Folgen und ihre Konvergenz

Kapitel 2
Folgen und ihre Konvergenz
Zur Erinnerung
Definition. Eine Folge (reeller Zahlen) ist eine Funktion von N0
nach R.
Schreibweisen.
I
Im Falle einer Folge f : N0 → R schreibt man an Stelle von
f (n) üblicherweise fn mit n ∈ N0 .
I
Zudem schreibt man an Stelle von f : N0 → R üblicherweise
(fn )n∈N0 . Manchmal schreibt man eine Folge auch auf in der
Form f0 , f1 , f2 , f3 , f4 , . . ..
Definition. Die Zahl fn heißt das Folgenglied zum Index n.
Schreibweise. Beliebte Wahlen von Buchstaben sind
I
n oder m (oder i) oder j oder ν (sprich: „nü“, das „n“ des
griechischen Alphabets) für den Index und
I
a, b, c, . . . , genauer: an , bb , cn , . . . für die Folgenglieder.
Abschnitt 2.1
Konvergenz von Folgen
Das Beispiel der „Heron-Folge“, 1
In Abschnitt 1.4 wurde für a ∈ R beliebig mit a = 1 die Folge
(Hn )n∈N0 definiert durch
a
1
H0 := a
Hn +
für n ∈ N0 .
und
Hn+1 :=
2
Hn
Für diese wurde insbesondere gezeigt
√
a 5 Hn
für alle n ∈ N0
und
Hn+1 −
√
a=
√ 2
1 1
·
· Hn − a
2 Hn
für alle n ∈ N0 .
Durch Ausprobieren (und vielleicht auch Ausnutzen der obigen
√
Gleichung für die Differenz von Hn+1 und a) sieht man, dass die
√
Folgenglieder Hn immer bessere Näherungen für die Zahl a liefern.
Das Beispiel der „Heron-Folge“, 2
1
Genauer gilt: Gibt man eine Genauigkeit ε > 0 vor, etwa ε = 10
1
oder auch ε = 100.000 , so braucht man nur mit dem Index n
hinreichend groß zu werden, damit das Folgenglied Hn um weniger
√
als ε von a abweicht, also:
√
|Hn − a| < ε für n „hinreichend groß“.
Anmerkungen.
I Bei der bislang betrachteten Situation für die Heron-Folge ist
√
sogar 0 5 Hn − a < ε. Rechnet man aber die entsprechende
Folge mit dem Startwert −a durch, dass man auch den Fall in
Betracht ziehen sollte, dass das Folgenglied kleiner als der
anzunähernde Wert ist.
√
√
I Statt |Hn − a| < ε könnte man auch |Hn − a| 5 ε
√
verlangen, also, dass Hn um höchstens ε von a abweicht
(und nicht um weniger als ε). Dies sind zwei verschiedene
Bedingungen; läßt man aber ε variieren, so liefern sie im
folgenden das Gleiche.
Das Beispiel der „Heron-Folge“, 3
Das ist fast schon die formale Defintion für Konvergenz; man muß
sich aber noch genauer überlegen, was „hinreichend groß“ heißen
soll.
Dazu gibt es (mindestens) zwei Möglichkeiten:
1. Es gibt überhaupt einen Index n, so dass gilt |Hn −
√
a| < ε.
2. Für jeden Index n ab einer von ε abhängenden natürlichen
√
Zahl n(ε) gilt |Hn − a| < ε.
Die zweite Fassung ist offenbar restriktiver als die erste; sie
entspricht aber auch der Aussage, dass die Hn „mit wachsendem n
√
immer bessere Näherungen“ für a liefern.
Und für diese, zweite, Fassung hat man sich auch bei der
allgemeinen Definition entschieden:
Definition der Konvergenz von Folgen
Definition: Sei (an )n∈N0 eine Folge. Eine reelle Zahl a heißt
Grenzwert (oder Limes) der Folge (an )n∈N0 , wenn gilt:
Zu jedem ε > 0 gibt es eine (von ε abhängende)
natürliche Zahl n(ε), so dass für alle n ∈ N0 mit n = n(ε)
gilt
|an − a| < ε.
Man schreibt in diesem Falle
a = lim an .
n→∞
Eine Folge, die einen Grenzwert a besitzt, heißt konvergent;
genauer sagt man häufig, dass sie gegen a konvergiert. Eine
Folge, die keinen Grenzwert besitzt, heißt divergent.
Eine Folge (an )n heißt Nullfolge, wenn sie gegen 0 konvergiert,
d. h., wenn lim an = 0 gilt.
n→∞
Bemerkung: Weglassen von Anfangsgliedern
Die Folge (an )n∈N0 konvergiert genau dann gegen eine Zahl a, wenn
dies für die Folge (an )n∈N× zutrifft, entsprechend für die Folge
(an )n∈N× −{1} usw.
Allgemeiner: Das Fortlassen oder Hinzufügen von endlich vielen
Folgengliedern ändert nicht das Konvergenzverhalten einer Folge.
Insbesondere wird bei Konvergenzuntersuchungen häufig nur die
„Folge (an )n “ hingeschrieben anstelle von (an )n∈N0 bzw. (an )n∈N×
usw..
