thermodynamik dv

Thermodynamik
Kapitel 4
Nicolas Thomas
Arbeit und Wärme
Länge, x
F
Kolben
Länge, x
F
Kolben
dx
Der Kolben wird sehr langsam um die Distanz -dx verschoben.
Nicolas Thomas
Länge, x
Wieviel Arbeit mussten wir leisten, um den
Kolben zu bewegen?
F
Kolben
dx
Arbeit = - Kraft x Distanz
δW ' & F dx
dx ist negativ weil wir
komprimieren.
Arbeit am System ist +
Unbestimmtes Differenzial: Das heisst, dass die Funktion kein Differenzial
der mathematischen Funktion W ist.
In der Thermodynamik steht ein “unbestimmtes Differenzial” für eine Grösse
(besonders Wärme Q und Arbeit W), die insofern keine Zustandsfunktion ist,
als ihr Wert davon abhängt, wie der Prozess stattfindet.
Nicolas Thomas
Länge, x
F
Kolben
Länge, x
F
Kolben
dx
δW ' & F dx
Nicolas Thomas
Druck = Kraft / Einheitsfläche
Kraft = Druck x Einheitsfläche
δW ' & F dx ' &p A dx ' &p dV
A
Bei einer Kompression
des Gases (dV negativ)
die geleistete Arbeit ist
positiv.
A6B
Expansion
dV
B
VA
Nicolas Thomas
VB
Diese Fläche entspricht der
Arbeit, die bei einer sehr
kleinen Volumenänderung
verrichtet wird.
Die gesamte Arbeit, die auf dem Weg von A
nach B geleistet wird, wird durch das Integral
unter der Kurve gegeben.
VB
W ' & p dV
m
A
VA
Da das Gas Arbeit geleistet hat, wird W
negativ.
Wenn wir andererseits das Gas von B nach
A komprimieren, müssten wir Arbeit in das
Gas hineinstecken.
Das weist darauf hin, dass wir einen
zyklischen Prozess (oder Kreisprozess)
aufbauen können. Zyklen sind ein wichtiger
Bestandteil der Thermodynamik.
Nicolas Thomas
dV
B
VA
VB
Ein einfacher Kreis
Wir gehen über Weg a von A nach B
und zurück von B nach A über Weg b.
Die Arbeit, um vom Zustand A in den
Zustand B zu kommen, entspricht
der Fläche unter der Kurve a.
Expansion
A
a
b
Komprimierung
VA
Nicolas Thomas
B
Die Arbeit, um vom Zustand B in den
Zustand A zu kommen, entspricht der
Fläche unter der Kurve b.
Die gesamte Arbeit (netto!) ist die
schraffierte Fläche zwischen a und b.
VB
W' &
p dV
nAB
Die gesamte Arbeit wird nicht nur durch
die Endpunkte A und B definiert,
sondern auch durch den Weg dorthin!
A
a
b
VA
Hier sind die beiden Endpunkte zwar
noch dieselben, aber bei einem
Zyklus entlang der gelben Linie ist
jetzt mehr (netto) Arbeit notwendig.
Nicolas Thomas
B
VB
Wärmemenge, Q
Wir können ein Gas mit einer elektrischen Heizung erwärmen
- ohne mechanische Arbeit.
Q>0
Q<0
das System nimmt Energie auf
das System gibt Energie ab.
U ist die innere Energie des Systems und steht mit der
Temperatur und der Anzahl an Freiheitsgraden in Beziehung.
Also können wir durch Arbeit oder durch den Austausch von
Wärmemengen die innere Energie des Systems ändern.
dU ' δQ % δW ' δQ & p dV
Nicolas Thomas
f
U ' RT
2
Thermodynamik wird komplizierter, weil die Energie
eines Systems nicht nur im Hinblick auf Arbeit
beschrieben wird δW ' F (&dx)
sondern auch als Wärme, so dass
dU ' δQ % δW
δQ kann positiv oder negativ sein.
