Übungstag: Mittwoch 1.3. Nr.1 Hebelaufgabe zur Gravitationskraft F

Übungstag: Mittwoch 1.3.
Nr.1 Hebelaufgabe zur Gravitationskraft
F sei die Kraft, die zwei je 1kg schwere Massenpunkte infolge ihrer Gravitation aufeinander ausüben, wenn
sie einen Abstand von 1cm von einander haben. Jetzt betrachten wir eine Balkenwaage (im Erdschwerefeld).
Der erste Arm der Waage habe die Länge L1 = 1m. Der zweite eine zu bestimmende Länge L2 . An den ersten
Arm hängen wir eine (Vogel)Feder vom Gewicht 1g. Auf den zweite wirke die eingeführte Kraft F .W ie groß
muss L2 sein, damit Gleichgewicht herrscht?
Lösungskizze
Wissen: Gleichgewicht bei"Kraft·Kraftarm=Last·Lastarm"
Wert der Gravitationskonstante G=6.7 × 10−11 m3 kg−1 s−2
x
Gravitationsgesetz
FGrav = −G mM
r=... |FGrav | = ...
r2 r
und: G ist nicht g!!
Jetzt die Lösung mit eingefügtem Text:
H Die Kraft (Betrag) ergibt sich über das.Gravitationsgesetz zu :
¡
¢ 1 · 1kg 2
F = 6.7 · 10−11 N m2 kg −2 · −4 2 = 6.7 · 10−7 N.
10 m
Einsetzen der Werte (in die Gleichgewichtsgleichung) gibt folgende Bedingung für L2 :
7 · 10−7 N · L2 = 10−3 · 10N · 1m.
Also
1
· 10−2 · 107 m = 1.4 · 104 m = 14km
7
Die gesuchte Armlänge ist etwa 14km.N
Ergänzung: Was ist, wenn man 10 cm Abstand statt 1cm nimmt? Dann wird die Kraft um einen
1
Faktor . 102 . kleiner und damit L2 um diesen Faktor größer: .L2 = 1400km. Das recht groß.
Eine naheliegende Erweiterung der Frage wäre die Kraft zwischen zwei Elektronen analog zu behandeln.
Denn die elktrischen Kräfte4 genügen demselben Gesetz.
L2 =
Nr.2: Eine Ergänzungsfrage zum Potentialfeld.
Bei der Konstruktion der Kraftfelder einer gegebenen Konfiguration waren zwei Stichworte wichtig:
Translation und Superposition. Jetzt haben wir konservative Kraftfelder mit Hilfe skalarer Potentialfelder
konstruiert. Welche Frage entsteht? Was ist als Antwort zu vermuten? (Die einfache naive Vermutung ist
richtig und von großer praktischer Bedeutung.
Also: Die üblichen Formeln für Kraftfelder haben die Form: Eine felderzeugende Quelle im
Ursprung. Die Feldformel bestimmt dann die erzeugt Kraft am Orte x.
Wie sieht das Feld aus, wenn die Quelle im Punkte a sitzt? Wie sieht das Feld aus, wenn zwei
felderzeugende Quellen vorhanden sind. Die Regeln Translation und Superposition beantworten
diese Fragen zunächst für Kraftfelder. Aber gelten sie auch für Potentialfelder???
Antwort: Ja! Die Regeln sind auf Potentialfelder ausdehnbar. (Nachweis über Gradientenbildung)
1
Eine Konsolidierungs- und Testfrage: In a befindet sich eine Masse m und in b eine Masse m. Was für
ein Potential erzeugt diese Konfiguration. Für "Masse im Ursprung" soll folgendes Potential gegeben sein:
U(x) =
1
|x|
Potentialfeld für Quelle im Ursprung
Was für ein Potential wird allgemein erzeugt?
Und wie groß ist der Potentialwert U(x0 ) für
⎛ ⎞
⎛
⎞
0
1
aK = ⎝ 1 ⎠ und bK = ⎝ −1 ⎠
1
o
und xK
0
H Translation und Superposition ergeben folgende Potentialformel:
1
Ugesamt (x) = |x−a|
+
Berechnug der Differenzvektoren un deren Beträge:
⎛
⎞
0
xK − aK = ⎝ −1 ⎠
⎛ 2 ⎞
−1
xK − bK = ⎝ 1 ⎠
3
⎛
⎞
0
= ⎝ 0 ⎠?
