Physikalisches Anfängerpraktikum 4 h

Physikalisches Anfängerpraktikum 4
h-Bestimmung mit dem Photoeffekt
& Dispersion und Balmer-Serie
John Schneider & Jörg Herbel
Durchgeführt am 31.05.2012 & 14.06.2012
Universität Konstanz
SS 2012
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Versuchsziele
4
2 Physikalische Grundlagen
2.1 Grundlagen aus der Optik . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Brechungsindex & Dispersion . . . . . . . . . . .
2.1.2 Das Snelliussche Brechungsgesetz . . . . . . . .
2.1.3 Prismenspetralapparat . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Das Bohrsche Atommodell . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Übergänge bei Wasserstoff und Helium . . . . . . . . . .
2.3.1 Feinstruktur und Lamb-Verschiebung . . . . . . .
2.3.2 Termschema des Heliums, Para- und Orthohelium
2.4 Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
4
4
5
5
8
10
12
14
15
3 Versuchsdurchführung „Photoeffekt“
16
3.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Auswertung „Photoeffekt“
18
4.1 Aufbereitung der Messergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Bestimmung des Wirkungsquantums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Fehlerdiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Versuchsdurchführung „Balmer-Serie“
21
5.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Abauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6 Auswertung „Balmer-Serie“
22
6.1 Brechungsindex des Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.2 Bestimmung der Ryderberg-Konstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.3 Fehlerdiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7 Fragen und Aufgaben „Photoeffekt“
27
8 Fragen und Aufgaben „Dispersion und Balmer-Serie“
29
2
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
9 Anhang
30
Messprotokolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Physikalische Grundlagen
1 Versuchsziele
Im Versuch „h-Bestimmung mit dem Photoeffekt“ wird das Plancksche Wirkungsquantum h, eine Naturkonstante, bestimmt. Dazu wird eine durch den Photoeffekt erzeugte
Spannung vermessen. Im Versuch „Dispersion und Balmerserie“ untersuchen wir zunächst die dispersiven Eigenschaften eines Prismas. Danach bestimmen wir unter Verwendung dieses Prismas die Wellenlängen von Licht, welches bei Elektronenübergängen
in Wasserstoff sowie einfach ionisiertem Helium abgestrahlt wird.
2 Physikalische Grundlagen
2.1 Grundlagen aus der Optik
2.1.1 Brechungsindex & Dispersion
Fällt eine elektromagnetische Welle in ein Medium ein, so ändert sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit derselben. Die Welle propagiert dann mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit
cM . Der Brechungsindex n stellt eine Beziehung her zwischen cM und der Vakuumlichtgeschwindigkeit c:
c
n=
(1)
cM
Im Vakuum ist n = 1, ansonsten gilt immer n > 1 (allerdings ist n = 1 für Luft eine sehr
gute Näherung). Im Allgemeinen gilt n = n(!), wobei ! für die Kreisfrequenz der einfallenden Welle steht. Diese Abhängigkeit heißt Dispersion. Steigt n mit zunehmendem
!, spricht man von normaler Dispersion, ansonsten von anomaler. Die Abhängigkeit
zwischen n und ! ist je nach Medium verschieden. Für Dielektrika (wie z.B. das im
p
Versuch „Dispersion und Balmerserie“ verwendete Prisma) gilt n(!) = "r (!), wobei
" die (i.A. komplexe) relative Pemittivität des Dielektrikums ist. Folglich kann auch n
komplex sein. In diesem Fall gilt für <(n) der Zusammenhang aus Gl. (1) während =(n)
die Absorption des Dielektrikums beschreibt. In allen nachfolgenden Abschnitten ist mit
n stets <(n) gemeint.
4
2 Physikalische Grundlagen
2.1 Grundlagen aus der Optik
2.1.2 Das Snelliussche Brechungsgesetz
Trifft eine elektromagnetische Welle auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien, kann es
zu Transmission, Reflexion sowie Absorption kommen. Die Transmissionsrichtung wird
hierbei beschrieben durch das Snelliussche Brechungsgesetz :
n1 · sin ↵1 = n2 · sin ↵2
(2)
n1 ist der Brechungsindex des Mediums, aus dem die Welle kommt, n2 der des Mediums, in das sie einfällt. Bevor die Welle auf die Grenzfläche trifft, schließt ihre Ausbreitungsrichtung mit dem Lot auf die Grenzfläche den Winkel ↵1 ein, nach Passieren der
Grenzfläche den Winkel ↵2 .
2.1.3 Prismenspetralapparat
Ein Prismenspektralapparat ist ein Spektrometer, welches dazu dient, Licht in einzelne
Spektralkomponenten aufzuteilen. Das zu untersuchende Licht wird auf ein Prisma gelenkt, wo die einzelnen vorhandenen Wellenlängen aufgrund der Dispersion unterschiedlich stark gebrochen werden. Dadurch erfolt eine räumliche Aufteilung des Lichtstrahls
nach der Wellenlänge. Das Auflösungsvermögen eines Prismenspetralapparates hängt
von der Stärke der Dispersion im Prisma ab. Je größer der Unterschied zwischen zwei
verschiedenen Brechungsindizes, welche zwei verschiedene Wellenlängen erfahren, desto
größer ist das Auflösungsvermögen.
Für den Versuch „Dispersion und Balmerserie“ werden einige Winkelverhältnisse benötigt, die gelten, wenn Licht auf ein gleichschenklinges Prisma fällt. Diese werden im
Folgenden hergeleitet.
Brechender Winkel Der brechende Winkel
Seiten.
5
liegt zwischen den beiden gleichlangen
2 Physikalische Grundlagen
2.1 Grundlagen aus der Optik
3.3 Dispersion und Balmerserie
299
Abbildung 3.3.1: Skizze zur Messung des doppelten brechenden Winkels“ 2 eines PrisAbbildung 1: Winkelverhältnisse
beim Prisma aus [6]
”
mas.7
Wie in Abb.
1 zu
sehen
ist, fallen 2 parallele Strahlen auf die Schenkel des Prismas.
Fragen
und
Aufgaben
Man kann nun
eine Hilfslinie
ziehen,3.3.1
dass
sie beide
Strahlen
1. Beweisen
Sie, dass inso
Abbildung
folgende
Beziehungen
gelten:rechtwinklig schneidet
und durch die obere Spitze des Prisma verläuft.
wird ersichtlich,
dass gilt:
= #1 + #Dadurch
,
(3.3.2)
2
1
180° =
+ 90°
2
= #1 + #2 +
#1 + 90°= #2
1
,
(3.3.3)
()
.
2
2
= #1 + #2
(3.3.4)
(3)
2. Beweisen Sie, dass in Abbildung 3.3.3 unter der Voraussetzung ↵ = ↵1 = ↵2 , die im
Weiterhin gilt
in
dem Viereck, dessen untere 2 Seiten die gestrichelte Linie bildet, durch
Fall minimaler Ablenkung erfüllt ist, gilt:
Gegenwinkelbeziehung bzgl. #1 und #2 :
+
↵ = ↵1 = ↵2 =
+ #1 + #2 + 360°
(
1
= =1 =
2 =
360°
2)
2
.
2 ()
,
(3.3.5)
1
2
=
+ #(3.3.6)
1 + #2
(4)
3. Leiten Sie Gleichung (3.3.1) anhand der bohrschen Postulate her.9
Löst man Gl. (4) nach #1 + #2 auf und setzt das Ergebnis in Gl. (3) ein, erhält man:
4. für Physiker(innen) und Mathematiker(innen): Beweisen Sie die in Aufgabe
2 verwendete Aussage, dass im Fall minimaler Ablenkung der Strahlenverlauf für
ein monochromatisches, paralleles Strahlenbündel
symmetrisch ist. Es ist also der
1
2
=
↵2 und der Strahlenverlauf im Prisma
Einfallswinkel ↵1 gleich dem Ausfallswinkel
2
ist senkrecht zur Winkelhalbierenden des brechenden Winkels.
9
(5)
Diese Herleitung finden Sie ausführlich in vielen Lehrbüchern.
Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt
Diese Anleitung ersetzt
NICHT
den Grundlagenteil
Praktikumsberichtes!
Verbesserungsvorschläge?
Minimale Ablenkung
Für
die
folgendeIhres
Herleitung
vgl.Haben
[3],Sie S.
274 und 275. Es gilt der
Dieser Abschnitt:
Gesamtversion: kompiliert am 23. April 2012 um 12:00 Uhr
in Abb. 2 gezeigte Strahlenverlauf.
Revision: 129 , Date: 2012-04-20 17:15:28 +0200 (Fr, 20 Apr 2012)
6
den Prismenflächen, so erhält man:
y4
y6
y2
+ 3+
+··· .
x=
2R 8R
16R5
(9.12b)
cos α1 dα1 = n · cos β1 · dβ1 ,
(9.15a)
2 Physikalische Grundlagen
cos α2 dα2 = n · cos β2 · dβ2 .