Bemerkung: Eindeutigkeit des Grenzwertes
Jede Folge (an )n kann höchstens einen Grenzwert haben:
Wären a und b zwei verschiedene Grenzwerte von (an )n , so wäre
ε := |a − b|/2 > 0.
Wegen der Konvergenz von (an )n gegen a gäbe es dann ein n(ε), so
dass für alle n = n(ε) gilt |an − a| < ε.
Entsprechend gäbe es ein n0 (ε), so dass für alle n = n0 (ε) gilt
|an − b| < ε.
Man wähle nun ein n, das sowohl größergleich n(ε) als auch
größergleich n0 (ε) ist, etwa n = max {n(ε), n0 (ε)}.
Dann gälte aufgrund der Voraussetzungen und der
Dreiecksungleichung:
|a − b| = |a − an + an + b| 5 |a − an | + |an − b| < ε + ε = |a − b|,
also ein Widerspruch.
Daher kann in der Tat eine Folge höchstens einen Grenzwert
besitzen; insbesondere ist die Schreibweise a = lim an eindeutig.
n→∞
Beschreibung der Divergenz bzw. der Nicht-Konvergenz
gegen a, 1
Dass eine Folge (an )n divergiert, ist nach Definition gleichbedeutend
damit, dass sie gegen keine reelle Zahl a konvergiert.
Sei a ∈ R beliebig, im Folgenden aber fest. Dann ist die Aussage
I
Die Zahl a ist kein Grenzwert von (an )n .
gleichbedeutend mit:
I
Es stimmt es nicht, dass es zu jedem ε > 0 ein n(ε) ∈ N0 gibt,
so dass für alle n = n(ε) gilt |an − a| < ε.
mit anderen Worten:
I
Es gibt ein ε > 0, zu dem es kein n(ε) ∈ N0 gibt, so dass für
alle n = n(ε) gilt |an − a| < ε.
Beschreibung der Divergenz bzw. der Nicht-Konvergenz
gegen a, 2
mit anderen Worten:
I
Es gibt ein ε > 0, so dass für alle n(ε) ∈ N0 gilt: Es ist falsch,
dass für alle n = n(ε) gilt |an − a| < ε.
mit anderen Worten:
I
Es gibt ein ε > 0, so dass für alle n(ε) ∈ N0 gilt: Es gibt ein
n = n(ε), für das nicht gilt |an − a| < ε.
mit anderen Worten:
I
Es gibt ein ε > 0, so dass für alle n(ε) ∈ N0 gilt: Es gibt ein
n = n(ε), für das gilt |an − a| = ε.
Beispiel: Die konstante Folge
Ist a eine reelle Zahl, so nimmt die konstante Folge (an )n mit
an := a nur den Wert a an.
Sie konvergiert dann auch gegen a:
Für beliebiges ε kann man einfach n(ε) := 0 oder auch n(ε) := 1
setzen.)
Beispiel: Die Folge der Stammbrüche, 1
Bei der Folge der Stammbrüche
1
,
also
1,
n n∈N× 1
1
,
2
1
,
3
1
,
4
1
,
5
...
gewinnt man schnell den Verdacht, dass diese gegen 0 konvergiert.
Dies soll jetzt bewiesen werden: Sei dazu ε > 0 beliebig.
Gesucht ist eine natürliche Zahl n(ε), so dass für alle n = n(ε) gilt
1
− 0 < ε.
n
Dies ist aber gleichbedeutend mit n1 < ε, also mit n1 < ε, also mit
1 < n · ε, also mit n > 1/ε.
Beispiel: Die Folge der Stammbrüche, 2
Mithin bietet es sich an, n(ε) wie folgt zu definieren:
Wegen ε > 0 ist 1/ε eine (positive) reelle Zahl. Also gibt es
aufgrund des Archimedischen Axioms eine natürliche Zahl n(ε) mit
n(ε) > 1ε .
Für jedes n ∈ N× mit n = n(ε) gilt dann
1
− 0 =
n
1
n
5
1
n(ε)
und somit
1 1
= 5 1 < ε.
n n
n(ε)
Da ε > 0 beliebig war, ist damit die Konvergenz der Folge
gegen 0 nachgewiesen.
1
n n=1
Beispiel: Die Folge der Stammbrüche, 4
Praktisch wortgleich beweist man
Die Folge
n+1 1
(−1)
·
n n∈N×
konvergiert gegen 0.
Betrachtet man – sozusagen als Gegenstücke zu diesen Folgen –
I
I
die Folge (n)n der natürlichen Zahlen oder auch
die Folge (−1)n+1 n n der natürlichen Zahlen mit
wechselndem Vorzeichen,
so gewinnt man schnell den Verdacht, dass diese nicht
konvergieren, etwa, weil sie über alle Grenzen wachsen.
In der Tat gilt der folgende allgemeine
Konvergenz und Beschränktheit, 1
Satz. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Jede unbeschränkte
Folge ist divergent.
Beweis. Man braucht nur die erste Aussage zu zeigen, da die zweite
deren logische Kontraposition ist.
Sei also (an )n eine gegen den Grenzwert a konvergente Folge.
Dann gibt es zu ε = 1 ein n(1), so dass für alle n = n(1) gilt
|an − a| < 1.
