ;
p r i n t f ( ”#\n#x\ t z \ t t \n” ) ;
/∗ compute ∗/
bahn ( a , b , c , d , ITERATIONS , s t e p ) ;
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return ( 0 ) ;
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}
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void bahn ( double a , double b , double c , double d , long i t e r a t i o n s ,
long p l o t e v e r y ) {
double DDx = 0 ;
double DDz = 0 ;
double Dx = 0 ;
double Dz= 0 ;
double x = 0 . 0 0 1 ;
double z = 0 . 0 0 1 ;
double t ;
/∗ t − time ∗/
long i =1;
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f o r ( i = 0 ; i <i t e r a t i o n s ; i ++) {
/∗ c a l c u l a t i n g time ∗/
t = i ∗ dt ;
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/∗ D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g f u e r x ( t ) ∗/
DDx = −( a + 2∗ b∗ c o s ( 2 ∗ t ) ) ∗ x − c ∗Dx +d ;
/∗ c a l c u l a t i n g new v a l u e s i n p h a s e s p a c e ∗/
Dx = Dx + DDx∗ dt ;
x = x + Dx∗ dt ;
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Projektpraktikum Physik 2005
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KAPITEL 6. ANHANG
/∗ D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g f u e r z ( t ) ∗/
DDz = ( a + 2∗ b∗ c o s ( 2 ∗ t ) ) ∗ z − c ∗Dz +d ;
/∗ c a l c u l a t i n g new v a l u e s i n p h a s e s p a c e ∗/
Dz = Dz + DDz∗ dt ;
z = z + Dz∗ dt ;
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i f ( ( i % p l o t e v e r y )==0) {
/∗ e v e r y p l o t e v e r y i t e r a t i o n o f i :
∗ p u t d a t a t o s t d o u t ∗/
p r i n t f ( ”%f \ t%f \ t%f \n” , x , z , t ) ;
}
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75
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77
}
return ;
78
79
80
}
Projektpraktikum Physik 2005
Literaturverzeichnis
[Car76] Carmo, Manfredo D.: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Rio de Janeiro
: Prentice Hall International, Inc., 1976
[Kam42] Kamke, Erich: Differentialgleichungen: Lösungsmethoden und Lösungen. Leipzig :
Akademische Verlagsgesellschaft Becker& Erler Kom. Ges., 1942
[Kuy03] Kuypers, Friedhelm: Klassische Mechanik. Weinheim : Wiley-VCH, 2003
[LDL97] Lew D. Landau, Jewgeni M. L.: Lehrbuch der Theoretischen Physik. Bd. 1. Nachdruck der 14. korrigierten Auflage. Frankfurt am Main : Harri-Deutsch Verlag, 1997
[Sch98] Schwarz, Stefan: Manipulation radioaktiver Ionenenstrahlen mit Hilfe einer Paulfalle und direkte Massenmessung an neutronenarmen Quecksilberisotopen mit dem
ISOLTRAP-Experiment, Johannes Gutenberg-Universität Mainz, Diss., 1998
[Sch04] Schaaf, Peter: Göttinger Physikalisches Praktikum. Göttingen : Universitätsverlag
Göttingen, 2004
[Shi93] Shirts, R. B.: Algorithm 721 MTIEU1 and MTIEU2: Twosubroutines to compute
eigenvalues and solutions to Mathieu’s differential equation for noninteger and integer
order. In: ACM Trans. Math. Soft. (1993), Sept.
[Veg03] Vega, Julio César G.: Theory and Numerical Analysis of the Mathieu Functions.
http://homepages.mty.itesm.mx/jgutierr/Mathieu/Mathieu.pdf, März 2003
[WHP97] W. H. Press, W. Vetterling und B. F.: Numerical Recipes. 3. Auflage. Cambridge
UK : Cambridge University Press, 1997
65
Projektpraktikum Physik 2005
66
LITERATURVERZEICHNIS
Projektpraktikum Physik 2005
Abbildungsverzeichnis
1.1 Wolfgang Paul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
2.2
2.3
2.4
Die Elektrodenanordnung der idealen linearen Paulfalle . . . . . . . . . . . . . .
Berechnete Struttsche Stabilitätskarte der regulären Mathieugleichung . . . . .
Berechnete Stabilitätskarte der idealen makroskopischen linearen Paulfalle . . . .
Verschiebung der Stabilitätskarte, wie in Abschnitt 2.3.3 berechnet, für verschiedene Reibungen c. Die Bereiche für Reibung mit c > 0 sind hier jedoch nur ein
Ausschnitt des Stabilitätsbereiches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Simulierte Stabilitätskarte der Paulfalle mit Reibung für verschiedene Reibungen c. Zusätzlich sind die jeweiligen, in Abschnitt 2.3.3 berechneten Kurven mit
eingezeichnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Bahnkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Die Bahnkurve der realen Paulfalle nach einiger Zeit . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Die vor Beginn des Versuches geplante und in Auftrag gegebene Paulfalle aus
Heizungsrohren und Plexiglas im Raytracer visualisiert. . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Schaltplan der Spannungsversorgung der Paulfalle . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Die aus den vier Trafos erstellte Wechselspannungsquelle . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Die CAD-Skizze der Paulfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Die experimentelle Realisierung der makroskopischen Paulfalle. . . . . . . . . . .
3.6 Die Paulfalle im Testbetrieb bzw. in der Einbringphase bei den späteren quantitativen Messungen. Teilchen werden mittels eines Pinsels aus sicherer Entfernung
eingebracht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Schattenriß der Partikel invertiert und nachbearbeitet . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Versuchsaufbau von oben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Übersicht über den wesentlichen Teil des Messaufbaus. Es fehlt die sich ca. vier
Meter weiter in Richtung Strahlengang befindende Projektionsfläche, an welcher
die Teilchenpositionen im Laserspot bestimmt wurden. . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Die Pacmaneinheit“. Die stroboskopische Beleuchtung wird über diesen Teil des
”
Aufbaus realisiert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Messwerte und Eichgerade für die Wechselspannung . . . . . . .
Messwerte und Eichgerade für die Gleichspannung . . . . . . . .
Messwerte und Eichgerade für die Vergrößerung durch die Optik
Zur Ermittlung von α am Beispiel des Teilchens S4P. . . . . . . .
Ermittlung von α des Teilchens S8P. . . . . . . . . . . . . . . . .
Ermittlung von α des Teilchens S21P. . . . . . . . . . . . . . . .
Ermittlung von α des Teilchens S23P. . . . . . . . . . . . . . . .
.
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36
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40
41
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44
44
45
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ABBILDUNGSVERZEICHNIS
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
Ermittlung von α des Teilchens S33P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ermittlung von α des Teilchens S24P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ermittlung von α des Teilchens S35P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ermittlung von α des Teilchens S31P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grenzen des stabilen Bereiches unserer Paulfalle, aus den Daten aller untersuchten
Teilchen. Die Fehlerbereiche sind durch Kästen eingezeichnet. . . . . . . . . . . .
4.13 Ausschnitt aus der Stabilitätskarte. Geplottet wurde nur in der Nähe des theoretisch erwarteten Bereiches der idealen Paulfalle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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STICHWORTVERZEICHNIS
