Fehlerrechnung File - Moodle @ HTW Berlin

Dr. Junge/Skripte/ Physik/ Arbeitsblätter - Fehlerrechnung (Version 1/03)
Arbeitsblätter zur Fehlerrechnung
1. Ursachen von Fehlern
1.1 Systematische Fehler
Diese Fehler entstehen durch die verwendete Messanordnung selbst. Im einfachsten Fall wird das Messmittel
einen Mangel aufweisen. Beispielsweise kann ein Längenmaßstab zu kurz oder zu lang sein oder eine Uhr könnte
täglich um 1min nachgehen. Im Prinzip könnten diese Fehler nachträglich korrigiert werden.
In der Praxis werden diese Korrekturen aus ökonomischen Gründen oft nicht durchgeführt. Die Hersteller der
Messmittel geben für ihre Geräte eine „systematische Messunsicherheit us“ an, die sie für alle Exemplare ihrer
Produktion garantieren.
Wenn keine nachträgliche Korrekturrechnung oder Eichung erfolgt, dann muss die systematische Messunsicherheit des jeweiligen Messmittels zusätzlich zu den sonstigen Messfehlern berücksichtigt werden.
Die typischen Messunsicherheiten der wichtigsten Messmittel sind in der Tabelle1 angegeben (Anlage S14).
1.2. Zufällige Fehler
Bei der Durchführung jeder Messung bewirken zufällige Einflüsse kleinere oder auch größere Abweichungen des
Resultats von der wahren Größe, die das Ziel der Messung ist. „Zufällige Einflüsse“ sind Ereignisse, die weder
durch das subjektive Verhalten des Messenden (d.h. durch besondere Sorgfalt) noch durch die Messmethode
selbst (Präzisionsgeräte) ausgeschaltet bzw. korrigiert werden können.
Unter vielen möglichen Zufallsprozessen, die das Messergebnis beeinflussen könnten, nimmt ein spezieller Prozess eine hervorgehobene Stellung ein, weil er bei sehr vielen natürlichen Vorgängen beobachtet wird. Dieser Prozess führt auf die „Normalverteilung“. Die idealisierte mathematische Modellvorstellung lautet dafür:
• Die Abweichung eines Messwertes vom wahren Wert ergibt sich als Summe der Wirkungen von () vielen
kleinen zufälligen Störereignissen, die alle voneinander unabhängig eintreten, d.h. sich nicht gegenseitig
beeinflussen oder bedingen.
• Jedes Störereignis soll eine (winzige) vom Betrag her gleichgroße Veränderung am Messwert bewirken.
• Die Wahrscheinlichkeit für eine Vergrößerung des Messwertes infolge eines Störereignisses soll exakt
genauso groß sein wie für eine Verringerung, d.h. jeweils „0,5“.
Mit diesen Annahmen wurden die im Folgenden dargestellten Rechenvorschriften zur Erfassung der zu
erwartenden Messunsicherheiten abgeleitet.
2. Fehlerangabe
2.1. Vertrauensbereich
Nach diesen Überlegungen ist jedes Messergebnis in seinem Zahlenwert in gewisser Weise unsicher.
Die eventuell eingetretene Abweichung
Vertrauensbereich
wird mit einem „Vertrauensbereich“ in
der Umgebung des Messergebnisses
x-ux
x+ux
beschrieben. Im allgemeinen liegt der 0
x
Vertrauensbereich symmetrisch zum
Messwert
ermittelten Messwert.
x = x  ux
Gl. 1
Darin bedeuten:
x: fehlerbehaftete Messgröße
x: Bestwert/ Mittelwert/ Messwert
ux: halbe Breite des Vertrauensbereiches
Der „Vertrauensbereich“ definiert einen Wertebereich, in dem der wahre Wert der gemessen Größe mit
einer gewissen Wahrscheinlichkeit liegen wird (z.B. mit 68,26%; 90% oder 95%).
Diese Wahrscheinlichkeit wird entsprechend dem späteren Verwendungszweck der Messdaten festgelegt
und selbstverständlich im Zusammenhang mit den Messdaten angegeben. Je größer die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass der wahre Wert innerhalb der angegebenen Grenzen liegen wird, sein soll, desto weiter müssen die Grenzen
des Vertrauensbereiches nach außen verschoben werden.
1
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2.2. Das Runden
Die Angabe des Wertes der Messgröße und des Vertrauensbereiches müssen einer inneren Logik genügen. Da der
wahre Wert innerhalb des gesamten Intervalles liegen kann, ist selbstverständlich eine höhere Genauigkeit bei der
Angabe des Messwertes sinnlos.
Es ist zweckmäßig, die Messgröße bis zu der Kommastelle anzugeben, in der die Grenze des Intervalles
wirksam wird. Unter Umständen kann die Angabe des Messwertes in der Genauigkeit bis zu 1/3 der Intervallgrenze noch sinnvoll sein.
Die gleiche Überlegung trifft auch auf die Angabe der Intervallgrenze selbst zu. Meist reicht die erste Stelle,
maximal sind zwei Stellen notwendig.
Beispiel: Es wurde für eine Strecke der Mittelwert L= 1214,5m gefunden. Für den Messfehler ergab eine Rechnung den Wert 98,15m.
D.h. bereits die zweite Stelle des Mittelwertes (die Ziffer „2“) ist durch den Fehler zweifelhaft, daher soll die
Angabe des Gesamtergebnisses diese Unsicherheit ebenfalls zum Ausdruck bringen:
Das Rundungsergebnis:
L= (1200 ±100)m
2.3. Absolute und relative Fehlerangabe
Die Angabe des Vertrauensbereiches kann in zwei verschiedenen Formen erfolgen, in der absoluten Angabe und
der relativen Angabe.
Die absolute Fehlerangabe gibt den Vertrauensbereich als absoluten Wert in der Einheit des Messwertes an.
Die relative Fehlerangabe „ux* “ bezieht die absoluten Grenzen des Vertrauensbereiches auf den Messwert
selbst. Damit wird eine Aussage über die Präzision der Messung und die Auswirkungen des Fehlers erreicht.
ux
u x = ----x
d.h.
x = x   1  u x 
Gl. 2
Zur Verbesserung der Übersichtlichkeit wird der Zahlenwert des relativen Fehlers häufig in „%“ angegeben.
Beispiele:
absolut
relativ
a) Die Länge eines Weges:
L= (1200 ± 100)m
L= 1200m.(1 ± 8,5%)
b) Die Schwingungsdauer eines Pendels:
T= (1,24 ± 0,03)s
T= 1,24s .(1± 2,5%)
c) Der Durchmesser eines Zylinderstiftes:
d= (12,340 ± 0,005)mm d= 12,340 mm .(1± 0,04%)
3. Bestimmung des Fehlers für primäre Messdaten
Der Zahlenwert der Intervallgrenzen kann auf zwei Arten ermittelt werden, man kann ihn schätzen oder aus
einer Messreihe berechnen.
3.1. Schätzen von Fehlern
Das Schätzen des Fehlers ist eine sinnvolle Methode, wenn
• ein sehr einfaches Messgerät mit grober Teilung verwendet wird,
• die Messung aus technischen Gründen nicht wiederholbar ist, oder
• die spezielle Messgröße für das Gesamtergebnis nur eine untergeordnete Rolle spielt.
Die Schätzungen beruhen auf Erfahrungen mit den angewandten Messmethoden, sie liefern aber in jedem Fall
zufällige Fehler. Als Richtwerte für die Fehlerschätzungen können folgende Angaben gelten:
±0,5 x Einheit der Skalenteile (eventuell auch ±1 x Skalenteil)
• analoge Messgeräte:
± 1 x Einheit der letzten Stelle, die sich während der Messung nicht ändert
• digitale Messgeräte:
Viele Messungen erfordern einen „Abgleich“ zur Ermittlung des Wertes (z.B. Gewichtsauflage bei Waagen;
Scharfstellen von Abbildungen bei Messungen an Linsen usw). Bei der Schätzung muss das Abgleichverhalten
der Messanordnung berücksichtigt werden. Oft sind die Bewertungskriterien für den exakten Abgleich
deutlich unsicherer als die Ablesegenauigkeit für das Resultat.
3.2. Die Berechnung aus Messreihen
Die bestmögliche Annäherung (Bestwert) an den „wahren Wert“ liefert der arithmetische Mittelwert:
2
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n
1
x = ---  x i
n
Gl. 3
i=1
Die „empirische Standardabweichung s“ ist ein Maß für die Qualität der Messreihe, sie wird aus der Summe
der Quadrate der Abweichungen der einzelnen Messwerte vom Bestwert ermittelt:
2
s =
 xi – x 