Sei M das Maximum der endlich vielen (!) Zahlen
|a0 |,
|a1 |,
...,
|an(1)−1 |,
|a| + 1.
Dann gilt für jedes n ∈ N0 mit n < n(1), dass |an | 5 M, und für
jedes n ∈ N0 mit n = n(1), dass
|an | = |an − a + a| 5 |an − a| + |a| < 1 + |a| 5 M.
Also ist (an )n in der Tat beschränkt, und zwar durch M.
Konvergenz und Beschränktheit, 2
Die Umkehrung des Satzes gilt leider nicht. Dies belegt das
folgende
Beispiel. Die Folge ((−1)n )n∈N0 , also
+1,
−1,
+1,
−1,
+1,
−1,
...,
ist offenbar durch 1 beschränkt.
Sie besitzt aber keinen Grenzwert: Als mögliche Grenzwerte kämen
nur +1 und −1 in Frage, da alle Folgenglieder gleich +1 oder −1
sind.
Es ist aber +1 kein Grenzwert, denn:
Setze ε := 1. Ist dann n(ε) irgendeine natürliche Zahl, so sei n die
kleinste ungerade natürliche Zahl, die größergleich n(ε) ist. Dann
gilt
|(−1)n − 1| = | − 1 − 1| = | − 2| = 2 > 1 = ε.
Also ist +1 kein Grenzwert der Folge ((−1)n )n .
Konvergenz und Beschränktheit, 3
Ähnlich sieht man ein, dass auch −1 kein Grenzwert dieser Folge
ist: Man kann wieder ε := 1 setzen und braucht dann nur dafür zu
sorgen, dass n größergleich dem vorgegebenen nε und gerade ist. Anmerkung. Man kann die Situation des obigen Beispiels so
beschreiben, dass die Folge ((−1)n )n aus zwei Teilfolgen besteht,
von denen die eine gegen +1 und die andere gegen −1 konvergiert.
Hierzu gibt es das formale Konzept des Häufungspunktes einer
Folge, das ist der Grenzwert eines Teils der gegebenen Folge.
Abschnitt 2.2
Rechenregeln für konvergente Folgen
Rechenregeln für konvergente Folgen, 1
Satz 1. Seien (an )n und (bn )n konvergente Folgen.
1. Dann konvergieren auch die Folgen (an + bn )n und (an − bn )n ,
und es gilt:
lim (an + bn ) =
n→∞
lim (an − bn ) =
n→∞
lim an + lim bn ,
n→∞
n→∞
lim an − lim bn .
n→∞
n→∞
2. Dann konvergiert auch die Folge (an · bn )n , und es gilt
lim (an · bn ) = lim an · lim bn .
n→∞
n→∞
n→∞
3. Es gelte lim bn 6= 0. Dann gibt es ein n0 ∈ N0 , so dass für alle
n→∞
n = n0 gilt bn 6= 0, die Folge bann
konvergiert, und es gilt
n=n0
lim an
an
= n→∞ .
n→∞ bn
lim bn
lim
n→∞
Rechenregeln für konvergente Folgen, 2
Beweis: Sei a := lim an und b := lim bn .
n→∞
n→∞
zu 1. Sei ε > 0 beliebig. Dann ist auch ε/2 > 0. Da (an )n und
(bn )n gegen a bzw. b konvergieren, gibt es also ein n(ε/2) und ein
n0 (ε/2), so dass für alle n ∈ N0 mit n = n(ε/2) gilt |an − a| < ε/2
und für alle Zahlen n ∈ N0 mit n = n0 (ε/2) gilt |bn − b| < ε/2.
Setze N(ε) := max{n(ε/2), n0 (ε/2)}. Dann gilt für alle n ∈ N0 mit
n = N(ε), dass
|(an + bn ) − (a + b)| =
5
|(an − a) + (bn − b)|
|an − a| + |bn − b| < ε/2 + ε/2 = ε
und
|(an − bn ) − (a − b)| =
5
|(an − a) + (b − bn )|
|an − a| + |b − bn | < ε/2 + ε/2 = ε.
Da ε > 0 beliebig war, ist damit die Konvergenz von (an + bn )n
gegen a + b und die von (an − bn )n gegen a − b nachgewiesen.
Rechenregeln für konvergente Folgen, 3
zu 2. Der Trick bei diesem Beweis ist, die Differenz an · bn − a · b
geschickt zu schreiben, nämlich als
an ·bn −a ·b = an ·bn −a ·bn +a ·bn −a ·b = (an −a)·bn +a ·(bn −b).
Sei nun ε > 0 beliebig. Da die Folge (bn )n konvergiert, ist sie nach
dem Satz aus Abschnitt 2.1 beschränkt. Also gibt es eine reelle
Zahl M > 0 mit M = |a| und M = |bn | für alle n ∈ N0 . Dann ist
auch ε/(2M) > 0.
Da (an )n und (bn )n gegen a bzw. b konvergieren, gibt es ein
n(ε/(2M)) und ein n0 (ε/(2M)), so dass für alle n ∈ N0 mit
n = n(ε/(2M)) gilt |an − a| < ε/(2M) und für alle n ∈ N0 mit
n = n0 (ε/(2M)) gilt |bn − b| < ε/(2M).
