Lichttechnische Grössen

Modul 931 – Optik – Lichttechnische Grössen und Farbe
Lichttechnische Grössen
1.
Der Raumwinkel Ω
Der Lichtstrahl z.B. einer Taschenlampe entspricht einem Lichtkegel. Zeichnen wir diesen
Lichtstrahl, so geben wir den Winkel ω in der Ebene an:
ω
ω: omega („Klein Omega“)
In Wirklichkeit ist der Winkel ω aber dreidimensional.
Nehmen wir an, dass ein Lichtkegel von der Mitte einer Kugel mit Radius r = 1 m gegen die
Kugeloberfläche kreisförmig strahlt und dabei eine Fläche von A = 1 m2 beleuchtet:
Daraus folgt die Definition
für den Raumwinkel Ω:
Ω=
1m 2
A
=
= 1 sr
r 2 1 m ⋅1 m
Die SI-Einheit des Raumwinkels Ω
ist der Steradiant (sr).
Ω: Omega („Gross Omega“)
Bild 2 - Kanonischer Raumwinkel
Die Oberfläche einer Kugel berechnet sich nach:
AKugel = 4 π r 2
Hat die Kugel einen Radius r = 1 m, so beträgt ihre Oberfläche:
AKugel = 4 π r 2 = 4 π (1 m ) = 12.56 m 2
2
Nehmen wir nun die gesamte Kugelfläche, so ist der zugehörige Raumwinkel Ω ein Vollwinkel.
Unsere Lichtquelle wird zu einer kleinen Sonne, welche die gesamte Kugeloberfläche von innen
beleuchtet. Der Vollwinkel beträgt:
Ω=
AKugel
r2
=
4 π ⋅ 1m 2 12.56 m 2
=
= 12.56 sr
1m ⋅1m
1m ⋅1m
oder genau
4 π sr
Der Raumwinkel beschreibt die Grösse eines Raumbereichs, der von einem
Kegelmantel aufgespannt wird.
Der Raumwinkel Ω hilft uns, die lichttechnischen Begriffe wie Lichtstärke und Lichtstrom besser zu
verstehen.
gibb IET A. Lüthi
1
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Umformungen
A = Ω ⋅ r2
r=
A
Ω
Beispiel
Wie gross ist der Raumwinkel Ω, wenn eine Lichtquelle die Hälfte der Kugel mit einem Radius von
1 m von deren Mittelpunkt aus beleuchtet?
4π r 2
2
= 2 π (1 m ) = 6.28 m 2 = 2 π m 2
2
2
A 6.28 m 2
Ω= 2 =
= 6.28 sr = 2 π sr
r
(1m )2
AKugel
=
Beachte: Wenn die Sonne die Hälfte der Erdkugel beleuchtet, so ist der Raumwinkel von der Sonne
aus gesehen viel kleiner!
Übung 1
Wie gross ist der Raumwinkel Ω, wenn die Kugel einen Radius r = 0.3 m besitzt und die zugehörige
Oberfläche A, die vom Raumwinkel umschrieben wird, 0.16 m2 beträgt?
Übung 2
Eine Erdglobus hat einen Radius von r = 0.18 m. Der Lichtkegel, der den Globus von innen
beleuchtet, hat einen Raumwinkel von Ω = 0.6 sr. Wie gross ist die beleuchtete Fläche in cm2?
Übung 3
Ein Autoscheinwerfer mit einem Raumwinkel von 0.05 sr erzeugt an einer Mauer einen kreisrunden
Lichtfleck mit einer Fläche von 45 m2. Wie weit ist die Mauer entfernt?
gibb IET A. Lüthi
2
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2.
Zusammenhang Ebener Winkel ω und Raumwinkel Ω
Oft wird bei einem Leuchtmittel die Ausleuchtung in Grad als ebener Winkel ω angegeben. Für
unsere Berechnungen benötigen wir aber den räumlichen Winkel Ω. Es besteht kein linearer
Zusammenhang.
Die Formel lautet:
Raumwinkel Ω in π sr

 ω 
Ω = 2π ⋅ 1 − cos   
 2 

Ω: Raumwinkel in sr
ω: Ebener Winkel in Grad
Der Zusammenhang ist im
nebenstehenden Diagramm als
Funktion dargestellt.
Ebener Winkel ω in Grad
Beispiel
Ein Hersteller gibt an, dass der Strahlungswinkel seiner LED-Lampe 135° betrage. Welchem
Raumwinkel entspricht dies? 1. Berechnung und 2. Herauslesen aus dem Diagramm.