------------------------------
Gl. 4
n – 1
Die eigentliche Messunsicherheit, also die Grenzen des Vertrauensbereiches werden aus der „empirischen Standardabweichung“ berechnet:
 xi – x  2
t
s

u Z = t  ------- = -------  -----------------------------n – 1
n
n
Gl. 5
Der Vorfaktor „t“ verschiebt diese Grenzen (nach außen bzw. nach innen), er muss entsprechend der gewünschten Sicherheit „P“, mit der der wahre Wert innerhalb dieser Grenzen liegen soll, ermittelt werden. Der theoretische Zusammenhang zwischen der Sicherheit „P“, dem „Freiheitsgrad“ der Messungen „f“ und dem
Vorfaktor „t“ wird durch die sog. „STUDENTsche t- Verteilung“ beschrieben.
Der „Freiheitsgrad“ beschreibt die Anzahl der „überschüssigen“ Messungen, werden z.B. für eine Messgröße 2
Messungen vorgenommen, ist eine überschüssig, der Freiheitsgrad beträgt „f = 1“
Eine Auswahl der Werte ist in der Tabelle 2 zusammengestellt (S.11).
3.3. Der Gesamtfehler
Wenn eine Messreihe mit nur einem Messgerät aufgenommen wurde, dann haben je nach dem systematischen
Fehler des speziellen Exemplares des Messgerätes alle Messwerte der Reihe einen zusätzlichen Fehler. Wenn
keine zusätzliche Korrektur erfolgt, muss dieser Fehler berücksichtigt werden. Zu dem Betrag des statistischen
(zufälligen) Fehlers „uZ“ muss der Betrag des systematischen Fehlers „uS“ des Gerätes addiert werden:
uG =  uZ + uS 
Gl. 6
Beispiel:
Der Durchmesser (d) eines Zylinders wird 5 mal mit einem Messschieber ausgemessen. Wie groß sind Mittelwert
und Vertrauensbereich für eine Sicherheit von 90%?
i
d i /mm
(di-d)
2
1
2
3
4
5













