hoher Potentialtopf

AB 09 hoher Potentialtopf
Profilkurs Physik
Ks 2012
a) Die Ψ-Welle eines Elektrons im Kraftfeld
Ein Elektron passiert den Bereich zwischen
zwei geladenen Gittern.
Seine potentiellen Energie Epot steigt dabei.
Die Gesamtenergie Eges = Ekin + Epot = konst.
Epot
Wie ändert sich die Wellenfunktion dabei?
x
Ψ
x
b) Eingesperrte Quanten
Wellenfunktionen im hohen Potentialtopf:
|Ψ|2 ist endlich
|Ψ|2 = 0
Innerhalb:
Außerhalb:
Die Welle wird an Wänden reflektiert.
=> Überlag. mit einlaufender Welle
Epot
=> Stehende Welle mit
Knoten an den Wänden
Dabei gilt:
x
0
L = n·λ
..
mit
n = 1, 2, 3.
Merke: Elektronen mit der richtigen Wellenlänge λ = L/n bilden im Potentialtopf stehende Wellen aus.
Dabei ist |Ψ|2 zeitlich konstant,
=> Die Ladungsdichte schwankt nicht
=> Keine Energieabstrahlung
=> Für diese Wellenlängen bzw. Energien existiert ein stabiler stationärer Zustand.
Epot
Energiewerte für stationäre Zustände:
Außerhalb geht Epot
Innerhalb ist
∞ => |Ψ|2 = 0
Epot = 0
=> En = Ekin = ½ m v2 = ½ p2/m
Mit p = h / λ und λ = L / n folgt:
x
En == ½ p2/m =
=
En = n2 ∙
= 1,2,. .
Ergebnis: Elektronen, können nur dann dauerhaft im Potentialtopf
existieren, wenn sie ganz bestimmte Energiewerte En besitze
mit n
AB 09 hoher Potentialtopf
Profilkurs Physik
Ks 2012
a) Die Ψ-Welle eines Elektrons im Kraftfeld
Ein Elektron passiert den Bereich zwischen
zwei geladenen Gittern.
Seine potentiellen Energie Epot steigt dabei.
Die Gesamtenergie Eges = Ekin + Epot = konst.
Epot
Wie ändert sich die Wellenfunktion dabei?
Ekin = Eges - Epot sinkt => λ wächst
x
Falls Eges < Epot,max ist, mimt
Ψ
|Ψ|2 ganz rechts den Wert 0 an.
x
Allgemein: |Ψ|2 sinkt
b) Eingesperrte Quanten
Eigenfunktionen Ψ(x)
Ψ3
Die Welle wird an Wänden reflektiert.
=> Überlag. mit einlaufender Welle
Epot
E3
Eigenwerte
E2der Energie
Ψ2
|Ψ|2 ist endlich
|Ψ|2 = 0
Innerhalb:
Außerhalb:
Wellenfunktionen im hohen Potentialtopf:
=> Stehende Welle mit
Knoten an den Wänden
Dabei gilt:
Ψ1
E1
x
L = n·λ
..
0
mit
n = 1, 2, 3.
Merke: Elektronen mit der richtigen Wellenlänge λ = L/n bilden im Potentialtopf stehende Wellen aus.
Dabei ist |Ψ|2 zeitlich konstant,
=> Die Ladungsdichte schwankt nicht
=> Keine Energieabstrahlung
=> Für diese Wellenlängen bzw. Energien existiert ein stabiler stationärer Zustand.
Epot
|Ψ3|2
Energiewerte für stationäre Zustände:
E3
Außerhalb geht Epot
Innerhalb ist
2
|Ψ1|
En
Epot = 0
E2
=> En = Ekin = ½ m v2 = ½ p2/m
E1 x
Mit p = h / λ und λ = L / n folgt:
h2
= ½ p /m =
2 λ2 m
2
∞ => |Ψ|2 = 0
n2 · h2
=
8 L2 m
En
h2
= n ∙
mit n = 1,2,. .
8 L2 m
2
Ergebnis: Elektronen, können nur dann dauerhaft im Potentialtopf
existieren, wenn sie ganz bestimmte Energiewerte En besitzen.