VL 03: Bohr`sches Atommodell, Welleneigenschaften der Materie
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1.3.1 Rutherfordsches Atommodell 2 1 d N 1 z Ze 1 1 2 = N 0 d Ω 16 4 π ε 0 E α sin 4 2 θ 2 dN lg dΩ Eα = 10 MeV Theorie experimentell bestätigt, 2 solange E α sin θ2 nicht zu groß, bzw. minimaler Kernabstand nicht zu klein −4 θ 2 ∝ sin Theorie Experiment 100° 50° 0° Folgerung: Abschätzung von Kerngrößen aus Abweichungen von Rutherfordscher Streuwinkelverteilung rK ≈ r0 A 1 3 θ A = # Protonen + # Neutronen r0 ≈ 1,3 ⋅ 10 −15 m = 1,3 fm = Kernmassenzahl Kerne sind um 5 Größenordnungen kleiner als Atome! Martin zur Nedden Quatenmechanik, Atome, Kerne (Physik IV) Seite 1 1.3.1 Rutherfordsches Atommodell Ungeklärte Probleme des Rutherfordschen Atommodells: • Beschleunigte Ladungen strahlen e.m. Energie ab. Warum stürzen die um den Kern kreisenden Hüllenelektronen nicht ins Zentrum des Atoms? Wieso sind Atome also stabil? • Atome strahlen elektromagnetische Strahlung u. a. in Form von Linienspektren ab. Was ist deren Ursprung? • Wie kommt es zu chemischen Bindungen zwischen Atomen und was ist deren Natur? • …… Antwort: Die klassische Physik ist auf atomaren Skalen nicht mehr anwendbar. Wir benötigen ein quantenmechanisches Atommodell! Martin zur Nedden Quatenmechanik, Atome, Kerne (Physik IV) Seite 2 1.3.1 Bohrsches Atommodell Wasserstoff: Kern → 1Proton ; Hülle → 1 Elektron ; einfachstes Atom Beobachtung (Jakob Balmer, 1885): Ex. Serie von Emissionslinien im sichtbaren Bereich (VIS) mit einfacher geometrischen Systematik (He/C): 1 1 1 = Ry 2 − 2 , n = 3, 4, 5,K λn 2 n Rydbergkonstante des Wasserstoffs Ry = 109678 cm −1 … Entdeckung weiterer Serien (Lyman, Paschen, Bracket, Pfund, …) 1 λ n1 n 2 1 1 = Ry 2 − 2 n2 n1 , n 1 = 1 , 2 , 3 ,K n 2 = n 1 + 1 , n 1 + 2 ,K Interpretation: Dem Hüllenelektron stehen im Potentialtopf des KernCoulombfeldes unendlich viele Energieeigenzustände zur Verfügung. Übergänge zwischen Zuständen mit Energiedifferenz ∆E können durch Emission / Absorption von Photonen mit ω = E h vermittelt werden. Martin zur Nedden Quatenmechanik, Atome, Kerne (Physik IV) Seite 3 1.3.1 Bohrsches Atommodell 0 −0,9 −1,5 −3,49 n=7 n=6 n=5 n=4 Pfund-Serie (IR) Bracket-Serie (IR) n=3 n=2 PaschenSerie (IR) Ry∗ = h cRy = 13,6eV Balmer-Serie (UV, VIS) 1 −13,6 Ionisierungsgrenze Energiekontinuum E [eV] n=1 Martin zur Nedden λ n1 n 2 1 1 = Ry 2 − 2 , n1 n 2 n1 = 1, 2 , 3 , K n 2 = n1 + 1, n1 + 2 ,K Lyman-Serie (UV) Quatenmechanik, Atome, Kerne (Physik IV) Seite 4 1.3.1 Bohrsches Atommodell Betrachte wasserstoffartiges Atom: Kern der Ladung Z e mit Masse mK ≫ me, ,,umgeben” von einem einzelnen Hüllenelektron Postulat (1): Das Elektron bewegt sich auf einer Kreisbahn um den Kern (genauer: um den gemeinsamen Schwerpunkt). (1913, Nobelpreis 