2015-11-09_ana1A

WS 2015/2016
Analysis 1
Prof. Dr. Christian Hainzl
Skript
Fabian Bauer
1.Vorlesung vom 13.10.2015
1 Grundlagen
1.1 Mengentheoretische Grundlagen: Logik
Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch.
Beispiel:
1 > 0 wahr.
1 > 2 falsch.
a > b ⇒ a + 1 > b + 1 ist wahr abhängig von a und b.
1.1.1 Definition
Für zwei Aussagen A, B definieren wir eine weitere Aussage
¬A: Negation von A
A ∨ B: A oder B
A ∧ B: A und B
A ⇒ B: A impliziert B
A ⇔ B: A ist äquivalent zu B
A
B
¬A
A∨B
A∧B
A⇒B
A⇔B
w
w
f
w
w
w
w
w
f
f
w
f
f
f
f
w
w
w
f
w
f
f
f
w
f
f
w
w
1.1.2 Bemerkung
• A impliziert B besagt nichts über den Wahrheitswert von A aus.
• (A ⇒ B) ⇔ (B ∨ ¬A)
Beweis:
(A ⇒ B)
B ∨ ¬A
w
w
f
f
w
w
w
w
1.1.3 Idee
A ⇒ B ist wahr, falls das Gegenteil falsch ist (Beweis durch Widerspruch).
¬(A ⇒ B) ⇔ A ∧ ¬B
Beweis:
¬(A ⇒ B)
A ∧ ¬B
f
f
w
w
f
f
f
f
1.1.4 Satz
Es gelten die Aussagen
¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B
¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B
A ⇒ B ⇔ ¬B ⇒ ¬A
Beweis durch Wahrheitstafeln...
Beispiel:
Wenn x2 = 2 ⇒ x 6∈ Q
Beweis:
¬(A ⇒ B) ⇔ A ∧ ¬B
Annahme: A ∧ ¬B wahr.
x2 = 2 und x ∈ Q ⇒ x = pq , p, q ∈ N = {1, 2, . . .} und p und q sind nicht durch 2 teilbar.
⇒ x2 = ( pq )2 = 2 ⇒ p2 = 2 · q 2 ⇒ p2 gerade Zahl.
(p2 = 2n, n ∈ N) ⇒ p ist gerade ⇒ p = 2n(n ∈ N) ⇒ p2 = 4n2 = 2q 2 ⇒ q 2 = 2n2 ⇒ q 2 gerade
⇒ q gerade ⇒ p, q durch 2 teilbar
Ausblick auf Folgen:
xn+1 =
1
2
· (xn +
x1 = 1, x2 =
1
2
2
xn )
· (1 + 2) = 32 , x3 =
1
2
· ( 32 + 34 ) =
17
12
≈ 1, 416
xn ist eine Folge von rationalen Zahlen.
√
xn → 2
2.Vorlesung vom 15.10.2015
1.1.5 Lemma
Für beliebige Aussagen A, B, C gilt:
A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
Beweis Wahrheitstafeln...
1.2 Mengen und Abbildungen
Eine Menge ist eine (ungeordnete) Zusammenfassung von Elementen/Objekten, die „Elemente der
Menge“ genannt werden.
Beispiel:
• { } = ∅ Leere Menge
• {1, 2, 3} die Menge der Zahlen 1, 2, 3
{1, 2, 3} = {2, 1, 3}
• N = {1, 2, 3, . . .} Menge der natürlichen Zahlen.
• N0 = {0, 1, 2, . . .} Menge der natürlichen Zahlen mit Null.
• Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} Menge der ganzen Zahlen.
• M = {n ∈ N : n + 5 ≥ n2 } = {n ∈ N : A(n)} = {1, 2}
A(n) : n + 5 ≥ n2
1.2.1 Definition
Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie die gleichen Elemente haben.
M = N ⇔ (x ∈ M ⇒ x ∈ N )
1.2.2 Definition
Eine Menge A ist Teilmenge von B, A ⊂ B, falls jedes Element in A auch in B ist.
A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
M =N ⇔M ⊂N ∧N ⊂M
1.2.3 Definition (Potenzmenge)
P(M ) die Menge aller Teilmengen von M.
Beispiel:
M = {1, 2, 3}
P(M ) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
P(N) = . . . riesig.
Seien A, B Mengen.
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}
A \ B = {x : x ∈ A ∧ x 6∈ B}
1.2.4 Proposition
Sind A, B, C Mengen, dann gilt:
a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Beweis:
x ∈ A ∩ (B ∪ C)
⇔x∈A∧x∈B∪C
⇔ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)
Lemma1.1.5
⇔
(x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C)
⇔x∈A∩B∨x∈A∩C
⇔ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Beispiel: (Zahlbereich)
N ⊂ Z ⊂ Q = { pq |p, q ∈ Z, p, q teilerfremd} ⊂ R ⊂ C
Beweis:
√
n ist entweder natürlich oder irrational.
1.2.5 Definition (Quantoren)
Oft werden Aussagen untersucht, die von Variablen abhängen: A(n) : n + 5 ≥ n2
∃: Es existiert
∃!: Es existiert genau ein
∀: Für alle
Beispiel:
• A(x)∀x ∈ R ⇔ ∀x ∈ R : A(x)
A(x) trifft für alle x ∈ R zu.