3
1
|x−b|
|x − a| =
√
5
|xK − bK | =
√
11
Jetzt sin alle benötigten Größen verfügbar. Einsetzen gibt folgenden Potentialwert:
Ugesamt (x0 ) =
√1
5
+
√1
11
N
¤ Eine Ergänzungsfrage: Wie groß ist die resultierende Kraft (die Feldstärke) am Orte x0 ?
H Das Kraftfeld erhält man entweder durch Gradientebildung oder durch entsprechende Anwendung von
Translation und Superposition auf das Feld aus derListe zu
Fgesamt (x) =
x−a
x−b
+
|x − a|3 |x − b|3
Jetzt kann man die oben bereits berechneten Werte einsetzen:
..................N
Nr.3: Gradientenbildung in Koordinaten:
Wie erhält man den Gradienten in kartesischen Koordinaten? Man benötigt seine drei Komponenten
⎛ ⎞
?
gradsK (x, y, z) = ⎝ ? ⎠
?
Die erste Komponente beschreibt den Weg parallel zu x-Achse. Wie ändert sich der Feldwert in diese
Richtung? Offenbar ist die Änderungsrate in x-Richtung die relevante Größe und das stimmt tatsächlich.
Also
sK (x, y, z)
⎛ K
⎞
∂s
∆sk = sk (x + ∆x, y, z) − sK (x, y, z)
∂x (x, y, z)
K
⎜ ∂s
⎟
K
∆sk
sk (x + ∆x, y, z) − sK (x, y, z)
grads (x, y, z) = ⎝ ∂x (x, y, z) ⎠
=
K
∆x
∆x
∂s
∂x (x, y, z)
∂sK
Grenzwert
(x, y, z)
∂x
2
2
+ y − z 2 und VK (x, y, z) = yzx :
⎛
⎞
−x−2
gradU K (x, y, z) = ⎝ 1 ⎠ gradVK (x, y, z) =
−2z
K
Rechenbeipiele: U (x, y, z) =
Und ein spezieller Wert:
1
x
⎛
⎞
− yz
x
z ⎝
z ⎠
x
2y
⎛
⎞
−1
gradU K (1, 2, 3) = ⎝ 1 ⎠
−6
¤ Zwei zu erinnernde Formeln (zum Massenpunkt) mit dazu erforderlicher verständiger Interpretation
2
d2 r
.m ddt2r (t) = F (r(t), t) ?
.m
(t)
=
K(t)..meist
über.Feld
2
a) "Newton"
dt
¢2
¡
M dr
b) "Energiesatz" .. 2 dt (t) + U (r(t)) = E?
Vertändnis verlangt, dass Sie z.B. die folgenden zugehörigen FRagen beantworten können sollten:
a) Bedeutung von r(t) = .... (Antwort: Eine zum System gehörige physikalische Bahnkurve, Lösung
der zugehörigen Bewegungsgleichung)
¡
¢2
2
b) Unterschied zwischen dr
und ddt2r ?
dt (t)
dr
dr
c) Unterschied zwischen dr
dt (t) und dt (3) und dt (u) ?
c) Was bedeutet eine "Feldvorgabe der wirkenden Kraft": K(t) = ...?....
d) ...
NK
⎛
⎞
⎛
⎞
µ ¶
1
0
der Ebene ⎝ 1 ⎠ g K = ⎝ 0 ⎠ gef f =
3
−g
g = p + gef f
gef f
⎛
⎞
0
⎝ 0 ⎠+
= 11
11
−g
p=
(N·g)
N2
⎛
⎞
1
3g ⎝
1 ⎠=
11
3
N=
⎛
−3g
11
⎛
⎞
1
⎝ 1 ⎠
⎞3
⎛
3g
1 ⎝
3g ⎠ =
11
−2g
⎞
3
g ⎝
3 ⎠
11
−2
Anwenden auf "Reibungsfreie Bewegung auf der schiefen Ebene unter Schwerkraft"
a) Allgemein mit Newton lösen ( "schiefe, nicht notwendig geradlinige Bewegung)
b) Geradlinig mit Energiesatz lösen
c) Unterschied der Wege kommentieren
3
Strategieschema Bewegungsgleichung
Man denkt sich zunächst in die Systemsituation ein und überlegt insbesondere, wie man den Ortsvektor
r(t) darstellen will. Dann geht man die folgenden Punkte durch:
r(t) = ...
dr
dt (t) = ..
d2 r
dt2 (t) = ...
