1.2 Mikroskopische Maxwellgleichungen im Plasma

1.2
Mikroskopische Maxwellgleichungen im Plasma
Die Erwartungswerte von Observablen werden mit dem statistischen Operator ̺s (im Schrödingerbild) gebildet
hOit = Sp {̺s (t) O} ,
̺s genügt der von-Neumann-Gleichung
i
d̺s
= − [H, ̺s ]
dt
~
(beachte: anderes Vorzeichen als bei der Definition von Ȯ).
Aufgabe 1.2.1: Begründe die von-Neumann-Gleichung aus der von der Quantenmechanik bekannten Forderung
D E
d hOit
= Ȯ
dt
t
Im thermodynamischen Gleichgewicht ist
³
´
−β H−
P
µa N̂a
a
β (Ω−H+
e
a
³
´ = e
̺s =
n −β H−P µa N̂a o
a
Sp e
P
µa N̂a )
,
wobei β = (kB T )−1 , das großkanonische thermodynamische Potential durch
´
³
n −β H−P µa N̂a o
a
Ω(T, V, µa ) = −kB T ln Sp e
gegeben und N̂a der Teilchenzahloperator der Teilchensorte a ist.
Aufgabe 1.2.2: (1) Leite die Struktur des statistischen Operators im Gleichgewicht aus dem Entropiesatz ab: Bei vorgegebener mittlerer Energie und Teilchenzahl wird die Entropie S = −kB hln ̺s i maximal. (2) Zeige, daßP
die Formel für
das Potential Ω aus dessen Definition Ω(T, V, µa ) = T S − E +
µa Na folgt,
a
D E
dabei ist E = hHi , Na = N̂a .
15
Im Gleichgewicht ist dementsprechend bei Vorgabe des Hamiltonoperators die
Berechnung des Potentials Ω(T, V, µa ) und aller thermodynamischen Relationen
auf die der Zustandssumme
³
´
n −β H−P µa N̂a o
a
Z = Sp e
zurückgeführt.
Den im vorigen Abschnitt abgeleiteten Hamiltonoperator schreiben wir jetzt
formal
H = H0 + Hint .
Dabei setzt sich der wechselwirkungsfreie Anteil
¶
µ
µ 2 ¶
X
XZ
1
~∆
+
3
+
ψa (r) +
~ωq aq,λ aq,λ +
H0 =
d r ψa (r) −
2m
2
a
a
q,λ
aus einem jeweils reinen Teilchen- und Feldbeitrag zusammen.
Aufgabe 1.2.3: Leite für das wechselwirkungsfreie System (1) die Fermiverteilung für die Ladungsträgersorte a
E
D
1
~2 k 2
(a)
(a)
´
= ³
; εk =
n̂k
(a)
2ma
β εk −µa
+1
e
und (2) die Boseverteilung für die Photonen (µPhoton ≡ 0) ab:
­
®
n̂(Ph)
=
q
1
eβ~cq
−1
.
Die Wechselwirkung
Hint = V −
Z
X ea Z
d r j0 (r) A(r) +
d3 r ̺a (r) A2 (r)
2m
a
a
3
setzt sich zusammen aus der reinen Coulomb-Wechselwirkung V der Teilchen untereinander (vgl. vorigen Abschnitt) und der Teilchen-Feld-Wechselwirkung, die
ihrerseits in einen sogenannten j · A- und einen ̺ · A2 -Beitrag eingeteilt wird.
Die exakte Berücksichtigung der Wechselwirkung bei der Berechnung thermodynamischer Größen ist nicht möglich. Neben der Störungstheorie bieten nichtstörungstheoretische Zugänge wie Greensche Funktionen bzw. Funktionaltechniken die Möglichkeit, Partialsummen der Störungstheorie exakt auszuführen und
16
damit wesentliche Aspekte des Vielteilchensystems wie z.B. die Abschirmung der
Coulomb-Wechselwirkung oder das Auftreten gebundener Zustände zu erfassen.