Bestwert [Gl. 3]:
d  17 26mm
empirische Standardabweichung [Gl. 4]:
s d  0 114 mm
Grenze der STUDENTschen
t-Verteilung aus Tabelle 2:
t 5(90%) = 2 13
systematischer Fehler des Messschiebers (Tab.1):
u  0 109mm
u S =  0 05 + 0 0017 mm  0 052mm
Gesamtfehler [Gl. 6]:
u G =  0 109 + 0 052 mm  0 20mm
Das Ergebnis gerundet:
d = (17,3  0,2) mm
Die Grenze des Vertrauensbereiches [Gl. 5]:
3
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4. Fehlerfortpflanzung
4.1. Das Grundprinzip der Rechnung zur Fehlerfortpflanzung
Häufig bilden die ermittelten Messwerte lediglich Primärdaten für weiterführende Berechnungen, d.h. der oder
die Messwerte werden in Gleichungen (Funktionen) eingesetzt, um das eigentlich gewünschte Ergebnis zu erhalten. Im einfachsten Fall soll eine Messgröße „x“ in eine Funktion „y“ eingesetzt werden
y = f(x)
Gl. 7
uy = 
df
 ux
dx
ge
nte
y
y
Ta
n
Die Unsicherheit des Messwertes in x-Richtung wird durch die Funktion
y(x) in einer Unsicherheit in der y-Richtung abgebildet. Der Anstieg der
Funktion entscheidet über die Größe der Unsicherheit in y-Richtung.
Für die Berechnung des Fehlers „uy“ wird die Funktion durch ihre
Tangente bei „x“ angenähert (Betrag des Anstieges):
uy
ux
f(x)
Gl. 8
Die Vorzeichenunbestimmtheit wird durch das Doppelvorzeichen „±“
vor dem Betrag berücksichtigt.
x
= (32±1)°
Beispiel: Der „Tangens“ eines gemessenen Winkels wird benötigt. Der Messwert:
der Winkelfehler im Bogenmaß:
Der Funktionswert für die Messgröße:
Der Anstieg der gesuchten Funktion:
x

–2
u  = -----------   1   1 7  10
180
y = tan  = tan  32   0 625
d
 tan  
d

1
= -------------cos2 
 1 39
 = 32
Unsicherheit des Funktionswertes:
u
–2
u y = ------------- 1 39  1 7  10  0 024
2
cos 
Das gerundete Ergebnis:
tan() = 0,625± 0,025
oder tan() = 0,625.(1± 4%)
4.2. Fehlerfortpflanzung bei Funktionen von mehreren Messgrößen
Oft muss das gewünschte Ergebnis aus mehreren Messwerten (x, y, z,...) berechnet werden. Das gesuchte Ergebnis „F“ ergibt sich somit als Funktion mehrerer Variabler (Messgrößen):
F = f(x y z )
Gl. 9
Hinweis auf Rechenerleichterung: Wenn die Funktion „F“ entweder nur
• durch die Summe (Differenz) von Messwerten oder durch
• das Produkt (Quotient) von beliebigen Potenzen der Messwerte
gebildet wird, dann ergeben sich einige Besonderheiten, wodurch die Rechnung vereinfacht werden kann!
(Siehe Abschnitt 4.3 S.5 und 4.4 S.6)
Für die Berechnung der Gesamtunsicherheit wird zunächst nacheinander untersucht, welche Veränderung der
Funktionswert erfährt, wenn nur eine der Messgrößen geringfügig verändert wird, während die anderen als konstant angesehen werden:
F x =
F
 x ;
x
F y =
F
 y ;
y
F z =
F
 z ;
z
Gl. 10
Wegen der Unbestimmtheit der Fehlervorzeichen müssen die einzelnen Beiträge unabhängig von den Vorzeichen der partiellen Ableitung addiert werden, um die Gesamtabweichung zu erhalten.
Es bestehen zwei mathematisch sinnvolle Additionsvorschriften:
• maximaler Gesamtfehler: es werden die Beträge der Einzelabweichungen summiert:
4
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u F max =
•
f
f
f
 ux +
 uy +
u +
x
y
z z
Gl. 11
wahrscheinlicher Gesamtfehler: es werden die Quadrate der Einzelfehler summiert, und aus der Summe
wird die Wurzel gezogen (geometrische Addition):
u F W =
f
u
x x
2
+
f
u
y y
2
+
f
u
z z
2
+
Gl. 12
Die Berechnungsvorschrift für den „wahrscheinlichen Fehler“ liefert bei gleichen Ausgangsdaten in jedem
Fall einen kleineren Zahlenwert als die Vorschrift für den „maximalen Fehler“.
Der Unterschied für beide Berechnungsvorschriften ergibt sich aus der Art und Weise, nach der die Vorzeichenunbestimmtheit berücksichtigt wurde. Der „wahrscheinliche Fehler“ berücksichtigt eine teilweise gegenseitige Kompensation der Einzelfehler, der „maximale Fehler“ beschreibt die obere Schranke für den
Gesamtfehler.
Die Entscheidung, welche der beiden Vorschriften anzuwenden ist, hängt von der „Qualität“ der Einzelfehler ab:
Der „maximale Fehler“ muss berechnet werden, wenn
• die Einzelfehler überwiegend durch den systematischen Fehler des Messinstrumentes bestimmt sind oder
• die Einzelfehler durch Schätzungen ermittelt wurden oder
• das gewünschte Ergebnis eine hohe Sicherheit (Massenproduktion) gewährleisten soll.
Der „wahrscheinliche Fehler“ kann dann berechnet werden, wenn
• alle Einzelfehler im wesentlichen aus den Streuungen von Messreihen nach [Gl. 5] gewonnen wurden.
Dabei ist zu gewährleisten, dass alle Einzelfehler für die gleiche statistische Sicherheit „P“ ermittelt wurden.
Für den Gesamtfehler ergibt sich dann wieder die gleiche statistische Sicherheit „P“.
Der Bestwert von „a“:
a =
a =
Winkelfehler im Bogenmaß:
2
2
b + c – 2bc  cos 
2
b
a=?
Der Kosinussatz:
c