A(x) ist für alle x ∈ R wahr.
• ∀n ∈ N : n ≥ 1
1.2.6 Bemerkung
¬(∀x ∈ R : A(x)) ⇔ ∃x ∈ R : ¬A(x)
Beispiel:
xn → x (Konvergenz)
∀ε > 0∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 : |xn − x| < ε
xn 6→ x
∃ε > 0∀n0 ∈ N : ∃n ≥ n0 : |xn − x| ≥ ε
1.2.7 Definition (Abbildungen)
Seien X, Y Mengen. Eine Abbildung f : X → Y ist eine Zuordnung, die jedem Element x ∈ X ein
Element in Y zuordnet mittels y = f (x)
Beispiel:
f : R → R, f (x) = x2 bzw. x 7→ x2
(x, f (x)) ∈ R × R ist der Graph der Funktion.
Auf jeder Menge X gibt es die kanonische Abbildung IdX : X → X, x 7→ x
Sei A ⊂ X. Die charakteristische Funktion oder auch Indikatorfunktion der Menge A ist die Abbildung:
(
1A : X → {0, 1}, 1a (x) =
1, wenn x ∈ A
0, wenn x 6∈ A
1.2.8 Definition
Eine Abbildung f : X → Y heißt injektiv, falls verschiedene Elemente verschiedene Bilder haben,
also wenn für alle x, x0 ∈ X gilt:
x 6= x0 ⇒ f (x) 6= f (x0 )
oder, anders ausgedrückt:
f (x) = f (x0 ) ⇒ x = x0
1.2.9 Bemerkung
x 6= x0 ∧ f (x) = f (x0 ) nicht injektiv.
Beispiel:
f : R → R, f (x) = x2 nicht injektiv, da f (1) = f (−1) = 1
1.2.10 Definition
Eine Abbildung heißt surjektiv, falls es zu jedem y ∈ Y ein x ∈ X gibt, also wenn jedes y ∈ Y
durch f getroffen wird.
M und N sind gleich groß, wenn es eine bijektive Abbildung gibt mit f : M → N
1.2.11 Bemerkung
N, Z und Q sind gleich groß.
3.Vorlesung vom 20.10.2015
A ⊂ X, f (A) = {f (x) ∈ Y |x ∈ A} „Bild von A“
B ⊂ Y, f −1 (B) = {x ∈ X|f (x) ∈ B} „Urbild von B“
1.2.12 Definition
Sei f : X → Y eine Abbildung. Das Bild von f ist die Teilmenge von Y, die durch Bild(f ) =
Im(f ) = {f (x) : x ∈ X} = f (x) definiert wird. Also ist f genau dann surjektiv, wenn Bild(f ) =
f (x) = Y gilt.
Eine Abbildung f : X → Y , die sowohl injektiv, als auch surjektiv ist, heißt bijektiv.
1.2.13 Satz
Sei X eine endliche Menge und f : X → X eine Abbildung der Menge X in sich, so sind äquivalent:
f injektiv ⇒ f surjektiv ⇒ f bijektiv
1.2.14 Bemerkung
(A ⇔ B ⇔ C) ⇔ (A ⇒ B ⇒ C ⇒ D)
Beweis:
(a) ⇒ (b) : f ist injektiv, also gilt: f (X) = {f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xn )} hat n Elemente. (f injektiv: x1 6=
x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ), X endlich) ⇒ f (X) = X.
(b) ⇒ (c) : f ist surjektiv, z.z. f ist injektiv.
f surjektiv ⇒ f (X) = X ⇔ {f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xn )} = {x1 , x2 , . . . , xn }
⇒ f (x1 ), . . . , f (xn ) müssen paarweise verscheiden sein.
⇒ f injektiv.
(c) ⇒ (a) gilt nach Definition.
1.2.15 Bemerkung
Aussage gilt bei unendlichen Mengen NICHT.
Beispiel:
• f : N → N, f (1) = 2, f (2) = 3, . . . , f (n) = n + 1
f ist nicht surjektiv.
• f : N → N, f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 2 . . . , f (n) = n − 1
f ist nicht injektiv, da f (1) = f (2).
1.2.16 Definition
Zwei (unendliche) Mengen M, N sind gleich mächtig, wenn es eine Bijektion f gibt mit f : M → N .
Behauptung:
N, Z, Q sind gleich mächtig.
N
1
2
3
4
5
6
...
Z
0
1
-1
2
-2
3
...
N
1
2
3
4
5
6
7
...
Q+
1
2
1
2
1
3
3
4
3
2
...
1.2.17 Definition (Kompositionen)
Seien f : X → Y, g : Y → Z Abbildungen.
Komposition g ◦ f (x) = g(f (x))
Beispiel:
f : R → R, f (x) = x + 1
g : R → R+ , g(x) = x2
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1
1.2.18 Lemma (Assoziativität)
Seien f : W → X, g : X → Y, h : Y → Z Abbildungen.
Dann gilt: h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f
Das heißt, die Komposition ist assoziativ.
Beweis:
h ◦ (g ◦ f )(w) = h(g ◦ f (w)) = h(g(f (w))) = h ◦ g(f (w)) = (h ◦ g) ◦ f (w)
1.2.19 Proposition
Seien f : X → Y, g : Y → Z Abbildungen. Sind f und g injektiv, so ist g ◦ f injektiv.
