¨Ubungsaufgaben – Blatt 9

Methoden zum Entwurf von
zufallsgesteuerten Algorithmen
Departement Informatik
Dr. Hans-Joachim Böckenhauer
Dr. Dennis Komm
Dr. Richard Královič
http://www.ita.inf.ethz.ch/randalg16
Übungsaufgaben – Blatt 9
Zürich, 26. April 2016
Aufgabe 17
In der Vorlesung haben wir den Algorithmus KONTRAKTION kennengelernt, der den
minimalen Schnitt eines gegebenen Graphen berechnet.
(a) Wir schwächen unsere Forderungen an den Algorithmus KONTRAKTION derart
ab, dass wir nun lediglich einen Schnitt berechnen wollen, der eine α-Approximation
des minimalen Schnittes darstellt. Seien also G = (V, E) der Eingabegraph und k
die Kosten eines minimalen Schnittes von G, so ist der neue Algorithmus APPROXKONTRAKTION erfolgreich, wenn er einen Schnitt mit Kosten von höchstens α · k
berechnet.
1
2
3
Eingabe : Ein Graph G = (V, E).
Berechne einen Knoten v minimalen Grades von G;
Berechne den Schnitt Cv = ({v}, V \ {v}) von G;
Berechne Schnitt CKONTRAKTION von G mittels KONTRAKTION;
Ausgabe : Den kleineren Schnitt von Cv und CKONTRAKTION
Algorithm 1: APPROX-KONTRAKTION
Beweisen Sie, dass dieser Algorithmus mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
n Y
l=3
2
1−
α·l
eine α-Approximation eines minimalen Schnittes von G berechnet.
(b)∗ Benutzen Sie die Ergebnisse aus (a), um zu beweisen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass
APPROX-KONTRAKTION einen α-approximativen Schnitt berechnet, ungefähr
n−2/α beträgt.
Hinweis: Normalerweise sind wir natürlich an einer unteren Schranke für die Wahrscheinlichkeit interessiert, wie wir sie in (a) berechnet haben. In diesem Aufgabenteil
dürfen Sie jetzt für den geforderten Wert in genau einem Schritt Ihrer Abschätzung ln (1 − x) ≈ −x verwenden, wodurch obiger Wert keine untere Schranke mehr
darstellt.
10 + 10 Punkte
Aufgabe 18
Wir betrachten die Kommunikationsaufgabe, bei der R1 einen String x ∈ {0, 1}n besitzt
und R2 über eine Menge U = {u1 , u2 , . . . , uk } verfügt, wobei ui ∈ {0, 1}n für 1 ≤ i ≤ k.
Die Aufgabe besteht darin, festzustellen, ob x ∈ U gilt oder nicht. In der Vorlesung haben
wir das Kommunikationsprotokoll PSet betrachtet, das für k ≤ n/(4 · ln n) ein einseitiges
Monte-Carlo-Protokoll für diese Aufgabe ist.
Wenden Sie die Methode der Wahrscheinlichkeitsverstärkung an, um den randomisierten
Test von x ∈ U auch für grössere Mengen U zu ermöglichen. Insbesondere soll der Test
auch auf Mengen U mit einer Mächtigkeit von k > n/(2 ln n) möglich sein. Bis zu welcher
Mächtigkeit von U können wir eine Fehlerwahrscheinlichkeit erhalten, die mit n gegen 0
geht, wenn die Kommunikationskomplexität höchstens
(a) in O(log n · log log n),
(b) in O((log n)d ) für ein festes d ∈
N,
ist?
Abgabe: Am 03. Mai nach der Vorlesung.
10 Punkte