Die Arbeit ist also kleiner oder GRÖSSER als die
Veränderung der inneren Energie.
Nicolas Thomas
dU ' δQ % δW ' δQ & p dV
1. Hauptsatz der Thermodynamik
Energie kann weder vernichtet noch geschaffen werden.
Umwandlung in andere Formen ist möglich.
Energieerhaltung ist grundlegend für die Analyse jedes Systems
und eine Basis für alle Physik, die wir kennen.
Die Unbestimmten Differenziale, die hier verwendet werden, sollen
infinitesimale Veränderungen in Variablen andeuten, welche keine
Zustandsvariablen sind.
Nicolas Thomas
dU ' δQ % δW ' δQ & p dV
Die gesamte Energieänderung eines Systems beim Gang von einem
Zustand in einen anderen, hängt nur von den beiden Zuständen ab.
Die geleistete Arbeit und der notwendige Wärmeaustausch, um dorthin
zu gelangen, hängt vom Weg ab, der genommen wird!!!
In einem Kreisprozess gibt es keine Änderung der gesamten Energie.
D.h.
Q ' &W … 0
Nicolas Thomas
Spezifische Wärme
T1
δQ
T2
Wir definieren die spezifische Wärme als die
Wärmemenge, δQ, die einem Mol zugeführt
werden muss, damit dieses sich um dT erwärmt.
δQ ' C dT
Falls wir n Mol haben,
verwenden wir einen
Faktor n.
[C] = J K-1 Mol-1
Problem: Die aufgenommene Wärmemenge ist nicht nur
von der Temperatur abhängig, sondern auch von den
Umständen (z.B. konstanter Druck oder konstantes
Volumen), unter denen die Erwärmung stattfand.
Nicolas Thomas
δQ
Cx ' ( )x
MT
Der Index x bedeutet, dass die Ableitung bei konstantem
x gebildet wird. So wir können schreiben...
CV ' ( δQ )v ' ( MU % p MV )v
MT
MT
V = konstant
1. Hauptsatz
V = konstant heisst
dV = 0 und ...
MU
Cv ' ( )v
MT
Nicolas Thomas
dU ' δQ % δW ' δQ & p dV
Partielle Ableitung
Das gesamte Differential einer Funktion f(x1, x2, x3, ...., xn) entspricht
df ' Mf dx1 % Mf dx2 % Mf dx3 %..................% Mf dxn
Mx1
Mx2
Mx3
Mxn
Nicolas Thomas
Partielle Ableitung - Beispiel
Ein Kegel
Volumen ist eine Funktion von Radius r und Höhe h.
πr 2h
V(r,h) '
3
h
Partielle Ableitung mit r konstant
MV
πr 2
'
Mh
3
r
MV
πr 2
( )r '
3
Mh
Partielle Ableitung mit h konstant
MV
2πrh
'
Mr
3
Nicolas Thomas
(
MV
2πrh
)h '
Mr
3
Wir können das Ganze auch bei konstantem Druck
machen.
δQ
Cp ' ( )p
MT
Hier benutzen wir
d(pV) ' pdV % Vdp
dp = 0 und ...
MU % p MV
M(U % pV)
)p
Cp ' (
)p ' (
MT
MT
Nicolas Thomas
Enthalpie
Wir definieren die Enthalpie als
H ' U % pV
Cp ' (
In differentieller Form
MH
)p
MT
Cp ' (
MU % p MV
M(U % pV)
)p
)p ' (
MT
MT
dH ' dU % p dV % V dp ' δQ % V dp
Wenn dp = 0
dH ' (δQ)p
Die Änderung der Enthalpie während
eines isobaren Prozesses ist gleich
der Wärme, die übertragen wird.
Diese Gleichung gilt, egal wie das System aussieht!! Im Besonderen gilt sie auch
für ein System, in dem eine chemische Reaktion stattfindet. Enthalpie ist daher
eine wichtige Grösse in der chemischen Thermodynamik.
Nicolas Thomas
Enthalpie - Warum?