Dasselbe gilt für Surjektivität.
Beweis:
Injektivität: Sei x 6= x0 , x, x0 ∈ X. Da f injektiv gilt f (x) 6= f (x0 ). Da g injektiv folgt g(f (x)) 6=
g(f (x0 )).
⇒ g ◦ f (x) 6= g ◦ f (x0 )
Surjektivität: Sei z ∈ Z. Da g surjektiv gilt ∃y ∈ Y mit g(y) = z. Da f surjektiv folgt ∃x ∈ X mit
f (x) = y.
⇒ ∃x ∈ X : z = g(f (x)) = g ◦ f (x)
1.2.20 Definition
Eine Abbildung f : X → Y heißt invertierbar oder umkehrbar, wenn es eine Abbildung g : Y → X
gibt, sodass
g ◦ f = IdX und f ◦ g = IdY gilt.
4.Vorlesung vom 22.10.2015
f : X → X, X endliche Menge für die gilt: f injektiv ⇒ f bijektiv.
Die Aussage ist falsch, wenn X unendlich.
Beispiel:
f : N → N, f (1) = 2, f (2) = 3, f (3) = 4
∀f ∀X endlich : f injektiv ⇒ f bijektiv
∃f ∃ unendliche Menge : f injektiv und f nicht bijektiv.
1.2.21 Satz
• Sei f : X → Y eine umkehrbare Abbildung. Dann ist die Abbildung g : Y → X mit den
Eigenschaften f ◦g = IdY und g◦f = IdX eindeutig bestimmt. Sie wird die inverse Abbildung
oder Umkehrabbildung von g genannt und als g = f −1 geschrieben.
• Eine Abbildung ist genau dann umkehrbar, wenn sie bijektiv ist.
Beweis:
Seien f : X → Y, g : Y → X mit f ◦ g = IdY , g ◦ f = IdX
Nebenbehauptung: Umkehrabbildungen sind eindeutig.
Annahme: g, h sind Umkehrabbildungen. Dann gilt:
g = g ◦ IdY = g ◦ (f ◦ h) = (g ◦ f ) ◦ h = IdX ◦ h = h
f : X → Y f invertierbar ⇔ f bijektiv
“ ⇒ “ z.z. f injektiv
f (x) = f (x0 )
x = f −1 ◦ f (x) = f −1 ◦ f (x0 ) = x0 , also f injektiv
z.z. f surjektiv
Sei y ∈ Y , dann gilt f −1 (y) = x für ein x ∈ X.
Also f (x) = f (f −1 (y)) = y, also f surjektiv.
“ ⇐ “ Sei f bijektiv und y ∈ Y , dann ∃!x ∈ X, mit f (x) = y
g(y) = x definiert g : Y → X. Damit gilt f ◦ g(x) = f (g(y)) = f (x) = y ⇒ f ◦ g Identität.
Für zwei Mengen A,B definieren wir das Kartesische Produkt
A × B = {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B}.
Elemente in A × B sind Paare (x, y) mit x ∈ A und y ∈ B. Zwei Paare (x1 , y1 ) und (x2 , y2 ) sind
genau dann gleich, wenn x1 = x2 und y1 = y2 .
R × R = {(x, y)|x ∈ R, y ∈ R}
Folge: a : N → R, a(n) = an
Sei f : X → Y . Dann definiert G(f ) = {(x, f (x)) ∈ X × Y ; x ∈ X}
den Graph der Funktion f. G(f ) ⊆ X × Y .
1.3 Vollständige Induktion
Die vollständige Induktion ist Beweisprinzip für Aussagen, die die natürlichen Zahlen betreffen.
1.3.1 Definition
Pn
aj =1
aj = a1 + a2 + a3 + . . . + an
Beispiel:
∀n ∈ N gilt
n
P
(2k − 1) = n2
k=1
A(1) :
A(2) :
A(3) :
A(4) :
1
P
k=1
2
P
k=1
3
P
k=1
4
P
(2k − 1) = 12 ⇔ (2 − 1) = 12 X
(2k − 1) = (2 · 1 − 2) + (2 · 2 − 1) = 1 + 3 = 22 X
(2k − 1) =
(2k − 1) =
k=1
2
P
(2k − 1) + (2 · 3 − 1) = 4 + 5 = 9 = 32 X
k=1
3
P
(2k − 1) + (2 · 4 − 1) = 9 + 7 = 16 = 42 X
k=1
Sei A(n) eine Aussage, die für ∀n ∈ N Sinn macht. Ist A(1) wahr, und gilt A(n) ⇒ A(n + 1), dann
gilt A(n)∀n ∈ N0
Beispiel:
∀n ∈ N gilt
Beweis:
n
P
(2k − 1) = n2
k=1
Induktionsanfang: A(1) gilt 1 = 12 X
Induktionsschritt: A(n) ⇒ A(n + 1)
n
P
I.V.
(2k − 1) =
(2k − 1) + (2(n + 1) − 1) = n2 + (2n + 1) = (n + 1)2
n+1
P
k=1
k=1
Damit ist die Aussage bewiesen.