1922) reduzierte Masse: Kräftegleichgewicht: ⇒ Martin zur Nedden µ= µ v2 r r= me mK me + mK = e− ≈ me 1 4πε0 Ze2 r2 Ze2 1 4πε0 µ v2 r v r r (∗) Kern (∗∗) Quatenmechanik, Atome, Kerne (Physik IV) Seite 5 1.3.1 Bohrsches Atommodell Postulat (2): Die Materiewelle des Elektrons ist stationär, d. h. der Kreisumfang ist ein ganzzahliges Vielfaches der de Broglie-Wellenlänge (periodische Randbedingung). mathematisch: 2 π rn = n λ = n µ hv n , n = 1, 2,K e− ⇒ für feste Quantenzahl n sind rn und vn festgelegt. vn = n ( ∗∗ ) ⇒ rn = h 1 µ rn Ze2 1 4 π ε 0 µ v 2n r v r r (∗∗∗) = Ze2 1 µ 2 4πε0 µ n2 h2 r 2 n Kern ⇒ Quantisierte Bahnradien: rn Martin zur Nedden a0 = n Z 2 a 0 Bohrscher Radius ε0h2 = = 5 , 3 ⋅ 10 2 πµe Quatenmechanik, Atome, Kerne (Physik IV) − 11 m Seite 6 1.3.1 Bohrsches Atommodell Postulat (3): Die Bahn jeder Quantenzahl n gehört zu einem EnergieE n = E kin , n + E pot , n Eigenzustand: E kin , n = ⇒ E n 1 2 µ v 2n = E r n µ v 2n ( ∗ ) r n 1 Ze2 = = = − 2 2 rn 2 4 π ε 0 rn kin , n + E pot , n a0 2 ε0h2n2 rn = n = Z πµe2 Z 4 2 = −E kin , n En ⇒ 2 µe Z ∗ Z E n = − 2 2 2 ≡ − Ry 2 8ε 0 h n n = − 1 2 Ry(m K ) = Ry ∞ ⋅ Martin zur Nedden 2 n E pot , n (∗ ∗ ∗ ) = − 1 2 h 2 π2µ 2e4 Z2 = − 8 π 2 µ ε 02 h 4 n 2 E n = h c λ −n 1 h µ µ 2 2 n2 r n2 Rydbergkonstante 4 µ e Ry ∗ = h c Ry = 2 2 8ε 0 h Ry hängt über µ von Kernmasse mK ab: µ me µv 1 2 Ry ∞ = 8ε 2 h 3 c = 109737,31534cm −1 me e4 0 Quatenmechanik, Atome, Kerne (Physik IV) Seite 7 1.3.1 Bohrsches Atommodell Bemerkung: Bedeutung des Postulats (3) quantenmechanisch klassisch E kin = v = E E E kin = − E pot E 1 2 r E pot E pot = − Es gibt keinen Zustand minimaler Energie. Das Elektron stürzt in den Kern. Martin zur Nedden h2 n2 1 2 µ rn2 rn rn En Ze2 1 4πε0 r 2 n µ 2 1 2 E= n fest nur hier ist Ekin = −½ Epot E pot = − 2 1 Ze 4 π ε 0 rn Es gibt einen Zustand minimaler Energie. Die Elektronenbahn ist stabil. Quatenmechanik, Atome, Kerne (Physik IV) Seite 8 1.3.1 Bohrsches Atommodell Bemerkung: Bedeutung von... Postulat (2): Die Materiewelle des Elektrons ist stationär, d. h. der Kreisumfang ist ein ganzzahliges Vielfaches der de Broglie-Wellenlänge (periodische Randbedingung). 2 π rn = n λ = n µ hv n ⇒ r Folgerung: L = µ v n rn = n h v n = n µh 1 rn Der ( Bahn- ) Drehimpuls des Elektrons ( relativ zum Kern ) ist in Einheiten von h quantisiert. Martin zur Nedden Quatenmechanik, Atome, Kerne (Physik IV) Seite 9 1.3.2 Welleneigenschaften von Materie Röntgenbeugung ( Max von Laue: Experiment 1912, Nobelpreis: 1914 ) • 1912 bekannt: Harte e.m. Strahlung (X, γ) hat Teilchencharakter • Offene Frage: Hat harte e.m. Strahlung auch Wellencharakter? • Problem: Wellenlängen harter Strahlung im Å-Bereich. Wie stellt man Beugungsgitter her? • Max von Laue → Verwende Kristallgitter