 135°  
 ω 
Ω = 2 π ⋅ 1 − cos    = 2 π ⋅ 1 − cos 
  = 2 π ⋅ (1 − cos 67.5°) = 3.879 sr
 2 
 2 


In obigem Diagramm eingetragen, ergibt ein Winkel von 135° etwa 1.23. Dieser Wert muss mit π sr
multipliziert werden:
Ω = 1.23 ⋅ π sr = 3.86 sr
Übung 4
Welchem Raumwinkel entspricht ein ebener Winkel von 30°?
gibb IET A. Lüthi
3
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3.
Die Lichtstärke IV
Die Lichtstärke IV, mit der Masseinheit Candela (cd), gibt die Lichtmenge an, die eine Lichtquelle
pro Raumwinkel Ω = 1 sr abgibt. Die Candela ist eine der sieben Basiseinheiten des SI (= Système
international d’unités; internationales Einheitensystem).
Lichtstärke
ΙV
in Candela, cd
(Candela: lateinisch für „Kerze“)
Die Lichtstärke ist eine Grösse, die vom Sehempfinden des menschlichen Auges abhängig ist. Das
Auge hat sein maximales Empfinden bei einer Lichtwellenlänge von λ = 555 µm. Dies entspricht
einem leicht gelblichen Grün. Bei Rot besitzt das Auge nur noch etwa 10 % seiner Empfindlichkeit
von Grün. Eine Lichtstärke von 1 cd grünem Licht ist also leistungsmässig etwa 10mal kleiner als
eine Lichtstärke von 1 cd rotem Licht. Unser Auge empfindet beide Lichtstärken jedoch als gleich
hell.
Eine Infrarotquelle kann noch so hell leuchten, sie wird nie 1 cd erreichen, weil unser Auge das
Infrarot nicht sehen kann. Darum ist die Lichtstärke keine reine physikalische Grösse, sondern eine
sog. photometrische Grösse.
Einige Werte für die Lichtstärke IV
Wachskerze mit einer Flammenhöhe von etwa 4 cm
40 W Glühbirne
60 W Glühbirne
Autoscheinwerfer 55 W Halogen
Leuchtstoffröhre 33 W
2 kW Halogenscheinwerfer (Fassadenbeleuchtung)
Laser 5 mW
1
35
60
100
100
12‘000
250‘000
cd
cd
cd
cd
cd
cd
cd
Definition der Lichtstärke IV
Genaue Definition:
1 Candela ist die Lichtstärke, die ein
monochromatischer Strahler der Frequenz 540 THz
mit der Strahlstärke
aussendet.
Anders ausgedrückt:
1 cd ist diejenige Lichtstärke, wenn in 1 m
Entfernung von der Lichtquelle auf einem 1 m2
grossen Oberflächenstück eine Leistung von
gemessen wird.
gibb IET A. Lüthi
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4.
Der Lichtstrom ΦV
Der Lichtstrom gibt die Summe aller Strahlungsenergie an, die eine Lichtquelle in allen
Richtungen abgibt. Er wird in Lumen (lm) angegeben. Er ist also die Summe aller Lichtstärken über
den gesamten Raum. Der Lichtstrom ist ebenfalls eine Grösse, die vom Sehempfinden abhängig ist.
Lichtstrom
ΦV
in Lumen, lm
(Lumen: lateinisch für „Licht, Leuchte“)
Φ: Phi
Einige Werte für den Lichtstrom ΦV
Wachskerze mit einer Flammenhöhe von etwa 4 cm
40 W Glühbirne
60 W Glühbirne
100 W Glühbirne
Osram Leuchtstoffröhre Lumilux 24 W / 840
Leuchtstoffröhre 33 W
Halogen Metalldampflampe 150 W
Sonne
5.
12
350
660
1200
max. 2000
2000
12‘000
1028
lm
lm
lm
lm
lm
lm
lm
lm
Zusammenhang zwischen Lichtstärke IV und Lichtstrom ΦV
Wird die Lichtstärke IV von 1 Candela über den Raumwinkel Ω von 1 Steradiant multipliziert, dann
erhalten wir den Lichtstrom ΦV von 1 Lumen:
ΦV = IV ⋅ Ω
ΦV
IV
Ω
Lichtstrom in lm
Lichtstärke in cd
Raumwinkel in sr
Umformungen
IV =
ΦV
Ω
Ω=
ΦV
IV