Beispiel:
n(n+1)
2
∀n ∈ N gilt 1 + 2 + . . . + n =
Beweis:
Induktionsanfang: A(1) : 1 =
1·(1+1)
2
= 1X
Induktionsschritt: A(n) ⇒ A(n + 1)
1 + . . . + n + (n + 1) =
n(n+1)
2
+ (n + 1) =
n2 +n+2n+2
2
=
(n+1)(n+2)
X
2
Beispiel:
∀n ∈ N und n ≥ 5 gilt2n > n2
Beweis:
Induktionsanfang: A(5) : 25 = 32 > 25
Induktionsschritt: A(n) ⇒ A(n + 1) : zz2n+1 > (n + 1)2
I.V.
2n+1 = 2 · 2n > 2 · n2 ≥ (n + 1)2 = n2 + 2n + 1 für n > 2. ⇒ A(n + 1)
Beispiel:
Jede natürliche Zahl n ≥ 2 ist Produkt von Primzahlen, lässt sich also schreiben als
n = p1 · p2 · · · pk , wobei p1 , . . . , pk Primzahlen. Hierbei ist k = 1 ausdrücklich erlaubt.
Beweis:
Induktionsanfang: n = 2 ist Primzahl. X
Induktionsschritt: Sei die Behauptung für A(2), . . . , A(n) wahr.
Für n+1 gibt es 2 Möglichkeiten:
1. n+1 Primzahl, dann fertig
2. n+1 keine Primzahl, also n + 1 = d ·
n+1
d
und d ∈ {2, . . . , n}und n+1
d ∈ {2, . . . , n}
Damit, nach Induktionsannahme gilt: d und
n+1
d
sind Produkte von Primzahlen. Damit gilt die
Behauptung.
Beispiel:
(Euklid) Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Annahme: Es gibt nur {p1 , p2 , . . . , pk } endlich viele.
N = p1 · p2 · · · pk + 1 = G · pm mit m ∈ {1, . . . , k} ⇒ 1 = pm · (p1 · · · pk − G) ⇒ pm Teiler von 1.
1.3.2 Definition (Produkt)
n
Q
aj = a1 · a2 · · · an
aj =1
1.3.3 Definition (Binom)
n
k
=
n!
k!·(n−k)! , n!
= (n · (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1
1.3.4 Proposition
n
k
= Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge.
1.3.5 Satz
(x + y)n =
n
P
k=0
n
k
· xk · y n−k
5.Vorlesung vom 27.10.2015
1.3.6 Satz (Bernoulli’sche Ungleichung)
Sei x ∈ R, x ≥ −1 und n ∈ N. Dann gilt:
(1 + x)n ≥ 1 + nx.
Für n ≥ 2 und x 6= 0 gilt:
(1 + x)n > 1 + nx.
Beweis:
Induktionsanfang:
n = 1 : (1 + x)1 ≥ 1 + xX
n = 2 : (1 + x)2 = 1 + 2x + x2 > 1 + 2x für x 6= 0X
Induktionsschritt:
Annahme: Aussage gelte für n.
(1 + x)n+1 = (1 + x)n · (1 + x) ≥ (1 + nx) · (1 + x) = 1 + (n + 1) · x + nx2 ≥ 1 + (n + 1) · x
Beispiel:
2n > n2 für n ≥ 5
Induktionsanfang n = 5, dann A(n) ⇒ A(n + 1)
|
{z
}
Gilt nur, wenn n > 2
1.4 Reelle Zahlen
Wir führen im Folgenden die reellen Zahlen axiomatisch ein. Das heißt, wir definieren Rechengesetze
und Eigenschaften und postulieren, dass R diese erfüllt.
1.4.1 Definition (Körper)
Die in Q geltenden Rechengesetze, die nur Addition und Multiplikation betreffen, führen zum
Begriff des Körpers.
Ein Körper (engl. field) ist ein Triple (K, +, ·) bestehend aus einer Menge K und zwei Abbildungen
von K × K → K, die Addition und Multiplikation genannt werden und in der Form
+ : (a, b) 7→ a + b
· : (a, b) 7→ a · b
geschrieben werden, wobei verlangt wird, dass für alle a, b, c aus K die folgenden Axiome erfüllt
sind:
K 1 Addition
K 1.1 a + (b + c) = (a + b) + c (Assoziativität).
K 1.2 Es gibt ein Element 0 ∈ K, so dass a + 0 = a (Neutrales Element).
K 1.3 Zu jedem a ∈ K gibt es b ∈ K mit a + b = 0 (Inverses Element).
K 1.4 a + b = b + a (Kommutativität).
Man sagt zu diesen Gesetzen auch abelsche Gruppe.
K 2 Multiplikation
K 2.1 a · (b · c) = (a · b) · c (Assoziativität).
K 2.2 Es gibt ein Element 1 ∈ K, so dass a · 1 = a (Neutrales Element).
K 2.3 Zu jedem a ∈ K \ {0} gibt es ein b ∈ K \ {0} mit der Eigenschaft a · b = 1 (Inverses
Element).
K 2.4 a · b = b · a (Kommutativität).
K 3 a · (b + c) = a · b + a · c (Distributivität).
Beispiel:
• Z ist abelsche Gruppe, aber kein Körper
• Q ist Körper
• F2 = {a, b} ist Körper mit
+
a
b
·
a
b
+
0
1
·
0
1
a
a
b
a
a
a bzw.