!Enthalpie ist eine Kombination thermodynamischer
Grössen, die nur von der Zustandsfunktion des
Systems abhängen.
!In der Praxis geben Tabellen und Diagramme von
Substanzen oft die Enthalpie unter bestimmten
Bedingungen an - und nicht die innere Energie.
< Es ist wichtig, dabei die Einheiten im Kopf zu behalten.
!In der Ingenieurwissenschaften und in der Chemie
sind isobare Prozesse viel wichtige als isochore
Prozesse (konstantes Volumen).
Nicolas Thomas
U
F
Helmholtz
Freie Energie
H
G
Gibbs Freie
Energie
Innere Energie
+pV
Enthalpie
Nicolas Thomas
Angenommen, wir wollten T und V als unabhängige
Variablen benutzen. Dann müssen wir die innere
Energie als Funktion dieser zwei Variablen definieren.
U ' U(T,V)
So bekommt man
dU ' (
MU
MU
)v dT % ( )T dV
MT
MV
Hier können wir durch dT teilen und erhalten
MU
MU
MU
MV
( )p ' ( )v % ( )T ( )p
MT
MT
MV
MT
Beachte: hier werden die
partiellen Ableitungen benutzt
und die andere Variable wird
konstant gehalten.
Cp ' (
MU % p MV
M(U % pV)
)p ' (
)p
MT
MT
Cp ' (
(
Nicolas Thomas
MU
MV
)p ' Cp & p( )p
MT
MT
MU
MV
)p % p( )p
MT
MT
MV
MU
MU
MV
Cp & p( )p ' ( )v % ( )T ( )p
MT
MT
MT
MV
Und ......
MU
MU
MV
Cp ' ( )v % [p % ( )T] ( )p
MT
MV
MT
Nicolas Thomas
Unterschied zwischen Cp und CV
Cp ' (
MU
MU
MV
)v % [p % ( )T] ( )p
MT
MV
MT
Cv ' (
MU
)v
MT
MU
MV
Cp & Cv ' [p % ( )T] ( )p
MV
MT
Dies ist eine allgemeine Definition.
Wenn genauere Aussagen gemacht werden sollen, ist
es notwendig, eine Zustandsgleichung zu benutzen.
Nicolas Thomas
Spezifische Wärme des idealen Gases
Die innere Energie ist eine Funktion dreier
Variablen (im Allgemeinen!)
U ' U(T,V,n)
Normalerweise setzen wir n = 1 und
U ' U(T,V)
-1
beschreiben Mengen als pro Mol oder Mol .
Für ein ideales Gas ist die innere Energie
nur eine Funktion der Temperatur und
RT
p'
V
Die Enthalpie des idealen Gases ist
H ' U % pV ' U % RT
Nicolas Thomas
U ' U(T)
U'
f
RT
2
Differenzieren
Substituieren
H ' U % pV ' U % RT
Cp ' (
MH
)p
MT
Cv ' (
MU
)v
MT
Cp ' Cv % R
Die Differenz zwischen den spezifischen Wärmen eines
idealen Gases enspricht der Gaskonstanten, R.
Nicolas Thomas
Differenzieren
Substituieren
H ' U % pV ' U % RT
Cp ' (
MH
)p
MT
Cv ' (
MU
)v
MT
Cp ' Cv % R
Die Differenz zwischen den spezifischen Wärmen eines
idealen Gases enspricht der Gaskonstanten, R.
f
U ' RT
2
MU
f
Cv ' ( )v ' R
MT
2
dU
Cv '
dT
Nicolas Thomas
Beachte, dass die partielle
Ableitung nicht mehr benötigt
wird, weil U=U(T).