ür achsennahe Strahlen (y ! R) kann man die höheen Glieder in (9.12b) vernachlässigen, und man erhält
mit f = R/2 die Gleichung der Parabel (9.11). Dies
eißt:
2.1
Grundlagen aus der Optik
(9.15b)
C
γ
δ
β1
In der paraxialen Näherung wirkt ein sphärischer
Spiegel mit dem Radius R wie ein Parabolspiegel
mit der Brennweite f = R/2. Für achsenferne Strahlen ist die Brennweite des sphärischen
Spiegels kleiner, die des Parabolspiegels bleibt
konstant.
α1
·
A
α2
B
β2
D
Abb. 9.18. Ablenkung δ eines Lichtstrahls durch ein
Prisma
Abbildung 2: Allg. Winkelverhältnisse beim Prisma aus [3], S. 274.
Für die Gesamtablenkung gilt:
= ↵1
1
+ ↵2
1
+
2
Weiterhin liest man
=
(6)
2
ab (Innenwinkelsumme des Dreiecks ABC). Damit folgt:
= ↵1 + ↵2
Gesucht ist der Einfallswinkel ↵1 , unter welchem
Bedingung erfüllt ( ist fest):
d
d↵2
=1+
=0
d↵1
d↵1
()
minimal wird. Daher ist folgende
d↵1 =
d↵2
(7)
Der Brechungsindex innerhalb des Prismas sei n, außerhalb sei er 1. Gl. (2) liefert:
sin ↵1 = n · sin
1
sin ↵2 = n · sin
2
Leitet man diese Beziehungen ab, erhält man:
cos ↵1 d↵1 = n · cos
cos ↵2 d↵2 = n · cos
1
d
1
(8)
2
d
2
(9)
Weiterhin erhält man aus Gl. (6) analog zu Gl. (7): d 1 = d 2 . Teilt man unter
Verwendung dieser Beziehung und unter Berücksichtigung von Gl. (7) die beiden Gl. (8)
7
2 Physikalische Grundlagen
2.2 Das Bohrsche Atommodell
und (9) durcheinander, erhält man:
cos ↵1
cos
=
cos ↵2
cos
1
(2)
=)
2
sin2 ↵1
n2
=
sin2 ↵2
n2
1
1
sin2 ↵1
sin2 ↵2
Da n 6= 1 ist, muss folglich ↵1 = ↵2 gelten, damit die Gleichung erfüllt und damit
Abbildung 3.3.2: Skizze zur Messung
des doppelten Minimalablenkungswinkels 2 am
7 ist. Der Strahl verläuft dann parallel zu Grundlinie des Prismas. Dies zeigt
minimal
Prisma.
nachfolgende Abbildung.
7
Abbildung
3.3.3: Skizze zur beim
Berechnung
Brechungsindex
n eines
Prismas.
Abbildung
3: Winkelverhältnisse
Prisma, des
wenn
Minimalablekung
auftritt.
Entnommen
aus [6].
5.
ür Physiker(innen):
Was1 haben
Balmerserie
Es fgilt
nun ↵1 = ↵2 = ↵ und
= 2 =die. Weiterhin
liest(Wasserstoff
man ab, dassmit Endniveau
m = 2) und die Pickeringserie (einfach ionisiertes Helium mit Endniveau m = 4)
beinahe gemeinsam?
180°
+ 2 · (↵
) = 180° ()
= 2 · (↵
)
(10)
Warum nur beinahe?
und
180°
+ 2 · (90°
) = 180°
gelten. Gl. (11) in Gl. (10) liefert:
+
2
↵=
()
=
2
(11)
(12)
Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt
Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge?
Dieser Abschnitt: Revision: 129 , Date: 2012-04-20 17:15:28 +0200 (Fr, 20 Apr 2012)
Gesamtversion: kompiliert am 23. April 2012 um 12:00 Uhr
2.2 Das Bohrsche Atommodell
Das Bohrsche Atommodell beschreibt Atome als Systeme, bei denen Elektronen der
Masse me den aus Protonen bestehenden Atomkern der Masse mK auf Kreisbahnen
8
2 Physikalische Grundlagen
2.2 Das Bohrsche Atommodell
umlaufen. Auf die Elektronen wirkt zum einen die Zentripetalkraft
FZ =
µv 2
,
r
wobei v die Geschwindigkeit der Elektronen, r der Bahnradius und
µ=
me mK
me + mk
me ⌧mK
⇡
(13)
me
die reduzierte Masse sind. Weiterhin übt der positiv geladene Atomkern (Ordnungszahl
Z ) eine Coulomb-Kraft auf die Elektronen aus:
Ze2
FC =
4⇡"0 r2
e steht hierbei für die Elementarladung. Für eine stabile Bahn muss FZ = FC gelten, es
folgt also (mit obiger Näherung für µ):
me v 2
Ze2
=
r
4⇡"0 r2
()
r=
Ze2
4⇡"0 me v 2
(14)
Um die möglichen Bahnradien einzuschränken, postulierte Bohr, dass wegen des WelleTeilchen-Dualismus des Elektrons nur solche Bahnradien möglich seien, bei denen die
Bahnlänge ein ganzzahliges Vielfaches der de Broglie-Wellenlänge dB = h/(me v) des
Elektrons ist (stehende Wellen). Auf diesen Bahnen kann sich das Elektron strahlungsfrei
bewegen, obwohl es ständig beschleunigt wird:
2⇡r = n
h
, n 2 N+
me v
(15)
Dies stellt eine Quantisierung von r und v sowie der Energie E des Elektrons dar (äquivalent zu obiger Forderung könnte man auch postulieren, dass für den Betrag L = me rv
des Drehimpuls der Elektronen gelten muss: L = n~). Löst man Gl. (15) nach v auf und
setzt in Gl. (14) ein, erhält man:
r(n) = rn =
n 2 h 2 "0
⇡me Ze2
(16)
Weiterhin gilt für die kinetische Energie der Elektronen:
2
1
(14) 1 Ze
Ekin = me v 2 =
=
2
2 4⇡"0 r
9
1
Epot
2
2 Physikalische Grundlagen
2.3 Übergänge bei Wasserstoff und Helium
Epot ist hierbei die potentielle Energie der Elektronen im Coulomb-Potential des Kerns.
Es folgt:
En = E(rn ) = Ekin (rn ) + Epot (rn ) =
1 Ze2 (16)
=
2 4⇡"0 rn
me e 4 Z 2
8"20 h2 n2
Ein weiteres Postulat des Bohrschen Atommodells besteht darin, dass Elektronen ihre
Energie und damit ihren Bahnradius ändern können, indem sie Photonen absorbieren
oder emittieren. Allerdings muss hierfür die Energie h⌫, ⌫: Wellenlänge, des Photons
genau der Energiedifferenz der Bahnen j und k entsprechen, zwischen denen das Elektron
wechselt: h⌫ = Ej Ek . Es folgt für die möglichen Frequenzen der absorbierten bzw.
abgestrahlten Photonen:
⌫j,k
me e 4
= 2 3 ·c · Z 2 ·
8"0 h c
| {z
}
✓
1
k2
1
j2
◆
(17)
=R1
Die Zahl R1 heißt Rydberg-Konstante, der Index 1 wird wegen der Näherung in Gl.
(13) verwendet, welche mK ! 1 entspricht. Das Bohrsche Atommodell liefert recht
genaue Vohersagen für das Wasserstoffatom und Ionen mit nur einem Elektron. Für
Atome oder Ionen mit mehreren Elektronen ist es jedoch i.A. unbrauchbar.
2.3 Übergänge bei Wasserstoff und Helium
Ausgehend von Gl. (17) kann man für das Wasserstoffatom mit Z = 1 ein Schema erstellen, welches die möglichen Energieniveaus (Terme) des Elektrons im Wasserstoffatom
angibt. Dies zeigt Abb. 4.
10
2 Physikalische Grundlagen
2.3 Übergänge bei Wasserstoff und Helium
3. Entwicklung der Quantenphysik
Termenergie / eV
n
0
ν / cm−1
Ionisierungsgrenze
∞
0
7
6
5
−0,9
−15
,
PfundSerie
4
BrackettSerie
3
−3,45
10000
PaschenSerie
Hα
Hβ
Hγ
Hδ
Hε
108
2
20000
BalmerSerie
30000
Lyman-Serie
−13,6
110000
1
Abb. 3.37. Vereinfachtes Termschema des H-Atoms mit den verschiedenen Emissions- bzw. Absorptions-Serien. Da im Allge-
Abbildung
4:Grundzustand
Vereinfachtes
atomaren
Wasserstoff
[4], nur
S. in
108.
