Pohlsches Pendel / Kreisel

Pohlsches Pendel / Kreisel
Mit Hilfe des Pohlschen Pendels, eines schwingenden Systems mit einem Freiheitsgrad, sollen
freie und erzwungene Schwingungen mit und ohne Dämpfung untersucht werden. Insbesondere
soll die Resonanzerscheinung hier studiert werden. Am Kreisel sollen die Bewegungsformen Nutation sowie Präzession demonstriert werden.
Die Präzessionswinkelgeschwindigkeit wird an einem schnellen, schweren Kreisel als Funktion
der Momente gemessen.
Vorkenntnisse
Grundgesetze der Mechanik: Die Newton’schen Grundgesetze der Mechanik - Die Erhaltungssätze der Mechanik (Impuls, Drehimpuls, Energie) - Aufstellen und Bedeutung von
Bewegungsgleichungen - Formale Ähnlichkeiten zwischen den Gesetzen der Translationsund Rotationsbewegung
Grundgrößen: Kenntnisse über Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, Impuls, Winkelgeschwindigkeit, Drehimpuls, Drehmoment, Trägheitsmoment, kinetische Energie im Falle
der Translation und der Rotation
Schwingungen: Schwingung (Amplitude, Schwingungsdauer, Kreisfrequenz) - Reibung - Differentalgleichungen (DGL) für harmonische Schwingungen, insbesondere für Drehschwingungen, ungedämpfte und gedämpfte freie Schwingungen, erzwungene Schwingungen, Resonanz, Phasenlage zwischen Erreger und Resonator - Einfluß der Dämpfung, Dämpfungsfaktor, logarithmisches Dekrement
Mechanik des starren Körpers: Steinerscher Satz - Hauptträgheitsachsen - Berechnung von
Trägheitstensoren - Freie Achsen, Deviationsmomente
Physikalische Grundlagen
Drehschwingungen
Aus dem Drehimpulssatz
X
n
Mn =
dL
d(Θ · Φ̇)
=
dt
dt
erhält man die Bewegungsgleichung eines Körpers mit einem Freiheitsgrad für Drehbewegungen.
Dabei sind:
Θ
Φ
Φ̇ =
Mn
dΦ
dt
:
:
:
:
Trägheitsmoment des Körpers bezüglich der Drehachse
Drehwinkel
Winkelgeschwindigkeit
die einzelnen am System angreifenden Drehmomente
1
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Die Bewegungsgleichung lautet dann allgemein:
Θ · Φ̈ =
X
Mn
n
Bei Kenntnis des Körpers, d.h. seines Trägheitsmomentes, der von außen an ihn angreifenden
Drehmomente und seiner Anfangsbedingungen lassen sich durch Lösen der Bewegungsgleichung
Aussagen über seinen Bewegungszustand zu einem beliebigen Zeitpunkt machen.
Frage: Wie sieht die Bewegungsgleichung bei Translationsbewegungen aus? Man mache sich die
Zusammenhänge zwischen beiden Bewegungsgleichungen klar!
Im allgemeinen kommen als Drehmomente in Frage:
M1 = D(Φ)
M2 = R(Φ̇)
M3 = E(t)
Rückstelldrehmoment (Direktionsmoment)
durch Dämpfung (Reibung) hervorgerufenes Moment
Erregerdrehmoment
In der Regel sind D und R nichtlineare Funktionen von Φ und Φ̇ (die daraus resultierenden
DGL sind dann nur sehr selten analytisch lösbar), doch kann man sich oft, so auch hier, auf die
linearen Terme beschränken und die höherer Ordnung vernachlässigen.
Dann erhält man eine DGL der Form
ẍ + aẋ + bx = 0,
deren Lösung x(t) = c · eiλt , λ komplexe Zahl, ist.
1. Freie ungedämpfte Schwingungen
Es sei E(t) = 0 und R(Φ̇) = 0:
Die Kennlinien der Rückstelldrehmomente D = −D(Φ) können sein:
1. lineare Kennlinien (lineare Schwinger) D = −D∗ · Φ
(z.B. Flüssigkeit im U-Rohr, Zykloidenpendel). Das negative Vorzeichen berücksichtigt,
dass das Rückstellmoment der Bewegungsrichtung entgegenwirkt. D∗ ist das sogenannte
Direktionsmoment.