Rechenregeln für konvergente Folgen, 4
Setze m(ε) := max {n (ε/(2M)) , n0 (ε/(2M))}. Dann gilt für alle
n ∈ N0 mit n = m(ε), dass
|an · bn − a · b| =
|(an − a) · bn + a · (bn − b)|
5
|an − a| · |bn | + |a| · |bn − b|
<
ε/(2M) · M + M · ε/(2M) = ε/2 + ε/2 = ε.
Da ε > 0 beliebig war, ist damit die Konvergenz von (an · bn )n
gegen a · b nachgewiesen.
Rechenregeln für konvergente Folgen, 5
zu 3. Existenz von n0 . Nach Voraussetzung konvergiert (bn )n gegen
b, wobei b 6= 0, also |b| > 0 gilt. Mithin darf man ε := |b|/2
setzen. Dazu gibt es ein n0 ∈ N0 , so dass für alle n ∈ N0 mit
n = n0 gilt |bn − b| < ε und daher
|b| = |b − bn + bn | 5 |bn − b| + |bn | < ε + |bn | = |b|/2 + |bn |,
also
|bn | > |b|/2 > 0,
mithin insbesondere bn 6= 0.
Rechenregeln für konvergente Folgen, 6
Spezialfall an = 1 für alle n ∈ N0 . Für alle n ∈ N0 mit n = n0 gilt
1
1
b − bn
− =
.
bn b
bn · b
Sei ε > 0 beliebig. Man setze ε0 := 12 ε|b|2 . Da (bn )n gegen b
konvergiert, gibt es ein n(ε0 ) ∈ N0 , so dass für alle n ∈ N0 mit
n = n(ε0 ) gilt |bn − b| < ε0 .
Für alle n ∈ N0 mit n = n0 gilt aufgrund des eben Gezeigten
|bn | > |b|/2. Somit ergibt sich für alle n ∈ N0 mit
n = n(ε) := max {n(ε0 ), n0 }, dass
1 1 b − b 1 1
2 1 0
2
n
· ·|bn −b| <
· ·ε < 2 · 12 ε|b|2 = ε.
− =
=
bn b
bn · b
|bn | |b|
|b| |b|
|b|
Da ε > 0 beliebig war, ist damit die Konvergenz der Folge b1n n=n
0
gegen
1
b
nachgewiesen.
Rechenregeln für konvergente Folgen, 7
Allgemeinfall. Sei nun wieder (an )n eine beliebige konvergente Folge
mit Grenzwert a. Für jedes n = n0 gilt dann
an
1
= an · .
bn
bn
Aufgrund
des eben bewiesenen Spezialfalles konvergiert die Folge
1
1
bn n=n0 gegen b .
Wegen – der bereits bewiesenen ! – Aussage 2. konvergiert also
auch die Folge
a 1
n
= an ·
bn n=n0
bn n=n0
und zwar gegen
lim an · lim
n→∞
n→∞
1
1
a
=a· = .
bn
b
b
Anwendungen: Konstante Faktoren, Verhalten rationaler
Funktionen, 1
Folgerung aus Aussage 2. von Satz 1. Ist (an )n eine gegen a
konvergente Folge und c eine reelle Zahl, so konvergiert auch die
Folge (c · an )n und zwar gegen c · a.
Es seien
p(x) := aj x j + aj−1 x j−1 + · · · + a1 x + a0
und
q(x) := bk x k + bk−1 x k−1 + · · · + b1 x + b0
zwei Polynome mit reellen Koeffizienten.
Es soll die Folge
aj nj + aj−1 nj−1 + · · · + a1 n + a0
p(n)
=
q(n) n
bk nk + bk−1 nk−1 + · · · + b1 n + b0 n
auf Konvergenz untersucht werden.
Anwendungen: Verhalten rationaler Funktionen, 2
Beispiel. Man untersuche die Folge
3
n − 7n + 5
.
3n3 + 5n2 + 6 n
Trick. Man klammere aus Zähler und Nenner jeweils die höchste
auftretende Potenz von n aus.
Für alle n ∈ N× gilt
1
1
n − 7n + 5 = n · 1 − 7 2 + 5 3
n
n
3
3
und
1
1
3n + 5n + 6 = n · 3 + 5 + 6 3
n
n
Bereits in Abschnitt 2.1 wurde gezeigt, dass
1
lim
= 0.
n→∞ n
3
2
3
.
Anwendungen: Verhalten rationaler Funktionen, 3
Wegen Satz 1, Aussage 2
1
1
lim 2 = lim
n→∞ n
n→∞ n
und entsprechend
folgt daraus
1
1
1
· = lim · lim
=0·0=0
n→∞ n n→∞ n
n
1
= 0.
n→∞ n3
Aufgrund der obigen Folgerung aus Satz 1 folgt daraus
1
1
lim 7 · 2 = 7 · 0 = 0,
lim 5 · 3 = 5 · 0 = 0,
n→∞
n→∞
n
n
lim
1
1
= 5 · 0 = 0,
lim 6 · 3 = 6 · 0 = 0.
n→∞
n→∞
n
n
Wegen Satz 1, Aussage 1. folgt daraus wiederum
1
1
lim 1 − 7 2 + 5 3 = 1 + 0 + 0 = 1
n→∞
n
n
und
1
1
lim 3 + 5 + 6 3 = 3 + 0 + 0 = 3 6= 0.
n→∞
n
n
lim 5 ·
Anwendungen: Verhalten rationaler Funktionen, 4
Für alle n ∈ N× gilt
n3 · 1 − 7 n12 + 5 n13
1 − 7 n12 + 5 n13
n3 − 7n + 5
=
=
.