Es gilt
meinen nur der
n = 1Termschema
merklich besetzt des
ist, treten
die Serien,
die auf n ≥ 2 aus
münden,
Emission
auf,hierwährend
die Lyman-Serie sowohl
als auch in Emission beobachtet wird
bei: ⌫¯ in=Absorption
1/ .
skopie
in der Einheit [Ry]
= 1 cm−1 angegeben
vereinigen
konnten. Nach langem
Die verschiedenen
Übergänge
sind in wird,
Serienkonsistent
aufgeteilt.
Die Balmer-Serie
liegt Bemüim
weil die Wellenzahlen in der Einheit cm−1 gemessen hen kam Niels Bohr (1885–1962, Nobelpreis 1922)
sichtbaren
Bereich und ist deshalb rot markiert,
bei ihr liegt das Endniveau bei n = 2.
werden.
(Abb. 3.38), ausgehend von dem Rutherford-Modell,
fanden Theodore Lyman
(1874–1954)
und im
1913 schließlich
seinem berühmten PlaEineSpäter
der Balmer-Serie
sehr ähnliche
Gruppe
vonJahre
Übergängen,
die zu
Pickering-Serie,
Friedrich Paschen (1865–1947) weitere Serien von Li- netenmodell des Atoms [3.27, 28], das wir jetzt am
findet
sich 3.37),
bei einfach
ionisiertem
Helium
mit
= 2, hier
das
bei n =
4. Hnien (Abb.
die ebenfalls
durch (3.97)
mit n 1 =
1 ZBeispiel
von liegt
Atomen
mitEndniveau
nur einem Elektron
(z. B.
+
bzw.Wellenlängen
n 1 = 3 beschrieben
konnten.von
Wie Energieniveaus
lässt Atom, He -Ion,
vorstellen
Die
bei werden
Übergängen
mit etc.)
geradem
n wollen.
> 4 sind fast
sich dies erklären?
Im Bohr’schen Atommodell läuft das Elektron
identisch mit Wellenlängen der Balmer-Serie.(Masse
Der geringfügige
Unterschied
zwischen
v auf
einer Kreism e ) mit der Geschwindigkeit
bahn mit Radius r um
den Schwerpunkt
S von
Elektron
beiden
Serien
hat
seinen
Ursprung
in
den
unterschiedlichen
Massen
der
Kerne
beider
3.4.2 Das Bohr’sche Atommodell
und Kern (Masse m K und Ladung +Ze). Wie bereits in
Teilchen.
man fürErgebnisse
die Berechnung
von R Abschn.
µ nicht2.5
durch
me nähern,
so sich
ergäben
diskutiert
wurde, lässt
dieses sich
System
Um dieseWürde
experimentellen
zu verstehen,
beschreiben
durch
die Bewegung
Teilchens
mit
wurden von mehreren
Autoren verschiedenefür
Mounterschiedliche
Rydberg-Konstanten
Wasserstoff
und
Helium,
weil µeines
=
6
µ
.
Die
H
He
delle entwickelt, die jedoch nicht alle Beobachtungen der reduzierten Masse µ = m e · m K /(m e + m K ) ≈ m e
nachfolgende Tabelle zeigt die Wellenlängen der Balmer- und Pickering-übergänge.
11
2 Physikalische Grundlagen
2.3 Übergänge bei Wasserstoff und Helium
Balmer-Serie
Linie
[nm]
H↵ bzw. C 656,3
H bzw. F 486,1
H bzw. G 434,1
H bzw. h 410,2
Pickering-Serie
[nm]
656,0
541,2
485,9
454,2
433,9
420,0
410,0
Tabelle 1: Wellenlängen der Balmer- und Pickeringübergänge
2.3.1 Feinstruktur und Lamb-Verschiebung
Bei ausreichend hoher Auflösung kann man beobachten, dass die Linien der BalmerSerie in weitere Unterlinien aufgespaltet sind. Dies kann nicht mehr durch das Bohrsche
Atommodell erklärt werden. Man muss stattdessen den Bahndrehimpuls des Elektrons
sowie dessen Eigendrehimpuls (Spin) berücksichtigen. Dazu führt man neben der Hauptquantenzahl n aus dem Bohrschen Atommodell die Drehimpuls- oder Nebenquantenzahl l für den Bahndrehimpuls des Elektrons sowie die Spinquantenzahl s für den Elektronenspin ein. Es gilt hierbei l 2 N und l  n 1 für jedes feste n sowie s = 1/2.
Die Drehimpulsquantenzahl entspricht den unterschiedlichen Orbitalen innerhalb des
Atoms (l = 0 entspricht dem s-Orbital, l = 1 dem p-Orbital usw.). Das Elektron erzeugt nun zwei magnetische Momente: zum einen entspricht der Umlauf deselben um
den Atomkern einem Kreisstrom, wodurch ein Magnetfeld erzeugt wird, zum anderen erzeugt der Spin des Elektrons ein weiteres Magnetfeld. Die Kopplung beider magnetischer
Momente (Spin-Bahn- bzw. l -s-Kopplung) bewirkt eine weitere Aufteilung der Spektrallinien des Wasserstoffs, welche Feinstruktur heißt. Dabei koppeln der Bahndrehimpuls
sowie der Spin zu einem Gesamtdrehimpuls, der durch die Gesamtdrehimpulsquantenzahl j = |l ± s| beschrieben wird. Unterschiedliche Werte für j ergeben getrennte Linien
im Spektrum. Für n = 1 gilt l = 0 und daher j = 1/2, diese Linie erfährt also keine
weitere Feinstrukturaufspaltung in weitere Unterlinien. Für n = 2 gilt l = 0, 1 und damit
j = 1/2, 3/2, hier erfolgt also eine Aufspaltung in 2 Unterlinien.
Eine noch feinere Aufspaltung erzeugt die Lamb-Verschiebung. Dieser quantenelektrodynamische Effekt erfolgt durch sogenannte virtuelle Wechselwirkungen. Das Elektron im
12
e−
rkung
a)
sem Kapitel wurde der
Elektronenspin auf Grund
2 Physikalische
Grundlagen
2.3 Übergänge bei Wasserstoff und Helium
ern-Gerlach-Versuchs phänomenologisch eingehν
indem die räumliche Wellenfunktion als Lösung
hν
chrödingergleichung durch einen Faktor, die
CoulomB-Feld des Kerns absorbiert oder emittiert während dere−Zeit t < ~/ E = 1/!
unktion, erweitert wurde.
ein Photon
der Energie ~!, ohne dass sich im Rahmen der Unschärferelation die Energie
ne vollständige Theorie,
die den Elektronenspin
hν
nfang an einschließt, wurde 1928 von Paul A.M.
hν
des Elektrons ändert. Diesb)zeigt Abb 5.
(1902−1984) entwickelt, der statt der Schrödinichung eine relativistische Effekte berücksichtiGleichung, die Dirac-Gleichung, aufstellte. Sie
ür alle Einelektronensysteme exakte Lösungen,
e man diese auf echte Einkörperprobleme zue−
hren kann. Dies gilt z. B. nicht mehr für das aus
on und Positron bestehende Positronium (siehe
n. 6.7.4).
+Z ⋅ e
Lamb-Verschiebung
n Atom, das elektromagnetische Strahlung ab- c)
ren bzw. emittieren kann, völlig korrekt zu
eiben, muss man die Wechselwirkung des Atoms Abb. 5.35a–c. Zur Illustration der Zitterbewegung eines
Abbildung 5: Aufgrund vonElektrons
virtuellen
Wechselwirkung
Elektron eine Zitterbeauf Grund
von Emission undvollführt
Absorption das
virtueller
m Strahlungsfeld berücksichtigen.
Photonen
wegung
während
des
Umlaufs
auf
einem
festen
Energieniveau
um den Kern.
ese Wechselwirkung tritt nicht nur bei einer
chen Absorption oder Emission vonEntnommen
Strahlung aus [4], S. 181.
das Atom auf, sondern auch bei so genannten Durch die virtuelle Absorption und Emission von Pholen Wechselwirkungen, bei denen das Elek- tonen (Abb. 5.35) vollführt das Elektron wegen des
Aufgrund
dieser
tritt eine
Verschiebung
der Energieterme auf.
eine kleine
Zitterbewegung
im Coulombm Coulombfeld des Kerns
während
einerWechselwirkung
Zeit Photonenrückstoßes
~/∆E = 1/ω ein Photon der Energie ~ω absor- feld des Kerns [5.6]. Seine mittlere potentielle Energie
Nachfolgende182
Abb.
dies.
5.zeigt
Das Wasserstoffatom
wird dann
bzw. wieder emittieren kann (also
in seinem
$
#
nären Zustand bleibt), ohne dass (im Rahmen der
"
!
