Kinetische Energie in klassischer und relativistischer Mechanik

2004
Peter Nemec,
Otto Hahn - Gymnasium Saarbrücken,
Kinetische Energie in klassischer und relativistischer Mechanik
Ein Körper der Masse m wird aus den Zustand der Ruhe auf die Geschwindigkeit u beschleunigt. Zu Beginn der Bewegung befindet er sich bei s = 0, beim Erreichen der
Endgeschwindigkeit u befindet er sich bei der Wegmarke s = s0 und besitzt den Impuls
p = p0 . Für die am Körper verrichtete Beschleunigungsarbeit gilt allgemein:
Z s0
WBeschl. =
F ds
(1)
0
Die allgemeingültige Formulierung der Grundgleichung der Mechanik lautet:
F =
dp
dt
(2)
Einsetzen von (2) in (1) liefert:
s0
Z
WBeschl. =
0
Es gilt mit v = ṡ =
dp
ds
dt
(3)
ds
:
dt
p0
Z
WBeschl. =
0
ds
dp =
dt
und somit
p0
Z
Z
u
v
vdp =
0
0
Z
u
v
WBeschl. =
0
dp
dv
dv
dp
dv
dv
(4)
(5)
In der klassischen Mechanik gilt für den Impuls:
p=m·v
(6)
Unter der Voraussetzung, dass sich die Masse nicht ändert, gilt:
d
dv
dp
= (m · v) = m = m
dv
dv
dv
(7)
Einsetzen von (7) in (5) liefert:
Z
WBeschl. =
0
u
1
mvdv = m v 2
2
u
1
= mu2
2
0
(8)
Die am Körper verrichtete Beschleunigungsarbeit steht ihm in Form von kinetischer Energie zur Verfügung. Es gilt daher bei Beschleunigung auf die Endgeschwindigkeit v:
1
Wkin = mv 2
2
(9)
Zur Berechnung des entsprechenden relativistischen Beziehung geht man wieder von Formel (5) aus. Dabei wird vorausgesetzt, dass im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie
die Beziehung (2) gültig bleibt. Für den relativistischen Impuls gilt:
mv
p= r
v2
1− 2
c
(10)
dp
d
mv
r
=
dv
dv
v2
1− 2
c
r
− 12 v2
2v
v2
1
− 2
m 1 − 2 − mv
1− 2
c
2
c
c
=
2
v
1− 2
c
1
− 32
2 −2
2
v
v
v2
= m 1− 2
+m 2 1− 2
c
c
c
3 −2
v2 v2
v2
1− 2 + 2
= m 1− 2
c
c
c
Otto Hahn - Gymnasium Saarbrücken,
Peter Nemec,
2004
Es gilt nun:
und somit
− 32
dp
v2
=m 1− 2
dv
c
(11)
Einsetzen von (11) in (5) liefert:
u
Z
WBeschl. = m
0
Die Funktion F (v) = c
2
v2
1− 2
c
v2
v 1− 2
c
− 32
dv
(12)
− 21
ist eine Stammfunktion der Integrandenfunktion.
Damit gilt:
WBeschl.
− 12 u
v2
2
= m c 1− 2
c
0




1

r
= mc2 
−
1


u2
1− 2
c
Ein Körper der Masse m hat somit bei der Geschwindigkeit v die kinetische Energie
mc2
Wkin = r
2
v
1− 2
c
− mc2
(13)
Bemerkung:
Der Term mc2 stellt die Energie eines Körpers in seinem Eigensystem dar, d.h in einem
Bezugssystem, welches bzgl. des Körpers in Ruhe ist. Gleichung (13) lässt sich auch in
der Form Wkin = mc2 − m0 c2 angeben, wobei m0 die „Ruhmasse“ des Körpers ist und m
die „dynamische Masse“, für die gilt: m = q m0v2 . Dieses Konzept einer „dynamischen
1−
c2
Masse“ wird heutzutage nicht mehr verwendet; es gibt nur eine (geschwindigkeitsunabhängige) Masse, die man im Ruhsystem eines Körpers misst. Nicht Massen werden beim
Übergang zwischen Inertialsystemen transformiert, sondern Energien und Impulse.