2. nichtlineare Kennlinien im allgemeinen Fall, z.B. beim mathematischen Pendel. Um die
DGL möglichst einfach zu gestalten, linearisiert man diese Kennlinien, indem man sich auf
kleine Pendelausschläge beschränkt.
In diesem Fall lautet die Schwingungsgleichung:
Θ · Φ̈ + D∗ · Φ = 0
mit der allgemeinen Lösung:
Φ(t) = A1 cos(ω0 t) + A2 sin(ω0 t)
wobei
ω02 =
D∗
Θ
Lineare Kennlinie und harmonische Schwingung bedingen sich wechselseitig. ω0 ist die Eigenfrequenz des Schwingungssystems, d.h. mit dieser Frequenz schwingt das ungedämpfte System,
wenn es einmal angestoßen wird.
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2. Freie gedämpfte Schwingungen
Es sei wieder E(t) = 0 aber R(Φ̇) 6= 0:
Die Reibungskräfte sollen in Bahnrichtung liegen und der Bewegung stets entgegengerichtet
sein; sie sollen linear mit der Geschwindigkeit zunehmen, also: R = R∗ · Φ̇ (das gilt z.B. für die
im Versuch verwendete Wirbelstrombremse, nicht jedoch für Luftreibung, für die R ∝ Φ̇2 bei
großen Geschwindigkeiten gilt). Die Schwingungsgleichung lautet für diesen Fall:
Φ̈ + 2δ Φ̇ + ω02 Φ = 0
δ=
mit
R∗
2Θ
Die allgemeine Lösung dieser Gleichung lautet:
Φ(t) = e−δt · (B1 cos(ωt) + B2 sin(ωt))
mit
ω 2 = ω02 − δ 2
Dies ist eine exponentiell abklingende harmonische Schwingung. δ heißt deshalb Abklingkonstante. Als weiteres Maß für die Dämpfung definiert man das logarithmische Dekrement:
Φk
λ = ln
Φk+1
=δ·T
Dabei bedeutet Φk eine Amplitude (= maximaler Ausschlag) des Schwingers, Φk+1 die darauffolgende (kleinere) Amplitude in derselben Auslenkungsrichtung. Die allgemeine Lösung erlaubt
es, drei Schwingungsfälle zu untersuchen:
Im Falle der schwachen Dämpfung (ω02 δ 2 ) den Schwingfall.
Bei sehr starker Dämpfung erhält man keine Schwingung mehr, sondern den sog. Kriechfall
(ω02 < δ 2 ).
Dazwischen liegt der sog. aperiodische Grenzfall (ω02 = δ 2 ). Für diesen ist die Zeit, in der die
Auslenkung auf Null abgefallen ist, minimal.
Gibt es sinnvolle Anwendungen hierfür? Welche?
3. Erzwungene, gedämpfte Schwingungen
Nun sei ein am System angreifendes Erregermoment E(t) = A0 · cos(Ωt) vorhanden:
Die Schwingungsgleichung lautet dann:
Φ̈ + 2δ Φ̇ + ω02 Φ =
A0
cos Ωt
Θ
Ihre allgemeine Lösung setzt sich additiv aus der Lösung Φhomogen der homogenen Gleichung
(E(t) = 0) und einer partikulären Lösung Φpartikulär der inhomogenen Gleichung (E(t) 6= 0)
zusammen:
Φ = Φhomogen + Φpartikulär
Die Lösung der homogenen Differentialgleichung ist bereits erfolgt (s.o. Lösung für die freie
gedämpfte Schwingung). Für die inhomogene Gleichung ist der Ansatz einer partikulären Lösung:
Φpartikulär = P1 cos(Ωt) + P2 sin(Ωt)
Durch Einsetzen und Koeffizientenvergleich folgt:
P1 =
(ω02 − Ω2 )A0
NΘ
,
P2 =
2δΩA0
NΘ
mit
N = (ω02 − Ω2 )2 + (2δΩ)2
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Die gesamte Lösung besteht also aus einer Überlagerung einer gedämpften Schwingung mit der
Eigenfrequenz ω und einer Schwingung mit der Erregerfrequenz Ω. Der erste Anteil verschwindet
wegen des Faktors e−δt nach hinreichend langer Zeit (sog. Einschwingvorgang).