Ze2
1
Abb. 5.36. Feinstruktur und Lamb-Versch
E pot = −
,
ärferelation) der Energiesatz verletzt würde. Bei
2s, 2p
beim Wasserstoffzustand mit n = 2
4πε0 r−+
δr
n „virtuellen Wechselwirkungen“ geht das Atom
113
, ⋅ 10 5 eV
2 2 P3 / 2
wie bei der Emission oder Absorption reeller wobei δr die durch
die Wechselwirkung mit den virtu2 2 P3 / 2
4,6 ⋅Elektronen10 −8 eV
nen in andere reelle Zustände über.
ellen Photonen verursachte
Änderung des
ese Wechselwirkung führt zu einer kleinen Ver- ortes ist. Bei statistischer Verteilung ist zwar "δr# = 0,
2 2 S1/ 2
ung der Energieterme, deren Größe von der aber "(r + δr)−1 # $= "r −1 #, sodass eine Verschiebung
chen Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elek- der Termenergien
4,53 ⋅auftritt.
10 −5 eV Ihre genaue Berechnung
4,31⋅ 10 −6 eV
m Coulombfeld des Kerns und deshalb von den wird in einer erweiterten Theorie, der Quantenelektroenzahlen n und l abhängt.
dynamik möglich, welche die vollständige Beschreian kann sich die Lamb-Verschiebung wenigstens bung von Atomhüllen und ihrer Wechselwirkung mit
−8
2 2 S1/ 2 , Feldern
2 2 P1/ 2 liefert. 6 ⋅ 10 eV
ativ in einem anschaulichen Modell klar machen: elektromagnetischen
2 2P
1/ 2
SchrödingerTheorie
ohne Spin
DiracTheorie
Feinstruktur
Lamb-Verschiebung
Quantenelektrodynamik
Abbildung 6: Feinstruktur und Lamb-Verschiebung beim Wasserstoff mit n = 2 aus [4], S.
182
Die Effekte dieser Wechselwirkungen sind im
Allgemeinenbietet
jedoch Abb.
so klein,
Einen größeren Überblick
7.dass für die üblichen ex-
perimentellen Genauigkeiten in den meisten Fällen die
Dirac-Beschreibung (bzw. die Schrödingergleichung
mit Berücksichtigung des Spins) völlig genügt.
Das genaue Termdiagramm des Zustandes mit
n = 2 im H-Atom ist in Abb. 5.36 gezeigt. Die LambVerschiebung ∆E L ist am größten für S-Zustände, weil
der Effekt von δr auf !E pot " für kleine r, d. h. nahe am
Kern, am größten ist.
Die berechneten Werte sind13
∆E L (12 S1/2 ) = + 3,35 · 10−5 eV
⇒ ∆νL = + 8,17 GHz ,
∆E L (2 S1/2 ) = + 4,31 · 10−6 eV
2
2P
⇒ ∆νL = + 1,05 GHz ,
∆E L (2 1/2) = − 5,95 · 10−8 eV
den H-Atome werden durch die Blende B zu
Atomstrahl kollimiert und durch Elektronenstoß
metastabilen 2S1/2 -Zustand angeregt, dessen L
dauer länger als 1 s ist. Nach einer Flugstrecke L
die metastabilen Atome auf ein Wolframblech,
sie ihre Anregungsenergie abgeben, die ausreic
ein Elektron aus dem Blech auszulösen. Die Elek
werden auf einen Detektor abgezogen und als
gemessen.
Während des Fluges durchlaufen die met
len 22 S1/2 -Atome ein Hochfrequenzfeld, desse
quenz so abgestimmt wird, dass Übergänge
→ 22 P 1/2 induziert werden. Die Energiedif
∆E = 4,37 · 10−6 eV entspricht einer Übergan
quenz von ν = 1,05 · 109 s−1 . Sie liegt im Mikrow
bereich (λ = 0,3 m). Die 22 P 1/2 -Atome haben nu
Lebensdauer von τ ≈ 2 · 10−9 s, weil sie durch
sion eines Photons h · ν ≈ 10 eV (Lyman-α-Stra
2
2
(Abb. 5.32).
relativistische Massenkorrektur und die Feinstr
Für größere Magnetfelder (µF · B > ∆E HFS) wird infolge des Elektronenspins aufgetragen sind. D
die Kopplung zwischen j und I aufgebrochen. Es gibt folgt die Lamb-Verschiebung und ganz rechts
keinen
wohldefinierten Gesamtdrehimpuls F 2.3
mehr,
Hyperfeinstruktur. Man beachte, dass die Energi
Physikalische Grundlagen
Übergänge bei Wasserstoff und Helium
E/eV
n
5
–1,5
–3,37
4
3 D5/ 2
3 D5/ 2
F =1
3
3 P3 / 2 3 D3 / 2
3 P3 / 2 3 D3 / 2
3 S1/ 2 , 3 P1/ 2
3 P1/ 2 3 S1/ 2
F=0
F =1
F=0
2
∆EFS = −0,56 ⋅ 10 −4 eV
2 P3 / 2
2 P3 / 2
2 S1/ 2
2 S1/ 2 , 2 P1/ 2
2 P1/ 2
2
1
2
1
F=2
F =1
F =1
Energieskala
100-f ach
gespreizt
F=0
F =1
F=0
–13,6
∆EFS = −1,8 ⋅ 10 − 4 eV
1
1S1/ 2
F =1
1S1/ 2
F=0
1eV = 8065,54cm −1
Bohrsche
Energieniveaus
Feinstruktur
nach Dirac
= Schrödingergleichung ohne
Spin
= l - s - Kopplung
+ relat. Massenzunahme
→ →
Lamb-Verschiebung
Hyperfeinstruktur
= Strahlungskorrektur (QED)
= Kerneffekte
Abb. 5.34. Vollständiges
schema des H-Atoms mit
bisher bekannten Wechs
kungen. Die Fein- und
perfeinstruktur und die L
Verschiebung sind nicht
stabsgerecht gezeichnet
Abbildung 7: Feinstruktur und Lamb-Verschiebung beim Wasserstoff. Entnommen aus [4], S.
180, selbstständig verändert.
Aufgrund der Feinstrukturaufspaltung sowie der Lamb-Verschiebung ist das Energieniveau n = 2 in 3, das Energieniveau n = 3 in 5 Unterniveaus aufgespaltet. Jedoch gibt
es für Übergänge zwischen Termen bestimmte Auswahlregeln, wodurch bestimmte Übergänge nicht stattfinden. Insgesamt zerfällt die H↵ -Linie der Balmer-Serie (Übergänge
zwischen n = 2 und n = 3) in 7 Unterlinien.
2.3.2 Termschema des Heliums, Para- und Orthohelium
Das Heliumatom, welches über 2 Elektronen verfügt, hat 2 verschiedene Grundzustände.
Zum einen ist es möglich, dass sich die beiden Spins der Elektronen zu einem Gesamtelektronenspin von 0 addieren, man spricht dann von Parahelium. In diesem Fall tritt keine
14
2 Physikalische Grundlagen
2.4 Photoeffekt
Feinstruktur im Termschema des Heliums auf, es handelt sich um ein Singulett-System,
die Multiplizität aller Linien im Spektrum ist 1. Weiterhin können sich die Elektronenspins auch parallel zueinander einstellen, es entsteht ein Gesamtspin von 1. Es handelt
sich dann um Orthohelium. In diesem Fall kommt es zu einer Feinstrukturaufspaltung in
jeweils 3 Unterlinien, daher spricht man von einem Triplett-System. Nachfolgende Abb.
zeigt dies.
198
6. Atome mit mehreren Elektronen
Singulett-System
E
Triplett-System
31P 1
3 3S 1
3 1S 0
3 P 0
1
2
706,5 nm
728,1 nm
J
21P 1
501,57
nm
2 1S 0
J
1
2
3
3
1083 nm
2058,1 nm
2 3P
0
1
2
0
3
P1
2
Abb. 6.11. Erlaubte Übergänge zwischen Feins
ponenten von 3 D- und 3 P -Zuständen
2 3S 1
53,7 nm
Übergänge zwischen Zuständen des
Systems (S = 0) und des Triplett-Systems (
danach verboten.