Da im Gleichgewicht die Erwartungswerte grundsätzlich zeitunabhängig sind,
reduziert sich die Untersuchung der Erwartungswerte des elektromagnetischen
Feldes auf statische Felder. Die durch Mittelung der Operatorgleichungen für die
Potentiale φ und A mit dem statistischen Operator des Gleichgewichts entstehenden Gleichungen lauten
∆ φeff (r) =
1
̺ind (r) ,
ε0
∆ Aeff (r) = −µ0 jT,ind (r) .
Wichtige Beispiele sind (1) das durch “Einfrieren” der Kernbewegung bei tiefen Temperaturen entstehende gitterperiodische Kristallpotential sowie (2) eine
spontane Magnetisierung.
Für die Untersuchung zeitabhängiger Felder, darunter die für Halbleiter so wichtigen optischen Effekte im sichtbaren Spektralbereich, ist daher eine (gewollte
oder ungewollte) Störung des Gleichgewichts von fundamentaler Bedeutung. Für
eine konzeptionell saubere und konsistente mikroskopische Beschreibung dieser
Störung teilen wir im Folgenden die Ladungen und Ströme in innere, zum betrachteteten System (Festkörper, Kristall) gehörende und äußere auf. Für die
äußeren Ladungen und Ströme verlangen wir (muß per Experiment herbeigeführt
bzw. überprüft werden), daß sie sich (in Bezug auf die vorgenommene Messung)
klassisch verhalten und die Rückwirkung des Systems auf ihre Bewegung vernachlässigt werden kann, m.a.W. es gelten die klassischen Feldgleichungen
∆ φext (r, t) = −
1
̺ext (r, t) ,
ε0
¤ Aext (r, t) = −µ0 jT,ext (r, t) .
Diese extern kontrollierten Ladungen und Ströme sind im Hamiltonoperator
durch zusätzliche Terme dergestalt zu berücksichtigen, daß in allen Gleichungen
dort, wo ursprünglich die Erwartungswerte von ̺ und j vorkommen, deren Berücksichtigung zu der Abänderung ̺ → ̺ + ̺ext , j → j + jext bzw. φ → φ + φext ,
A → A + Aext führt. Ein Zusatzbeitrag, der dies leistet, ist der sogenannte
extern kontrollierte Störanteil zu H
Z
Hext,t = d3 r {̺ext (r, t)φ(r) − jT,ext (r, t)A(r)} .
Dabei soll der Index t bei Hext,t darauf hinweisen, daß es sich um eine explizite,
durch Vorgabe von ̺ext (r, t) und jext (r, t) erzeugte Zeitabhängigkeit des Schrödingeroperators Hext handelt (im Unterschied zur Zeitabhängigkeit von Operatoren
17
im Heisenberg- oder Wechselwirkungsbild).
Für das skalare Potential φ(r) ist das unmittelbar gegeben, wenn man das totale
Potential definiert
φt (r) = φ(r) + φext (r, t) ,
∆φt (r) = −
1
[̺(r) + ̺ext (r, t)]
ε0
Aufgabe 1.2.4:
Zeige den entsprechenden Sachverhalt (1) für den (Schrödinger-) Feldoperator
des Vektorpotentials
¤At (r) = −µ0 [jT (r) + jT,ext (r, t)]
und (2) für den (Schrödinger-) Feldoperator ψa (r) einer Teilchensorte a
i~ ψ̇a,t (r) = [ψa (r) , H + Hext,t ] = . . . ea [φ(r) + φext (r, t)] ψa (r)
Für die Erwartungswerte der Potentiale φ und A ergeben sich die
klassischen Potentialgleichungen
∆φeff (r, t) = −
1
[̺ind (r, t) + ̺ext (r, t)] ,
ε0
¤Aeff (r, t) = −µ0 [jT,ind (r, t) + jT,ext (r, t)] .
Dabei sind die effektiven Größen definiert durch
φeff (r, t) = Sp {̺s (t) φt (r)}
Aeff (r, t) = Sp {̺s (t) At (r)}
und der darin verwendete statistische Operator ist gemäß
d̺s
i
= − [H + Hext,t , ̺s ]
dt
~
explizit zeitabhängig. Er beschreibt die Entwicklung des Nichtgleichgewichts infolge äußerer Störungen.