3n3 + 5n2 + 6
n3 · 3 + 5 n1 + 6 n13
3 + 5 n1 + 6 n13
Wegen Satz 1, Aussage 3 folgt aber aus dem Obigen
lim
n→∞
1 − 7 n12 + 5 n13
3+
5 n1
+
6 n13
1
= ,
3
so dass sich insgesamt ergibt
1 − 7 n12 + 5 n13
n3 − 7n + 5
1
=
lim
= .
n→∞ 3n3 + 5n2 + 6
n→∞ 3 + 5 1 + 6 13
3
n
n
lim
Hinweis. Dadurch, dass Zähler und Nenner der rationalen Funktion
den gleichen Grad, nämlich 3, hatten, haben sich die beiden jeweils
ausgeklammerten Potenzen von n weggekürzt. Falls die Grade von
Zähler und Nenner
verschieden sind, kann es auch vorkommen, dass
p(n)
die Folge q(n) divergiert.
n
Rechenregeln für Nullfolgen
Eine Folge (an )n heißt bekanntlich Nullfolge, wenn sie gegen 0
konvergiert
Satz 2. Seien (an )n und (bn )n Nullfolgen.
1. Dann sind auch die Folgen (an + bn )n und (an − bn )n
Nullfolgen.
2. Ist (cn )n eine beschränkte Folge, so ist auch (an · cn )n eine
Nullfolge.
3. Ist (dn )n eine Folge mit |dn | 5 |an | für alle n, so ist auch (dn )n
eine Nullfolge.
Beweis. Klar bzw. Übungsaufgabe
Warnung: In 2. ist in der Tat erforderlich, dass (an )n eine Nullfolge
ist. Setzt man nur voraus, dass (an )n konvergiert, so braucht bei
beschränkter Folge (cn )n die Folge (an · cn )n nicht einmal
konvergent zu sein, wie das (Gegen)Beispiel mit an := 1 und
cn := (−1)n für n ∈ N0 belegt.
Zusammenhang von konvergenten Folgen und Nullfolgen
Nach Definition sind Nullfolgen Spezialfälle konvergenter Folgen.
Umgekehrt kann man aber auch beliebige konvergente Folgen auf
Nullfolgen zurückführen:
Satz 3. Sei (an )n eine Folge und a eine reelle Zahl. Genau dann
konvergiert (an )n gegen a, wenn (an − a)n eine Nullfolge ist.
Beweis. Übungsaufgabe
Abschnitt 2.3
Konvergenzkriterien
Konvergenzkriterien, 1
Satz 1. Seien (an )n , (bn )n und (cn )n Folgen. Es gelte
I
Für alle n ist an 5 bn 5 cn .
I
Die Folgen (an )n und (cn )n konvergieren gegen denselben
Grenzwert d .
Dann konvergiert auch (bn )n gegen den Grenzwert d .
Beweis. Da die Folgen (an )n und (cn )n beide gegen d konvergieren,
gilt nach Satz 1 in Abschnitt 2.2, Aussage 1,
lim (cn − an ) = lim cn − lim an = d − d = 0,
n→∞
n→∞
n→∞
d. h., die Folge (cn − an )n ist eine Nullfolge.
Konvergenzkriterien, 2
Nach Voraussetzung gilt weiterhin für alle n ∈ N0 , dass
an 5 bn 5 cn ,
also 0 5 bn − an 5 cn − an
und daher
|bn − an | 5 |cn − an |.
Aufgrund von Satz 2 in Abschnitt 2.2, Aussage 3 ist mit (cn − an )n
daher auch (bn − an )n eine Nullfolge, d. h., es gilt
lim (bn − an ) = 0.
n→∞
Wegen Satz 1 in Abschnitt 2.2, Aussage 1 folgt aus der Konvergenz
der Folgen (bn − an )n und (an )n die der Folge
(bn − an + an )n = (bn ), wobei gilt
lim bn = lim (bn − an ) + lim an = 0 + d = d .
n→∞
n→∞
n→∞
Konvergenzkriterien, 3
Satz 2. (Satz von Bolzano-Weierstraß) Jede monoton wachsende
und nach oben beschränkte Folge ist konvergent (und zwar gegen
ihr Supremum). Jede monoton fallende und nach unten beschränkte
Folge ist konvergent (und zwar gegen ihr Infimum).
Beweis. Sei (an )n∈N0 eine monoton wachsende und nach oben
beschränkte Folge. (Der Beweis für den Fall, dass (an )n∈N0
monoton fallend und nach unten beschränkt ist, verläuft analog.)