Beispiel: In einem Gelände soll die Seitenlänge „a“ eines schiefwinkligen Dreiecks mit dem
„Kosinussatz“ der Geometrie aus den Messwerten zweier Seitenlängen und des eingeschlossenen
Winkels berechnet werden. Die Messung soll nur einen orientierenden Charakter haben.
Die Messwerte:
b = (233±5) m; c = (105±3) m;  = (29±2)°
2
233 + 105 – 2  233  105  cos  29  m  150 06 m

–2
u  = -----------   2   3 5  10
180
b – c  cos 
a
b – c  cos 
= ----------------------------------------------------- = ---------------------------a
b
2
2
b + c – 2bc  cos 
die partielle Ableitungen:
a
c – b  cos 
c – b  cos 
= ----------------------------------------------------- = ---------------------------c
a
2
2
b + c – 2bc  cos 
bc  sin 
a
bc  sin 
= ----------------------------------------------------- = ---------------------a

2
2
b + c – 2bc  cos 
Die Teilfehler durch
Abweichung bei „b“:
–  105  cos 29 
u a b = a  u b = 233
---------------------------------------------------  5m = 4 70m
150 06
b
Abweichung bei „c“:
– 233  cos 29
u a c = w  u c = 105
----------------------------------------------  3m = 1 97m
150 06
c
der maximale Fehler:
233  105  sin 29
–2
u a  = w  u  = ------------------------------------------- m  3 5  10 = 2 77m
150

