Probeklausur - Humboldt
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HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN Probeklausur WS 2015/16 Modul P2.1 “Klassische Mechanik & Spezielle Relativitätstheorie” 29. Juli 2016 Prof. Dr. J. Plefka PD Dr. Klose Name : Matrikel-Nr. : Aufgabe A.1 A.2 A.3 A.4 A.5 Total maximale erreichte Punktzahl Punktzahl 20 20 20 20 20 100 Note : Erlaubte Hilfsmittel: Selbsterstellte Formelsammlung (1 DIN-A4 Blätter). Zum Bestehen der Klausur sind 50 Punkte erforderlich. Sie haben 180 Minuten Bearbeitungszeit. Probeklausur P2.1 Klassische Mechanik & Spezielle Relativitätstheorie SS 2016 Aufgabe A.1 – Massenpunkt auf rotierender Geraden Eine Gerade rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um eine vertikale Achse, die sie unter einem festen Winkel ϑ schneidet. Bestimmen Sie die Bewegung eines Massenpunktes m, der reibungslos auf der Geraden gleiten kann und unter dem Einfluß der Schwerkraft steht. 2 Probeklausur P2.1 Klassische Mechanik & Spezielle Relativitätstheorie SS 2016 Aufgabe A.2 – Pendel an horizontaler Feder Ein punktfrmiger Pendelkoerper mit Masse m1 hängt an einem masselosen Stab der Länge `. Der ebenfalls punktförmige Aufhängepunkt des Pendels besitzt die Masse m2 und kann reibungsfrei hori~ = −kx ~ex . Auf den Pendelkörper wirkt zontal gleiten. Auf den Aufhängepunkt wirkt die Federkraft K die Gewichtskraft. Die Bewegung des Pendels finde nur in der Zeichenebene statt. a) Bestimmen Sie die Lagrange-Funktion für geeignete verallgemeinerte Koordinaten. b) Leiten Sie die Bewegungsgleichungen her. 3 Probeklausur P2.1 Klassische Mechanik & Spezielle Relativitätstheorie Aufgabe A.3: – Rollender Zylinder SS 2016 (=Punkte) Ein Vollzylinder Radius a rollt in einem Hohlzylinder Radius R mit R > a reibungsfrei ohne zu gleiten im Schwerfeld der Erde. a) Bestimmen Sie die Lagrangefunktion für die verallgemeinerte Koordinate ϕ. b) Leiten Sie die Bewegungsgleichung der Auslenkung ϕ her. c) Lösung Sie die Bewegungsgleichung für kleine Winkel. 4 Blatt 10. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag Probeklausur P2.1 Klassische Mechanik & Spezielle Relativitätstheorie Aufgabe 10.1. Hamilton-Formalismus I: Zentralkraft Aufgabe A.4: SS 2016 Ein Faden der Länge l läuft durch ein Loch in einer reibungsfreien horizontalen Platte. An seinen beiden Enden sind Massen m1 und m2 befestigt. Die Masse m1 bewegt sich frei auf der horizontalen Platte, –während Hamilton m2 immer Formalismus senkrecht im Schwerefeld hängt. Der Abstand von m1 vom Loch sei r mit r < l (s. Abbildung 1). Zur Zeit t = 0 bewegt sich die Masse m1 mit einer Geschwindigkeit v0 senkrecht zum Faden, während der Abstand zum Loch r0 ist. r m1 m2 Abbildung 1: Verbundene Massen Ein Faden der Länge l läuft durch ein Loch in einer reibungsfreien horizontalen Platte. An seinen a) Wie lautet in den Polarkoordinaten r, ✓ die Lagrangefunktion und die Hamilton-Funktion? Geben beiden Enden sind dieSieMassen m1 und m2 befestigt. für Die Masse 1 bewegt sich frei auf der horizontalen die Hamilton’sche Bewegungsgleichungen dieses Systemm an. Platte, während mb) immer senkrecht im Schwerefeld hängt. Der von m1 vom Loch sei r mit 2 Geben Sie zwei unabhängige Erhaltungsgrößen an. Welchen Werte Abstand haben diese Erhaltungsgrößen die angegebenen r < l (s. Abbildung).für Zur Zeit t = Anfangsbedingungen? 0 bewegt sich die Masse m1 mit einer Geschwindigkeit v0 senkrecht zum Faden auf der Platte, wobei der Abstand zum Loch r0 ist. 2 2 2 ˙2 Lösung. a) Die Höhe der Masse m2 ist Die Lagrangefunktion ist also (l m1 + m2 r). Die Geschwindigkeit der Masse m1 ist v = ṙ + r ✓ . m1 2 2 ˙2 L= ṙ + r ✓ + m2 g (l r) . a) Wie lautet in den Polarkoordinaten r, ϕ die und die Hamilton-Funktion? 2 Lagrange-Funktion 2 Die Konstante l darf weggelassen werden. b) Geben Sie die Hamilton’sche Bewegungsgleichungen für dieses System an. Die Hamilton-Funktion bestimmen wir wie folgt. Die kanonische Impulse sind @L @L c) Geben Sie zwei unabhängige Erhaltungsgrößen an. Welche Werte haben diese Erhaltungsgrößen ˙ pr = = (m1 + m2 ) ṙ, p✓ = = m1 r2 ✓. ˙ @ṙ @ ✓ für die angegebenen Anfangsbedingungen? Wir müssen nun die Geschwindigkeiten durch die Impulse ausdrücken: d) Geben Sie die Routh’sche Funktion des Systems pr an,˙ beip✓der alle zyklischen Koordinaten eliminiert ṙ = , ✓= m + m2 m1 r2 1 wurden. Wie lautet dann die Bewegungsgleichung? 5 Probeklausur P2.1 Klassische Mechanik & Spezielle Relativitätstheorie SS 2016 Aufgabe A.5: – Lorentz-Transformationen Betrachten wir drei Bezugssysteme Σ(x,y,z,t), Σ0 (x0 ,y 0 ,z 0 ,t0 ) und Σ(x00 ,y 00 ,z 00 ,z 00 ,t00 ), deren x, y und z Achsen zu jedem Zeitpunkt parallel bleiben. Σ0 bewege sich relativ zu Σ mit der Geschwindigkeit v1 entlang der x-Achse. Das System Σ00 bewege sich relativ zu Σ0 mit der Geschwindigkeit v2 entlang der x0 -Achse. Bestimmen sie die Lorentz-Transfomation und die relative Geschwindigkeit zwischen den Bezugssystemen Σ und Σ00 . Vergleichen Sie diese Geschwindigkeit mit dem Wert, der aus der nicht-relativistischen Berechnung folgen würde. 6
