Einführung in die Physik I Dynamik des Massenpunkts (2)

Einführung in die Physik I
Dynamik des Massenpunkts (2)
O. von der Lühe und U. Landgraf
Arbeit
l1
• Kräfte können aufgeteilt oder
umgeformt werden durch (z. B.)
– Hebel
– Flaschenzüge
• Der Weg, über welchen eine
reduzierte Kraft aufgebracht
werden muss, um eine Last einen
gegebenen Weg zu bewegen, ist
dafür länger
• Das Produkt „Kraft mal Weg“ ist
dabei konstant
l2
F‘ = l1/l2 F
m
F = -mg
m
F‘ = F/2
Dynamik des Masenpunkts 2
F = -mg
2
1
Arbeit
• Die Größe „Kraft mal Weg“ heißt
Arbeit W
r r
W = F ⋅ Δs
• Sowohl die Kraft als auch die
Strecke, über welche Arbeit geleistet
wird, sind vektorielle Größen
• Die Arbeit ist eine skalare Größe,
das Produkt „Kraft mal Weg“ also ein
Skalarprodukt
Δs
• Nur derjenige Teil der Kraft, welcher
in Richtung der zurückgelegten
Strecke zeigt, trägt zur Arbeit bei
F
Dynamik des Masenpunkts 2
3
Arbeit
• Wird eine Kraft längs eines beliebigen
Wegs ausgeübt, so ergibt sich die
geleistete Arbeit zwischen zwei
Punkten A, B längs des Wegs mit
B
r r
W = ∫ F ⋅ ds
B
ds
F
A
• Die Einheit für die Arbeit heißt Joule
– 1 [J] = 1 [N m] = 1 [kg m2 s-2]
Dynamik des Masenpunkts 2
A
4
2
Arbeit - Beispiele
• Treppensteigen in den 4. Stock
F =m·a
– 75 kg
– 16 m
= 75 · 9.81 [kg m s-2]
= 736 [N]
W = 736 · 16 [N·m]
= 11772 [J]
• Einen Kubikmeter Erde ausheben
– 2000 kg
– 1m
F =m·a
= 2000 · 9.81 [kg m s-2]
= 19620 [N]
W = 19620 · 1 [N·m]
= 19620 [J]
Dynamik des Masenpunkts 2
5
Leistung
• Es macht einen Unterschied, ob
man eine Treppe in zehn
Sekunden hinauf rennt oder sie
langsam innerhalb einer Minute
erklimmt
• In jedem Fall ist die geleistete
Arbeit dieselbe
• Die Größe „Arbeit pro Zeit“ heißt
Leistung
• Die Einheit der Leistung hat die
Bezeichnung Watt [W] (nach
James Watt, 1736-1819)
• 1 [W] = 1 [J s-1] = 1 [kg m2 s-3]
s
F=mg
P=
W
Δt
W = 736 · 4 [N·m]
= 2944 [J]
P = 2944 [J] / 10 [s] = 294 [W]
= 2944 [J] / 60 [s] = 49 [W]
Dynamik des Masenpunkts 2
6
3
Energie
• Wird an einem Körper Arbeit geleistet,
so gewinnt er an Energie
• Energie kann genutzt werden um
Arbeit (an anderen Körpern) zu
verrichten
• Wird ein Körper beschleunigt, so wird
an ihm Arbeit verrichtet. Er gewinnt
dadurch an kinetischer Energie
• Konstante Beschleunigung a längs
eines Weges s
– geleistete Arbeit
– erreichte Geschwindigkeit
W = F ⋅s = m⋅a⋅s
v=
W =
2⋅a ⋅s =
2 Fs
=
m
2W
m
1
m ⋅ v2
2
• Kinetische Energie ist proportional
zum Quadrat der Geschwindigkeit
• Einheit der Energie ist [J]
Dynamik des Masenpunkts 2
7
Kinetische Energie - Beispiele
• Kinetische Energie eines Fußgängers:
– Masse m = 75 kg
– Geschwindigkeit v = 5 km/h = 1.4 [m s-1]
– Kinetische Energie ½ m v2 = 72 [J]
• Kinetische Energie eines Personenwagens
– Masse m = 1000 kg
– Geschwindigkeit v = 80 km/h = 22 [m s-1]
– Kinetische Energie ½ m v2 = 2.5 105 [J]
• Internationale Weltraumstation
– Masse m = 400 t = 4 105 kg
– Geschwindigkeit v = 28.000 km/h
= 7.8 103 [m s-1]
– Kinetische Energie ½ m v2 = 1.2 1013 [J]
Dynamik des Masenpunkts 2
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4
Impuls
• Newton‘sches Reaktionsprinzip
r
r
F1 = − F2
r
r
m1 ⋅ a1 = −m2 ⋅ a2
r
r
m1 ⋅ a1 + m2 ⋅ a2 = 0
r
r
dv 2
dv1
+ m2 ⋅
=0
m1 ⋅
dt
dt
d
(m1 ⋅ vr1 + m2 ⋅ vr2 ) = 0
dt
r
r
m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v2 = konstant
m1
a1
a2
F1
F2
m2
r
• Die Größe m ⋅ v heißt Impuls
eines Körpers
• Einheit [kg m s-1]
Dynamik des Masenpunkts 2
9
Impulserhaltung
• Beide Körper ändern ihren
Bewegungszustand
• Die Ableitung der Summe der
Impulse nach der Zeit verschwindet
• Dies bedeutet, dass die Summe der
Impulse zeitlich konstant ist
• Dieses Ergebnis kann man auf
abgeschlossene Systeme mit
beliebig vielen, sich gegenseitig
beeinflussenden Körpern erweitern
• Der Gesamtimpuls (Summe aller
Impulse) in einem abgeschlossenen
System ist eine Erhaltungsgröße
Dynamik des Masenpunkts 2
m1
a1
a2
F1
F2
r
p=
N
m2
r
∑m ⋅v
i =1
i
i
10
5
Schwerpunkt
• Betrachte ein abgeschlossenes System