06

u a =  4 70 + 1 97 + 2 77 m = 9 44m
Das gerundete Ergebnis:
a = (150±10)m oder
Abweichung bei „“:
5
a = 150m.(1± 7%)
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4.3. Summen und Differenzen verschiedener Messwerte
Häufig bilden Summen oder Differenzen von mehreren Messwerten das gewünschte Gesamtergebnis. Damit
erhält die Funktion „F“ der Messwerte (x,y,z,...) nach [Gl. 9] die besondere Gestalt:
F = ax+by+cz+
Gl. 13
Wobei die Größen (a,b,c) beliebige konstante Zahlenfaktoren darstellen.
Die partiellen Ableitungen werden besonders einfach:
F
= a ;
x
F
= b ;
y
F
= c ;
z
Gl. 14
Die Messunsicherheiten der einzelnen Größen werden mit den zugehörigen Vorfaktoren multipliziert und
anschliessend aufsummiert.
Der maximale Fehler:
u F max = a  u x + b  u y + c  u z + 
Gl. 15
Der wahrscheinliche Fehler:
u F wahrsch =
2
2
2
 a  ux  +  b  uy  +  c  uz  + 
Gl. 16
Beispiel:
Die beiden Seiten eines Rechtecks „x“ und „y“ werden vermessen. Aus den Ergebnissen sollen der Umfang des
Rechtecks „G“ und die Differenz der beiden Seitenlängen „D“ ermittelt werden.
Die Messergebnisse:
x= (520± 10)m; y= (430±15)m
G = 2x + 2y
Der Umfang:
D = x–y
Die Differenz:
Ergebnisse
mit
;
u G max = 2u x + 2u y
2
 2u x  +  2u y 
u G wahrsch =
2
u G max = u x + u y
;
u G wahrsch =
2
ux + uy
2
maximalem Fehler:
wahrscheinlichem Fehler:
Umfang:
G= (1900± 50)m
G= 1900m.(1± 2,6%)
G= (1900± 36)m
G=1900m.(1± 1,9%)
Streckendifferenz:
LD= (90± 25)m
LD= (90± 18)m
.
LD= 90m (1± 28%)!!!
LD= 90m.(1± 20%)!!!
Der Vergleich der Ergebnisse macht deutlich, dass eine Differenz zweier Messgrößen den Fehler in katastrophaler
Art anwachsen läßt, wenn die Messgrößen annähernd gleich groß sind.
Bei Differenzen ist für die Ermittlung der einzelnen Messwerte erhöhte Genauigkeit gefordert, da die relative Größe des Fehlers bezogen auf das Ergebnis sehr groß werden kann. Eine sorgfältige Prüfung am
Ergebnis ist unumgänglich!
4.4. Fehlerfortpflanzung bei Produkten aus Potenzfunktionen
In vielen Fällen werden die gesuchten Endergebnisse aus Produkten, Quotienten, Potenzen oder Wurzeln der
Messgrößen abgeleitet, wie z.B. Flächen- oder Volumenberechnungen aus gemessenen Kantenlängen.
Die Funktion „F“ nach [Gl. 9] hat in diesen Fällen die allgemeine Gestalt:
p
q
r
F = f(x y z ) = x  y  z  
6
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Die partiellen Ableitungen haben hier eine besondere Form, sie können als Division durch die jeweilige
Variable dargestellt werden, wobei der Exponent als Faktor erscheint:
f
f
q
r
= p  x  p – 1   y  z  = p  -x
x
f
f
p
r
= q  y  q – 1   x  z  = q  -y
y
;
;
usw.
Diese spezielle Form der Zusammenhänge ermöglicht eine Vereinfachung der Rechnung, indem wir zur Darstellung mit relativen Fehlern übergehen:
u F x =
f
x
f
 u x = p  -----  u x
x
x y z
ux
u F x
u F x = ---------- = p  ----- = p  u x
x
f
liefert:
Daraus formulieren wir die Berechnungsvorschrift für die relativen Teilfehler:
u F x = p  u x
u F y = q  u y
;
u F z = r  u z
;
;
usw....
Gl. 17
Die relativen Teilfehler werden einzeln berechnet und entsprechend der Verwendung aufsummiert
zum „maximalen relativen Fehler“:
u F max = u F x + u F y + u F z + 
Gl. 18
oder zum „wahrscheinlichen relativen Fehler“:
2
2
2
 u F x  +  u F y  +  u F z  + 
u F W =
Gl. 19
Die relativen Fehler müssen lediglich mit der Potenz, in der die Messgröße in die Rechnung eingeht, multipliziert und anschliessend summiert werden, um den relativen Gesamtfehler zu erhalten.
Beispiel:
Der Torsionsmodul eines Stahldrahtes soll bestimmt werden, indem er mit einer zylindrischen Metallscheibe zu
einem Torsionspendel verbunden wird. Aus der Schwingungsdauer wird der Torsionsmodul errechnet:
m  l  D2
G =   --------------------T2  r4
Alle Einzelgrößen wurden durch Messreihen bestimmt, das Gesamtergebnis ist für eine Dokumentation bestimmt.
Messergebnisse:
Masse der Scheibe
m
Durchmesser der Scheibe
D
Länge des Drahtes
1,90m ± 1cm
r
Schwingungsdauer
.(1±
0,12m
.
1,9m
.
3 10-4 m
.
10,7s
.
(120 ± 1)mm
l
Radius des Drahtes
0,89kg
(890 ± 10)g
0,300mm ± 5µm
T
10,7s ± 200ms
1,1%)
(1± 0,8%)
(1± 0,5%)
.(1±
1,7%)
(1± 1,9%)
9 N
G  82 49  10 -----2m
Der Bestwert des gesuchten Torsionsmoduls:
Die einzelnen relativen Teilfehler [Gl. 17]:
u G m = u m = 1 1 %
u G D = 2  u D = 1 6%
u G l = u l = 0 5%
u G T = 2  u T = 3 8%
u G r = 4  u r = 6 8%
Entsprechend der Aufgabenstellung wird der „wahrscheinliche relative Gesamtfehler“ [Gl. 19] berechnet:
u GW =
Das gerundete Ergebnis:
2
2
2
2
2
1 1 + 0 5 + 1 6 + 3 8 + 6 8 % = 8 04 %
G= 82GPa.(1± 8%)
7
oder
G= (82 ± 7)GPa
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Man beachte, dass die Größe „r“, die mit der größten absoluten Genauigkeit (±5µm) vermessen wurde, trotzdem
den größten Anteil zum Fehler beiträgt, weil sie in der 4. Potenz in die Auswertung eingeht!
5. Lineare Regression
Bei einer Reihe von messtechnischen Problemstellungen werden jeweils Wertepaare „xi, yi“ aufgenommen, um
den funktionellen Zusammenhang zu erfassen (z.B. Messung der Temperaturabhängigkeit von elektrischen
Widerständen). Dazu wird eine Größe „xi“ gezielt verändert und die zugehörige zweite Größe „yi“ gemessen. Im
Ergebnis erhält man eine Wertetabelle.
In vielen Fällen wird ein linearer Zusammenhang zwischen den Größen „x“ und „y“ aus theoretischen Vorüberlegungen erwartet. In diesen Fällen würde es im Prinzip genügen, nur zwei Messpunkte aufzunehmen, um die
Lage der Geraden zu bestimmen. Oft nimmt man aber wesentlich mehr Messpunkte auf, um einerseits
• die theoretische Vorhersage messtechnisch zu bestätigen, und andererseits
• die Sicherheit der Aussage durch den Überschuss an Messpunkten zu erhöhen.
Die einfachste Auswertung besteht nun darin, die Messpunkte grafisch aufzutragen und mit „Augenmaß“ und
Lineal eine mittlere Gerade durch die Messpunkte zu ziehen. Dieser Weg wird bei einfachen Laboruntersuchungen für einen schnellen Überblick gern verwendet, obwohl er eine subjektive Beeinflussung einschließt.
Für eine mathematisch exakte Auswertung definieren wir eine „Ausgleichsgerade“ für den Zusammenhang
zwischen x und y:
y(x) = f(x) = a + bx
Gl. 20
Die beiden Konstanten „a“ und „b“ sind natür- y
lich zunächst unbekannt.
Die Theorie der zufälligen Fehler liefert ein
mathematisches Kriterium für die bestmögliche Lage der „Ausgleichsgeraden“, also für die yi
Berechnung der Konstanten „a“ und „b“:
Die Gerade ist dann optimal gewählt, wenn
die Summe über die Quadrate der Abweichungen aller Messpunkte von dieser Geraden ein Minimum wird!
  yi – f(xi) 
2
= Minimum
[yi  f(xi)]
i
n
3
f(x)a  bx
...
2
1
Gl. 21
xi
x
Diese Bedingung liefert mit den aufgenommenen Wertepaaren „xi, yi“ ein Gleichungssystem für die bestmögliche
Näherung für die Konstanten „a“ und „b“:
 n   a +   xi   b =
2
  xi   a +   xi   b =
 yi
 xi  yi
Gl. 22
Die Auflösung des Gleichungssystems [Gl. 22] liefert für die bestmögliche Näherung der Koeffizienten „a“ und
„b“ der Ausgleichsgeraden folgende Berechnungsvorschriften:
2
D = n   xi –   xi 
2
Gl. 23
1
a = ----    x i2   y i –  x i    x i y i  
D
1
b = ----   n   x i y i  –  x i   y i 
D
Gl. 24
Gl. 25
Die Messwerte weichen im allgemeinen mehr oder weniger von dieser „idealen“ Geraden ab, die Summe der
Quadrate der Abweichungen aller Messwerte „yi“ von der Geraden liefert die empirische Standardabweichung für
die vorliegende Messreihe:
8
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2
sy =
  y i – f (x i ) 
---------------------------------
Gl. 26
n–2
Mit dieser empirischen Standardabweichung können die Vertrauensbereiche“ua; ub“ für die ermittelten Koeffizienten abgeschätzt werden:
2
ua = t 
x
-----------  s
D
n
u b = t  ----  s y
D
und
y
Gl. 27
Beispiel:
Der Temperaturkoeffizient mit Fehlergrenzen für eine Sicherheit „P=95%“ eines Widerstandsmaterials soll ermittelt werden. Zu diesem Zweck wird das Material in einem Thermostaten mit regelbarer Temperatureinstellung auf
verschiedene Temperaturen erwärmt und der jeweilige Widerstand wird gemessen. Das Ergebnis ist eine Wertetabelle:
Temp./°C
20
33
50
65
85
100
120
Widerst./
121,2
123,5
135,5
140,9
146,2
162,7
175,1
Aus theoretischen Überlegungen wird erwartet, dass der Widerstand eine lineare Funktion der Temperatur ist.
R    = R0   1 +     = R0 +    R0   
Die grafische Darstellung liefert eine Gerade mit dem Anstieg „“. Bei der Temperatur von 0°C hat der Widerstand den Wert R0. Beide Größen sollen aus der Messreihe abgeleitet werden.
Für die numerische Rechnung benutzen wir die Ausgleichsgerade nach [Gl. 20]; die unabhängige Variable „x“
entspricht der Temperatur „“, die abhängige Variable „y“ entspricht dem Widerstand „R()“. Die Koeffizienten
„a“ und „b“ haben die physikalische Bedeutungen:
a = R0
und
b =   R0
Entsprechend den geforderten Summen stellen wir die Messwerte in einer Tabelle zusammen und führen die
Summation aus. (n = 7)
i
x /K
y /
x2 /K²
xy /K
1
20
121,2
400
2424,0
2
33
123,5
1089
4075,5
3
50
135,5
2500
6775,0
4
65
140,9
4225
9158,5
5
85
146,2
7225
12427
6
100
162,7
10000
16270
7
120
175,1
14400
21012
Die Auswertung
Die Determinante [Gl. 23]:
Der Koeffizient a [Gl. 24]
Der Koeffizient b [Gl. 25]
D = 55144K
a = 107 3 