18
Zur Ableitung der klassischen Potentialgleichungen bildet man den Erwartungswert der Gleichung für den entsprechenden
Feldoperator und beachtet, daß nach
D E
d
gilt. Dabei ergibt sich, daß die induzierten
Definition z.B. dt hAit = Ȧ
t
Ladungs- und Stromdichten entsprechend
̺ind (r, t) = Sp {̺s (t) ̺(r)}
jind (r, t) = Sp {̺s (t) j(r)}
definiert sind.
Aus den klassischen Potentialgleichungen für die Erwartungswerte ergeben sich
in bekannter Weise die Erwartungswerte für die Felder. Mit den Definitionen
E = −grad φeff − Ȧeff , B = rot Aeff
folgt in Coulomb-Eichung
div E = −∆ φeff =
1
(̺ind + ̺ext ) ,
ε0
rot B = −∆ Aeff = µ0 (jind + jext )T −
1
Äeff .
c2
Ebenfalls wegen der Coulomb-Eichung ist ET = −Ȧeff , d.h.
³
´
rot B = µ0 jind + jext + ε0 Ė
T
Der Index T auf der rechten Seite kann aber weggelassen werden, da diese wegen
¾
½
1
div µ0 (jind + jext ) + 2 Ė = µ0 (div jtotal + ̺˙ total ) = 0 ,
c
also infolge der Ladungserhaltung von selbst transversal ist. Es folgt
h
i
rot B = µ0 (jind + jext ) + ε0 Ė
Schließlich definieren wir die Polarisation des Mediums mikroskopisch durch
jind = Ṗ ,
wonach
div jind = div Ṗ = −̺˙ ind
folgt. Wir erhalten nach Einführung der dielektrischen Verschiebung (Def.)
D = ε0 E + P
19
die mikroskopischen Maxwellgleichungen in Medien:
div D = ̺ext
³
´
rot B = µ0 jext + Ḋ
div B = 0
rot E = −Ḃ
Diese Gleichungen sind nicht vollständig und erfordern die (mikroskopische) Berechnung des Feldes jind = Ṗ . Bemerkenswert ist dabei, daß ein Magnetisierungsterm rot M , der zur Einführung einer magnetischen Induktion H = µ10 B − M
Anlaß geben würde, zunächst überhaupt nicht auftritt. Diese Aufteilung ergibt
sich erst, wenn man die mikroskopischen Gleichungen makroskopisch mittelt.
Dazu betrachten wir zunächst das von der Ladungsdichte ̺ind erzeugte elektrische
Dipolelement
Z
Z
Z
Z
̺ind (r, t)rdV = − dV r divPL = − dV {Div (r ⊗ PL ) − (PL ∇)r} = PL dV
Das Integral über Div kann mit dem Gaußschen Satz in ein Oberflächenintegral
umgewandelt werden und verschwindet, da P auf der Oberfläche verschwindet.
Das Ergebnis zeigt, daß der longitudinale Anteil PL von P “makroskopisch” als
Dipoldichte interpretiert werden kann.
Es verbleibt der transversale Anteil jind,T von jind = Ṗ . Für diesen transversalen
Anteil machen wir den formalen Ansatz
jind,T = rot M
der mit der Forderung div M = 0 , bzw. M = MT sei transversal, das Feld M
eindeutig festlegt. Jetzt betrachten wir das von der Stromdichte jind,T erzeugte
magnetische Moment
Z
Z
Z
1
1
r × jind,T dV =
r × rot M dV =
M dV
2
2
und erkennen, daß M = MT “makroskopisch” als magnetische Dipoldichte interpretiert werden kann.
20
Aufgabe 1.2.5: Leite die Beziehung
Z
Z
1
r × rot M dV =
M dV
2
her. Benutze die Schreibweise
(a × b)i = εijk aj bk
und die Beziehung
εijk εrsk = δir δjs − δis δjr
21