0
0
1
0
0
0
b
b
a
b
a
b
1
1
0
1
0
1
1.4.2 Lemma
In einem Körper sind die neutralen Elemente 0,1 eindeutig bestimmt. Ferner sind zu gegebenen
a ∈ K das Inverse der Addition und falls a 6= 0 das Inverse der Multiplikation eindeutig bestimmt.
Man schreibt (−a) für das additiv Inverse und a−1 für das multiplikativ Inverse.
Beweis:
Sei 00 weiteres neutrales Element der Addition.
K1.2
K1.4
K1.2
00 = 00 + 0 = 0 + 00 = 0
a ∈ K, seien b und c additiv Inverse zu a ∈ K
K1.3
K1.3
c = c + 0 = c + (a + b) = (c + a) + b = 0 + b = b + 0 = b
Schreibweise:
a + (−b) = a − b
a · b−1 =
a
b
Allgemeine Rechenregeln:
a
b
a
b
+
·
c
d
c
d
=
=
ad+bc
bd
ac
−1
)
bd ⇔ (ab
· (cd−1 ) = (ac) · (bd)−1 ⇒ z.z.b−1 d−1 = (bd)−1
1.4.3 Lemma
Sei K Körper.
a) Für a, b ∈ K hat die Gleichung a + x = b genau eine Lösung in K, nämlich x = b − a(= b + (−a))
b) Für jedes a ∈ K gilt (−(−a)) = a
c) Für alle a, b ∈ K gilt −(a + b) = (−a) + (−b) = −a − b
d) Für jedes a 6= 0 und b ∈ K hat die Gleichung ax + b genau eine Lösung in K, nämlich x = ba−1
e) Für alle a, b, c ∈ K gilt (a + b) · c = a · c + b · c
f) Für jedes a ∈ K gilt a · 0 = 0
g) (Nullteilerfreiheit) Ist das Produkt a · b zweier Elemente eines Körpers K gleich 0, so muss
mindestens eines der beiden Elemente 0 sein.
h) Für alle a ∈ K gilt (−1) · a = −a
i) (−1) · (−1) = 1
Beweis:
a) a + x = b: Das Element b − a = b + (−a) erfüllt a + (b + (−a)) = a + ((−a) + b) = (a + (−a)) + b =
0+b=b+0=b
b) a + (−a) = 0 = (−a) + a ⇒ −(−a) = a
c) (a + b) + (−a − b) = (b + a) + (−a − b) = [(b + a) − a] − b = b − b = 0
d) siehe a)
e) siehe Distributivgesetz und Kommutativgesetz der Multiplikation
K4
f) a · 0 + a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0
Verwende a), um zu zeigen, dass 0 eindeutige Lösung der Gleichung a·0+x = a·0 oder b+x = b
hat Lösung x = b − b = 0.
g)
h) (−1) · a = (−1) · a + 0 = (−1) · a + (a − a) = ((−1) · a + a) − a) = ((−1) · a + 1 · a) − a = 0 − a = a
6.Vorlesung vom 29.10.2015
1.4.4 Definition (Potenzen)
Sind x ∈ X und xn die Körperelemente.
x0 = 1, x1 = x, x2 = x · x, xn+1 = x · xn
1.4.5 Lemma
In K gelten die folgenden Rechenregeln:
xn+m = xn · xm , (xn )m = xn·m , xn · y n = (x · y)n
wobei x, y ∈ K, m, n ∈ N0
Beweis:
Übungen, Induktion
Beispiel:
K Körper, dann ist L = K × K = {(x, y)|x ∈ K ∧ y ∈ K}
Körper mittels der Operationen
(x, y) + (u, v) = (x + u, y + v)
(x, y) · (u, v) = (xu − yv, xv + yu)
mit (0, 0) als neutrales Element der Addition,
(1, 0) als Eins-Element.
(−x, −y) als additiv Inverses von (x, y) und
y
x
( x2 +y
2 , − x2 +y 2 ) als multiplikativ Inverses von (x, y) 6= (0, 0)
Vorbemerkung zu C:
(0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −(1, 0) = −1
(0, 1) = i ⇒ i2 = −1
(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + iy
(x + iy) · (u + iv) = xu + iyu + ixv − yv = (xu − yv) + i(yu + xv)
1.4.6 Bemerkung (Anordnung)
Dies führt zum Begriff des angeordneten Körpers.
1.4.7 Bemerkung (R)
• Körperaxiome
• Anordnungsaxiome
• Supremumsaxiom
1.4.8 Definition (Einschub: Relationen)
Sei X Menge. Eine Relation auf X ist eine Teilmenge R ⊂ X × X,
X ∼ Y , falls (x, y) ∈ R
Beispiel:
• X = Q, die „kleiner-gleich“ Relation.
x∼y⇔x≤y
• X = N, x ∼ y, wenn x − y eine gerade Zahl ist.
• X Menge der Menschen. x ∼ y, wenn x ist Vetter von y.
1.4.9 Definition
Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, falls für x, y, z ∈ X gilt:
• x∼x
• x∼y⇒y∼x
• x∼y∧y ∼z ⇒x∼z
Beispiel:
X = Z, x ∼ y, wenn x − y gerade ist.
1.4.10 Definition
Sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf der Menge X und für x ∈ X sei [x] = {y ∈ X|y ∼ x} die
Äquivalenzklasse von x.