b = 0 536 ---K
2
2
Die Fehlerquadratsumme
  yi – f(xi) 
empirische Standardabweichung [Gl. 26]
s y = 3 886 
t-Faktor (f=5; P=95%)
t = 2 57
u a = 8 49
Der mittlere Fehler für „a“[Gl. 27]
Der mittlere Fehler für „b“[Gl. 27]
Temperaturkoeffizienten „“
Der mittlere Fehler für „“ [Gl. 18]
= 75 497 
2

u b = 0 113 ---K
b
–3 1
 = --- = 5  10 ---a
K
u
u
u
----- = ----a- + ----b- = 7 9% + 21 1% = 29%

a
b
9

473
1005,1
39839
72142
Dr. Junge/Skripte/ Physik/ Arbeitsblätter - Fehlerrechnung (Version 1/03)
Zusammenfassung der Ergebnisse und Rundung:
Temperaturkoeffizient:
 = 5,0.10-3(1/K) (1±29%) oder
R0 = a = (107±9)
Widerstand bei 0°C:
 = (5,0±1,4).10-3(1/K)
R0=107 (1±9%)
oder
6. Linearisierung durch Koordinatentransformation (lineare Anamorphose)
Häufig werden auch Messreihen, bei denen kein linearer Zusammenhang zwischen den Wertepaaren „xi, yi“
erwartet wird, durch eine geeignete Koordinatentransformation derart verändert, dass ein linearer Zusammenhang zwischen den umgerechneten neuen Werten zu erwarten ist, so dass eine lineare Regression möglich wird.
Beispiel: Bei nebenstehendem Pendel wird durch Verschieben der Arretierung die Pendellänge um definierte Beträge von „x“ geändert. Die Pendellänge beträgt : L=L0 + x
x / cm
0
10
20
30
40
T/s
1,852
1,950
2,061
2,148
2,246
x
L=L0+x
Aus den Messergebnissen sollen die Größe der Erdbeschleunigung „g“ und die Anfangslänge „L0“ bestimmt werden (Unsicherheit für P=95%). Der Zusammenhang lautet:
T = 2  --lg