von N Massen mi , i ∈ {1, …, N} an den
r
Örtern xi
r
• Der Schwerpunkt rS des Systems ist die
mit den Massen gewichtete Position der
Körper des Systems
m1
m2
rS
r1
r2
r
N
• Die Ableitung des Schwerpunktvektors
nach der Zeit ist gleich dem Gesamtimpuls dividiert durch die Massensumme
r
rS =
∑m ⋅r
i =1
N
i
i
∑m
i =1
• Der Schwerpunkt eines
abgeschlossenen Systems bewegt
sich geradlinig gleichförmig
i
Dynamik des Masenpunkts 2
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Kraftfelder
• Wir haben bislang nur die
Gravitationskraft der Erde
betrachtet
• In der Nähe der Erdoberfläche
für hinreichend kleine Gebiete
konstant
• Kraftfeld der Erdgravitation
(Gravitationsfeld)
• Die bei einer Bewegung einer
Masse im Gravitationsfeld
geleistete Arbeit hängt nur von
der Höhendifferenz von
Ausgangs- und Endpunkt ab,
unabhängig vom Weg
FG
E
Δz
A
W = m ⋅ g ⋅ Δz
Dynamik des Masenpunkts 2
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6
Potentielle Energie
• Durch die Arbeit des Gravitationsfeldes beim Anheben eines
Körpers erhöht sich dessen
potentielle Energie
• Diese kann – durch Fallenlassen
über eine Strecke Δz – in
kinetische Energie umgewandelt
werden
t=
Fallzeit
E
Δz
A
2Δz
g
Geschwindigkeit v = gt = 2 gΔz
Ekin =
Kin. Energie
1 2
mv = m ⋅ g ⋅ Δz = Epot
2
Dynamik des Masenpunkts 2
13
Allgemeine Kraftfelder
• Kraftfelder können ortsabhängig sein,
r
F = F (x )
• Die geleistete Arbeit ist dann eine
Funktion des Weges
r r
W ( x1 , x2 ) =
r
x2
r
r
∫ F ( x ) dx
r
x1
• Ist die geleistete Arbeit unabhängig vom
Weg zwischen Anfang und Ende des
Wegs, so nennt man das Feld ein
konservatives Kraftfeld (Gegenteil:
dissipativ)
Dynamik des Masenpunkts 2
14
7
Potentielle Energie
•
•
•
•
•
Allgemein kann man die potentielle
Energie in einem konservativen
Kraftfeld, bezogen auf einen festen
Ausgangspunkt, für jeden Ort
berechnen
Das damit gegebene Skalarfeld heißt
potentielle Energie oder Potential
des Kraftfeldes
Flächen, die Orte mit derselben
potentiellen Energie verbinden
(„Äquipotentialflächen“), stehen auf
den Kraftvektoren senkrecht
Das Kraftfeld berechnet sich als
negativer Gradient der potentiellen
Energie
Die potentielle Energie nimmt
entgegen der Kraftrichtung zu
E
h
A
Linien gleichen
Potentials
( )
( )
r r
r
r
F X = − ∇Epot X
Dynamik des Masenpunkts 2
15
Mechanischer Energiesatz
• In einem abgeschlossenen
mechanischen System mir einem
konservativen Kraftfeld kann ein
Körper potentielle Energie
(Lageenergie) und kinetische
Energie haben
• Beide Energieformen können
ineinander umgewandelt werden
• Die Summe von kinetischer und
potentieller Energie ist dabei
konstant
• Energie ist eine
Erhaltungsgröße
Dynamik des Masenpunkts 2
v = 2⋅ g ⋅h
h
v
g
d
(Ekin + Epot ) = 0
dt
16
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Zentralkräfte
• Kraftfelder, die auf einen Punkt
gerichtet sind, heißen Zentralkräfte
• Beispiele:
– Anziehung zweier Massenpunkte
durch Gravitation
– Anziehung zweier ungleichnamiger
elektrischer Ladungen
– Abstoßung zweier gleichnamiger
elektrischer Ladungen
• Legt man den Ursprung in das
Zentrum einer Zentralkraft, dann gilt
für alle Örter
m2
m1
r
r
&r&
F = m ⋅ X ist parallel zu X
Dynamik des Masenpunkts 2
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Drehimpuls und Drehimpulserhaltung
• Man betrachte einen Massenpunkt mit r
der Masse
m und der Geschwindigkeit V
r
am Ort X in einem Zentralkraftfeld
(Zentrum am Ursprung)
r
• Der Vektor L heißt Drehimpuls des
Systems
• Die Ableitung des Drehimpulses nach
der Zeit ist
Vektorprodukt verschwindet,
da die Faktoren gleich sind
• Da die bei einer Zentralkraft die
&r&
Beschleunigung
X parallel zum
r
Ortsvektor X ist, gilt auch
• Für Zentralkräfte ist der Drehimpuls
eine Erhaltungsgröße
Dynamik des Masenpunkts 2
r
V
r
F
m
r
X
r
r r
r r&
L = m ⋅ X ×V = m ⋅ X × X
(
)
r& d r d
r r&
L = L = m X×X
dt
dt
r& r&
r &r&
= m X ×X +m X ×X
) (
(
(
)
)
r &r&
m X×X = 0
r&
L=0
r
L = konstant
18
9