11S 0
Bei Übergängen zwischen Zuständen
Abb. 6.10. Singulett- und Triplett-Übergänge im Emissionssind
auf Grund
Abbildung 8: Singulettund
Triplett-Übergänge beim He-Atom aus [4],
S. 198der Auswahlregeln häufig m
spektrum des
He-Atoms
Linienkomponenten erlaubt, wie in Abb. 6.1
spiel eines Überganges 3 D → 3 P illustrier
Übergänge zwischen den beiden Termsystemen finden nicht statt.sechs Triplett-Komponenten im Spektrum
werden.
bestimmt wird (Abb. 6.10). Nicht jede nach (6.21)
Da sich die Spektren des Singulett-Sy
mögliche Wellenlänge λik wird jedoch im Spektrum wohl in den Wellenlängen als auch in der S
beobachtet, d. h. nicht jede Komponente (i, k) tritt Spektrallinien (einfache Linien im Singule
wirklich auf. Es gelten die in Abschn. 7.2 näher erläu- Multipletts im Triplett-System) deutlich von
2.4 Photoeffekt terten Auswahlregeln für die Übergänge Ei ↔ Ek bei Triplett-Systems unterscheiden (Abb. 6.10),
Absorption und Emission von Photonen.
ursprünglich geglaubt, die beiden untersc
Für
die
Änderung
der
Quantenzahlen
(n,
l,
m
,
j,
s)
l
würden
Wird ein Metallplatte mit Licht bestrahlt, ist es möglich, dass sich Spektren
Elektronen
ausvon
derunterschiedlichen H
des angeregten Elektrons gilt, genau wie beim H-Atom, erzeugt, die man Parahelium (Singulett-Sy
Platte herauslösen. Dieser Vorgang heißt Photoeffekt. Er wird ermöglicht,
indem ElektroOrthohelium
(Triplett-System) nannte. He
wir,
dass
es
nur
eine Heliumart gibt und da
0, ±1 , absorbieren (1 Photon pro herausgelös∆l =
±1, ∆m l =Lichtes
nen im Metall Photonen des
einfallenden
terschiede in den Spektren auf den
√ untersc
tem Elektron). Dadurch erhalten
die
Elektronen
die
Energie
E
=
h
·
⌫
der
einfallenden
Ph
Gesamtspin
S
=
s
+
s
mit
|S|
=
S(S + 1
∆ j = 0, ±1 außer j = 0
j = 0,
(6.22)
1
2
möglichen
Gesamtspinquantenzahlen
S=0
Photonen, wobei ⌫ die Lichtfrequenz ist. Damit Elektronen das Metall verlassen kön∆s = 0 .
oder S = 1 (Triplett-System) zurückzuführe
58,83 nm
nen, müssen sie die Austrittsarbeit WA verrichten, weil sie im Metall zwar frei beweglich,
sich bei der Anregung
nur das
eines Auftreten
Elektrons diedes Photoeffekts muss
jedoch nicht vollkommenDa
ungebunden
sind. Für
Quantenzahlen des anderen Elektrons nicht ändern,
Aufbau
der als
Elektronenhülle
folglich die Bedingung gelten
EPh damit
WAauch
erfüllt
sein.
Erhalten die
mehr
Energie,
für die
Quantenzahlen
der Elektronen
Gesamt- 6.2
größerer
Atome
drehimpulse
L = l1 + l2resultiert
, S = s1 + s2der
und Überschuss
J = L + S die in kinetischer
sie zum Verlassen des Metalls
benötigen,
Energie
gleiche Auswahlregeln
∆L = ±1 ,
∆M L = 0 ± 1 ,
wie beim H-Atom.
15
∆S = 0
(6.23)
Da wegen des Pauliprinzips nicht mehr
Elektronen den tiefsten Energiezustand
einnehmen können, müssen beim Aufbau
tronenhüllen größerer Atome alle weiteren
energetisch höhere Niveaus mit n ≥ 2 besetz
3 Versuchsdurchführung „Photoeffekt“
Ekinh-Bestimmung
, dies wird durch
Einstein-Gleichung
beschrieben:
5.1
mitdie
dem
Photoeffekt
Kompensationsmessung
1
Ekin = me v 2 = h⌫
2
WA
545
(18)
Da der erreichbare Photostrom sehr gering ist, und die Photospannung bei Belastung
me steht für die Masse der Elektronen, v für deren Geschwindigkeit.
stark abfällt, muss eine Methode zur Messung der Photospannung gewählt werden, die
möglichst die völlig unbelastete Spannung misst. Dies geschieht durch eine Kompensationsmessung, bei der die Photospannung durch eine einstellbare Gegenspannung aufgehoben wird, so dass gerade kein Photostrom fließt. Den Strom überwacht man dabei für
höchste Messgenauigkeit mit Hilfe eines empfindlichen Messverstärkers. Die Gegenspannung entspricht dann betragsmäßig der Photospannung und kann problemlos mit einem
üblichen Multimeter gemessen werden.
Versuchsdurchf
ührung
3 Versuchsdurchführung
„Photoeffekt“
Achtung: Das gelegentlich notwendige Ausheizen der Ringanode aus Platindraht darf
3.1von
Aufbau
einem/einer erfahrenen Betreuer/in durchgeführt werden, da sonst bleibende
nur
Schäden an der Photozelle entstehen können. Der entsprechende Teil des Schaltbildes soll
Ein Schema
Versuchsaufbaus
nachfolgende
Abbildung.
beim
Versuchdes
normalerweise
nicht zeigt
mit aufgebaut
werden.
Abbildung 5.1.1: Versuchsaufbau
zur h-Bestimmung
mit Hilfe
Abbildung 9: Schematischer
Versuchsaufbau
aus des
[7] Photoeffekts nach
[Ley71]. Bei dem im Anfängerpraktikum befindlichen Aufbau wird das Prisma im Vergleich zu dieser Skizze um 180 gedreht eingesetzt, um besser an den Blenden vorbeizuAls Lichtquelle dient eine Quecksilberlampe, die mit einem Schieber verdunkelt werkommen. Dadurch vertauscht sich lediglich die Reihenfolge der Spektrallinien.
den kann. Das eingestrahlte Licht wird durch eine Kombination von Sammellinse, Spalt
und Abbildungslinse auf das Geradsichtprisma fokussiert (für dessen Funktionsweise s.
Im
Versuch7,wird
Licht
einer wird
Quecksilber-Hochdruck-Dampf-Lampe
mit Hilfe
GeAbschnitt
Frage
1). Dort
es spektral zerlegt, anschließend lenkt
es dereines
Spiegel
radsichtprismas spektral zerlegt. Die Linien des Spektrums werden einzeln nacheinander
in Richtung
der Photozelle.
Eine eine
weitere
Sammellinsewird
fokussiert
das LichtPhotostrom
schließlich
auf
eine Photozelle
gelenkt. Durch
Gegenspannung
der entstehende
unterdrückt (Kompensationsmethode). Aus der Abhängigkeit der notwendigen Gegenspannung von der Wellenlänge des Lichtes wird das plancksche Wirkungsquantum h
ermittelt.
16
Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt
Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge?
Dieser Abschnitt: Revision: 129 , Date: 2012-04-20 17:15:28 +0200 (Fr, 20 Apr 2012)
Gesamtversion: kompiliert am 23. April 2012 um 12:00 Uhr
3 Versuchsdurchführung „Photoeffekt“
3.2 Ablauf
auf die Zelle. Aufgrund der spektralen Aufteilung des Lichts ergeben sich hierbei unterschiedliche Brennpunkte für die enthaltenen Anteile. Über die Gewindeführung kann
ausgewählt werden, welcher Spektralanteil auf die Photozelle abgebildet werden soll. Die
Messung erfolgt über eine angeschlossene Elektronik, der Schaltplan ist in der nachfol546
5. Versuche zur Atom- und Quantenphysik
genden Abbildung zu sehen.
Abbildung 5.1.2: Schaltbild
mit Hilfe des Photoeffekts
nach [Ley71].
Abbildungzur
10:h-Bestimmung
Schaltplan der Messvorrichtung
aus [7]
Das am Ausgang des Messverstärkers liegende Multimeter muss auf Gleichspannungsmessung (Messbereich 1 V) eingestellt werden. Der angezeigte Wert ist dann proportional
Das
Lichtden
fälltMessverstärker
auf die Kalium-Kathode
Photozelle
und es kommt zum Photoeffekt,
zum
durch
fließenden der
Strom
I.
wodurch eine Photospannung zwischen Kathode und Anode entsteht. Diese ist jedoch
sehr gering und fällt bei einer Belastung durch eine Messung stark ab. Deshalb wird
1. Kompensationsmessung
Öffnen Sie das Spektrometergehäuse
den Strahlengang
(Abeine
durchgeführt: und
Mankontrollieren
legt eine der Sie
Photospannung
entgegenbildung
5.1.2). Die
Sammellinse
wird
so eingestellt,
das Licht
gerichtete
Spannung
an und
stellt diese
so ein,
dass geradedass
keinsie
Strom
fließt der
undQueckbeide
silberdampflampe auf den Spalt bündelt. Der Spalt wiederum wird über die AbbilSpannung daher betragsmäßig gleich sind. Der Stromfluss wird hierbei mit einem Messdungslinse auf das Fenster abgebildet. Durch das Geradsichtprisma entsteht für jede
verstärker
genau überwacht.