NUR für ein ideales Gas
f
Cp ' Cv % R ' ( % 1) R
2
Nicolas Thomas
Cp ' Cv % R
Cv ' (
MU
f
)v '
R
MT
2
f
Cp ' Cv % R ' ( % 1) R
2
RT ' (γ & 1) U
Nicolas Thomas
Cp ' Cv % R
Cv ' ( MU )v ' f R
MT
2
pV ' (γ & 1) U
pV ' RT
f
Cp ' Cv % R ' ( % 1) R
2
RT ' (γ & 1) U
Cp ' Cv % R
Cv ' ( MU )v ' f R
MT
2
pV ' (γ & 1) U
pV ' RT
Im Hinblick auf T differenzieren und substituieren
R ' (γ & 1) Cv ' Cp & Cv
γ & 1'
Cp
f
% 2
γ'
'
f
Cv
Nicolas Thomas
Cp
& 1
Cv
f
U ' RT
2
Cv ' (
MU
f
R
)v '
2
MT
Cp ' (
f
% 1) R
2
γ'
Cp
Cv
'
f% 2
f
Wir haben die Vibrationsenergie nicht berücksichtigt.
Nicolas Thomas
Spezifische Wärme realer Gase
RT
a
p'
&
V&b
V2
Endliches Volumen von Molekülen.
Zustandsgleichung von Van
der Waals.
Durch kohäsive Kräfte
Innere Energie des realen Gases ist zusätzlich auch
vom Volumen abhängig. Aber diese Abhängigkeit ist
relativ klein.
U ' U(T,V)
dU ' (
Cv
Nicolas Thomas
MU
MU
)v dT % ( )T dV ' dU1 % dU2
MT
MV
dU ' Cv dT % dU2(V)
Kohäsive Kraft bedeutet
a
pc ' &
V2
Bei einer kleinen Volumenänderung ist
die Arbeit
δW '
δW ' &p dV
a dV
V2
dU ' Cv dT %
Integration
a dV
V2
dU ' Cv dT % dU2(V)
a
a
U ' U0 % CvT &
' CvT &
V
V
Integrationskonstante= 0
Nicolas Thomas
p'
RT
a
&
V&b
V2
C p & C v ' [p % (
MU
MV
)T] ( )p
MV
MT
Allgemeine Lösung
Van der Waals
dU ' Cv dT %
(
MU
a
)T '
MV
V2
Cp & Cv ' R
(
MV
1
)p '
MT
( MT )p
MV
a dV
V2
(p % a ) (V&b)
2
V
T'
R
1
2a (V&b)2
1 &
RT V 3
Falls
V >> b und V>> 2a/RT,
dann ist 2a/RTV klein und ...
2a
Cp & Cv . R (1 %
)
RTV
Nicolas Thomas
Thermodynamisches Gleichgewicht
und Arbeit
! Mechanisches Gleichgewicht
< Es gibt keine unausgeglichenen Kräfte, die auf Teile des Systems
oder auf das System als Ganzes einwirken.
! Thermisches Gleichgewicht
< Es gibt keine Temperaturdifferenzen zwischen Teilen des Systems
oder zwischen dem System und seiner Umgebung.
! Chemisches Gleichgewicht
< Es gibt keine chemischen Reaktionen im System und keine
Bewegungen chemischer Bestandteile von einem Teil des Systems
in einen anderen.
Wenn das System das thermodynamische Gleichgewicht
erreicht hat, findet keine Bewegung mehr statt und keine
Arbeit wird verrichtet!
Arbeit kann nur als Ergebnis endlicher unausgeglichener
Kräfte, die auf das System wirken, verrichtet werden.