Alle Kräfte suchen
F = ...
2
m ddt2r (t) = K(t) auswerten!
Anwenden auf das Problem "Reibungsfreie Bewegung auf der schiefen Ebene unter dem Einfluss
der Schwerkraft"
H Hier liefert uns die Bestimmung der resultierenden Kraft im zweiten Teil des Schemas bereit die
Antwort. D.h. es ist nicht nötig, sich über die Darstellung von r(t) Gedanken zu machen.
Sei N ein Vektor in Richtung der Normalen der schiefen Ebene. nun zerlegen wir g in eine zu N parallele
und senkrecht Komponente: g = gp + gef f . Der Beitrag mgp der Schwerkraft in Normalenrichtung wird aber
durch eine Zwangskraft kompensiert. Als Kraft bleib nur mgef f = g − gp . Die parallele Komponente berech-
(g·N)
nen wir wie im Fall desReflexion am Spiegel überp = N 2 N . Damit haben wir eine Bewegung in einem
konstanten Kraftfeld vorliegen. Die zugehörigen physikalischen Bahnen werden durch die entsprechende
Flugparabelformel gegeben (Mit gef f statt g!). Die Anfangswerte r1 und v1 sind wie folgt zu wählen: r1 ist
ein Punkt auf der schiefen Ebene und v1 muss in der Ebene liegen. Dann liegt r(t) für alle Zeiten in der
Ebene und liefert eine mögliche Bewegung auf der schiefen Ebene.
Zahlbeispiel:
⎛ ⎞
⎛
⎞
⎛ ⎞
⎛
⎞
1
0
0
3
g K = ⎝ 0 ⎠ r1K = ⎝ 0 ⎠ v1K = ⎝ 0 ⎠
NK = ⎝ 1 ⎠
3
−g
0
−1
v1 ist senkrecht zu N , also tangential an die Ebene! Die Ebene geht durch den Ursprung, da r1 = 0 ist. Wir
berechnen p und damit gef f zu
⎛ ⎞
1
(N ·g)
⎝ 1 ⎠
p= N 2 N = −3g
11
⎛3
⎞
⎛ ⎞
⎛
⎞
0
1
3
⎝ 0 ⎠ − −3g ⎝ 1 ⎠ = g ⎝ 3 ⎠
gef f = g − p = 11
11
11
11
−g
3
−2
Test: gef f muss senkrecht auf N stehen. Das ist der Fall.
Jetzt können wir die Bahnkurve der Bewegung angeben. Dabei wählen wir für den Informationszeitpunkt
einfach t1 = 0, da dazu nichts verlangt wird:
⎛ ⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
2
0
3
3t + 3g
3
22 t
g
3g 2
⎠
⎝ 3 ⎠ t2 = ⎝
rK (t) = ⎝ 0 ⎠ + t ⎝ 0 ⎠ +
22 t
22
g 2
0
−1
−2
−t − 11 t
4
Strategieschema "Energiesatz"
r(t) = ....
dr
dt = ....
m 2
2 v = ...
U(x)
U(r(t)) = ...
Konfiguration t1 , r1 , v1
Konfiguration t2 oder t
Energiesatz formulieren
Endform
.....
Den Ortsvektor fallspezifisch
geeignet darstellen
Berechnen
Berechnen
Konstruieren (Liste, Translation,
Superposition oder snders
Einsetzen
Fallspezisch bestimmen
Ebenso, entscheiden ob spezieller
Wert t2 oder allgemeines t.
Aus den jetzt vorhsndenen Daten!!
Je nach FRagestellung!
Nach diesem Schema soll jetzt das ebene mathematisch Pendel behandelt werden. Denken Sie daran:
Das ist bereits einmal ausführlich im zugehörigen Anhang besprochen!!
