Quantenmechanik: Fragen zur QM 15.07.2013

Quantenmechanik:
Fragen zur QM
15.07.2013
Michael Czopnik
Wissensfragen
(a) Geben Sie die zeitabhängige und die stationäre Schrödingergleichung
an und benennen Sie die auftretenden Größen.
−
−
~2 2
∂ ψ(x, t) + V ψ(x, t) = Eψ(x, t)
2m x
stationär
~2 2
∂ ψ(x, t) + V ψ(x, t) = i~∂t ψ(x, t)
2m x
zeitabhängig
(b) Wie lauten die Kommutatorrelationen für Drehimpulse?
[L̂a , L̂b ] = i~abc L̂c
(c) Wie lauten die Eigenwertgleichungen für Drehimpulse? Welche Werte
können die auftretenden Quantenzahlen im allgemeinen annehmen?
n
, n ∈ N0
2
m = −l, −l + 1, ..., l
L̂2 |lmi = ~2 l(l + 1) |lmi
L̂z |lmi = ~m |lmi
l=
(d) Geben Sie die Definition für einen hermiteschen Operator an.
Â = Â†
(e) Beweisen Sie, dass die Eigenwerte eines hermiteschen Operators reell
sind.
∗
hψ|Â|ψi = a hψ|ψi = hψ|Â† |ψi = hψ|Â|ψi = a∗ ⇒ a ∈ R
Sommersemester 2013
Quantenmechanik
Fragen zur QM
(f ) Beweisen Sie, dass die Eigenvektoren eines hermiteschen Operators,
die zu verschiedenen Eigenwerten gehören, orthogonal sind.
Seien |ai , |bi Eigenvektoren, a, b Eigenwerte und Â = Â† . Betrachten
wir:
hb|Â|ai = a hb|ai
(1)
Wir können auch schreiben
∗
hb|Â|ai = ha|Â|bi = b ha|bi∗ = b hb|ai
(2)
Subtrahiert man nun (2) von (1) ergibt sich
0 = (a − b) hb|ai
Da a und b verschieden sind gilt (a − b) 6= 0 ⇒ hb|ai = 0
(g) Geben Sie die Unbestimmtheitsrelation für Ort und Impuls in einer
Dimension an und definieren Sie die auftretenen Größen.
∆x · ∆p ≥
~
2
mit ∆x Ortsunschärfe, ∆p Impulsunschärfe und ~ = h/2π.
(h) Interpretieren Sie die Unbestimmtheitsrelation: Was bedeutet diese für
Orts- und Impulsmessungen?
Die Unschärferelation ist eine Aussage über die minimale Unschärfe
bei der Messung von zwei physikalischen Größen. Speziell gilt: Für eine in einem engen Bereich lokalisierte Wellenfunktion ψ(x, t) liegen die
Ortsmesswerte in der Nähe von < x >; zugleich streuen die gemessenen
Impulswerte in einem entsprechend weitem Bereich um < p > herum.
Für eine in einem engen Bereich lokalisierte Wellenfunktion φ(p, t) liegen die Impulsmesswerte in der Nähe von < p >; zugleich streuen
die gemessenen Ortswerte in einem entsprechend weiten Bereich um
< x > herum. Beide Größen, Impuls und Ort, können durch eine Wellenfunktion nicht zugleich scharf definiert werden. Sie sind vielmehr in
der durch die Unschärferelation beschriebene Weise unbestimmt.
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Sommersemester 2013
Quantenmechanik
Fragen zur QM
(i) Leiten Sie die Kommutatorrelation für Ort und Impuls her; gehen Sie
dabei von der Ortsdarstellung von Ort und Impuls aus.
~
[x̂, p̂]ψ(x, t) =
i
∂
∂
~
x
−
x ψ(x, t) = − ψ(x, t) = i~ψ(x, t)
∂x ∂x
i
(j) Zur Zeit t0 befinde sich das quantenmechanische System im Energieeigenzustand |φn i. In welchem Zustand befindet es sich zur Zeit t > t0 ?
i
|φn (T )i = Û (t, 0) |φn i = e− ~ En t |φn i
(k) Das quantenmechanische System befinde sich im normierten Zustand
|ψi. Wie ist der Erwartungswert der Observablen Â definiert? Welche
Werte können bei einer Messung von Â auftreten und mit welchen
Wahrscheinlichkeiten?
< Â > = hα|Â|αi =
X
hα|an i an han |αi
n
=
X
an | han |αi |2 =
n
X
an pn
n
(l) Geben Sie die Formeln für die Energieeigenwerte für die folgenden
Probleme an: Teilchen im eindimensionalen unendlich hohen Kastenpotential, Teilchen im eindimensionalen harmonischen Oszillator, Wasserstoffatom.
Kastenpotential
harmonischer Oszillator
Wasserstoffatom
~2 kn2
~2 π 2 n2
=
2
2m
2mL
1
En = ~ω n +
2
2
µe
En = − 2 2
2~ n
En =
(m) Es sollen zwei Spins s1 und s2 gekoppelt werden. Welche Werte kann
der Gesamtspin annehmen?
|s1 − s2 | ≤ S ≤ s1 + s2
Beispiel: 2 Spin 1/2 ⇒ S = 0, 1.
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(n) Es sollen drei Spins s = 2 gekoppelt werden. Welche Gesamtspins kann
ich erreichen und wie oft treten diese auf (Entartung)? Prüfen Sie die
Dimension des Hilbertraumes.
s1 + s2
2+2
+2
0
1
2
3
4
2
1,2,3
0,1,2,3,4
1,2,3,4,5
2,3,4,5,6
Wir erhalten also für die Entartung von S:
S
Entartung
0
1
1
3
2
5
3
4
4
3
Tabelle 1: Entartung von S
4
5
2
6
1
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(o) Zwei Spins s = 1 sollen gekoppelt werden. Berechnen Sie die ClebschGordan- Koeffizienten für die Zustände mit Gesamtspin S = 2.
Nachschauen liefert:
Es gilt:
1
|20i = √ (|−11i + 2 |00i + |1 − 1i)
6
Wende darauf S− = S1− + S2− an
√
S− |20i = ~ 6 |2 − 1i
√
S− |−11i = ~ 2 |−10i
√
S− |1 − 1i = ~ 2 |0 − 1i
1
⇒ |2 − 1i = √ (|−10i + |0 − 1i)
2
Nochmal S− angewendet ergibt: |2 − 2i = |−1 − 1i. Somit lauten die fehlenden Clebsch Gordon Koeffizienten
1
hm1 m2 |2 − 1i = √ (δm1 −1 δm2 0 + δm1 0 δm2 −1 )
2
hm1 m2 |2 − 2i = δm1 −1 δm2 −1
5