69
Stichwortverzeichnis
A
Algorithmus 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Aufbau
Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Aufweitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
B
Bärlappsporen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Bahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Beobachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Bahnkurven
numerische Berechnung. . . . . . . . . . . . . . . .20
Beleuchtung
stroboskopische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, 55
Bestimmungsverfahren für ε . . . . . . . . . . . . 25, 42
Bestimmungsverfahren für ε . . . . . . . . . . . . . . . 55
Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Brennweite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 35
C
charakteristischer Exponent . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Cluster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Elektrischer Quadrupol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Elektrodenabstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Elektrodenform
praktisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
theoretisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Entladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Erdung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Exponent
charakteristischer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
F
Fehlerdiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
fudgit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
H
Hamiltonsches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Heizungsrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Hillsche Differentialgleichung . . . . . . . . . . 10, 14
Hyperboloidflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I
D
Differentialgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Durchschlagsfestigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
E
Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
K
Kakao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
kapazitiver Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Kapiza
Methode von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Kettenbruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Kupferblech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
effektive potentielle Energie
im eindimensionalen Fall . . . . . . . . . . . . . . 23
im mehrdimensionalen Fall . . . . . . . . . . . . 23
Eichfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38, 42
Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Gleichspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 L
Wechselspannung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 f
Eigenwert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 Ladungs-/ Masseverhältnis
Projektpraktikum Physik 2005
70
STICHWORTVERZEICHNIS
experimentelle Bestimmung . . . . . . . . . . . 50
Lampe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 f
Pulsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Linse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Listings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Lösungen
periodische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
M
Q
Quadrupol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
R
reale Paulfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Reibung
Mathieusche Darstellung . . . . . . . . . . . . . 17
Reibungsformel
nach Oseen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
nach Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Rekurrenzrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Mathieusche Differentialgleichungen
bei der Paulfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
S
Methode von Kapiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Mie-Streuung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
Schatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Schirm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 50
N
Schutzwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Sicherheitsvorkehrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Namensgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 f, 55 f
Spannungsabfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
O
Spannungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Spannungsversorgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Objektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 35 Spiegel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Sprühentladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
oszillierende Kraftfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Stabilitätsdiagramm
P
der realen Paulfalle durch Computersimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
parametrische Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Paul, Wolfgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
mit Reibung nach Mathieu- TransformaPaulfalle
tionsansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Stabilitätskarte
periodische Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
der Mathieuschen Differentialgleichung14
Phasenkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
der idealen Paulfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Photographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
in der Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Plexiglas-Halterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Stabilitätsparameter
Poissonsche Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
experimentell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
Potential
Stabilitätsparameter der Paulfalle . . . . . . . . . . . 9
der Paulfalle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 Stokessches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
zeitlich invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 stroboskopisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Potentialdifferenz
Struttsche Stabilitätskarte . . . . . . . . . . . . . . . 14
effektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Styropor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, 35, 55
Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Projektverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 T
Projektziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Pseudopotential. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 Teilchen
räumliche Anordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Durchmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Pseudopotential der realen Paulfalle. . . . . . . .24 Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Projektpraktikum Physik 2005
STICHWORTVERZEICHNIS
71
U
Überschläge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27, 32
V
Vergrößerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
W
Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Projektpraktikum Physik 2005

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Blatt 4 - Universität Tübingen

Prof. Hartmut Löwen, Physik der aktiven weichen Materie

Projektpraktikum zur Makroskopischen Linearen Paulfalle

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