Erst die Aufgabenformulierung:
¤¤ Formulieren Sie den Energiesatz für das ebene mathematische Pendel. Arbeiten Sie damit
(der erhaltenen Gleichung) auf zwei Weisen weiter:
a) Lösen sie nach der Winkelgeschwindigkeit auf; leiten Sie so eine Differentialgleichung 1. Ordnung für die Winkelfunktion her.
b) Differenzieren Sie den Energiesatz nach der Zeit und bestimmen Sie damit die Bewegungsgleichung für die Winkelfunktion (2. Ordnung)
H Wir gehen jetzt das Schema für diesen Fall durch:
⎛
⎞
0
rK (t) = ⎝ L cos ϕ(t) ⎠
L sin ϕ(t)
r(t) = Ler (ϕ(t))
µ
¶
dr
− sin ϕ(t)
K
= Lϕ̇(t)et (ϕ(t))..v (t) =
cos ϕ(t)
dt
m 2 m 2 2
v = L ϕ̇ (t)
2
2
.
⎛
⎞
0
U(x) =−m(g · x) und g K = ⎝ 0 ⎠
−g
U(r(t)) = +Lg sin ϕ(t)
π
Konfiguration für t1 : ϕ(t1 ) = −
ϕ̇(t1 ) = Φ̇1
2
t2 oder t Konfiguration: (t,ϕ(t), ϕ̇(t))
m
m
E= L2 Φ̇2 + 0 = L2 ϕ̇2 (t) + Lg sin ϕ(t)
2
2
.......nach ϕ̇ auflösen oder nach t ableiten!!
Zu Teil a):
5
Polardarstellung, da
Kreisbewegung. Vgl.
Anhang
Ableiten
Kin. Energie
Nach Liste
Einsetzen!
Wir starten am tiefsten Punkt
Φ̇1 ist äußerer Parameter!
Wir wählen t allgemein
π
Ziel! Beachte sin(- ) = 0
2
Jetzt in a) und b)
unterschiedlich weiter
M 2 2
L ϕ̇ (t) + M gL sin(ϕ(t)) = E (E konst. Gesamtenerghie)
2
E
1 2 2
L ϕ̇ (t) + gL sin(ϕ(t)) =
=e
2
M
p
ϕ̇(t)=± L1 2 (e − gL sin(ϕ(t))
Das ist die gesuchte Differentialgleichung für die (gesuchte!)Winkelfunktion ϕ(t). Es zeigt sich, dass diese
Gleichung für manche Zwecke nützlich ist. Für die numerische Lösung ist sie unschön, die in der Vorlesung
gezeigten Lösungen wurden über die Bewegungsgleichung gewonnen.
Zu Teil b): Die Aufgabe verlangt, den Energiesatz nach t anzuleiten. Das ist die Umkehrung des Weges,
auf dem er allgemein gewonnen wurde. Ausführung:
1 2 2
2 L ϕ̇ (t)
··
2
+ gL sin(ϕ(t)) = e
L ϕ̇(t) ϕ(t) + gLϕ̇(t) cos ϕ(t) = 0
··
ϕ(t) + Lg cos ϕ(t) = 0
cosϕ = cos(α − π2 ) = sin α
··
ϕ(t) + Lg sin α(t) = 0
Der Satz, ableiten
Faktor Lϕ̇ kürzen
Problematisch für ϕ̇(t) = 0
Die gesuchte Formel
Anderer Winkel α = π2 + ϕ
Die gesuchte Bewegungsgleichung
für den Auslenkwinkel (Skizze s. Anh.)
Für kleine Auslenkungen ist sinα(t) ≈ α(t) und damit haben wir die übliche Oszillatorgleichung
q
2π
L
··
g
g
T=
=2π
ϕ(t) + L sin α(t) = 0 mit ω 2 =
ω0
g
und
0
L
Damit haben wir für das Pendelsystem Energiegleichung und Bewegungsgleichung hergelitet. Nochmals
zur Erinnerung: Kennt man ϕ(t) oder gleichwertig α(t) dann folgt das gesuchte r(t) rein rechnerisch!
6