zur Röntgenbeugung! RöntgenStrahlen Beugungsbild Kristall e− Vakuumröhre v. Laue, Friedrich, Knipping (1912) Fotoplatte Resultat: a) Welle / Teilchen Dualität der e.m. Strahlung b) Kristalle haben periodische Raumgitterstruktur Martin zur Nedden Quatenmechanik, Atome, Kerne (Physik IV) Seite 10 1.3.2 Welleneigenschaften von Materie Beispiel: Monochromatische Röntgenbeugung (Bragg-Reflexion) λ konstruktive Interferenz einer Netzebene θ θ d θ Glanzwinkel θ d Gitterpunkte ≈ punktförmige Streuer Netzebenenschar Konstruktive Interferenz aller Netzebenen: Bragg-Bedingung λ , θ ⇒ Messung von d d , θ fest ⇒ Monochromator für λ 2 d sin θ = m λ m = 1, 2 ,K λ > 2 d max ⇒ keine Bragg-Reflexe; Medium wird optisch homogen. Typischer Wert: dmax ≈ 5⋅10−10 m Martin zur Nedden Vergleich: λvis ≈ 5⋅10−7 m Quatenmechanik, Atome, Kerne (Physik IV) Seite 11 Photonen: r r p = hk E = hω 1.3.2. De BroglieWellenlänge ( ) r ω ,k ⇒ r (E , p ) ⇒ ...sind e.m.-Wellen ...und masselose Teilchen r ω = c|k | r E = c|p | Hypothese: ( de-Broglie 1924, Nobelpreis 1929 ) Umgekehrt haben auch ,,Teilchen” (Elektronen, Atome, Kristalle, Katzen, ...) Wellencharakter mit r r 1 k= hp Nichtrelativistische ,,Teilchen” der Masse m: E= r2 p 2m Martin zur Nedden = r2 h k 2m 2 = 2 h 1 2m λ2 ⇒ ω = h1 E de-Broglie-Wellenlänge h h λ= = p 2m E Quatenmechanik, Atome, Kerne (Physik IV) Seite 12 1.3.2 Welleneigenschaften von Materie Röntgenstrahlung hat sowohl Wellencharakter (Kristall-beugung...) als auch Teilchencharakter (Comptoneffekt,...). Das gilt auch generell für EM Strahlung. r r pγ = h k Eγ = h ω Kernreaktor r |pγ | = T ≈ 300 K ⇔ En ≈ 25 meV ⇔ p n = 2m n E n ≈ 7 keV c 2πh λ h pn = h λ ≈ 1,8 ⋅10 −10 m Neutronen-Absorber Detektor thermische Knüller: Laue-Reflexe Neutronen wie bei Röntgenstrahlung mit Kollimator Kristall λγ = 1,8⋅10−10 m Moderator → Neutronen-Abbremsung (Thermalisierung) Neutronen sind auch Teilchen mit Wellencharakter! Martin zur Nedden Quatenmechanik, Atome, Kerne (Physik IV) Seite 13 1.3.2 Welleneigenschaften von Materie ... und Elektronen ? Dito ! Hypothese: Alle ,,Teilchen” (Neutrinos, Kerne, Moleküle, Kristalle, Katzen, Planeten, ...) haben Wellencharakter und alle ,,Kraftfeld-wellen” (elektromagnetisch, Gravitation, …) haben Teilchencharakter. Quantentheorie → Teilchen sind Wellen Quantenfeldtheorie → Kraftfeldwellen sind Teilchen Martin zur Nedden Quatenmechanik, Atome, Kerne (Physik IV) Seite 14 1.3.2. Elektronenbeugung me c2 = 511 keV Beschleunigungsspannung: E = eU ⇒ λ = U = 100 V ⇒ λ = 0,12 nm Gitterkonstanten ≈ ( 0,3 … 0,7 ) nm h 2 mee U = U ≪ 511 kV 1, 22 nm U V Kristallbeugung ist möglich (Experiment: Davisson, Germer 1926, Nobelpreis 1937) X-Rays e− Kantenbeugung am MgOEinkristall Martin zur Nedden Quatenmechanik, Atome, Kerne (Physik IV) Seite 15