Nicolas Thomas
Isobare Prozesse
Ein isobar Prozess bedeutet
dp=0
pA = pB = p
A
B
Bei einem Mol idealen Gases
ergibt sich
dT '
TB & TA ' ΔT '
Nicolas Thomas
p
(VB & VA)
R
p dV
R
p
TB & TA ' ΔT ' (VB & VA)
R
A
Definition der Arbeit
B
VB
W ' & p dV ' &p (VB & VA)
m
VA
U B & UA ' ΔU ' f R(T B & T A)
2
f
UB & UA ' ΔU ' p(VB & VA)
2
Nicolas Thomas
U'
f
RT
2
dU ' f R dT
2
dU ' f p dV
2
p
TB & TA ' ΔT ' (VB & VA)
R
A
Definition der Arbeit
VB
W ' & p dV ' &p (VB & VA)
m
VA
f
UB & UA ' ΔU ' p(VB & VA)
2
Wärmeaustausch, Q
Jetzt benutzen wir den 1. Hauptsatz
f% 2
p(VB & VA)
Q ' ΔU & W '
2
Nicolas Thomas
B
p
TB & TA ' ΔT ' (VB & VA)
R
A
Definition der Arbeit
B
VB
W ' & p dV ' &p (VB & VA)
m
VA
f
UB & UA ' ΔU ' p(VB & VA)
2
Wärmeaustausch, Q
Jetzt benutzen wir den 1. Hauptsatz
f% 2
p(VB & VA)
Q ' ΔU & W '
2
Q ' (Cv % R)(TB & TA)
Nicolas Thomas
Cp ' Cv % R ' (
f
% 1) R
2
Isotherme Prozesse
Ein isotherm Prozess bedeutet
dT=0
TA = TB
RT p%1/V
V
U'
f
RT
2
.
.
.
.
d
n
U
p'
f
ΔU ' R(TB & TA) ' 0
2
Nicolas Thomas
Die Arbeit, die wir benötigen, ist ...
VB
W ' & p dV
m
VA
W' &
p'
VB
VB
A
A
RT
1
dV ' &RT
dV
m V
mV
V
V
W ' &RT ln
VB
VA
Die ausgetauschte Wärme ist durch Q = -W
gegeben.
(ΔU = 0)
VB
Q ' RT ln
VA
Nicolas Thomas
RT
V
Adiabatische Prozesse
Ein adiabatischer Prozess bedeutet
δQ=0
Das heisst
Das Gas ist von seiner Umgebung thermisch isoliert!
Der 1. Hauptsatz sagt
dU ' δQ % δW ' δQ & p dV
dU ' δW ' & p dV
Nicolas Thomas
dU ' δW ' & p dV
Cv ' (
MU
)
MT v
dU ' C v dT
dU ' C v dT ' δW
Cv dT % p dV ' 0
dT
dV
Cv
% R
' 0
T
V
p=RT/V und dividieren
durch T
Unter der Annahme, dass Cv … f(T), können wir schreiben
d(Cv ln T % R ln V) ' 0
Nicolas Thomas
d(Cv ln T % R ln V) ' 0
(Cv ln T % R ln V) ' konstant
oder
Nicolas Thomas
Cv
T V R ' konstant
d(Cv ln T % R ln V) ' 0
(Cv ln T % R ln V) ' konstant
oder
C
T vV R ' konstant
Dividieren durch Cv
(ln T %
R
ln V) ' konstant
Cv
R ' (γ & 1) C v
TV γ&1 ' konstant
Nicolas Thomas
TV γ&1 ' konstant
Na und ...?
Bei einem adiabatischen Prozess werden
Volumen und Temperatur so verändern, dass
das Produkt konstant bleibt.
Da γ immer grösser als Eins ist, bewirkt eine
adiabatische Expansion eine Abkühlung.
Nicolas Thomas
Wir können pV = RT benutzen, um die adiabatischen
Beziehungen zwischen weiteren thermodynamischen
Zustandsgrössen zu erhalten.
Tp &(γ&1)/γ ' konstant
pV γ ' konstant
Adiabatisch
p % 1/Vγ
Bei einer adiabatischen Expansion fällt
der Druck viel stärker ab.
Der Grund ist eine Temperaturabnahme
und die bringt einen zusätzlichen
Druckabfall.
Um eine isotherme Expansion
durchführen zu können, muss man ein
Wärmereservoir zur Verfügung haben!
Nicolas Thomas
Isotherm
p%1/V
p0
V0
Joule-Thompson Expansion
Joule entwickelte ein Experiment, um herauszufinden,
ob sich Gase bei Expansion abkühlen und um wieviel.
