Blatt 7 - staff.uni

Institut für Physik
WS 2015/2016
Friederike Schmid
Übungen zur Vorlesung Theorie 5 (Quantenmechanik II)
Blatt 7
Fragen zur Vorlesung:
33.
34.
35.
36.
Was ist ”Jellium”?
Was versteht man unter Fermikugel? Fermiwellenzahl? Fermiwellenenergie?
Wie hängt die Fermiwellenzahl mit der Dichte eines Elektronengases zusammen?
Skizzieren Sie die Paarverteilungsfunktion für freie, nichtwechselwirkende Elektronen mit
verschiedenen Spins und mit gleichen Spins. Erläutern Sie Ihre Skizze.
37. Wie sehen Einteilchenanregungen im Falle von freien Elektronen aus?
Aufgaben (Abgabe bis 13:00 am 16.12.2015 im Kasten 35)
Aufgabe 13) Wechselwirkungsfreie Fermionen (6 Punkte)
Berechnen Sie die statische Strukturfunktion für wechselwirkungsfreie freie Fermionen im
Grundzustand |Φ0 i.
1
S 0 (q) = hΦ0 |nq n−q |Φ0 i
N
P
+
wobei nq = k,σ ak,σ ak+q,σ
der Teilchendichteoperator in Impulsdarstellung ist. Betrachten Sie die Fälle q = 0 und
P
~
q 6= 0 getrennt. Führen Sie den Kontinuumslimes im k-Raum durch (d.h.
~k f (k) ≈
R
V
d3 kf (~k)), um eine explizite Lösung zu erhalten.
(2π)3
Aufgabe 14) Integrale zum Elektronengas I (6 Punkte)
Gegeben sei ein Elektronengas von N Elektronen im Volumen V im Grundzustand. Zeigen
Sie die Gültigkeit der folgenden, in der Vorlesung verwendeten Relationen – hier ist kF
die Fermi-Wellenzahl und F = h̄2 kF2 /2m = F die zugehörige Fermi-Energie.
Z
a) 2V
k<kF
Z
b) 2V
k<kF
c) V
Z
k<kF
d3 k
=N
(2π)3
d3 k h̄2 k 2
3
= N F
3
(2π) 2m
5
d3 k Z
d3 q
1
3
=
kF N
(2π)3 q<kF (2π)3 |~k − ~q|2
(4π)2
Hinweis: Sie können z.B. den Faltungssatz verwenden:
Z
d3 k Z
1 Z 3
d3 q
~
~
V
d r g(~r)2 f (~r),
g(~q) g(k) f (k − ~q) =
V
k<kF (2π)3 q<kF (2π)3
R d3 k
~ −i~k·~r etc. definiert ist.
wobei die Fourier-Transformation über g(~r) = V (2π)
3 g(k)e
Aufgabe Z5) Fermionische kohärente Zustände II (6 Sonderpunkte)
In Aufgabe Z4 haben Sie die “Grassmann-Variablen” kennengelernt. Mit GrassmannVariablen kann man Pfadintegralformulierungen für fermionische Felder konstruieren. In
dieser Aufgabe sollen Sie sie noch etwas besser kennenlernen.
Formal führt man Grassmann-Variablen ein als antikommutierende Symbole ξi , mit denen auf dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen eine Algebra konstruiert wird.
Elemente A dieser Algebra haben die Form A = a + ai ξi + aij ξi ξj + aijk ξi ξj ξk · · ·, wobei
ξi Grassmann-Variablen sind und ai,j,··· Zahlen aus dem darunterliegenden Körper.
Für diese Algebra definiert man formal eine “Integration” als lineare Abbildung von der
Algebra zum darunterliegenden Körper mit der Eigenschaft:
Z
dξN dξN −1 · · · dξ1 ξ1 ξ2 · · · ξN = 1
Wenn eines der ξi im “Integranden” von
gesetzt.
a) Zeigen Sie
R
R
dξN · · · dξ1 · · · fehlt, wird das “Integral” Null
dξ dξ ∗ exp(ξ ∗ aξ) = a.
b) Verallgemeinern Sie dieses Ergebnis zu
Z
d[ξ] d[ξ ∗ ] exp(
X
ξi∗ aij ξj ) = det a
(1)
ij
mit der Notation
R
∗
d[ξ] d[ξ ∗ ] = dξN dξN
· · · dξ1 dξ1∗ .
c) Beweisen Sie für die kohärenten Zustände aus Aufgabe Z4 die Vollständigkeitsrelation
Z
dξ ∗ dξ exp(−ξ ∗ ξ) |ξihξ| = 1
(2)