Auf Bild
diesedes
Weise
misstDie
manSpaltbilder
die unbelastete
Photospannung
Spektrallinie
ein getrenntes
Spaltes.
können
durch Schwenken
des
Spiegels
und
der
Photozelle
einzeln
auf
die
flächige
Kathode
der Photozelle
durch Abgreifen der eingestellten Gegenspannung.
gelenkt werden. Vermeiden Sie dabei möglichst, dass gleichzeitig auch die Ringanode beleuchtet wird. Die Abbildung auf der Kathode soll ruhig etwas unscharf sein,
um eine etwas größere Fläche zu beleuchten.
2. Korrigieren
3.2
Ablauf Sie folgendermaßen den Nullpunkt des Messverstärkers:
alle Lichteintrittsöffnungen des Spektrometers schließen, die Gegenspannung auf null
Zunächst
haben
die im
Nullstellung
des Messverstärkers
eingestellt,des
indem
wir bei gebringen
undwir
dann
zweitempfindlichsten
Strommessbereich
Messverstärkers
10
A) die Anzeige mit Hilfe
dafür vorgesehenen
Reglers auf nullsoeinstellen.
(10 Lichteintrittsöffnung
schlossener
ohnedes
Gegenspannung
den Messverstärker
reguliert
haben,
dass kein
floss. Daraufhin
begannen wir mit und
der Messung
der zu
Spektrallinien
3. Öffnen
Sie Strom
den Schieber
bei der Hg-Dampflampe
messen Sie
jeder Spekder Hg-Dampflampe
mittels
Kompensationsmethode.
Wir
wiederholten
jeden
Messung
trallinie aus Tabelle 5.1.1 die Photospannung an der Photozelle (evtl. bis
auf die
sehr
schwache
Linie
bei
493
nm).
Während
der
Messung
selbst
muss
der
Aufbau
drei mal und überprüften zwischendurch stets die Nullstellung des Messverstärkers. Die
an allen
Stellen unbedingt
gut geschlossen sein – auch der Schieber an
Ergebnisse
sindanderen
dem Messprotokoll
zu entnehmen.
der Mattscheibe muss geschlossen bleiben, um Streulicht zu vermeiden. Die Spannungsmessung selbst erfolgt mittels der Kompensationsmethode (siehe Schaltbild in
Abbildung 5.1.2). Dabei erhöhen Sie die Gegenspannung langsam durch Verändern
des Schiebewiderstandes, bis die Stromanzeige
gerade auf I = 0 zurückgeht. Warten
17
Sie vor dem Ablesen ein bisschen, bis sich wirklich ein Gleichgewicht eingestellt hat,
und regeln Sie – falls nötig – nochmals etwas nach.
Hinweis: Kontrollieren Sie immer wieder, ob der Nullpunkt noch stimmt, indem
Sie den Schieber schließen und die Gegenspannung abschalten. Ein Driften des
4 Auswertung „Photoeffekt“
4 Auswertung „Photoeffekt“
Um den Versuch auszuwerten, werden wir die gemessenen Gegenspannungen über deren
Frequenz in einem Schaubild darstellen. Hieraus lässt sich der Quotient h/e bestimmen, wodurch wir in der Lage sein werden, das Plancksche Wirkungsquantum unter
Annahme der Elementarladung zu ermitteln.
4.1 Aufbereitung der Messergebnisse
Da wir jede Spektrallinie jeweils dreifach vermessen haben, können wir je einen Mittelwert samt Standardabweichung der Gegenspannung berechnen. Diese sind in Tabelle 2
aufgeführt und in Abbildung 11 visualisiert.
Frequenz [1014 Hz]
5,19
5,49
6,08
6,88
7,41
MW [mV]
69,67
288,67
464,67
708,00
733,67
STABW [mV]
2,52
2,52
11,55
2,65
1,53
Tabelle 2: Die gemittelten Gegenspannungen samt Standardabweichung
Abbildung 11: Die Werte der Gegenspannung aufgetragen über der Frequenz mit linearer Regressionsgerade erstellt mit QtiPlot
18
4 Auswertung „Photoeffekt“
4.1 Aufbereitung der Messergebnisse
Bei der Betrachtung des Schaubilds fällt der fast lineare Anstieg ins Auge. Wir führen
daher eine lineare Regression nach dem Prinzip der kleinesten Quadrate durch. Gesucht
ist eine Funktion folgender Form:
y = A + Bx.
Nach [8] lassen sich die besten Schätzwerte für A und B mit folgenden Formeln berechnen:
A =
B =
(
P
N(
x2i ) (
P
P
yi )
xi yi )
(
(
P
P
xi ) (
xi ) (
P
wobei N die Anzahl der Messwerte angibt und wir
=N
⇣X
x2i
⌘
P
yi )
xi yi )
,
,
als Abkürzung für
⇣X
xi
⌘2
verwenden. Die Summen sind jeweils von i = 1 bis N = 5 zu verstehen.
Wir haben bereits für jeden Messwert einen Fehler berechnet, jedoch lässt sich nun noch
ein mittlerer Fehler abschätzen:
2
y
=
1
(N
2)
X
(yi
A
Bx)2 .
Daraus lassen sich die Fehler von A und B bestimmen:
2
A
=
2
B
=
2
y
N
P
2
y
x2i
,
.
Wir erhalten schlussendlich:
A =
1, 37 ± 0, 28 V,
B = (2, 93 ± 0, 44) · 10
19
15
V
.
Hz
4 Auswertung „Photoeffekt“
4.2 Bestimmung des Wirkungsquantums
4.2 Bestimmung des Wirkungsquantums
Die Grundlage für die Berechung des Planckschen Wirkungsquantum stellt die Einstein-Gleichung (18) dar. Die kinetische Energie der Elektronen erhalten wir durch
die Kompensationsmessung. Für die gemessene Gegenspannung wurde der Photostrom
gerade 0. Da jedoch auch die Austrittsarbeit der Anode sowie die Kontaktspannung
berücksichtigt werde muss, erhalten wir für die Energie folgende Gleichung (vgl. [7]):
Umax e = Ekin
UKontakt e
= (h⌫
WA, Kath. )
= h⌫
(WA, Anode
WA, Kath. )
WA, Anode .
Da die Austrittsarbeit nicht von der Frequenz ⌫ abhängt, lässt sich nun auch ohne
deren Kenntnis über die Steigung B unserer Regressionsgeraden das Wirkumsquantum
h berechnen.
h
e
) h = Be
B
Der Fehler ergibt sich zu
h=
=
@h
@B
B=e
B.
Für die Elementarladung verwenden wir den Literaturwer e = 1, 60218 · 10
erhalten damit einen Wert von:
h = (4, 696 ± 0, 707) · 10
34
19
C. Wir
Js.
Vergleicht man diesen Wert mit dem Literaturwert von hlit = 6, 626·10
wir eine prozentuale Abweichung von gut 29%.
34
Js, so erhalten
4.3 Fehlerdiskussion
Die Bestimmung der Regressionsgerade lieferte recht gute Ergebnisse, lediglich die Werte
der ersten und der letzten Messung (rote und violette Linie) fallen aus dem Schema. Der
Abweichung lag wahrscheinlich ein Fehler bei der Einstellung der Messgeräte oder der
20
5 Versuchsdurchführung „Balmer-Serie“
Justierung des Strahlenganges zugrunde. Prizipiell war es nicht ganz einfach, die Strahlen
des Spektrums gut auf die Photozelle zu fokusieren, da die Intensiät der Strahlen zumeist
eher gering ausfiel. Auch änderten sich die Spannungswerte bei leichten Erschütterungen
des Versuchsaufbaus. Eine weitere Fehlerquelle könnte Streulicht darstellen, wobei wir
uns beim Aufbau bemühten, dieses zu vermeiden.
Die Bestimmung von h kann unter qualitativen Gesichtspunkten als gelungen betrachtet
werden. Unser Wert liegt in der Größenordnung des Literaturwertes, allerdings ist die
direkte Abweichung doch etwas groß. Dies ist auf die fehlerhafte Steigung der Gerade,
und diese wieder auf die fehlerhaften Messwerte zurückzuführen.
5 Versuchsdurchführung „Balmer-Serie“
5.1 Aufbau
Der Versuch bestand im Wesentlichen aus einem Kollimatorrohr, einem Prisma, einem
schwenkbaren Dreharm mit Winkelnoniusskala und einem kleinen Fernrohr. Als Lichtquellen standen eine Heliumdampf- und eine Wasserstoffdampflampe zur Verfügung. Das
Prisma wurde auf einem kleinen Tisch zwischen Kollimatorrohr und Dreharm positioniert. Eine Versuchsskizze ist in Abbildung 12 dargestellt.