Danach schwingt das System (dessen Eigenfrequenz ω0 ist) mit derselben Frequenz Ω wie der
Erreger. Dabei stellt sich eine stationäre Amplitude des Schwingers ein. Zur besseren Übersicht
soll der partikuläre Anteil in der Form:
Φpartikulär = A cos(Ωt − )
dargestellt werden, wobei die Phasenverschiebung zwischen Erreger und Resonator ist. Die
Rechnung liefert als Lösung für A und :
A=
A0
1
·q
Θ
(ω02 − Ω2 )2 + (2δΩ)2
und
= arctan
2δΩ
2
ω0 − Ω2
Die stationäre Amplitude A bei der erzwungenen Schwingung ist also eine Funktion der
Erregerfrequenz. Sie hat q
ein Maximum bei
der Frequenz Ω = ωr = ω02 − 2δ 2 (Resonanzfrequenz), die nur wenig unterhalb der
Eigenfrequenz ω0 liegt.
Das Maximum Φmax = A0 /(2ωr δΘ) ist mit
zunehmender Dämpfung weniger ausgeprägt.
Die Phasenverschiebung variiert ebenfalls
mit der Erregerfrequenz und mit der Dämpfung.
Sie hat den Wert π/2 bei Ω = ω0 . Zur Lösung der Schwingungs-Differentialgleichungen vergleiche man auch die entsprechenden Kapitel und den Anhang im Vorlesungsskript „Leitfaden
zur Vorlesung 1 für Physik“.
Bewegung eines starren Körpers
Bekanntlich kann eine beliebige Bewegung eines starren Körpers aus einer Translation und einer
Rotation zusammengesetzt werden. Wird diese allgemeine Bewegung derart beschränkt, dass ein
Punkt des Körpers raumfest sein soll, so spricht man von einer Kreiselbewegung. Der Körper
heißt dann Kreisel. Die Bewegungen des Kreisels können mittels des folgenden, sehr wichtigen
physikalischen Gesetzes vollständig verstanden werden:
~ des rotierenden starren Körpers ist gleich der Summe der an
Die Änderung des Drehimpulses L
ihm angreifenden Momente, d.h.
d~ X ~
L=
Mn
dt
n
Ist die Summe der Momente gleich Null, so folgt, dass sich der Drehimpuls nicht ändert, d.h. er
bleibt in Betrag und Richtung konstant. Einen Kreisel, für den dies gilt, nennt man kräftefreien
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oder genauer momentenfreien Kreisel.
Im folgenden soll nur der einfache Spezialfall des symmetrischen Kreisels (starrer Körper mit
Rotationssymmetrie) behandelt werden. Die Symmetrieachse heisst Figurenachse.
Die Nutation eines symmetrischen, momentenfreien Kreisels
Neben der Figurenachse unterscheidet man beim Kreisel zwei weitere, durch den Schwerpunkt
gehende Achsen: die Drehimpulsachse und die momentane Drehachse.
~ , der nicht parallel zur Figurenachse ist, so rotiert
Erteilt man dem Kreisel einen Drehimpuls L
er mit der Winkelgeschwindigkeit |~
ω | um die sogenannte momentane Drehachse. Die Richtung
des Drehimpulses nennt man Drehimpulsachse.
Laut Voraussetzung bleibt der Drehimpuls konstant, also ändert auch diese Achse ihre Lage im
~ und ω
Raum nicht. Die Vektoren L
~ können in jeweils zwei Komponenten senkrecht und parallel
zur Figurenachse zerlegt werden. Die Beziehung zwischen diesen Größen ist gegeben durch:
~ = Θ̂ · ω
L
~
wobei Θ̂ der Trägheitstensor und ω
~ der Vektor der Winkelgeschwindigkeit ist. Diese Beziehung
kann in die senkrecht und parallel zur Figurenachse liegenden Komponenten zerlegt werden:
~ k = Θ̂k · ωk
L
und
~ ⊥ = Θ̂⊥ · ω
L
~⊥
~ ⊥ 6= Θ
~ k ist, wird der resultierende Vektor der Winkelgeschwindigkeit
Da im allgemeinen Fall Θ
ω
~ =ω
~⊥ + ω
~ k nicht parallel zur Drehimpulsachse liegen.