Beispiel:
Z, x ∼ y : x − y gerade.
[0] = {x|x − 0 gerade} = {gerade Zahlen}
[1] = {ungerade Zahlen}
[2] = [0]
⇒ Z = [0] ∪ [1]
1.4.11 Proposition
Sei X Menge, ∼ Äquivalenzrelation.
S
⇒ X = [xi ]
i
1.4.12 Definition (Angeordnete Körper)
Ein angeordneter Körper ist ein Körper K zusammen mit einer Relation < auf K, die folgende
Axiome O1 , . . . , O4 für alle a, b, c ∈ K erfüllt. Man liest a < b „a kleiner b“
(O1 ) Je zwei Zahlen (Elemente in K) sind vergleichbar, d.h. für a, b ∈ K gilt genau einer der drei
Fälle a < b ∨ a = b ∨ b < a
(O2 ) a < b, b < c ⇒ a < c
(O3 ) a < b ⇒ a + c < b + c
(O4 ) a < b, 0 < c ⇒ ac < bc
Schreibweise a ≤ b ⇔ a < b ∨ a = b
Aus (O1 ) folgt a ≤ b ∧ b ≤ a ⇒ a = b
Beispiel:
(O3 )
F2 = {0, 1}
0<1⇒0+1<1+1⇒1<0
1.4.13 Lemma (Folgerungen der Ordnungsaxiome)
Seien a, b, x, y Elemente des angeordneten Körpers K.
(O3 )
a) Es gilt x < y ⇒ 0 < y − x
b) Man kann Ungleichungen addieren: Gilt a < b und x < y, so folgt a + x < b + y
c) Man kann Ungleichungen bedingt multiplizieren: 0 < a < b, 0 ≤ x < y ⇒ ax < by
d) Bei Vorzeichenwechsel dreht sich das Anordnungszeichen um: Es gilt x < y ⇔ −x > −y
e) Man kann Ungleichungen mit strikt negativen Zahlen multiplizieren, dann drehen sich die Vorzeichen um: a < b, x < 0 ⇒ ax > bx
f) Für x 6= 0 gilt x2 > 0 und insb. 1 > 0.
g) ∀x ∈ K gilt x > 0 ⇔
1
x
>0
h) Ist 0 < x < y ⇒ x−1 < y −1
Beweis:
(O2 )
(O3 )
b) a < b ⇒ a + x < b + x, x + b < y + b ⇒ a + x < y + b
c) (O3 ) + (O4 )
d) x < y ⇔ 0 < y − x = −x − (−y) ⇔ −y < −x
e) −x > 0 ⇔ (−x)a < (−x)b ⇔ xb < xa
f) x > 0 ⇔ x2 > 0 Ist x < 0 ⇒> (−x) > 0 ⇒ (−x)(−x) > 0
g) „ ⇒ “(x−1 )2 > 0 ⇒ x(x−1 )2 > 0 ⇒ x−1 > 0 usw.
h) 0 < x < y ⇒ x · y > 0 ⇒ (x · y)−1 > 0 ⇒ (x · y)−1 · x < (x · y)−1 · y ⇒ y −1 < x−1
7.Vorlesung vom 03.11.2015
2 Folgen und Reihen
2.1 Grundlagen zu Folgen und Reihen
Beispiel:
xn+1 = 12 (xn +
2
xn )
x1 = 10
x2 = 12 (10 +
x3 =
x4 =
x5 =
x6 =
2
10 )
=
1
2
2 (5 + 5 ) =
1
2
2 (3 + 3 ) =
2
1
2 (2 + 2 ) =
1 3
4
2(2 + 3) =
1
2
·
102
10
=
51
10
≈5
1 27
27
2 · 5 = 10 ≈ 3
1 11
11
2 · 3 = 6 ≈2
3
2
1 9+8
17
2 · 6 = 12 ≈
1, 41667...
2.1.1 Definition
Eine Folge mit Werten in R ist eine Abbildung
a:N→R
Man schreibt an statt a(n) und nennt a1 , a2 , a3 , . . . die Folgenglieder. Die Folge kann auch als
(an )n∈N oder aufzählend (a1 , a2 , a3 , . . .) geschrieben werden.
Beispiel:
• Die konstante Folge (a, a, a, a, . . .) mit an = a
• ( n1 )n∈N = (1, 12 , 13 , 14 , . . .)
• an = (−1)n = (1, −1, 1, −1, . . .)
• ...
2.1.2 Definition
Eine Folge reeller Zahlen (an )n∈N heißt konvergent gegen a ∈ R, wenn es zu jedem ε > 0 ein N ∈ N
gibt, sodass |an − a| < ε ∀n ≥ N
an → a
Beispiel:
an = (−1)n ·
1
n
a1 = −1, a2 = 12 , a3 = − 13 , a4 =
|an − a| < ε ⇒
1
n
<ε⇒n>
1
ε
1
4
⇒ N = [ 1ε ] + 1
2.1.3 Satz
Die Folge (an ) sei konvergent gegen a ∈ R und gleichzeitig gegen b ∈ R. Dann folgt a = b.
