Mechanik2
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Physik für Pharmazeuten Physik für Pharmazeuten MECHANIK II Arbeit, Energie, Leistung Impuls Rotationen M h ik II Mechanik II Flaschenzug M h ik II Mechanik II • Flaschenzug: Flaschenzug beobachte: F1 kleiner als F2 (Gewichtskraft), aber: r1 größer als r aber: r größer als r2 F1 r1 F2, r2 M h ik II Mechanik II • Flaschenzug: Flaschenzug beobachte: F1 kleiner als F2 (Gewichtskraft), aber: r1 größer als r aber: r größer als r2 genauer: , F1r1 = F2 r2 Produkt aus Kraft × Weg ist konstant ähnliches auch bei: schiefer Ebene schiefer Ebene Hebel Fahrradübersetzung.... F1 r1 F2, r2 M h ik II Mechanik II 1 3 Arbeit, Energie, Leistung 1.3 Arbeit Energie Leistung • mechanische Arbeit mechanische Arbeit G G W = F Δr Einheit [W ] = Nm = kgm2 s2 = J (Joule) Arbeit ist Skalar b k l (Zahl), kein Vektor, aber abhängig von ( hl) k k b bh G G G G Winkel zwischen Kraft und Weg W = F Δr = F Δr cosα für gekrümmte Strecken als Summe fü kü t St k l S (Integral) über Teilstrukturen. Änderung der Bewegung ⇔ Arbeit zuführen/entnehmen Arbeit zuführen/entnehmen ⇒ Energie: Fähigkeit Arbeit zu verrichten z.B. Änderung der Bewegung zu verursachen M h ik II Mechanik II Energie Energie • Energie für Massepunkte (MP) Energie für Massepunkte (MP) • MP in Bewegung: v M h ik II Mechanik II Energie Energie • Energie für Massepunkte (MP) Energie für Massepunkte (MP) • MP in Bewegung: v Zuvor ist Beschleunigung notwendig, d.h. Kraft auf MP während bestimmter Zeit, bzw. über best. Strecke (z.B. Auto) r = vt + at 2 2 , für fü v0 = 0 gilt il t = 2r a v = at = 2ra = 2r mF = 2W m 2 mv • aufgewendete Arbeit: W = 2 = Ekin kinetische Energie M h ik II Mechanik II • MP MP in Höhe h in Höhe h (Schwerkraft wirkt) (Schwerkraft wirkt) ⇒ potentielle Energie: E pot = mgh B Beispiel: Körper auf Höhe h=0 mit Anfangsgeschwindigkeit v i i l Kö f Höh h 0 it A f h i di k it 0 nach h G =0 v oben (entgegengesetzt zur Kraft) ⇒ Körper wird abgebremst bis dann gilt: v = v0 − gt , wenn v = 0 : v0 = gt , bzw b . t = v0 g x = at 2 2 → 2gh = v02 ⇒ E pot ,t mv02 = mgh = = Ekin ,0 2 wenn Körper zur Ruhe kommt (Zeit t), hat er potentielle Energie (= kinetische Energie bei t=0). Diese kann ihm wieder zugeführt werden i d indem er auf Ausgangshöhe gebracht wird. fA höh b h id M h ik II Mechanik II • allgemein: allgemein: G G G Kraftfeld F = F (r ) Kraft hängt nur von rG ab. Kraft hängt nur von ab. G ΔE F = G = grad E Gradient Δr ⇒Kraft auf MP ergibt sich aus Änderung der Energie W=0 für geschlossene Wege Experiment: schiefe Ebene – Parabel Pendel • allgemeines Konzept: Potential (Energiefeld) M h ik II Mechanik II • Pendel Pendel: Umwandlung potentielle Energie kinetische Energie kinetische Energie • Energiesatz: Energie ist in abgeschlossenem System konstant M h ik II Mechanik II • Versuch: Pendel Versuch Pendel P0 : Ekin = 0, E pot = mgh P1 : E pot = 0, Ekin = mv 2 /2 asymmetrisches Pendel Höhe links und rechts gleich ⇔ Energie bleibt erhalten aus Energieerhaltung: mgh = mv 2 /2 ⇒ vmax = 2ghmax M h ik II Mechanik II • Pendel Pendel: Umwandlung potentielle Energie kinetische Energie kinetische Energie • Energiesatz: Energie ist in abgeschlossenem System konstant • Leistung: Energieänderung pro Zeiteinheit G G GG P = W t = F Δr t = F v 2 3 Einheit [P ] = J s = kg m s = W (Watt) Energiebilanz für endotherme und M h ik II Mechanik II exotherme Reaktionen M h ik II Mechanik II 1 4 Impuls 1.4 in Kräfte freiem System: in G Kräfte freiemG System: G F = ma = m dv dt = 0 (Geschwindigkeit konst.) allgemeiner: allgemeiner: G d (mvG ) F = dt = 0 G G • Impuls: Impuls: p = mv (es kann sich auch Masse ändern) G mehrere Massen m1, m2, .... p = ∑ i =1... n G pi = ∑ i =1... n G mi vi ⇒ ohne äußere Kräfte bleibt Impuls konstant für Analyse von Stößen definiere Schwerpunkt: “Zentrum“ vieler Massen G mrS = G ∑ mi ri i =1.. n M h ik II Mechanik II Stoßgesetze Stoß: Stoß: vorher vorher m1, v1, m2, v2,.... nachher m1, u1, m2, u2,.... Randbedingungen: Impulserhaltung: m1v1 + m2v2 + ... = m1u1 + m2u2 + ... Energieerhaltung: m1v12 + m2v22 + ... = m1u12 + m2u22 + ... =1 für elastische Stöße: , sonst <1 G G G Δp = m ( v − u ) = 2mv sin i θ2 Impulsübertrag: I l üb • z.B.: Rakete (Düsenantrieb): u2 v2 stößt während Δt tößt äh d Δt Masse Δµ M Δ mit Geschwindigkeit it G h i di k it w aus, d.h. mit Impuls Δµw. Gesamtimpuls konst. ⇒ Rakete nimmt Impuls auf, der ihr v erhöht: −w ( Δµ Δt ) = m ( Δv Δt ) = ma M h ik II Mechanik II • Versuch: elastischer – Versuch elastischer inelastischer Stoß v1 v2 vorher nachher m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2 Vorzeichen beachten ! v1 v2 u1 =u2=u vorher nachher m1v1 + m2v2 = (m1 + m2 )u M h ik II Mechanik II Stoßgesetze Stoß: Stoß: vorher vorher m1, v1, m2, v2,.... nachher m1, u1, m2, u2,.... Randbedingungen: Impulserhaltung: m1v1 + m2v2 + ... = m1u1 + m2u2 + ... Energieerhaltung: m1v12 + m2v22 + ... = m1u12 + m2u22 + ... =1 für elastische Stöße: , sonst <1 G G G Δp = m ( v − u ) = 2mv sin i θ2 Impulsübertrag: I l üb • z.B.: Rakete (Düsenantrieb): u2 v2 stößt während Δt tößt äh d Δt Masse Δµ M Δ mit Geschwindigkeit it G h i di k it w aus, d.h. mit Impuls Δµw. Gesamtimpuls konst. ⇒ Rakete nimmt Impuls auf, der ihr v erhöht: −w ( Δµ Δt ) = m ( Δv Δt ) = ma M h ik II Mechanik II Chemische Reaktionen Chemische Reaktionen • auch reaktive Stöße müssen den Impulssatz erfüllen auch reaktive Stöße müssen den Impulssatz erfüllen K A + BC ⎯⎯ → AB + C G G G G p A + pBC = p AB + pC Ekin ( A) + Ekin ( BC ) = Ekin ( AB) + Ekin (C ) + ΔEchem Die kinetische Energie ist nicht erhalten sondern hängt von der erhalten, sondern hängt von der Umwandlung „innerer Energie“ ab. M h ik II Mechanik II 1 5 Rotationen 1.5 G G • Kreisbahn Kreisbahn: v ⊥ r G v .... Bahngeschwindigkeit θ.... Winkel unter dem Massepunkt gesehen k l d k h wird, ändert sich mit der Zeit t. G θ (t2 )−θ (t1 ) dθ ⇒ ⎯⎯⎯ → dt = ω Winkelgeschwindigkeit Wi k l h i di k it t2 −t1 t2 →t1 G G G v = ω r v = ω × r (Drei‐Finger‐Regel) U Umlaufzeit l f it (Zeit innerhalb der Winkel von 2π überstrichen wird) T = 2πv r = 2ωπ Einschub: Winkel Einschub: Winkel 60°π/3 90°π/2 Einheit: Radiant Einheit: Radiant ((° Grad) Grad) (Bogenmaß: Länge des Kreisbogens mit Einheitsradius) 120°2π/3 180°π 360°2π M h ik II Mechanik II Zentripedalkraft G • v evtl. konstant, aber nicht geradlinig evtl konstant aber nicht geradlinig G v ⇒ Änderung von immer nur durch Kraft, bzw. Beschleunigung g g Analyse über ähnliche Dreiecke AB r = Δr r = G Δv G v = G Δv v v Δv Δv Δt a = Δr = Δr = Δt r v ⇒ Beschleunigung durch eine, auf das Zentrum gerichtete Kraft v2 a = r = ω 2r F = mω 2 r Zentripedalkraft nach actio = reactio gibt es eine Gegenkraft: Zentrifugalkraft in rotierendem Bezugssystem weitere Kraft: g y Kugel aus Zentrum kommend bewegt sich geradlinig, im rot. System wird sie aber abgelenkt ⇒ Kraft vergleiche vergleiche Ablenkung mit ⇒ Ablenkung mit at 2 /2 = vK ωt 2 ⇒ ac = 2vK ω Corioliskraft Fc = 2mωv Resumee M h ik II Mechanik II • Kreisbahnen erfordern Zentripetalkraft Kreisbahnen erfordern Zentripetalkraft • G Gravitationskraft wirkt als Zentripetalkraft it ti k ft i kt l Z t i t lk ft (Planeten) M h ik II Mechanik II • Zentripedalkraft nicht Ursache für Rotation, andere Größe ! nicht Ursache für Rotation andere Größe ! • Betrachte Energie eines rotierenden Körpers (Summe von MP): MP Ekin=mv2/2, vi=ωri, (allgemeiner: Integral über Masseverteilung) Erot = 12 ∑ mi vi2 = 12 ω 2 ∑ mi ri2 i i wenn ω mit v identifiziert wird, muss Summe mit Masse identifiziert werden. • Trägheitsmoment: J = ∑ mi ri = ∫ r 2 ρ (r )dV ( ) M h ik II Mechanik II • Zentripedalkraft nicht Ursache für Rotation, andere Größe ! nicht Ursache für Rotation andere Größe ! • Betrachte Energie eines rotierenden Körpers (Summe von MP): MP Ekin=mv2/2, vi=ωri, (allgemeiner: Integral über Masseverteilung) Erot = 12 ∑ mi vi2 = 12 ω 2 ∑ mi ri2 i i wenn ω mit v identifiziert wird, muss Summe mit Masse identifiziert werden. • Trägheitsmoment: = ∫ r 2 ρ (r )dV J = ∑ mi ri2 ( ) Massenteile wirken sich bei Rotation umso mehr aus, je weiter sie von Drehachse entfernt sind Satz von Steiner: Trägheitsmoment um bel. Achse ist Summe des TM um Achse durch Schwerpunkt und Trägheitmoment um Achse durch Schwerpunkt und Trägheitmoment eines Massepunkts eines Massepunkts mit Gesamtmasse im Schwerpunkt JA = JS + MdJJG AS G G G • Drehmoment: ( ) T = rF T = r ×F G G G G G G G G 2 • Drehimpuls: L = mi ri × vi = ∑ mi ri × (ω × ri ) = ω ∑ mi ri = Jω ∑ M h ik II Mechanik II M h ik II Mechanik II Drehmoment und Starre Körper Drehmoment und Starre Körper • Ungleiche Ungleiche Gewichte stehen im Gewichte stehen im Gleichgewicht in Abständen, die sich umgekehrt verhalten wie sich umgekehrt verhalten wie die Gewichte. (Archimedes, um 250 v. Chr.) ⇒ Ist I eine i belasteter b l H b l im Hebel i Gleichgewicht, so liegt sein Schwerpunkt über der Achse stabiles Gleichgewicht: SP unter Achse (sonst labil) SP unter (Stehaufmännchen) M h ik II Mechanik II Hebelgesetze • Gleichgewicht Gleichgewicht (Körper in Ruhe), wenn Summe aller (Körper in Ruhe) wenn Summe aller angreifenden Kräfte und Drehmomente verschwindet G G ∑ Fi = 0 undd ∑ Ti = 0 i =1.. n i =1.. n • "Kraft x Kraftarm = Last x Lastarm" • z.B.: Drehmomente beim Fahrrad • Bizeps gebeugt – gestreckt M h ik II Mechanik II es fehlt es fehlt • Relativitätstheorie Äquivalenz von Masse und Energie Änderung der Masse bei Ä d d b vc Längenkontraktion, Zeitdilatation (Zwillingsparadox) • Kreisel, Planetenbahnen • deformierbare Körper Dehnung (siehe Feder, Hookesches Gesetz) Kontraktion etc. M h ik II Mechanik II Zusammenfassung • Arbeit, Energie, Leistung Arbeit Energie Leistung unterschiedliche Energieformen (kinetische, potentielle ...) Energieerhaltung in abgeschlossenen Systemen (Pendel) h l b hl ( d l) • Impuls Impulserhaltung Stoßgesetze, Rückstoß • Rotation Winkel – Winkelgeschwindigkeit – g g Drehmoment Trägheitsmoment Drehimpuls p