Dann ist die Menge
M := {an : n ∈ N0 }
nach oben beschränkt und nicht leer. Aufgrund des
Supremumsprinzips besitzt M also überhaupt ein Supremum s ∈ R.
Es bleibt nachzuweisen, dass gilt
lim an = s :
n→∞
Konvergenzkriterien, 4
Als Supremum von M ist s die kleinste obere Schranke von M.
Insbesondere gilt somit für alle n ∈ N0 , dass
an 5 s.
Sei nun ε > 0 beliebig vorgegeben. Da s die kleinste obere
Schranke von M ist, ist dann s − ε keine obere Schranke von M.
Also gibt es ein N(ε) ∈ N0 , so dass gilt
s − ε < aN(ε) .
Da (an )n monoton wachsend ist, gilt an = aN(ε) für alle n ∈ N0 mit
n = N(ε).
Mithin gilt für alle n ∈ N0 mit n = N(ε), dass
s − ε < an(ε) 5 an 5 s < s + ε
Konvergenzkriterien, 5
ist, also
|an − s| < ε.
Da ε > 0 beliebig war, ist damit die Konvergenz der Folge (an )n
gegen s nachgewiesen.
Definition. Eine Folge (an )n heißt Cauchy-Folge, wenn es zu
jedem ε > 0 ein N(ε) ∈ N0 gibt, so dass für alle m, n ∈ N0 mit
m, n = N(ε) gilt |am − an | < ε.
Konvergenzkriterien, 6
Satz 3 (Cauchysches Konvergenzkriterium). Eine Folge reeller
Zahlen ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.
Beweis. Sei zunächst (an )n eine gegen a konvergente Folge.
Um nachzuweisen, dass (an )n dann auch eine Cauchy-Folge ist, sei
ε > 0 beliebig gegeben. Dann ist auch ε/2 > 0.
Da (an )n gegen a konvergiert, gibt es ein N(ε/2) ∈ N0 , so dass für
alle n ∈ N0 mit n = N(ε/2) gilt
|an − a| < ε/2.
Dann gilt für alle m, n = N(ε/2), dass
|am − an | = |am − a + a − an | 5 |am − a|+|a − an | < ε/2+ε/2 = ε.
Da ε > 0 beliebig war, ist damit nachgewiesen, dass (an )n eine
Cauchy-Folge ist.
Konvergenzkriterien, 7
Sei nun umgekehrt vorausgesetzt, dass (an )n eine Cauchy-Folge ist.
Als erstes wird gezeigt, dass (an )n dann beschränkt ist:
Man setze dazu ε = 1. Dann gibt es ein N(1) ∈ N0 , so dass für alle
m, n ∈ N0 mit m, n = N(1) gilt
|an − am | < 1.
Insbesondere ist dann
an − aN(1) < 1
für alle n ∈ N0 mit n = N(1). Mit
M := max |a0 |, |a1 |, . . . , |aN(1)−1 |, |aN(1) + 1|
gilt dann
|an | 5 M
für alle n ∈ N0 , so dass die Folge (an )n in der Tat beschränkt ist.
Konvergenzkriterien, 8
Mit der Folge (an )n , also der Menge {an : n ∈ N0 } ist dann auch
für jedes m ∈ N0 die Menge
{aµ : µ ∈ N0 , µ = m}
beschränkt. Aufgrund des Supremums- bzw. des Infimumsprinzip
existieren daher sowohl ihr Supremum als auch ihr Infimum:
sm := sup {aµ : µ ∈ N0 , µ = m} ,
im := inf {aµ : µ ∈ N0 , µ = m} .
Dabei ist die Folge (sm )m monoton fallend und durch die untere
Schranke −M der Menge {an : n ∈ N0 } nach unten beschränkt.
Analog ist die Folge (im )m monoton wachsend und durch die obere
Schranke +M der Menge {an : n ∈ N0 } nach oben beschränkt.
Unter Verwendung des Satzes von Bolzano-Weierstraß folgt daraus
die Existenz der Grenzwerte
a := lim sm
m→∞
und
b := lim im .
m→∞
Konvergenzkriterien, 9
Sei nun ε > 0 beliebig vorgegeben.
Wegen a := lim sm und b := lim im gibt es dann ein
m→∞
m→∞
Na (ε/5) ∈ N0 und ein Nb (ε/5) ∈ N0 , so dass für alle m ∈ N0 mit
m = Na (ε/5) gilt
|sm − a| < /5
und für alle n ∈ N0 mit n = Na (ε/5) gilt
|in − b| < /5.
Sei nun N ∈ N0 beliebig mit
N = max {Na (ε/5), Na (ε/5)} .
Konvergenzkriterien, 10
Da sN = sup {aν : ν ∈ N0 , ν = N} die kleinste obere Schranke von
{aν : ν ∈ N0 , ν = N} ist, gilt einerseits für alle ν ∈ N0 mit ν = N,
dass
aν 5 sN < a + ε/5,
und andererseits, dass es ein m∗ (N) ∈ N0 mit m∗ (N) = N gibt, so
dass gilt
am∗ (N) > sN − ε/5.