Der Joule-Apparat bestand aus zwei Glaskolben, die
durch ein Ventil verbunden waren. Ein Kolben war
mit Gas gefüllt, der andere wurde evakuiert. Der
Apparat war isoliert, so dass δQ = 0.
Das Ventil wurde geöffnet...
Letztendlich stellte sich dieses Experiment jedoch als
unzuverlässig heraus und eine verbesserte Version
wurde von Joule und J.J. Thompson durchgeführt.
Nicolas Thomas
James Joule
Amerikanische
Physiker
1818-1889
p1
U1
T1
V1
p1
U
T
V
p1
p2
U
T
V
p2
U2
T2
V2
p2
Ein Gas wurde durch ein Verbindungsrohr gepresst.
(Es ist wichtig, dass das Verbindungsrohr als Drosselstelle
wirkt = kleine Strömungsgeschwindigkeit)
Der Druck in Kammer 1 wurde konstant gehalten.
Der Druck in Kammer 2 wurde ebenfalls konstant gehalten.
Nicolas Thomas
U2
T2
V2
U1
T1
V1
p1
δQ=0
Anfang
p2
Ende
Änderung der inneren
Energie entspricht der
verrichteten Arbeit.
ΔU' W
Arbeit hat zwei Komponenten
VB
W ' & p dV ' &p (VB & VA)
m
VA
Res. 1
W1 ' &p1 (0 & V 1)
Nicolas Thomas
Res. 2
W2 ' &p2 (V2 & 0)
Isobares System, dp=0
U2
T2
V2
U1
T1
V1
p1
δQ=0
Anfang
p2
Ende
Änderung der inneren
Energie entspricht der
verrichteten Arbeit.
ΔU' W
Arbeit hat zwei Komponenten
VB
W ' & p dV ' &p (VB & VA)
m
Isobares System, dp=0
VA
Res. 1
W1 ' &p1 (0 & V 1)
Res. 2
W2 ' &p2 (V2 & 0)
W ' W1 % W2 ' &p1 (0 & V1) &p2 (V 2 & 0)
W ' p1 V 1 & p2 V2 ' U2 & U1
Nicolas Thomas
U2
T2
V2
U1
T1
V1
p1
δQ=0
Anfang
p2
Ende
Änderung der inneren
Energie entspricht der
verrichteten Arbeit.
ΔU' W
Arbeit hat zwei Komponenten
VB
W ' & p dV ' &p (VB & VA)
m
Isobares System, dp=0
VA
Res. 1
W1 ' &p1 (0 & V 1)
Res. 2
W2 ' &p2 (V2 & 0)
W ' W1 % W2 ' &p1 (0 & V1) &p2 (V 2 & 0)
Enthalpie
W ' p1 V 1 & p2 V2 ' U2 & U1
U1 % p1V 1 ' U2 % p2V2
Nicolas Thomas
Oder
H1 ' H2
U1 % p1V 1 ' U2 % p2V2
Jetzt benutzen wir das ideale Gasgesetz
und
CvT1 % RT1 ' CvT2 % RT2
Konstante Konstante KonstanteKonstante
D.h.
Nicolas Thomas
T1 = T2 !!!!!
dU ' Cv dT
U1 % p1V 1 ' U2 % p2V2
Jetzt benutzen wir das ideale Gasgesetz
und
CvT1 % RT1 ' CvT2 % RT2
Konstante Konstante KonstanteKonstante
D.h.
dU ' Cv dT
p1
U1
T1
V1
p1
U
T
V
T1 = T2 !!!!!
p1
p2
U
T
V
p2
U2
T2
V2
Aber Joule und Thompson haben dieses Ergebnis
nicht gefunden!
Luft bei Raumtemperatur kühlt bei einer Expansion
von 200 bar auf 1 bar um 40 K ab.
Grund: Es ist kein ideales Gas.