Beweis:
Sei ε > 0 beliebig. Dann ∃N ∈ N, sodass |an − a| <
ε
2
|a − b| = |a − an + an − b| ≤ |a − an | + |b − an | <
+
ε
2
∧ |an − b| <
ε
2
ε
2
∀n ≥ N .
=ε
⇒ 0 ≤ |a − b| < ε ∀ε > 0 ⇒ |a − b| = 0 ⇒ a = b
(Übung: ∀ε > 0 : 0 ≤ x < ε ⇒ x = 0)
Nebenbehauptung:
|x + y| ≤ |x| + |y|
|x| = max{x, −x} ∧ |y| = max{y, −y}
⇒ x + y ≤ |x| + |y| ∧ −(x + y) = −x − y ≤ |x| + |y|
⇒ |x + y| ≤ |x| + |y|
2.1.4 Definition
an → a ⇔ lim an = a
n→∞
2.1.5 Satz
Seien an → α und bn → α konvergente Folgen mit dem Grenzwert α ∈ R. Ist n0 ∈ N und (cn ) eine
Folge mit der Eigenschaft an ≤ cn ≤ bn für jedes n ≥ n0 , dann konvergiert cn → α.
Zu gegebenem ε > 0 ∃n1 ∈ N, n1 ≥ n0 , sodass |an − α| < ε und |bn − α| < ε.
an − α ≤ cn − α ≤ bn − α < ε.
Damit: −ε < cn − α < ε
⇒ |cn − α| < ε, ∀n ≥ n1
Beispiel xn+1 = 21 (xn +
2
2
xn )
2
• ab ≤ a +b
⇔ (a + b)2 ≥ 0, a, b ≥ 0
2
√
√
√
xy = x q
y ≤ x+y
2
√
√
√
xn+1 ≥ xn x2n = 2 ⇒ xn ≥ 2 ∀n ≥ 2
• xn ≥ 2 ∀n ≥
√
2 ⇔ x2n ≥ 2 ⇔
2
xn
≤ xn ⇒ xn+1 ≤ 21 (xn + xn ) = xn ∀n ≥ 2
Also ∀n ≥ 2xn ≥ xn+1 (Folge monoton fallend).
Wir müssen sicher gehen, dass xn konvergiert.
2.1.6 Bemerkung
{x2 , x3 , x4 , . . . , xn , . . .} nach unten beschränkt. Nach Supremumsaxiom existiert s, größte untere
Schranke s = inf {x2 , x3 , x4 , . . . , xn , . . .}
• ∀xm ∈ {. . .} : s ≤ xm
• Falls ein t ∈ R mit t ≤ xn ∀n ≥ 2, dann gilt s ≥ t
inf = größte untere Schranke.
s existiert im Körper der reellen Zahlen.
Behauptung:
xn → s = inf {x2 , x3 , x4 , . . . , xn , . . .} = inf M ∀ε > 0 ∃x ∈ M : x ∈ (s, s + ε)
|
{z
}
M
∀ε > 0 ∃m ∈ N : xm ∈ (s, s + ε) ⇔ xm − s < ε
|xm − s| < ε ⇒ ∀n ≥ m : |xn − s| < ε, da xm monoton fallend.
Damit xm → s konvergent.
(xn ) → s ⇒ (xn+1 ) → s
xn+1 =
1 2
2 (s
1
2 (xn
+ 2) =
⇒ s = lim xn+1 = lim 12 (xn +
n→∞
n→∞
√
+ 1 ⇒ 12 s2 = 1 ⇒ s2 = 2 ⇒ s = 2
+
s2
2
2
xn )
2
xn )
=
1
2 (s
+ 2s ) ⇒ s =
1
2 (2
+ 2s ) ⇒ s2 =
2.1.7 Definition
Sei (an ) Folge. Eine Teilfolge ist eine Folge, die durch Weglassen von Folgegliedern entsteht. Man
lässt aus
(a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , . . .)
Folgenglieder weg, aber so, dass unendlich viele übrig bleiben, also etwa
(
a
a3 , a
1 , a2 , 4 , a5 , . . .)
|{z} |{z}
b1
b2
Präziser entsteht eine Teilfolge (bk )k∈N aus der gegebenen Folge (an )n∈N durch Angabe der Abbildung k → nk , sodass ∀k ∈ N die Ungleichung nk < nk+1 und bk = ank gilt.
8.Vorlesung vom 05.11.2015
K angeordneter Körper mit <.
2.1.8 Satz
Ein angeordneter Körper hat stets unendlich viele Elemente.
Die Abbildung n → e + e + . . . + e mit e als neutrales Element der Multiplikation ist injektiv.
