VL 04: De-Broglie Wellenlänge, Wellenfunktionen, Unschärferelation

2. Welle-Teilchen
Dualismus
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
De-Broglie-Wellenlänge
Die Wellenfunktion
Heissenbergsche Unschärfe-Relation
Schrödingergleichung
Erwartungswerte und Observablen
Potentiale
Tunneleffekt
Martin zur Nedden
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2.1. De Broglie
Wellenlängen
Simulationen: http://vqm.uni-graz.at/
r
r
p = hk
...sind e.m.-Wellen
E = hω
...und masselose Teilchen
Photonen:
( )
r
r
ω , k ⇒ ω = c| k |
r
r
(E , p ) ⇒ E = c | p |
Hypothese: ( de-Broglie 1924, Nobelpreis 1929 )
Umgekehrt haben auch ,,Teilchen” (Elektronen, Atome, Kristalle,
Katzen, ...) Wellencharakter mit
r
k =
1
h
Nichtrelativistische ,,Teilchen” der Masse m:
E=
r
p2
2m
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=
r2
h k
2m
2
=
2
h
1
2m λ2
⇒
r
p
ω =
1
h
E
de-Broglie-Wellenlänge
h
h
λ= =
p
2m E
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2.1. Elektronenbeugung
me c2 = 511 keV
Beschleunigungsspannung:
E = eU ⇒ λ =
U = 100 V ⇒ λ = 0,12 nm
Gitterkonstanten ≈ ( 0,3 … 0,7 ) nm
h
2 mee U
U ≪ 511 kV
= 1, 22U nm
V
Kristallbeugung ist möglich
(Experiment: Davisson, Germer
1926, Nobelpreis 1937)
X-Rays
e−
Kantenbeugung am MgOEinkristall
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ω=
E
h
λ=
2.1. Elektronenbeugung am
Doppelspalt
h
2 me E
Zählrate
l
intensiver Elektronenstrahl
Doppelspalt, l, λ ≫ Spaltbreiten →
Interferenz von 2 Punktquellen
s≫l
Detektor / Film
Exp.: Schwacher Elektronenstrahl → Auftreffen von Einzelelektronen
Folgerung: Einzelne Elektronen interferieren mit sich selbst!
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2.1. Elektronenbeugung am
Doppelspalt
ω=
E
h
λ=
passive
Ladungssonde
h
2 me E
Zählrate
l
passive
Ladungssonde
⇒ Elektronen nehmen jeden möglichen Weg gleichzeitig?
Elektronenstrahl
Experiment: Detektiere den Weg jedes Elektrons mit passiven Sonden.
Beobachtung: Das Zweistrahl-Interferenzmuster verschwindet,
sobald die Sonden aktiviert werden.
Durch die (,,passive“) Messung wurde die quantenmechanische
,,Kohärenz” zerstört. Jede Messung ändert das gemessene System!
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2.1. Doppelspaltexeriment (Dübner
/Möllenstedt)
optisches Analogon: Fresnelsches Biprisma
I(y)
n
l
α=O(1°)
d ≫ Basislänge
s≫l
N(y)
0V
−HV
KathodenstrahlQuelle
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+HV
0V
Metallfaden, ∅ = O(µm)
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2.2. Wellenfuktionen
Einfachster Fall:
Die Bewegung einer Punktmasse m wird
r durch
deren komplexe Wellenfunktion ψ ( r , t ) beschrieben.
Physikalische Bedeutung:
r 2
ψ(r, t ) =
r 2 3
ψ(r, t ) d r =
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte am Ort
Zeit t
Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Volumen
zur Zeit t
r
r
d3r
zur
um
r
r
Bewegungsgleichung im Potential V:
Schrödingergleichung:
ih
∂ψ
∂t
=−
h2
2m
∆ψ + Vψ
(→ lineare Dgl.)
