¨Ubungen zur Theoretischen Physik V Quantenmechanik II WS 2004

Übungen zur Theoretischen Physik V
Quantenmechanik II
WS 2004/2005
Prof. H. Büttner
Blatt 7
Abgabe: Donnerstag, den 02.12. 2004, bis 14 Uhr
vor Zi. 01.504
Aufgabe 17: freie Fermionen in einem Würfel
Wir stecken N freie (d.h. nicht wechselwirkende) Elektronen in einen Würfel der Kantenlänge
L, den wir durch die Randbedingungen
φ(x + Lei ) = φ(x)
i = x, y, z
für eine Einteilchenwellenfunktion φ(x) beschreiben. (Wir arbeiten also, wie es auch der Rest der
Welt aus guten Gründen tut, mit periodischen Randbedingungen.) Für das Folgende nehmen wir
stets an, dass L hinreichend groß ist, um bestimmte Näherungen zu rechtfertigen (genauer gesagt:
wir betrachten das System im thermodynamischen Limes L → ∞ mit N/L3 = const.).
(a) Die Einteilchenwellenfunktionen haben die Form φ(x) = A exp(ik · x). Bestimmen Sie die
möglichen Werte von k und den Wert von A. Berücksichtigt man zusätzlich noch den Spin
der Elektronen, liefern diese Wellenfunktionen eine Ein-Teilchen-Basis |k, σi, wobei σ = ± 21
die z− Komponente des Spins bezeichnet. Diese Basis ist Eigenbasis des Impuls- und Hamiltonoperators: bestimmen Sie die zugehörigen Eigenwerte.
(b) Im Grundzustand sind alle Zustände bis zu einer gewissen Wellenzahl kF , der Fermi-Wellenzahl,
besetzt. Der Grundzustand schreibt sich in zweiter Quantisierung als
Y Y †
ckσ |0i
|ψi =
k≤kF σ
wobei c†kσ fermionische Erzeuger in der obigen Einteilchenbasis sind und |0i das (Fock-)Vakuum
ist. Bestimmen Sie den Wert von kF und die Gesamtenergie.
(c) Die spinabhängige Dichte-Dichte-Korrelationsfunktion im Grundzustand ist durch
†
†
′
′
′
′
Gσσ (x, x ) = hψ cxσ cxσ cx′ σ′ cx σ ψi
definiert. Was ist die physikalische Bedeutung der Dichte-Dichte-Korrelationsfunktion?
Berechnen Sie ihren Wert (betrachten Sie die Fälle σ = σ ′ und σ 6= σ ′ getrennt), und interpretieren Sie Ihr Ergebnis.
Zusatzfrage: was ändert sich, wenn wir statt Fermionen Bosonen betrachten?
Aufgabe 18: wechselwirkende Fermionen in einem Würfel
In der vorherigen Aufgabe haben wir uns das Leben etwas zu einfach gemacht: reale Elektroe2
nen wechselwirken durch Coulomb-Abstoßung U (x, x′ ) = |x−x
′ | . Wir nehmen zusätlich an, der
Würfel sei homogen positiv geladen, mit einer Ladungsdichte ρ0 , die gerade so groß ist, dass der
Würfel nach außen neutral ist. Zeigen Sie, dass der entsprechende Hamiltonoperator in zweiter
Quantisierung durch
H=
X
k
εk c†kσ ckσ +
e2
2L3
X
k,k′ ,q6=0
4π †
ck+q,σ c†k′ −q,σ′ ck′ σ′ ckσ
2
q
2 2
k
gegeben ist, wobei wir die eben eingeführte Einteilchenbasis |k, σi benutzen, εk = ~2m
setzen und
implizit über die Spinindizes σ, σ ′ summieren. Dabei ist in der zweiten Summe der Fall q = 0 ausgeschlossen, der entsprechende Beitrag hebt sich gerade gegen die Wechselwirkung der Elektronen mit
dem positiven Ladungshintergrund auf. (Das brauchen Sie nicht explizit zu zeigen, konzentrieren
Sie sich auf die Wechselwirkung der Elektronen untereinander.)
P
Bestätigen Sie, dass der Operator Nσ = k c†kσ ckσ mit H kommutiert. Welche physikalische Eigenschaft spiegelt sich hier wider?
Berechnen Sie schließlich die Grundzustandsenergie dieses wechselwirkenden Systems in erster Ord∂E
nung Störungsrechnung. Welchen Druck hat das System (P = − ∂V
)?
Aufgabe 19: fermionische Kletteroperatoren
Eine letzte Aufgabe zur Entspannung:
der Operator c mit Adjungiertem c† erfülle {c, c} = {c† , c† } = 0, {c, c† } = 1, wobei der Antikommutator zweier Operatoren {A, B} = AB + BA definiert ist. Bestimmen Sie die Eigenwerte
von n := c† c unter der Annahme, dass genau ein Zustand |0i mit c |0i = 0 existiert (mit anderen
Worten, 0 ist nicht entarteter Eigenwert von c ).
(Gehen Sie analog zur Behandlung der Kletteroperatoren beim harmonischen Oszillator vor.)