Abbildung 12: Versuchsskizze erstellt mit Inkscape
21
6 Auswertung „Balmer-Serie“
5.2 Abauf
5.2 Abauf
Im ersten Versuchsabschnitt bestimmten wir den Winkel (vgl. hierzu Abbildung 1) des
Prismas. Hierzu verwendeten wir die Heliumlampe und maßen die Winkel 1 und 2 .
Die Differenz der beiden Winkel dividiert durch Zwei ergibt gerade den Winkel . Als
nächstes widmeten wir uns dem Spektrum der Heliumlampe, indem wir für sechs charakteristische Spektrallinien jeweils den doppelten Minimalablenkwinkel 2 bestimmten
(siehe Abbildung 3). Dies führten wir daraufhin auch mit dem Spektrum der Wasserstofflampe durch, obgleich wir lediglich die drei intensivsten Linien der Balmer-Serie
betrachteten. Dabei konnten wir sogar die Feinstruktur des Spektrums beobachten. Die
Messwerte sind im Messprotokoll aufgelistet.
6 Auswertung „Balmer-Serie“
Um den Versuch auszuwerten, werden wir zunächst über die Winkel der untersuchten HeLinien den Brechungsindex in Abhängigkeit von der Wellenlänge des Prismas bestimmen.
Aus dem resultierenden Schaubild lassen sich dann die Wellenlängen der Balmer-Serie
ablesen. Zum Abschluss werden wir noch die Rydberg-Konstante berechnen.
6.1 Brechungsindex des Prismas
Die Winkelmessung während des Versuchs erfolgte in Grad und Winkelminuten. Für die
Auswertung haben wir alle Winkelminuten in Grad umgerechnet.
Für die späteren Rechnungen wird der Winkel
benötigt. Diesen erhalten mit den
im ersten Versuchsteil gemessenen Winkeln 1 und 2 über Gl. (5). Den Fehler für das
Ablesen der Winkel schätzen wir auf ±0, 03 ° ab. Daraus folgt für die einzelnen Winkel
nach Fehlerfortpflanzung die gleiche Ungenauigkeit. Da wir in diesem Versuchsteil jedoch
dreifach gemessen haben, können wir einen Mittelwert samt Standardabweichung bilden.
Die Ergebnisse sind in Tabelle 3 niedergeschrieben.
22
6 Auswertung „Balmer-Serie“
1 [°]
55,42
55,33
55,35
6.1 Brechungsindex des Prismas
2 [°]
-64,25
-64,20
-64,25
MW
STABW
[°]
59,83
59,77
59,80
59,80
0,03
Tabelle 3: Der berechnete Winkel des Prismas mit Mittelwert und Standardabweichung
Um nun den Brechungsindex des Prismenglases bestimmen zu können, widmen wir uns
dem Spektrum der Heliumlampe. Aus den gemessenen Winkeln lässt sich der minimale
Ablenkwinkel bestimmen zu
'1 '2
=
.
2
Als Fehler nehmen wir erneut die Ableseungenauigkeit von ±0, 03 ° an. Die Werte sind
in Tabelle aufgeführt.
Farbe
Rot
Gelb
Grün
Blaugrün
Blau
Blau
'1 [°]
106,25
105,50
103,75
103,40
102,75
102,00
'2 [°]
223,67
224,72
226,50
226,68
227,37
228,18
[°]
58,71
59,61
61,38
61,64
62,31
63,09
[°]
0,03
0,03
0,03
0,03
0,03
0,03
Tabelle 4: Die berechneten minimalen Ablenkwinkel der verschiedenen Helium-Linien
Den wellenlängenabhängigen Brechungsindex des Glases können wir nun mit Snellius bestimmen. Wir erhalten unter der Annahme, dass der Brechungsindex in Luft 1 ist
und mit Gl. (12) und Gl. (11)
sin +2
sin ↵
n=
=
.
sin
sin 2
Für den Fehler gilt
@n
n=
@
@n
+
@
cos +2
=
2 sin 2
+
sin
+
2
· cos 2
.
2 sin2 2
Die Ergebnisse für den Brechungsindex sind in Tablle zusammengefasst und in Abbildung
13 visualisiert.
23
6 Auswertung „Balmer-Serie“
Farbe
Rot
Gelb
Grün
Blaugrün
Blau
Blau
[nm]
667,82
587,56
501,57
492,19
471,31
447,15
6.1 Brechungsindex des Prismas
↵ [°]
59,27
59,72
60,60
60,74
61,07
61,46
[°]
29,90
29,90
29,90
29,90
29,90
29,90
n
1,724
1,732
1,748
1,750
1,756
1,762
n
0,028
0,028
0,027
0,027
0,027
0,027
Tabelle 5: Der berechnete wellenlängenabhängige Brechungsindex des Primas
Abbildung 13: Berechnete Brechungsindizes und Sellmeier-Fit erstellt mit QtiPlot
Anhand unseres Schaubildes möchten wir später die Wellenlängen der Balmer-Serie
bestimmen. Dazu benötigen wir einen geeigneten und möglichst genauen Fit. Wir wählen den Sellmeier-Ansatz bis zur zweiten Ordnung, der eine sehr präzise Relation
von Brechungsindex und Wellenlänge herstellen kann. Für die Gleichung erhalten wir
demnach:
B1 2
B2 2
n2 ( ) = 1 + 2
+ 2
.
C1
C2
Die passenden Startwerte entnehmen wir aus [2] für SF10-Gas, da hier der Brechungs-
24
6 Auswertung „Balmer-Serie“
6.1 Brechungsindex des Prismas
index in etwa mit dem unserigen übereinstimmt. Wir verwenden
B1 = 1, 61625977,
C1 = 12, 7534559 nm,
B2 = 0, 259229334,
C2 = 58, 1983954 nm.
Nach der Durchführung des Fits von
= 400 bis
= 700 erhalten wir als Parameter
B10 = 1, 42881481,
C10 = 22153, 7685,
B20 = 0, 44473040,
C20 = 22153, 7941,
wobei wir auf eine explizite Angabe der Fehler verzichten, da sich diese von QtiPlot als
extrem groß angegeben werden und wir nicht mit diesen weiterrechnen.
Aus den Messergebnissen für die Winkel der Wasserstofflampe lassen sich nun wieder
die minimalen Ablenkwinkel und die entsprechenden Brechungsindizes bestimmen. Diese sind in Tablle 6 aufgelistet. Da wir nun die Brechungsindizes kennen, können wir die
entsprechenden Wellenlängen in unserem Schaubild ablesen. Die Berechnung der Fehler gestaltet sich dabei allerdings als problematisch. Da unsere Brechungsindizes bereits
mit einem recht großen Fehler behaftet sind, vernachlässigen wir die Fehler der Fitparameter. Aufgrund der Nichtlinearität erhält man keinen einheitlichen Fehler in beide
Richtungen. Da dies in der Notation unübersichtlich wird und auf das qualitative Ergebnis keine Auswirkungen hat, schätzen wir für jeden Fehler grob den Mittelwert ab.
Die so erhaltenen Werte sind in Tabelle zusammen mit den Literaturwerten aus [6] zu
finden. Als Vergleichsgröße bilden wir zusätzlich die Diskrepanz.
'1 [°]
106,15
103,00
101,10
'2 [°]
223,78
226,70
228,78
[°]
58,82
61,85
63,84
[°]
0,03
0,03
0,03
n
1,725
1,752
1,768
n
0,028
0,027
0,027
Tabelle 6: Die berechneten minimalen Ablenkwinkel der verschiedenen Wasserstoff-Linien sowie deren Brechungsindex
25
6 Auswertung „Balmer-Serie“
Übergang
H↵
H
H
[nm]
654,54
481,82
430,3
6.2 Bestimmung der Ryderberg-Konstante
[nm]
lit [nm]
160
656,28
100
486,13
60
434,05
Diskrepanz [nm]
1,74
4,31
3,75
Tabelle 7: Die berechneten Wellenlängen und der Vergleich mit den Literaturwerten
6.2 Bestimmung der Ryderberg-Konstante
Durch das Umstellung von Gleichung (17) und unter Verwendung von ⌫ = c/ erhalten
wir folgende Berechnungsformel:
R1
1
=
2
j,k Z
✓
j 2k2
k2 j 2
◆
.
Da es sich beim Wasserstoffkern lediglich um ein Proton handelt, erhalten wir Z = 1.
Der Fehler von R1 lasst sich zu
R1 =
✓
R1
1
j,k
◆
j,k
berechnen. Die Ergebnisse lassen sich nun mitteln und mit dem Literaturwert vergleichen. Da die einzelnen Fehler erneut ziemlich groß sind, bilden wir zusätzlich die Standardabweichung. Die Ergebnisse sind in Tabelle 8 dargestellt.
