Vortrag von Alexandra Gubar und Lena Pabst

0,999999
=1?
Vortrag von Alexandra Gubar
und Lena Pabst
Zuordnung von gemeinen Brüchen zu
Dezimalbrüchen
n 
Durch schriftliche Division kann ein gemeiner Bruch in
einen Dezimalbruch umgewandelt werden. Hierbei können
zwei verschiedene Fälle betrachtet werden:
n 
- endlicher Fall (Beispiel an Tafel: 1:5=0,2)
n 
Frage: Wann tritt dieser Fall allgemein auf? -> wenn Rest Null bei
Division auftritt, dh. wenn Teilbarkeit besteht.
n 
- unendlicher Fall (Beispiel an Tafel: 1:3=0,333…)
n 
Frage: Wann tritt dieser Fall auf? -> wenn keine Teilbarkeit besteht.
Zuordnung von Dezimalbrüchen zu gemeinen
Brüchen
n 
n 
Aus Schulbuch Faktor 6 für Realschule (Schroedel Verlag):
Bei der Einführung von Dezimalbrüchen an der
Zahlengeraden werden Dezimalbrüche als „Brüche mit den
Nenner 10, 100, 1000 usw. bezeichnet.
n 
n 
n 
Frage: Welche Probleme seht ihr hierbei?
(Antwort: Das Beispiel aus dem Schulbuch eignet sich nur für die
Zuordnung von endlichen Dezimalbrüchen zu gemeinen Brüchen.
Unendliche Dezimalbrüche werden hierbei nicht erfasst.)
Umwandlung periodischer Dezimalbrüche in
gemeine Brüche
n 
Wir betrachten nun den unendlichen Fall:
n 
Aufgabe:
Wandelt 0,45454545.. in einen gemeinen Bruch um!
n 
n 
n 
n 
n 
Wir wenden das Verfahren zur Umwandlung periodischer Dezimalbrüche
in gemeine Brüche an.
x = 0,4545…
100x = 45,4545…
(2)-(1):
99x = 45
=> x= 45/99
(1)
(2)
Lernsituation 0,999…= 1? in Klasse 7/8
n 
Mögliche Aufgabenstellung an Schüler einer 7. oder 8. Klasse:
n 
Stellt den periodischen Dezimalbruch 0,999… als gemeinen Bruch dar!
Lösung:
x = 0,999… (1)
10x = 9,999… (2)
n 
n 
n 
(2)-(1):
9x = 9
=> x = 1
Frage: Was ist eure Meinung zu diesem Umwandlungsverfahren?
Mögliche Antworten:
- 
Schwierigkeiten: es wird „von vorne subtrahiert, ist aber
mathematisch korrekt und kann mit absolut konvergenten Reihen (Analysis I)
begründet werden;
-
außerdem: Beweis ist nicht gänzlich überzeugend, nicht anschaulich genug für 7.
Klässler, wirkt unbefriedigend, wie „Zauberei )
1. These
Die mögliche Schüleraussage
0,999…+0,00…1 = 1 ist schwer zu entkräften,
weshalb die Problemstellung „0,999…=1?
in der Schule nicht behandelt werden sollte.
Aufgabe zu graphischer Veranschaulichung
Aufgabe:
Entwerft bitte eine Aufgabe für Schüler,
mit der die Frage „0,999…=1 ? mit Hilfe von
graphischer Veranschaulichung geklärt
werden kann.
(Hierbei immer wichtig: wird Abstandsaspekt deutlich?
wie kann begründet werden, dass kein Abstand eingezeichnet werden kann zwischen
0,999… und 1?)
Graphische Veranschaulichung am Zahlenstrahl
Unser Entwurf einer problemorientierten Lernsituation
zur Klärung der Frage „0,999… = 1?
Betrachte folgende Zahlenstrahle:
a)
0----------|----------1
b)
- - - ------
0,9----------|----------1
c) - ------0,9--------------------|--------------------1
1. Zeichne im Zahlenstrahl a) 0,9 ein und im Zahlenstrahl b) 0,99 ein.
Kannst du im Zahlenstrahl c) 0,999… einzeichnen?
2. Zeichne jeweils den Abstand von 0,9 zu 1 und von 0,99 zu 1 ein.
Kannst du einen Abstand zwischen 0,999… und 1 einzeichnen?
Frage an Gruppe:
Löst diese Aufgabenstellung eurer Meinung nach die Frage
0,999…=1?
Zu graphischer Veranschaulichung
Vgl. Schulbuch „Lambacher Schweizer Klettverlag
Klasse 6 (Gymnasium) zum Thema „Kürzen und Erweitern :
Brüche, die durch Kürzen oder Erweitern auseinander
hervorgehen, werden auf dem Zahlenstrahl an derselben
Stelle eingetragen. Sie bezeichnen dieselbe Zahl.
Zwischen Ihnen kann also kein Abstand eingezeichnet werden.
Anmerkung :
Es wird also bereits in der 6.Klasse eingeführt, dass 2 Zahlen
gleich heißen, wenn man auf der Zahlengeraden keinen
Abstand zwischen ihnen angeben kann. Für Schüler könnte
daher einleuchtend sein, dass gilt 0,999…=1, da man keinen
Abstand zwischen 0,999… und 1 angeben kann.
2. These
Beweise zur Frage „0,999…=1? sind für Schüler
der Sekundarstufe I zu kompliziert und daher
ungeeignet.