Beispiel 1
Eine Leuchtstoffröhre gibt einen isotropen (= gleichmässig in allen Richtungen) Lichtstrom ΦV von
1500 lm ab. Wie gross ist die Lichtstärke IV?
IV =
ΦV 1500 lm
=
= 119.37 cd ≈ 120 cd
Ω
4 π sr
Beispiel 2
Die Wachskerze aus der Tabelle der Lichtstärken hat eine Lichtstärke IV von 1 cd. Wenn wir
annehmen, dass sie durch ihren Körper 5 % der Kugeloberfläche abschattet, aber ansonsten isotrop
strahlt, wie gross ist dann ihr Lichtstrom ΦV?
Φ V = I V ⋅ Ω = 1cd ⋅ 0.95 ⋅ 4 ⋅ π sr = 11.94 lm
gibb IET A. Lüthi
5
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Übung 5
Philips gibt für eine isotrope 100 W Glühbirne einen Lichtstrom von 1205 lm an. Wie gross ist die
Lichtstärke?
Übung 6
Die Glühlampe aus Übung 5 erhält einen Reflektor, der den Lichtstrom gleichmässig auf einen
Raumwinkel von 1,5 sr verteilt. Wie gross ist jetzt die Lichtstärke im Lichtkegel von Reflektor und
Glühbirne?
Übung 7
Ein kleiner LED-Spot erzeugt einen Lichtstrom von 36 lm. Der Raumwinkel beträgt
0.04 sr. Wie gross ist die Lichtstärke im Spot der LED?
Übung 8
Eine Hochleistungs LED – Lampe nimmt 5 W auf. Sie hat eine Lichtausbeute von
65 lm/W. Wie gross ist die Lichtstärke im 0.06 sr grossen Leuchtfleck?
Übung 9
Eine 40 W Leuchtstoffröhre strahlt über einen Raumwinkel von 8.8 sr Licht aus. Der restliche
Raumwinkel wird vollständig abgedunkelt. Der Hersteller gibt eine Lichtstärke von 120 cd an. Wie
gross ist ihr Lichtstrom?
Übung 10
Ein LED Lampeneinsatz leuchtet innerhalb eines ebenen Winkels von 36° mit der Lichtstärke von
270 cd. Wie gross ist der Lichtstrom?
gibb IET A. Lüthi
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6.
Die Beleuchtungsstärke EV
Die Beleuchtungsstärke EV gibt an, wie stark eine Fläche beleuchtet wird.
Ihre Einheit ist das Lux (lx).
Beleuchtungsstärke
EV
in Lux, lx
(Lux: lateinisch für „Licht“)
Die Beleuchtungsstärke EV ist der Lichtstrom ΦV pro beleuchtete Fläche A, senkrecht auf die Fläche
treffend:
EV =
EV
ΦV
A
Umformungen
ΦV
A
ΦV = EV ⋅ A
Beleuchtungsstärke in lx
Lichtstrom in lm
Fläche in m2
A=
ΦV
EV
Ob die beleuchtete Oberfläche weiss reflektierend oder schwarz absorbierend ist, spielt keine Rolle.
Denn es wird nicht gemessen, wie viel Licht die Fläche zurückstrahlt, sondern wie viel Licht die
Fläche erhält.
Die Beleuchtungsstärke kann ebenfalls aus
der Lichtstärke IV bestimmt werden:
EV =
r
ε
Aus der nebenstehenden Formel ist
folgendes ersichtlich:
Die Beleuchtungsstärke nimmt mit
dem Quadrat der Entfernung ab:
IV
⋅ cos ε
r2
Entfernung in m
Neigungswinkel in Grad
Einige Werte für die Beleuchtungsstärke EV
5 mW Laserpointer, grün (532 nm), 3 mm Strahldurchmesser
5 mW Laserpointer, rot (635 nm), 3 mm Strahldurchmesser
Heller Sommertag
Bedeckter Sommertag
Operationssaal
Bedeckter Wintertag
Fussballstadion
Industriearbeitsplatz
Büroarbeitsplatz
Schulzimmer
Kerze in ca. 1 m Entfernung
Vollmondnacht
Umformungen
E ⋅ r2
IV = V
cos ε
gibb IET A. Lüthi
r=
IV
⋅ cos ε
EV
cos ε =
EV ⋅ r 2
IV
427‘000 lx
105‘000 lx
bis 100‘000 lx
20‘000 lx
10‘000 lx
3‘500 lx
1‘400 lx
500 – 1000 lx
300 – 500 lx
150 – 250 lx
1 lx
0.2 lx
 EV ⋅ r 2 