(Schrödinger 1926, Nobelpreis 1933)
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2.2. Wellenfunktionen
ih
∂ψ
∂t
=−
h2
2m
Lösung für freie Teilchen (V = 0):
∆ψ + Vψ
Wellenpaket
(= Superposition ebener Wellen)
rr
r
r
~ r i (kr rr −ωt ) 3
~ (k, t ) e i k r
ψ( r , t ) = ∫ C(k ) e
d k ≡ ∫ψ
ω = ω( ) =
r
k
mit nichtlinearer Dispersionsrelation:
de Broglies Ansatz:
h
2m
k2
r
r
p = h k , E = hω
⇒ E=h
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d 3k
( 2 π )3 2
2
hk
2m
=( ) =
r 2
hk
2m
r
p2
2m
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= 12 mv 2
✔
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2.2. Orts- und Impulsraum
Ortsraum:
rr
r
r
~ (k, t ) e i k r
ψ( r , t ) = ∫ ψ
Impulsraum:
3
d k
( 2 π )3 2
~(
ψ
r
k, t
rr
r
) = ∫ ψ( r , t ) e − i k r
d 3r
( 2 π )3 2
Wahrscheinlichkeitserhaltung:
r
r 2
ρ (r , t ) = ψ (r , t )
Wahrscheinlichkeitsdichte:
Wahrscheinlichkeitsflussdichte:
r r
j (r , t ) =
h
2mi
Kontinuitätsgleichung:
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(
∗
)
r
r ∗
ψ ∇ ψ − ψ∇ ψ =
r
h
m ρ ∇ arg ψ
r
∂
∂ t ρ + div j = 0
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2.2. Klassicher Grenzfall
Klassischer Grenzfall ( h → 0 ):
klassischer Messwert ≙ ,,Erwartungswert“
Ort:
Impuls:
r
r 2 3
r = ∫ r |ψ| d r
r
r ~2 3
r 3
r
∗h
p = h k = ∫ h k |ψ| d k = ∫ ψ i ∇ ψ d r
Impulsoperator
(hermitescher) Messoperator Ô:
r hr
p̂ = i ∇
Ô = ∫ ψ∗ Ô ψ d 3 r
Quantenmechanische Unschärfe der Messgröße Ô:
Standardabweichung (vgl. Praktikum)
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∆O =
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Ô
2
− Ô
2
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2.3. Unschärferelation
(Heisenberg 1927, Nobelpreis 1932)
Wellenbild
Analogie zur Optik
Unschärferelationen
→ Gilt für alle über Fouriertransformationen verknüpfte Messgrößen
Beispiel: Orts / Impuls-Unschärfe
∆ x ∆px ≥
h
2
∆ y ∆p y ≥
h
2
∆z ∆pz ≥
h
2
(Gleichheit gilt für spezielle gaußförmige Wellenpakete)
Spezialfall: Energie / Zeit-Unschärfe
∆t ∆E ≥
h
2
Anwendung: Lebensdauer τ angeregter Zustände, radioaktiver Kerne, ...
N (t ) = N 0 e − t
∆t = τ
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τ
⇒ natürliche Linienbreite:
Γ = ∆E = h ∆ω =
∆E ∆t = Γ ⋅τ = h >
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h
τ
h
2
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2.2. Fourier-Transformation
~
F ( f )(t ) =
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1
(2π ) n
∫
f ( x)e −it ⋅ x dx
ℜn
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2.3. Unschärferelation
e−
x
Experiment:
Elektronenbeugung
sin ϑx = λb =
h
bp
ϑx ≪ 1
b
N
am Spalt
ebene
Welle
r
p
ϑx
p x = p sinϑx
∆x = ∞
∆ p x ≈ 2p sinϑx = 2 hb
∆x ≈ b
x völlig unbestimmt
∆ x ∆ p x ≈ 2h = 4 π h
px = 0
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∆px = 0
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2.3. Unschärferelation
Punktabbildg. durchs Okular/Auge
d
Punktabbildg. durchs Okular/Auge
d
Gedankenexperiment:
Auflösungsgrenze
Objektiv
des Mikroskops
β
D
α
D
Objektiv
α
px Rückstoß
x
x
∆x
Teilchen
Beugung ⇒ Photonen aus Kegel
∆α ununterscheidbar
Punktabbildg. ⇒ Photonen im Kegel
−α ≤ β ≤ α ununterscheidbar
∆β ≈ 2α ≈
d
D
, ∆ p x ≈ ∆ (p γ β ) ≈
∆ x ∆ px ≈ 2h = 4πh
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∆α ≈
2λ
d
h d
λ D
λ kleiner ⇒
∆ x ≈ D ∆ α ≈ 2λ
D
d
bessere Ortsauflösung
größere Impulsverschmierung
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2.4. Schrödinger-Gleichung
ih
∂ψ
∂t
=−
Betrachte stationäre Potentiale:
Ansatz:
r
r −i ω t
ψ( r , t ) = ψ( r ) ⋅ e
h2
2m
∆ψ + Vψ
r
V = V( r )
(zunächst 1-dimensional)
⇒ ih ∂∂t =ˆ h ω ⋅
mit
E = hω
Stationäre Schrödingergleichung
⇒
−
h2
2m
∆ψ + Vψ = Eψ
Operator der
potentielle
Gesamtenergie
kinetischen Energie
Energie
Eigenzustände mit fester (erhaltener) Energie
Lösung (→ Theorie) ⇒
Spektrum der zugehörigen Energieeigenwerte
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