2
4
2
T = ---------  l
g
2
2
4
4
2
T = ---------  L 0 + ---------  x
g
g

Die Substitution „y = T²“ liefert eine lineare Beziehung zwischen „y“ und „x“.
y = T
2
2
;
y = a + bx
4
a = ---------  L 0
g
mit
2
4
b = --------g
;
Die Umrechnung wird für alle Messwerte „Ti“ vorgenommen:
Größe/Nr.
x/cm
x2/ cm2
y = T²/s²
xy (cms)²
1

0
3,429904

2
4
5


900
4,613904
138,41712

1600
5,044516
201,78064

3000
21,138545
463,17718
3

100
3,802500

20
400
4,247721
84,95442
Auswertung:
2
Die Determinante
D = 5000cm
Der Koeffizient „a“:
a = 3 4195834s
Der Koeffizient „b“:
s
b = 0 04040628 ------cm
empirische Standardabweichung:
s y = 0 02120363s
t-Faktor (f = 3; P=95%)
t = 3 18
Fehler von „a“:
u a = 0 0522 s
Fehler von „b“:
s
u b = 0 00213 ------cm
Erdbeschleunigung „g“
m
4
g = --------- = 9 77036679 ---2b
s
Fehler von „g“:
u
ug
----- = ----b-  5 3%
g
b
Länge „L0“
g
a
L 0 = --------2-  a = --- = 84 6299981cm
b
4
2
2
2
ua
-----  1 5%
a
2
2
ub
-----  5 3 %
b
2
;
10
m
u g  0 52 ---2s
Dr. Junge/Skripte/ Physik/ Arbeitsblätter - Fehlerrechnung (Version 1/03)
u
u
u
----L- = ----a- + ----b-  6 8%
L
a
b
Fehler der Länge:
;
L  5 8cm
Zusammenfassung der Ergebnisse und Rundung:
Erdbeschleunigung
m
g =  9 8  0 5  ---2s
Anfangslänge
L 0 =  85  6 cm
7. Literatur:
Deutsche Normen
DIN 13 19 Grundbegriffe der Messtechnik
DIN 13303 Stochastik
DIN 55350 Begriffe der Qualitätssicherung ...
Kohlrausch;
B.G. Teubner Stuttgart 1996
ISBN 3-519-23000-3 (24. Auflage)
Praktische Physik (Band 3)
H. Kuchling;
Fachbuchverlag Leipzig- Köln 1994
ISBN 3-343-00858-3 (14. Auflage)
Taschenbuch der Physik
Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig;
Verlag Harry Deutsch, Thun, Frankfurt a. M. 1993
ISBN 3-8171-2001-X
Taschenbuch der Mathematik
B.W. Gnedenko
Akademie Verlag GmbH Berlin 1991
ISBN 3-05-501270-4
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
R. Storm
VEB Fachbuchverlag Leipzig 1969
3. Auflage
Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik
und statistische Qualitätskontrolle
R. Ludwig
Methoden der Fehler- und Ausgleichsrechnung
VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin
Lizenzausgabe Friedrich Vieweg + Sohn GmbH, Braunschweig 1969
ES 19 B 4,5
L. Sachs
Springerverlag Berlin Heidelberg New York 1978
ISBN 3-540-08813-X
5. Auflage
Angewandte Statistik
11
Dr. Junge/Skripte/ Physik/ Arbeitsblätter - Fehlerrechnung (Version 1/03)
Anlage: Kurzübersicht und Tabellen
Bestimmung des Vertrauensbereiches für primäre Messdaten
Schätzen von Fehlern (Abgleichverhalten der Messanordnung beachten!)
analoge Messgeräte:
±0,5 x Skalenteil
(eventuell auch ±1 x Skt)
± 1 x letzte Stelle,
die sich während der Messung
nicht ändert
digitale Messgeräte:
Berechnung aus Messreihen
n
Bestwert
1
x = ---  x i
n
i=1
2
 xi – x 

------------------------------
empirische Standardabweichung:
s =
Grenzen des Vertrauensbereiches
 xi – x 2