 IV 
ε = arccos
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Beispiel 1
Eine 60 W Glühbirne bestrahlt eine Fläche von 0.4 m2 mit einem Lichtstrom von 64 lm senkrecht in
einem Abstand von 1.4 m. Wie gross ist die Beleuchtungsstärke EV?
EV =
64 lm
ΦV
=
= 160 lx
A 0 .4 m 2
Beispiel 2
Ein Halogenspot mit der Lichtstärke IV = 720 cd bestrahlt ein Bild in einem Abstand von 1.8 m und
unter einem Winkel von 33°. Wie gross ist die Beleuchtungsstärke EV?
EV =
IV
720 cd
⋅ cos ε =
⋅ cos 33° = 186 lx
2
r
(1.8 m)2
Übung 11
Eine Halogendampflampe bestrahlt eine 42 m2 grosse Fassade mit einem Lichtstrom von 8400 lm.
Wie gross ist die Beleuchtungsstärke EV?
Übung 12
Ein Computertisch soll mit einer Beleuchtungsstärke EV von 450 lx erhellt werden. Der Tisch ist 140
x 65 cm gross. Wie gross ist der Lichtstrom, der den Tisch erreichen muss?
Übung 13
Unter der Decke liest Fabian mit einer LED-Taschenlampe ein Comic-Heft. Der Lichtstrom, der die
Seite erreicht ist ΦV = 12 lm, Seitenfläche A = 0.0736 m2. Wie gross ist die Beleuchtungsstärke?
gibb IET A. Lüthi
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Übung 14
Zwei Leuchtstoffröhren mit je 125 cd beleuchten einen Nähtisch in einem Abstand von 1.32 m und
unter einem Winkel von 18°. Wie gross ist EV?
Übung 15
Welche Lichtstärke muss eine Lampe besitzen, wenn sie einen Arbeitstisch in einem Abstand von
1.68 m unter einem Winkel von 32° mit 390 lx beleuchten soll?
Übung 16
Ein um 18° geneigter Arbeitstisch soll mit 2 Lampen zu je 140 cd mit einer Beleuchtungsstärke EV
von 650 lx erhellt werden. In welchem Abstand sind die Lampen zu montieren?
gibb IET A. Lüthi
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Lösungen
Übung 1
Wie gross ist der Raumwinkel Ω, wenn die Kugel einen Radius r = 0.3 m besitzt und die zugehörige
Oberfläche A, die vom Raumwinkel umschrieben wird, 0.16 m2 beträgt?
Ω=
AKugel
r2
0.16 m 2
=
= 1,78 sr
0.3 m ⋅ 0.3 m
Übung 2
Eine Erdglobus hat einen Radius von r = 0.18 m. Der Lichtkegel, der den Globus von innen
beleuchtet, hat einen Raumwinkel von Ω = 0.6 sr. Wie gross ist die beleuchtete Fläche in cm2?
Ω=
AKugel
r
2
⇒
A = r 2 ⋅ Ω = (0.18 m ) ⋅ 0.6 sr = 0.01944m 2 = 0.01944 ⋅100cm ⋅100cm= 194.4cm 2
2
Übung 3
Ein Autoscheinwerfer mit einem Raumwinkel von 0.05 sr erzeugt an einer Mauer einen kreisrunden
Lichtfleck mit einer Fläche von 45 m2. Wie weit ist die Mauer entfernt?
Ω=
AKugel
r2
A
45 m 2
⇒ r=
=
= 30 m
Ω
0.05 sr
Übung 4
Welchem Raumwinkel entspricht ein ebener Winkel von 30°?