Übergang
H↵
H
H
MW
STABW
Literaturwert
R1 [1/m] R1 [1/m]
1,100
0,269
1,107
0,230
1,107
0,154
1,105
0,004
1,097
Tabelle 8: Die berechnete Ryderberg-Konstante und Literaturwert
26
7 Fragen und Aufgaben „Photoeffekt“
6.3 Fehlerdiskussion
6.3 Fehlerdiskussion
Die ermittelten Winkel betrachten wir als plausibel, da aus geometrischen Gründen
ein Winkel von 60 ° zu erwarten war. Die minimalen Ablenkwinkel konnten ebenfalls zur
besten Zufriedenheit bestimmt werden. Die Brechungsindizes scheinen in einem guten
Bereich zu liegen, allerdings sind hier die Fehler in Relation zu den Brechungsindexunterschieden ziemlich groß. Hier sind wir womöglich von zu großen Unsicherheiten bei der
Winkelmessung ausgegangen. Diese großen Unsicherheiten ziehen sich durch die gesamte
Fehlerrechnung, weswegen letztendlich auch große Unsicherheiten für die Wellenlängen
der Balmer-Serie auftreten. Die gute Übereinstimmung mit den Literaturwerten ist
wiederum ein Indiz dafür, dass wir größere Fehler angenommen haben als nötig. Die Tatsache, dass wir jeweils eine etwas kleiner Wellenlänge berechnet haben, deutet zudem auf
einen kleinen systematischen Fehler hin. Die Berechnung der Ryderberg-Konstanten
kann ebenfalls als gelungen betrachtet werden. Auch hier treten große Unsicherheiten der
einzelnen Werte auf, weswegen wir mit der Standardabweichung einen plausibleren Fehler angegeben haben. Mit der Standardabweichung liegt unser Wert jedoch nicht mehr
ganz in Toleranzbereich. Als allgemeine Fehlerquelle ist, neben der Ableseungenauigkeit,
noch der tote Gang der Messapparatur zu nennen.
7 Fragen und Aufgaben „Photoeffekt“
1. Erklären Sie die Funktionsweise eines Geradsichtprismas und skizzieren Sie den
zugehörigen Strahlengang.
Ein Geradsichtprisma dient dazu, Licht in seine spektralen Komponenten zu zerlegen, ohne den Strahlengang wesentlich zu ändern. Abb. 14 zeigt dies.
27
7 Fragen und Aufgaben „Photoeffekt“



Abbildung 14: Strahlengang beim Geradsichtprisma, welches aus 3 Einzelprismen zusammen-
gesetzt ist. Das mittlere Prisma hat einen anderen Brechungsindex als die beiden äußeren. Entnommen aus [1].
Der einfallende Strahl aus weißem Licht wird durch das 1. Prisma zunächst spektral
zerlegt (in der Abb. in blaues und rotes Licht). Die nachfolgenden beiden Prismen
dienen dazu, die Divergenz des Strahl zu verkleinern. Nach Verlassen des Prismas
ist das Licht in seine Spektralkomponenten aufgeteilt und läuft trotzdem entlang
der optischen Achse.
2. Nennen Sie andere Methoden zur Bestimmung der Planckschen Konstanten h.
h kann zum einen über Versuche mit Bremsstrahlung bestimmt werden. Hierbei werden beschleunigte Elektronen abgebremst, wodurch Strahlung ausgesendet
wird. Geht man davon aus, dass die Elektronen ihre kinetische Energie vollständig abstrahlen, lässt sich h durch Messung der Wellenlänge der Bremsstrahlung
bestimmen. Weiterhin kann man den Compton-Effekt nutzen, indem man den
Winkel misst unter dem Photonen mit bekannter Wellenlänge an Elektronen gestreut werden. Auch daraus lässt sich h errechnen.
3. Haben alle durch Photoeffekt aus einem Metall herausgelösten Elektronen die gleiche kinetische Energie?
Da die Austrittsarbeit lokal schwankt, haben die herausgelösten Elektronen unterschiedliche Energien. In unserem Versuch sind nur die Elektronen mit maximaler
kinetischer Energie, bei denen folglich die Austrittsarbeit minimal ist, relevant.
4. Unter den Effekten, die historisch die Vorstellung von Photonen als Teilchen unterstützen, spielt der Compton-Effekt eine wichtige Rolle. Beim Compton-Effekt
wird wie beim Stoß zweier Kugeln Energie und Impuls von einem Photon auf ein
28
8 Fragen und Aufgaben „Dispersion und Balmer-Serie“
Elektron übertragen. Wenn die Energie eines Photons E = h⌫ ist, wie groß ist
dann sein Impuls p?
Es gilt allgemein:
dE
dv
mit der Teilchengeschwindigkeit v. Beim Photon ist v = c, es folgt:
p=
p=
d
d c
h
h⌫ = h
=
dc
dc
8 Fragen und Aufgaben „Dispersion und
Balmer-Serie“
1. Beweisen Sie, dass in Abb. 1 folgende Beziehungen gelten:
= #1 + #2
1
2
= #1 + #2 +
1
=
2
2
S. Abschnitt 2.1.3.
2. Beweisen Sie, dass in Abb. 3 unter der Voraussetzung ↵ = ↵1 = ↵2 , die im Fall
minimaler Ablenkung erfüllt ist, gilt:
+
2
↵ = ↵1 = ↵2 =
=
1
=
29
2
=
2
Abbildungsverzeichnis
S. Abschnitt 2.1.3.
3. Leiten Sie Gl. (17) anhand der Bohrschen Postualte her.
S. Abschnitt 2.2.
4. Beweisen Sie die in Aufgabe 2 verwendete Aussage, dass im Fall minimaler Ablenkung der Strahlenverlauf für ein monochromatisches, paralleles Strahlenbündel
symmetrisch ist. Es ist also der Einfallswinkel ↵1 gleich dem Ausfallswinkel ↵2 und
der Strahlenverlauf im Prisma ist senkrecht zur Winkelhalbierenden des brechenden Winkels.
S. Abschnitt 2.1.3.
5. Was haben die Balmer-Serie (Wasserstoff mit Endniveau m = 2) und die Pickering-Serie (einfach ionisiertes Helium mit Endniveau m = 4) beinahe gemeinsam?
Warum nur beinahe?
S. Abschnitt 2.3.
9 Anhang
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
Brechender Winkel beim Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Allg. Winkelverhältnisse beim Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Winkelverhältnisse für Minimalablenkung beim Prisma . . . . . . . . . .
30
6
7
8
Literatur
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Tabellenverzeichnis
Termschema Wasserstoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zitterbewegung des Elektrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Feinstruktur und Lamb-Verschiebung beim Wasserstoff mit n = 2
Feinstruktur und Lamb-Verschiebung beim Wasserstoff . . . . . .
Singulett- und Triplett-Übergänge beim He-Atom . . . . . . . . .
Versuchsaufbau Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schaltplan Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufbau Balmer-Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnete Brechungsindizes und Sellmeier-Fit . . . . . . . . .
Geradsichtprisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11
13
13
14
15
16
17
18
21
24
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12
18
23
23
24
25
26
26
Tabellenverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
Balmer- und Pickeringserie . . . .
Gegenspannung . . . . . . . . . . . . .
Prismawinkel . . . . . . . . . . . . . .
Helium-Spektrum . . . . . . . . . . . .
Brechungsindex . . . . . . . . . . . . .
Brechungsindizes der Wasserstofflinien
Wellenlänge Wasserstoff . . . . . . . .
Ryderbergkonstante . . . . . . . . . . .
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Literatur
[1] Geradsichtprisma. http://de.wikipedia.org/wiki/Geradsichtprisma. Diente
ausschließlich als Bildquelle. Entnommen am 29.04.12.
[2] Refractive index database.
19.06.12.
http://refractiveindex.info.
Entnommen am
[3] Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 2 - Elektrizität und Optik. SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, 5. Auflage, 2009.
[4] Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 3 - Atome, Moleküle und Festkörper.
Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 4. Auflage, 2010.
31
Literatur
Literatur
[5] Haken, Hermann und Hans Christoph Wolf: Atom- und Quantenphysik.
Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 8. Auflage, 2004.
[6] Runge, Bernd-Uwe: Dispersion und Balmerserie. Anleitung zum physikalischen
Anfängerpraktikum der Universität Konstanz. Entnommen am 29.04.2012.
[7] Runge, Bernd-Uwe: h-Bestimmung mit dem Photoeffekt. Anleitung zum physikalischen Anfängerpraktikum der Universität Konstanz. Entnommen am 29.04.2012.
[8] Taylor, John R.: Fehleranalyse. VCH Verlagsgesellschaft, Weinheim, 1 Auflage,
1988.
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