s
t
u Z = t  ------- = -------  -----------------------------n – 1
n
n
n – 1
(„t“ :Tabelle 2 )
Gesamtfehler
uG =  uZ + uS 
(„us“ :Tabelle 1 )
Fehlerfortpflanzung bei Funktionen von mehreren Messgrößen (allgemein)
mathematischer Zusammenhang :
F = f(x y z )
maximaler Gesamtfehler:
u F max =
f
f
f
u +
u +
u +
x x
y y
z z
wahrscheinlicher Gesamtfehler:
u F w =
f
u
x x
(x,y,z: Messwerte)
2
+
f
u
y y
2
+
f
u
z z
2
+
Fehlerfortpflanzung - speziell Summen
mathematischer Zusammenhang:
F = ax+by+cz+
Der maximale Fehler:
u F max = a  u x + b  u y + c  u z + 
Der wahrscheinliche Fehler:
u F w =
(x,y,z: Messwerte)
(a,b,c konstante Zahlenfaktoren)
12
2
2
2
 a  ux  +  b  uy  +  c  uz  + 
Dr. Junge/Skripte/ Physik/ Arbeitsblätter - Fehlerrechnung (Version 1/03)
Fehlerfortpflanzung - speziell Produkte aus Potenzfunktionen
p
q
r
mathematischer Zusammenhang:
F = f(x y z ) = x  y  z  
maximaler relativer Fehler:
u
*
wahrscheinlicher relativer Fehler:
u
*
= p  u x + q  u y + r  u z + 
F max
F w
=
2
2
2
 p  u x  +  q  u y  +  r  u z  + 
Lineare Regression
y(x) = a + bx
mathematischer Zusammenhang
2
D = n   xi –   xi 
Konstanten:
2
y
f(x)a  bx
1
a = ----    x i2   y i –  x i    x i y i  
D
1
b = ----   n   x i y i  –  x i   y i 
D
xi
x
2
empirische Standardabweichung:
sy =
 y i – f (x i ) 

--------------------------------n–2
2
ua = t 
Fehler der Konstanten:
x

-----------  s
D
und
y
n-  s
u b = t  --D y
Runden und Vertrauensbereich für die gesuchte Größe
Der „Vertrauensbereich“ definiert einen Wertebereich, in dem der wahre Wert der gemessen Größe mit
einer gewissen Wahrscheinlichkeit liegen wird.
Vertrauensbereich
Angabe des Ergebnisses mit
Vertrauensbereich
x = x  ux
0
x-ux
x
x+ux
Endergebnis
Das Runden am Ergebnis:
Es ist nur sinnvoll, das Ergebnis bis zu der Kommastelle anzugeben, in der die Grenze des Vertrauensbereiches wirksam werden. Unter Umständen kann die Angabe des Messwertes in der Genauigkeit bis zu 1/3 der
Intervallgrenze noch sinnvoll sein.
Die Angabe der Grenzen des Vertrauensbereiches erfolgt im Allgemeinen nur mit einer Ziffer (und der
Zehnerpotenz) maximal sind zwei Stellen zulässig.
Der relative Fehler:
Die Angabe des Vertrauensbereiches kann auch als relative Angabe erfolgen, die Angabe in % ist üblich.
ux
u x = ----x
Beispiel:
aus dem Rechenergebnis: L= 1234,5m±98,15m
13
d.h.
wird
oder
x = x   1  u x 
L= (1200 ±100)m
L= 1200m(1± 8%)
Dr. Junge/Skripte/ Physik/ Arbeitsblätter - Fehlerrechnung (Version 1/03)
Tabellen
Tabelle 1: Systematische Messunsicherheiten verschiedener Messmittel
Messgröße
Länge
Messmittel
systematische Messunsicherheit
Messschieber
Masse
us= 0,05mm +
in mm
Stahlmaßstab
us= 0,05mm +
us= 0,001mm
mit Objektmaßstab
us= 0,01mm
mit Messokular
us= 1mg
für m < 50g
us= 2mg
für 50g < m < 200g
us= 3mg
für m > 200g
Feinwaage
us= 0,1g
Tafelwaage
us= 1g
us= 0,4s + 510t
t:= gemessene Zeit in s
digitale Stoppuhr
us= 0,01s + 510t
Thermometer
us= 1K
im Bereich -5°C... 105°C
Skalenteilung 0,5K; 1K
mechanische Stoppuhr
Temperatur
L:= gemessene Länge
510L
Mikroskop
Präzisionswaage
Zeit
Bemerkungen
10L
us vernachlässigbar
Skalenteilung 0,1K
V:= gemess. Volumen


Volumen
Messzylinder
us= 1,5 10
Allgemein
Digitale Geräte
us= ± 1 digit
elektr. Strom
und Spannung
elektrische Messgeräte
(analoge Anzeige)
G
u s = --------------  S E
100%
V
SE:= Skalenendwert
G:= Genauigkeitsklasse
Tabelle 2: STUDENTsche t-Verteilung
Freiheitsgrad:
für Mittelwert von Reihen:f = n - 1
für lineare Regression:
f=n-2
Freitsgrad 80%
90%
95%
99%
Freiheitsgrad 80%
90%
95%
99%
f
t
t
t
t
f
t
t
t
t
1
3,08
6,31
12,71
63,66
13
1,35
1,77
2,16
3,01
2
1,89
2,92
4,30
9,93
14
1,35
1,76
2,15
2,98
3
1,64
2,35
3,18
5,84
15
1,34
1,75
2,13
2,95
4
1,53
2,13
2,78
4,60
16
1,34
1,75
2,12
2,92
5
1,48
2,02
2,57
4,03
17
1,33
1,74
2,11
2,90
6
1,44
1,94
2,45
3,71
18
1,33
1,73
2,10
2,88
7
1,42
1,90
2,37
3,50
19
1,33
1,73
2,09
2,86
8
1,40
1,86
2,31
3,36
20
1,33
1,73
2,09
2,85
9
1,38
1,83
2,26
3,25
50
1,30
1,68
2,01
2,68
10
1,37
1,81
2,23
3,17
80
1,29
1,66
1,99
2,64
11
1,36
1,80
2,20
3,11
100
1,29
1,66
1,98
2,63
12
1,36
1,78
2,18
3,06
200
1,29
1,65
1,97
2,60
14