Deshalb müssen bei der Kreiselbewegung sowohl die Figurenachse als auch die momentane Drehachse die raumfeste Drehimpulsachse auf Kegelmänteln umkreisen. Diese allgemeine Bewegungsform des kräftefreien Kreisels wird als Nutation bezeichnet.
Ein Kreisel ist nutationsfrei, wenn seine Figurenachse mit der Drehimpulsachse zusammenfällt.
Präzession eines Kreisels
Greift an einem Kreisel senkrecht zur Drehimpulsachse ein Moment an, so bewirkt dieses eine
~ Die Drehimpulsachse ist nicht mehr raumfest, sondern sie bewegt
Richtungsänderung von L.
sich ihrerseits auf einem raumfesten Kegelmantel. Diese Bewegung heißt Präzession.
Die Winkelgeschwindigkeit ω
~ p , mit der die Drehimpulsachse den Präzessionskegel umläuft, lässt
sich sehr einfach für den Spezialfall eines symmetrischen, schnellen Kreisels (Drehimpulsachse
≈ Figurenachse) berechnen:
~ + dL
~
L
*
6
~ = |M
~ = |L|
~ · |dφ|
~ | · dt
|dL|
~ =M
~ · dt
dL
→ |ωp | =
~
|dφ|
~
~|
|dφ|
|M
=
~
dt
|L|
-
~
L
~ =M
~ · dt.
Den Drehsinn der Präzession findet man mit dL
Wie liegt ω
~ p?
Die allgemeine Bewegung eines Kreisels besteht aus Präzession und Nutation und kann somit
sehr komplizierte Formen annehmen.
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Experimentelle Anordnung
Im Versuch wird ein sogenannter schwerer Kreisel benutzt. Bei diesem werden die Momente
durch die Schwerkraft erzeugt:
Ein mit 50 Umdrehungen pro Sekunde laufender Synchronmotor mit künstlich vergrößertem
Trägheitsmoment liefert den Drehimpuls vom Betrag
~ Motor | = ΘMotor · |~
|L
ωMotor |
Der Drehimpulsvektor liegt zunächst exakt in der Figurenachse der Anordnung. Der Kreisel steht
unter dem Einfluss von durch die Schwerkraft verursachten Momenten. Das vom Eigengewicht
~ Motor . Mit Hilfe eines auf einer Stange verschiebbaren
des Motors verursachte Moment sei M
~ Motor kompensiert oder
Gewichtes kann ein weiteres Moment erzeugt werden, mit dessen Hilfe M
sogar überkompensiert werden kann.
Die Stange hat cm-Markierungen. Beginnt die obige Anordnung zu präzidieren, so kommt ein
zusätzlicher Drehimpuls zustande.
Seine Richtung liegt parallel zur Winkelgeschwindigkeit der Präzession. Das Trägheitsmoment
um die Achse AA sei ΘA .
Gilt jedoch ΘA · |~
ωp | ΘMotor · |~
ωMotor |, so kann der Kreisel als schneller Kreisel betrachtet
werden.
Für die Winkelgeschwindigkeit der Präzession gilt dann
|~
ωp | =
|Mresult |
~ Motor |
|L
mit
|Mresult | = |MMotor | − |MGewicht |.
Experiment
Vorbereitende Aufgabe
Man beweise, dass die Winkelgeschwindigkeit der Präzession in dem hier geschilderten Fall auch
dann noch denselben Betrag hat, wenn die Figurenachse der Anordnung nicht mehr waagerecht
steht!
Versuchsaufgaben
Für alle nachfolgenden Messungen sollen die Messfehler in den Zeichnungen angegeben sein und
die Messergebnisse diskutiert werden.
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Pohlsches Pendel
1. Freie ungedämpfte Schwingung
Das Pendel wird ausgelenkt und losgelassen. Man untersuche die ungedämpfte (d.h. in praxi
schwach gedämpfte) Schwingung und messe die Kreisfrequenz ω0 = 2π/T0 , mit T0 : Schwingungsdauer.
Man mache mindestens fünf Versuche und bilde den Mittelwert.
Bei jedem Versuch messe man die Zeit, die das Pendel für mehrere Schwingungen braucht. Das
Richtmoment D∗ der Feder ist zu berechnen (Θ ist am Gerät angegeben).