Nicolas Thomas
p2
H ' U % pV
Van der Waals
H ' CvT &
2a
ab
% RT % pb %
V
V2
p '
pV ' &
U ' U0 % CvT &
Für ein reales Gas haben wir im Allgemeinen
H ' H(p,T)
ΔH ' (
MH
)p
MT
Nicolas Thomas
a
ab
% RT % pb %
V
V2
a
a
' CvT &
V
V
U1 % p1V 1 ' U2 % p2V2
ΔH ' 0
Wir schreiben
Cp ' (
RT
a
&
V &b
V2
MH
MH
)T Δp % ( )p ΔT
Mp
MT
MH
)T
ΔT ' & Mp ' & 1 ( MH )
Δp
Cp Mp T
MH
( )p
MT
(
Definition durch partielle
Ableitung
Wir haben eine Gleichung für die
Temperaturänderung mit der
Druckänderung
Die Definition der Enthalpie führt zu folgender
Ableitung
dH ' dU % d(pV) ' dU % pdV % Vdp
Wir benutzen nun die Zustandsgleichung und bekommen
dH ' Cv dT %
a dV
% pdV % Vdp
2
V
RT
dV % Vdp
dH ' Cv dT %
V&b
Bei konstanter Temperatur
MH
RT MV
( )T
( )T ' V %
Mp
V&b Mp
Nicolas Thomas
dU ' Cv dT %
p '
RT
a
&
V &b
V2
a dV
V2
Hier müssen wir die Van der Waals-Gleichung
hinsichtlich des Druckes bei konstanter Temperatur
differenzieren, um eine Gleichung für MV/Mp zu erhalten
(
MV
)T '
Mp
(
1
Mp
( )T
MV
Ist nutzlich
MV
1
)T '
Mp
2a & RT
V3
(V&b)2
(
MH
RT MV
)T ' V %
( )
Mp
V&b Mp T
MH
)
ΔT ' & Mp T ' & 1 ( MH )
Δp
Cp Mp T
MH
( )p
MT
(
ΔT ' & 1
Δp
Cp
2a
b
(1 & )2
RT
V
2a
b
1 &
(1 & )2
RTV
V
b &
Der Nenner dieses Ausdrucks ist immer positiv
weil...
Cp & Cv ' R
Cp & Cv
R
Nicolas Thomas
'
1
2a (V&b)2
1 &
RT V 3
1
2a
b
(1& )2
1 &
RTV
V
Hier müssen wir die Van der Waals-Gleichung
hinsichtlich des Druckes bei konstanter Temperatur
differenzieren, um eine Gleichung für MV/Mp zu erhalten
(
MV
) '
Mp T
(
1
Mp
( )T
MV
Ist nutzlich
MV
1
)T '
Mp
2a & RT
V3
(V&b)2
(
MH
RT MV
)T ' V %
( )
Mp
V&b Mp T
MH
)
ΔT ' & Mp T ' & 1 ( MH )
Δp
Cp Mp T
MH
( )p
MT
(
ΔT ' & 1
Δp
Cp
2a
b
(1 & )2
RT
V
2a
b
1 &
(1 & )2
RTV
V
b &
Der Nenner dieses Ausdrucks ist immer positiv
weil...
∆T/∆p ist negativ, falls
2a
b
(1 & )2
b >
RT
V
Nicolas Thomas
Cp & Cv ' R
Cp & Cv
R
'
1
2a (V&b)2
1 &
RT V 3
1
2a
b
(1& )2
1 &
RTV
V
Ausserdem, wenn b/V << 1 und V >> 2a/RT
ΔT
1
2a
. &
(b &
)
Δp
Cp
RT
ΔT ' & 1
Δp
Cp
2a
b
(1 & )2
RT
V
2a
b
(1 & )2
1 &
RTV
V
b &
Wenn T, die ursprüngliche Temperatur des Gases, niedriger als
eine Temperatur Ti ist, dann kühlt das Gas ab.
Wenn T höher als Ti ist, dann erwärmt sich das Gas im JouleThompson Experiment (”Joule-Thomson Effekt”).
2a
Ti '
Rb
Inversionstemperatur
Ti = 2050 K fuer CO2.......... Ne = 231 K, N2 = 621 K
Nicolas Thomas