Aufgabe 1 Vereinfachen Sie so weit als möglich: a) a−3b a−b + b

Aufgabe 1
Vereinfachen Sie so weit als möglich:
a)
a−3 b b−3 a
+
a−b
b−a
b)
2 a+ 3
3
−
2
a −9 2 a−6
c)
4a
2 a 2−2 a b
8b 2
⋅
−
a+b
a 2−2 a b+ b2
a2−b2
d)
x−5 x+ 5
−
x+ 5 x−5
e)
1
k −3
− 2
k+ 2 k + 2 k
Lösung:
a)
a−3 b b−3 a a−3b−b+ 3 a 4 a−4 b
+
=
=
=4
a−b
b−a
a−b
a−b
b)
2 a+ 3
3
4a+ 6−3a−9
1
−
=
=
2
a −9 2 a−6 2( a−3)(a+ 3) 2(a+ 3)
c)
4a
2 a 2 −2 a b
8 b2
4 a 2 a⋅(a−b)
8 b2
⋅
−
=
⋅
−
=8
a+ b
a+ b
a 2−2 a b+ b 2
a 2−b 2 (a−b) 2
a 2−b2
d)
−10 x
x 2 – 52
e)
3
k⋅(k + 2)
Aufgabe 2
Vereinfachen Sie:
a)
12−4a−a 2
÷(a+ 6)
a 2−4
Lösung:
(6+a )⋅(2−a)
1
=−
(a−2)⋅(a+ 2)⋅(a +6)
a+2
b)
25 a 2−1
÷(5 a +1)
3
Lösung:
5a –1
3
c)
m2−m – 12 m−4
÷ 2
2
a
a −a
Lösung:
(m+3)(a−1)
a
d)
(1− p)÷
Lösung:
− 34
Aufgabe 3
4( p−1)
3
Berechne, kürze wenn möglich und ordne aufsteigend
1 1
a)
+
4+ 18
4⋅38
4 4
b)
3 2
+
2 3
3
2
– 23
3 2
⋅
2 3
3 2
÷
2 3
Lsg.:
1 1
< <
8 2
Lsg.:
5
<
6
1 12 < 4 18
1< 2 16 < 2 14
Aufgabe 4
Das um 100 verminderte Quadrat einer gesuchten Zahl übertrifft die Zahl 200 um so viel, wie die
gesuchte Zahl unter 300 liegt.
Lösung:
x 2 – 100−200=300−x
x 2 + x−600=0
( x−24)(x +25)=0
schwierig
x=24
Aufgabe 5
Die Summe aus dem Quadrat einer Zahl und ihrem Fünffachen ergibt 84. Wie lautet die Zahl?
2
2
(x−7)( x+ 12)=0
Lösung:
x +5 x=84
x +5 x−84=0
x=7
49+ 35=84
x=−12
144 – 60=84
Aufgabe 6
Die Quadrate zweier benachbarten Zahlen( z.B 83 und 84) ergeben 145. Wie lauten die Zahlen?
2
2
2
Lösung:
x 2 +( x +1)2 =145
x + x + 2 x+ 1=145
2 x + 2 x−144=0
x 2 + x−72=0
( x−8)(x+ 9)=0
x = 8 -9
64+ 81=145
Aufgabe 7
Die drei in einer Ecke zusammenstossenden Kanten eines Quaders unterscheiden sich je um 2 cm.
Wie lang sind die Kanten, wenn die Oberfläche des Körpers 5758 cm2 misst?
Lösung:
x=31
29 /31 /33
2 x ( x−2)+2 x ( x+ 2)+ 2( x−2)( x +2)=5758
Aufgabe 8
Die Differenz der Quadrate von zwei natürlichen Zahlen mit dem Unterschied 3 beträgt 381. Wie
heisst die kleinere der beiden Zahlen?
Lösung: ( x +3)2 – x 2=381 ⇒ x=62
Aufgabe 9
Ein Fahrzeug fährt mit 6 km/h bergauf und anschliessend mit 18 km/h bergab. Für den gesamten
Weg von 40 km benötigt es 3h . Wann und wo erreicht es den höchsten Punkt?
7
Lösung:
6 x +(3 – x) 18=40⇒ x= 6 h=70 min
s= 76 h⋅6 km /h=7 km