|
{z
}
Beweis:
1 > 0, da ∀x 6= 0, x2 > 0
e>0⇒e+e>e
n−mal
2.1.9 Definition
(
Das Maximum zweier Zahlen a, b ∈ K ist die größere der beiden, also max(a, b) =
Der Absolutbetrag von einer Zahl x ∈ K ist |x| = max{−x, x}(=
√
(
x2 ) =
a, falls a ≥ b
b, falls a < b
x, falls x ≥ 0
−x, falls x < 0
2.1.10 Satz
Sind x, y aus dem angeordneten Körper K, so gilt |x| > 0 und |x| = 0 ⇔ x = 0 (Definitheit)
|x · y| = |x| · |y|
|x + y| ≤ |x| + |y| (Dreiecks-Ungleichung)
|x| = max{x, −x} ⇒ x ≤ )
|x| ∧ −x ≤ |x| ∧ y ≤ |y| ∧ −y <≤ |y|
(x + y) ≤ |x| + |y|
⇒
⇒ |x + y| = max{−(x + y), (x + y)} ≤ |x| + |y|
−(x + y) ≤ |x| + |y|
2.1.11 Lemma (Umgekehrte Dreiecksungleichung)
Für Elemente a, b aus angeordnetem Körper K gilt:
||a| − |b|| ≤ |a − b|
Beweis:
|a| = |a − b + b| ≤ |a − b| + |b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a − b|
|b| = |b − a + a| ≤ |b − a| + |a| ⇒ |b| − |a| ≤ |a − b|
⇒ ||a| − |b|| = max{|a| − |b|, −(|a| − |b|)} ≤ |a − b|
2.1.12 Bemerkung
x, y ∈ R2
p
k y k= y12 + y22
p
k x k= x21 + x22
Es gilt: k x + y k≤k x k + k y k
| k x k − k y k | ≤k x − y k
2.2 Intervalle und beschränkte Mengen
Sei K angeordneter Körper und a ≤ b Elemente in K. Das abgeschlossene Intervall [a, b] ist die
Menge [a, b] = {x ∈ K|a ≤ x ≤ b}
Offenes Intervall: (a, b) = {x ∈ K : a < x < b}
[a, b) = {x ∈ K : a ≤ x < b}
(a, b] = {x ∈ K : a < x ≤ b}
[a, ∞) = {x ∈ K : a ≤ x}
(∞, b] = {x ∈ K : x ≤ b}
2.2.1 Definition
Für jedes Intervall ist die Länge L([a, b]) = b − a > 0
2.2.2 Definition
Eine Teilmenge M ⊂ K heißt nach oben beschränkt,
wenn es eine Zahl S ∈ K gibt, sodass x ≤ S ∀x ∈ M gilt. Jedes solche S wird obere Schranke genannt.
Analog definiert man untere Schranke und nach unten beschränkt.
Eine Menge heißt beschränkt, falls sie nach oben und nach unten beschränkt ist.
Beispiel:
• [0, 1] ist beschränkt.
• N ist nach unten beschränkt, aber nicht nach oben.
2.2.3 Lemma
Eine Teilmenge M aus angeordnetem Körper K ist genau dann beschränkt, wenn es T > 0 gibt,
sodass
x ∈ M ⇒ |x| ≤ T
2.2.4 Definition
Die Menge M besitzt ein Maximum, wenn es m0 ∈ M gibt, das obere Schranke zu M ist. Dies ist
eindeutig festgelegt. m0 = max(M ).
Beweis:
m0o ≤ m0 ∧ m00 ≥ m0 >⇒ m00 = m0
Eine endliche Menge M = {a1 , a2 , . . . an } hat immer ein Maximum.
Das selbe gilt für Minimum min(M ) = kleinstes Element.
2.3 Dedekinds Vollständigkeit
Sei M eine Teilmenge eines angeordneten Körpers K. Ein Element s ∈ K heißt Supremum von M ,
falls
• s ist eine obere Schranke zu M
• Ist t eine obere Schranke zu M , dann folgt s ≤ t
Also s = sup(M ) kleinste obere Schranke zu M .
2.3.1 Präposition
Hat eine Teilmenge M ⊂ K ein Supremum, dann ist dies eindeutig bestimmt. Es wird mit sup(M )
bezeichnet.
Es gibt aber nichtleere beschränkte Teilmengen von Q, die kein Supremum in Q besitzen.
Beweis:
M = {r ∈ Q|r2 < 2}
s = sup(M ) ⇒ s2 = 2
2.3.2 Definition
Ein angeordneter Körper K heißt Dedekind-vollständig, falls jede nach oben beschränkte Teilmenge ∅ =
6 M ⊆ K ein Supremum besitzt.
Beispiel:
Q ist nicht Dedekind-vollständig.
2.3.3 Bemerkung (R)
Wir legen R axiomatisch fest, indem wir fordern, dass die folgenden Axiome erfüllt sind.
• Körperaxiome
• Anordnungsaxiome
• Supremumsaxiom
2.3.4 Satz
R ist bis auf Isomorphie der einzige Dedekind-vollständige angeordnete Körper.
Der Beweis der Existenz (aus Q) siehe Appendix des Buches.
2.3.5 Präposition
a) Jede nach unten beschränkte Teilmenge M 6= ∅ von R besitzt eine größte untere Schranke,
genannt das Infimum von M
inf (M )
b) Hat eine Teilmenge M ∈ R ein Maximum, dann auch ein Supremum und es gilt
max(M ) = sup(M )
Beweis:
−M ist nach oben beschränkt und es existiert ein Supremum und dann gilt inf (M ) = −sup(−M )
ist größte untere Schranke von M .
Beispiel:
M = {x1 , x2 , . . . , xn }, xn+1 = 12 (xn +
2
xn )
s = inf (M ) ∈ R ⇒ s2 = 2
M ⊂ R, M beschränkt.
Sei s = sup(M ) ⇔ ∀ε > 0∃x ∈ M : x > s − ε
s = sup(M ) ⇒ ∃(xn ) mit xn ∈ M, xn → s