 30°  
 ω 
Ω = 2π ⋅ 1 − cos    = 2π ⋅ 1 − cos
 = 0.214 sr
 2 
 2 


Übung 5
Philips gibt für eine isotrope 100 W Glühbirne einen Lichtstrom von 1205 lm an. Wie gross ist die
Lichtstärke?
IV =
Φ V 1205 lm
=
= 95.9 cd
Ω
4 ⋅ π sr
Übung 6
Die Glühlampe aus Übung 5 erhält einen Reflektor, der den Lichtstrom gleichmässig auf einen
Raumwinkel von 1,5 sr verteilt. Wie gross ist jetzt die Lichtstärke im Lichtkegel von Reflektor und
Glühbirne?
IV =
Φ V 1205 lm
=
= 803.3cd
Ω
1.5 sr
gibb IET A. Lüthi
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Übung 7
Ein kleiner LED-Spot erzeugt einen Lichtstrom von 36 lm. Der Raumwinkel beträgt
0.04 sr. Wie gross ist die Lichtstärke im Spot der LED?
IV =
ΦV
36 lm
=
= 900 cd
Ω 0.04 sr
Übung 8
Eine Hochleistungs LED – Lampe nimmt 5 W auf. Sie hat eine Lichtausbeute von
65 lm/W. Wie gross ist die Lichtstärke im 0.06 sr grossen Leuchtfleck?
Φ V = 5W ⋅ 65 lm / W = 325 lm
IV =
Φ V 325 lm
=
= 5417 cd
Ω 0.06 sr
Übung 9
Eine 40 W Leuchtstoffröhre strahlt über einen Raumwinkel von 8.8 sr Licht aus. Der restliche
Raumwinkel wird vollständig abgedunkelt. Der Hersteller gibt eine Lichtstärke von 120 cd an. Wie
gross ist ihr Lichtstrom?
IV =
ΦV
Ω
⇒ Φ V = I V ⋅ Ω = 120 cd ⋅ 8.8 sr = 1056 lm
Übung 10
Ein LED Lampeneinsatz leuchtet innerhalb eines ebenen Winkels von 36° mit der Lichtstärke von
270 cd. Wie gross ist der Lichtstrom?


 36°  
 ω 
Ω = 2 π ⋅ 1 − cos    = 2π ⋅ 1 − cos
  = 0.3075 sr
 2 
 2 


Φ V = I V ⋅ Ω = 270 cd ⋅ 0.3075 sr = 83 lm
Übung 11
Eine Halogendampflampe bestrahlt eine 42 m2 grosse Fassade mit einem Lichtstrom von 8400 lm.
Wie gross ist die Beleuchtungsstärke EV?
EV =
ΦV 8400 lm
=
= 200 lx
A
42 m 2
Übung 12
Ein Computertisch soll mit einer Beleuchtungsstärke EV von 450 lx erhellt werden. Der Tisch ist 140
x 65 cm gross. Wie gross ist der Lichtstrom, der den Tisch erreichen muss?
A = l ⋅ b = 1.4 m ⋅ 0.65 m = 0.91m 2
EV =
ΦV
A
⇒ Φ V = EV ⋅ A = 450 lx ⋅ 0,91m 2 = 409.5 lm
gibb IET A. Lüthi
12
Modul 931 – Optik – Lichttechnische Grössen und Farbe
Übung 13
Unter der Decke liest Fabian mit einer LED-Taschenlampe ein Comic-Heft. Der Lichtstrom, der die
Seite erreicht ist ΦV = 12 lm, Seitenfläche A = 0.0736 m2. Wie gross ist die Beleuchtungsstärke?
EV =
ΦV
12 lm
=
= 163 lx
A 0.0736 m 2
Übung 14
Zwei Leuchtstoffröhren mit je 125 cd beleuchten einen Nähtisch in einem Abstand von 1.32 m und
unter einem Winkel von 18°. Wie gross ist EV?
EV =
IV
2 ⋅125 cd
⋅ cos ε =
⋅ cos18°= 136 lx
2
r
(1.32 m )2
Übung 15
Welche Lichtstärke muss eine Lampe besitzen, wenn sie einen Arbeitstisch in einem Abstand von
1.68 m unter einem Winkel von 32° mit 390 lx beleuchten soll?
EV =
IV
⋅ cos ε
r2
EV ⋅ r 2 390 lx ⋅ (1.68 m)
=
= 1298 cd
cos ε
cos 32°
2
⇒ IV =
Übung 16
Ein um 18° geneigter Arbeitstisch soll mit 2 Lampen zu je 140 cd mit einer Beleuchtungsstärke EV
von 650 lx erhellt werden. In welchem Abstand sind die Lampen zu montieren?
EV =
IV
⋅ cos ε
r2
⇒ r=
gibb IET A. Lüthi
IV
2 ⋅140 cd
⋅ cos ε =
⋅ cos18° = 0.64 m = 64 cm
EV
650 lx
13