Analog ergibt sich, dass zum einen für alle ν ∈ N0 mit ν = N gilt
b − ε/5 < iN 5 aν
und es zum anderen ein n∗ (N) ∈ N0 gibt mit n∗ (N) = N und
an∗ (N) < iN + ε/5.
Konvergenzkriterien, 11
Falls N = max {Na (ε/5), Nb (ε/5)} ist, gilt also für alle ν = N, dass
b − ε/5 < aν < a + ε/5.
Um die Konvergenz der Folge (an )n nachzuweisen, reicht es im
Folgenden also aus zu zeigen, dass gilt
a = b.
Annahme. Es gilt a 6= b.
Setze dann ε := |a − b| > 0. Da auch ε/5 > 0 und (an )n eine
Cauchy-Folge ist, gibt es dann ein N(ε/5), so dass für alle
m, n ∈ N0 mit m, n = N(ε/5) gilt
|am − an | < ε/5.
Konvergenzkriterien, 12
Sei nun N ∗ := max {N(ε/5), Na (ε/5), Na (ε/5)}. Dann gibt es nach
dem Obigen m∗ , n+ ∈ N0 mit m∗ , n∗ = N ∗ , so dass gilt
sN∗ = am∗ (N) > sN∗ − ε/5, also am∗ (N) − sN < ε/5
und
iN∗ 5 an∗ (N) < iN∗ + ε/5,
also
an∗ (N) − iN < ε/5.
Aus
a−b =
a − sN ∗ + sN ∗ − am∗ (N ∗ ) + am∗ (N ∗ )
− an∗ (N ∗ ) + an∗ (N ∗ ) − iN ∗ + iN ∗ − b
folgt dann wegen m, n = N ∗ = max {N(ε/5), Na (ε/5), Na (ε/5)},
dass
Konvergenzkriterien, 13
|a − b| 5
<
|a − sN ∗ | + sN ∗ − am∗ (N ∗ ) + am∗ (N ∗ ) − an∗ (N ∗ ) + an∗ (N ∗ ) − iN ∗ + |iN ∗ − b|
ε/5 + ε/5 + ε/5 + ε/5 + ε/5 = ε = |a − b|.
Dies ist aber ein Widerspruch!
Entstanden ist dieser aus der Annahme, dass a 6= b ist.
Somit muss in der Tat a = b sein.
Abschnitt 2.4
Weitere Beispiele
Zur Erinnerung: Der binomische Satz, 1
Definition. Für n ∈ N0 setze man
n
n!
:=
für k ∈ Z mit 0 5 k 5 n,
k
k!(n − k)!
n
:= 0
sonst.
k
Die so definierten Zahlen heißen Binomialkoeffizienten.
Beispiele. Für n ∈ N0 beliebig gilt
n
n
n
n
=n=
,
=1=
,
1
n−1
0
n
allgemein für k ∈ Z beliebig
n
n
=
.
k
n−k
Zur Erinnerung: Der binomische Satz, 2
Bemerkung. Für alle n ∈ N0 und alle k ∈ Z ist
Zahl.
n
k
eine natürliche
Der binomische Lehrsatz. Es seien a, b ∈ R und n ∈ N0 beliebig.
Dann gilt
n X
n n−k k
n
a
b ,
(a + b) =
k
k=0
also
(a + b)n
n n−0 0
n n−1 1
n n−2 2
=
a b +
a b +
a b + ···
0
1
2
n
n
n−(n−2) n−2
··· +
a
b
+
an−(n−1) bn−1
n−2
n−1
n n−n n
+
a b
n
2 n−2
n
a b
+ nabn−1 + bn .
= an + nan−1 b + n2 an−2 b2 + · · · + n−2
Die geometrische Folge, 1
Satz: Sei q ∈ R. Dann konvergiert die geometrische Folge (q n )n
genau dann, wenn q ∈] − 1, 1] gilt. Im Falle q ∈] − 1, 1[ ist der
Grenzwert gleich 0.
Beweis. Im Falle q = 0 und im Falle q = 1 liegen konstante und
mithin konvergente Folgen vor. Im Falle q = −1 liegt die Folge
((−1)n )n vor, die bereits in Abschnitt 2.1 als divergent
nachgewiesen wurde.
Mithin bleibt nur noch zu zeigen, dass die Folge (q n )n im Falle
|q| > 1 divergiert und im Falle 0 < |q| < 1 konvergiert.
Im Falle |q| > 1 ist s := |q| − 1 > 0. Wegen |q| = 1 + s liefert dann
der Binomische Lehrsatz, dass für alle n ∈ N0 gilt
n X
n n−k k
|q | = |q| = (1 + s) =
1
s = 1 + ns.
k
n
n
n
k=0
Die geometrische Folge, 2
Da s > 0 gilt, ist die Folge |q n | n nicht nach oben beschränkt, also
nicht beschränkt. Daher ist auch die Folge (q n )n nicht beschränkt
und daher nach dem Satz aus Abschnitt 2.1 nicht konvergent.
Ist jedoch 0 < |q| < 1, so setze man r := q1 . Dann ist |r | > 1.
Schreibt man analog wie eben r = 1 + s mit s > 0, so erhält man
entsprechend für n ∈ N× beliebig |r |n = 1 + ns, also
|q n | =
1
1
1
1 1
5
= · .