2. Freie gedämpfte Schwingung
Gesucht sind λ und T als Funktion des Stromes in der Wirbelstrombremse. Hierzu bestimme
man bei Strömen von 0,1 A bis 0,5 A:
(a) Die Schwingungsdauern T
(b) Die logarithmischen Dekremente λ
Eine bequeme graphische Mittelung vieler Messpunkte erreicht man, wenn man mehrere aufeinanderfolgende Amplituden auf einer Seite des Schwingers auf halblogarithmisches Papier
gegen die Nummer n des Ausschlages aufträgt. Die Steigung der resultierenden Geraden ist
λ · n = n · T · δ. Man trage λ und T über der Stromstärke auf. Wie verhalten sich beide Kurven?
3. Erzwungene gedämpfte Schwingung
Da der Geschwindigkeitsregler am Motor nicht reproduzierbar einzustellen ist, ist vor Beginn
der eigentlichen Messungen eine Kalibrierkurve aufzunehmen, die die Abhängigkeit der Motorkreisfrequenz Ω von der Motorprüfspannung U beschreibt.
Zur Aufnahme der Resonanzkurven empfiehlt es sich, von einem Punkt nahe der Resonanz
ausgehend zu höheren und tieferen Frequenzen zu messen.
Die Messpunkte in der Umgebung des Maximums sind hinreichend dicht zu wählen und sofort
in ein Diagramm einzutragen. Man trage A gegen Ω auf. Zu messen sind die Resonanzkurven
des Schwingers bei drei verschiedenen Dämpfungen. Dazu stelle man die Stromstärke I in der
Wirbelstrombremse auf etwa 0,2 A, 0,3 A bzw. 0,5 A. Die Erregeramplitude bleibt konstant.
Beim Ablesen der Amplituden achte man darauf, dass der Einschwingvorgang abgeklungen ist.
Kreisel
1. Demonstrativer Teil
(a) Die Erhaltung des Drehimpulses im momentenfreien Fall:
Durch eine entsprechende Anordnung der Gewichte ist das vom Motor verursachte Moment
zu kompensieren.
(Ein gutes Kriterium hierfür ist das Verschwinden der Präzession!)
Jetzt kann der Kreiselfuß beliebig gedreht und gekippt werden, ohne dass der Drehimpuls
seine Richtung ändert.
Man gebe Beispiele für die technische Anwendung dieses Verhaltens. Ferner benutze man
~ Motor |.
den eingestellten Zustand des Momentengleichgewichts zur Ermittlung von |M
Das Gewicht ist deshalb zu wiegen und seine Dicke mit einem Messschieber zu messen.
Das daraus folgende Trägheitsmoment ist zu berechnen.
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(b) Nutation im momentenfreien Fall:
Der Kreisel ist von der Konstruktion her nahezu nutationsfrei. Erteilt man dem Kreiselsystem einen zusätzlichen Drehimpuls durch einen kurzen Stoß senkrecht zur ursprünglichen
Drehimpulsrichtung, so wird die Nutationsbewegung sofort sichtbar. Sie klingt jedoch bald
infolge Lagerreibung ab.
(c) Nutation und Präzession:
Wie bei Messung (b) kann auch im Fall der Einwirkung von Momenten die Nutation
vorgeführt werden. Hierzu ist es zweckmäßig, mit einer großen Winkelgeschwindigkeit der
Präzession ωp zu arbeiten. Man verschiebe daher das Gewicht bis zum Lager hin oder bis
an das Ende des Balkens.
2. Quantitativer Teil
Die Winkelgeschwindigkeit der Präzession ist als Funktion des am Kreisel angreifenden Momentes zu messen.
~ Motor | − |M
~ Gewicht |
|M
|~
ωp | =
ΘMotor · |~
ωMotor |
Da ΘMotor · |~
ωMotor | eine Konstante ist und außerdem |ωp | = 2π/Tp ist, folgt:
~ Motor | − |M
~ Gewicht |
1
|M
=
Tp
2π · ΘMotor · |~
ωMotor |
Es besteht also ein linearer Zusammenhang zwischen 1/Tp und |Mresult |. Man trage deshalb 1/Tp
über |Mresult | auf und bestimme das Trägheitsmoment aus der Steigung der sich ergebenden
Geraden. Der Vorzeichenwechsel von ω
~ p kann in der Auftragung formal durch negative 1/Tp Werte berücksichtigt werden. Diese Messungen sollen für mindestens 10 verschiedene Momente
durchgeführt werden.