Lernsituation 0,999…=1? in Klasse 6
Aufgabenstellung:
a)Wie kommt man zu der Aussage, dass 3/3=0,999… gilt?
b) Welche Voraussetzungen benötigen Schüler zum Lösen
dieser Aufgabe?
Voraussetzungen: sicheres Rechnen mit Brüchen und periodischen
Dezimalbrüchen; wissen, dass 1/3=0,333.. gilt.)
Widerspruchsbeweis 1 zu der Aussage 0,999… = 1
(Vgl. Danckwerts und Vogel 2006)
Annahme: sei 0,999… ungleich 1, dann muss gelten:
Zwischen 0,999… und 1 liegt ein Abstand.
Sei d die Differenz mit d = 1 – 0,999…, wobei gilt d>0.
-> erste Zeichnung an Tafel
Jedes endliche Stück 0,99..9 (Abbruch nach n Stellen) ist kleiner
als 0,99… und liegt auf der Zahlengeraden somit links von 0,999… .
-> 2. Zeichnung an Tafel (in 1. Zeichnung Neues einzeichnen)
Widerspruchsbeweis 1
Der Abstand zwischen 0,99…9 (Abbruch nach n Stellen) und 1 ist:
1 – 0,99…9 = 10-n
-> 3. Zeichnung an Tafel (in 1. einzeichnen)
Anmerkung: wir betrachten dieses Bild nun für wachsendes n.
Mit wachsendem n wird 10-n immer kleiner und unterschreitet
dann auch den eingezeichneten Abstand d.
Es existiert ein n mit 10-n < d, wobei gelten muss n> 1/d
-> 4. Zeichnung an Tafel (evtl. besser neu anzeichnen)
Dann würde aber gelten: 0,99…9 > 0,999…. ->Widerspruch
also gilt 0,999… = 1.
Widerspruchsbeweis 2
Vollständigkeit der reellen Zahlen (1)
Die „Lückenlosigkeit der reellen Zahlen kann durch verschiedene
Vollständigkeitsaxiome beschrieben werden ->VL Algebra/Zahlentheorie.
Die meisten Charakterisierungen der Vollständigkeit der reellen Zahlen
zeigen Wege auf, R (die reellen Zahlen) aus Q (den rationalen Zahlen)
zu konstruieren.
Erarbeitung erfolgt im Unterricht meist über Intervallschachtelung.
Andere Möglichkeit (für Schule aber eher nicht angemessen) ist Erarbeitung
über Cauchy-Folgen (Dezimalzahlen lassen sich Cauchyfolgen zuordnen,
diese wiederum repräsentieren reelle Zahlen)
Auch wenn Zugang zu den irrationalen Zahlen arithmetisch erfolgt, ist eine
geometrische Interpretation sehr wichtig.
Daher betrachten wir einen geometrischen Zugang zu den reellen Zahlen:
(weiter nächste Folie!)
Vollständigkeit der reellen Zahlen (2)
Wir betrachten hierfür den Begriff der Inkommensurabilität, bzw.
Den Zusammenhang zwischen irrationalen Zahlen und
inkommensurablen Strecken.
Betrachten den gegenteiligen Begriff: Zwei reelle Zahlen heißen
kommensurabel, wenn sie ganzzahlige Vielfache einer geeigneten dritten
reellen Zahl sind, also einen gemeinsamen Teiler besitzen.
- 
kommensurabel lat. „zusammen messbar , dh. man kann die beiden
Zahlen mit einem gemeinsamen Maß messen
- 
Inkommensurabilität, dh. zwei Strecken haben kein (noch so kleines)
gemeinsames Maß; ihr Verhältnis ist dann eine irrationale Zahl
- 
betrachte hierzu Quadrat mit Seitenlänge 1 und dessen Diagonale
-> Zeichnung an Tafel
Lernsituation 0,999..=1 in Sekundarstufe II
Beweis zu 0,999…=1 mit geometrischer Reihe
Lösung:
Anmerkung zu Beweis mit geometrischer Reihe
Frage:
Welche Voraussetzungen braucht man, um diesen Beweis
selbst führen zu können, beziehungsweise um die einzelnen
Schritte gut nachvollziehen zu können?
nur in knappen Stichpunkten sammeln:
- 
- 
- 
- 
geometrische Reihe und Grenzwerte müssen bekannt sein
sicherer Umgang mit Summenzeichen
Indexverschiebung
additive Ergänzung
Ansage zur Vorbereitung auf die 3. These
Anmerkung zu Beweis mit geometrischer Reihe, bzw. zu
3. These:
Die häufige Meinung, dass zwischen 0,999… und 1 doch ein
kleiner Abstand besteht, das heißt, dass sie nicht gleich sind,
beruht auf der Vorstellung von 0,999… als Darstellung der
Summe 0,9 + 0,99 + 0,999+…. .
Mit dem vorherigen Beweis (geometrische Reihe)
haben wir jedoch gezeigt, dass der Grenzwert der Reihe
existiert und dass er 1 ist.
3. These
Folgen und Sätze über Folgen werden in der Schule kaum
noch thematisiert. Deshalb ist der Beweis mit der
geometrischen Reihe für Schüler zu schwer und der
Widerspruchsbeweis besser geeignet.
Danke für die Mitarbeit
und einen schönen Mittwoch
…wünschen euch Alexandra und Lena