5
n
|r |
1 + ns
ns
s n
Mit n1 n≥1 ist nach der Folgerung aus Aussage 2. von Satz 1 in
Abschnitt 2.2 auch 1s · n1 n≥1 eine Nullfolge. Aufgrund von
Aussage 3. von Satz 2 aus dem gleichen Abschnitt folgt somit aus
der obigen Abschätzung, dass (|q n |)n und damit auch (q n )n eine
Nullfolge ist.
Die (strikte) Bernoullische Ungleichung, 1
Für alle x ∈ R mit x > −1, x 6= 0 und alle n ∈ N× mit n = 2 gilt
(1 + x)n > 1 + n · x.
Beweis (durch Induktion nach n).
Induktionsanfang. Wegen x 6= 0 ist x 2 > 0, also
(1 + x)2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x,
so dass die Behauptung für n = 2 gilt.
Induktionsschluß. Sei n = 2 eine natürliche Zahl, für die die strikte
Bernoullische Ungleichung gilt, also (1 + x)n > 1 + n · x.
Die (strikte) Bernoullische Ungleichung, 2
Wegen x > −1, also 1 + x > 0 und x 6= 0, also x 2 > 0 und damit
auch n · x 2 > 0 folgt daraus
(1 + x)n+1 =
(1 + x)n · (1 + x)
>
(1 + n · x) · (1 + x)
=
1 + n · x + x + n · x2
>
1 + (n + 1)x,
also die Behauptung für n + 1.
Aufgrund des Prinzips der vollständigen Induktion ist damit die
Behauptung für alle n ∈ N× mit n = 2 bewiesen.
Definition von e, 1
Die Folge (en )n sei definiert durch
1 n
en := 1 +
n
und die Folge (dn )n durch
1 n
dn := 1 −
n
für n ∈ N×
für n ∈ N× .
Dann gilt für alle n ∈ N× , dass
1 n
1 n
1 n
· 1−
= 1− 2
.
en · dn = 1 +
n
n
n
Definition von e, 2
Hilfssatz. Die Folge (dn )n=1 ist streng monoton wachsend.
Beweis. Wegen d1 = 0 und d2 = 14 reicht es, die Folge (dn )n=2 zu
betrachten. Sei n ∈ N× mit n = 2 beliebig. Dann ist insbesondere
1 − n1 6= 0 und daher dn 6= 0.
Wegen
1
n+1
− n1
1−
1
=
n+1−1
n+1
n−1
n
=
n
n+1
n−1
n
=
n2
n2 − 1 + 1
1
=
=1+ 2
2
2
n −1
n −1
n −1
gilt
dn+1
dn
=
=
1−
1
n+1
1 n
n
=
1
n+1
− n1
1−
!n+1 1
· 1−
n
1
n+1 1
1
· 1−
.
n2 − 1
n
1−
1+
n+1
Definition von e, 3
Man wende nun die strikte Bernoullische Ungleichung an für n + 1
anstelle von n und x := n21−1 . (Offenbar gilt x > −1 und x 6= 0.)
Dann ergibt sich
dn+1
dn
=
>
=
n+1 1
1
· 1−
1+ 2
n −1
n
1
1
1 + (n + 1) · 2
· 1−
n −1
n
1
n−1
n−1+1 n−1
1+
·
=
·
= 1.
n−1
n
n−1
n
Also ist der Hilfssatz bewiesen.
Definition von e, 4
Satz. Die Folgen (dn )n und (en ) konvergieren. Bezeichnet man ihre
Grenzwerte mit d bzw. e, so gilt e · d = 1.
n
Beweis: Die Folge (dn )n ist wegen dn = 1 − n1 durch 1 nach
oben beschränkt und aufgrund des Hilfssatzes streng monoton
wachsend, also nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß (Satz 2 aus
Abschnitt 2.3) konvergent. Ihr Grenzwert sei mit d bezeichnet.
Dann ist d > 0, da alle Folgenglieder dn mit n = 2 positiv sind und
die Folge streng monoton wächst. n
Für alle n ∈ N× ist en · dn = 1 − n12 . Aufgrund der
Bernoullischen Ungleichung mit x := − n12 gilt dabei für alle n = 2,
dass
1
1
1 n
>1−n· 2 =1− .
1= 1− 2
n
n
n
Definition von e, 5
n Da sowohl die konstante Folge (1)n als auch die Folge 1 − n1 n
gegen 1 konvergiert, folgt hieraus mittels Satz 1 aus Abschnitt 2.3,
dass gilt
1 n
1 = lim 1 − 2
= lim (en · dn ).
n→∞
n→∞
n
Wegen lim dn = d 6= 0 folgt daraus mittels Satz 1 aus
n→∞
Abschnitt 2.2, Aussage 3 die Konvergenz der Folge
en · dn
(en )n =
dn
n
und zwar gegen
lim (en · dn )
n→∞
lim dn
n→∞
=
1
.
d
Definition von e, 6
Setzt man also e := lim en , so gilt e · d = 1.
n→∞
Definition. Die Zahl
1 n
e := lim 1 +
n→∞
n
heißt Eulersche Zahl.
(Ihr Wert beträgt ungefähr 2,718281828.)