Licht und Materie Übung I.4 - 1. Physikalisches Institut

Licht und Materie Übung I.4
Hinweise: Jedes Übungsblatt besteht aus 2 regulären (gekennzeichnet mit einem B) und einer
anspruchsvolleren M Aufgabe. Die Aufgabenteile (a), (b), ... sind entsprechend ihrer Schwierigkeit mit Punkten gewichtet. Zur Erlangung des Scheins benötigen Bachelor- und Lehramtsstudenten 50% der gesamten Punktzahl. Masterstudenten benötigen 50% der gesamten Punkte und 50% der M-Aufgaben Punkte. Jeder muss mindestens einmal an der
Tafel vorrechnen.
Besprechungstermine: Gruppe 1 Di.10.01.17, Gruppe 2 Mi.11.01.17, Gruppe 3 Fr.13.01.17
Aufgabe 1 Der Compton-Effekt (B, 15P)
Betrachten Sie ein Photon mit Energie 𝐸𝛾 = ℏ𝜔 und Impuls 𝒑𝛾 = ℏ𝒌, das an einem ruhenden Elektron streut und dabei
Energie und Impuls an das Elektron verliert. Zeigen Sie unter Ausnutzung der relativistischen Energie-Impuls Beziehung
𝐸𝛾 + 𝑚𝑒 𝑐 2 = 𝐸𝛾′ + √𝑚𝑒2 𝑐 4 + 𝒑2𝑒 𝑐 2
(mit 𝐸𝛾′ der Energie des Photons und 𝒑𝑒 dem Elektronenimpuls nach dem Stoß) dass, wenn das Photon unter einem
Winkel 𝜗 zu seiner Flugrichtung gestreut wird, die Änderung der Wellenlänge des Photons gegeben ist durch
4𝜋ℏ 2 𝜗
Δ𝜆 = 𝜆′ − 𝜆 =
sin ( )
𝑚𝑒 𝑐
2
Aufgabe 2 Ratengleichung im 2-Niveau System (B, 30P)
Betrachten Sie Übergänge der Energie ℎ𝑣0 zwischen den Niveaus |1⟩ und |2⟩ eines 2-Niveau Systems.
a) (5P) Welche Prozesse verändern die Besetzungszahlen 𝑁1 und 𝑁2 ? Stellen Sie die Ratengleichungen für die beiden Besetzungszahlen auf. Hinweis: Formulieren Sie die Ratengleichungen mit Hilfe der Einsteinkoeffizienten für
spontane Emission 𝐴21 , stimulierte Emission 𝐵21 und Absorption 𝐵12 sowie der spektralen Dichte 𝑢(𝑣0 ) =
8𝜋ℎ𝑣03⁄(𝑐 3 (exp(𝛽ℎ𝑣0 ) − 1).
b) (10P) Zeigen Sie, dass für die Einsteinkoeffizienten im thermischen Gleichgewicht folgende Relationen gelten.
𝐵21 = 𝐵12
𝐴21 8𝜋ℎ𝑣03
=
𝐵21
𝑐3
Was ist die physikalische Bedeutung hinter der ersten Gleichung? Hinweis: Verwenden Sie die Planck’sche Strahlungsformel für die spektrale Energiedichte.
c) (10P) Zeigen Sie für die Änderung der Photonenzahldichte 𝑛 die Gültigkeit der Ratengleichung
𝑑𝑛
= 𝐴21 𝑁2 + 𝑢(𝑣0 )𝐵21 (𝑁2 − 𝑁1 )
𝑑𝑡
Warum kann man den ersten Term für den Laserbetrieb vernachlässigen? Man kann zeigen, dass in einem
spektralen Bereich Δ𝑣 um 𝑣0 (vorgegeben durch das Lasermedium) die Änderung der spektralen Energiedichte
gegeben ist durch
𝑑𝑢(𝑣0 ) ℎ𝑣0
=
𝐵 (𝑁 − 𝑁1 )𝑢(𝑣0 )
𝑑𝑡
Δ𝑣 21 2
Finden Sie einen Ausdruck für die Laserintensität 𝐼𝑣0 = 𝑐𝑢(𝑣0 ) als Funktion der zurückgelegten Strecke im Lasermedium.
d) (5P) Um wieviel Prozent erhöht sich die Intensität pro Zentimeter Laufweg im Lasermedium eines Rubinlasers
11
17
−3
bei 𝑣0 = 4.326 × 1014 Hz, 𝐴−1
21 = 𝜏21 = 3ms, Δ𝑣 = 2 × 10 Hz und 𝑁2 − 𝑁1 = 5 × 10 cm ? Was bedeutet
dieser Wert für die Praxis?
Aufgabe 3 Thermisches und Kohärentes Licht (M, 30P)
In dieser Aufgabe werden Verteilungsstatistiken für thermisches Licht (wie das einer Glühbirne) und
kohärentes Licht (wie im Falle eines Lasers) hergeleitet und interpretiert.
a) (10P) Thermisches Licht kann, aus klassischen Überlegungen heraus motiviert als Summe harmonischer Oszillatoren beschrieben werden. Die Besetzung der Moden (Oszillatoren) erfolgt gemäß der Boltzmannverteilung. Im
Folgenden betrachten wir eine einzelne Mode eines thermischen Strahlungsfeldes. Die Wahrscheinlichkeit, in
einer Mode (𝒌, 𝛼) genau 𝑛 Photonen zu finden ist
𝑃𝑡ℎ = 𝐴𝑒 −𝐸𝑛 (𝑇,𝜔)𝛽
mit 𝛽 −1 = 𝑘𝐵 𝑇 und 𝐸𝑛 (𝑇, 𝜔) = ℏ𝜔(𝑛 + ). Berechnen Sie die Normierungskonstante A und zeigen Sie, dass sich
für den Erwartungswert ⟨𝑛⟩ der Photonenzahl die Bose-Einstein Statistik ergibt. Benutzen Sie dieses Resultat
und zeigen Sie
1
2
⟨𝑛⟩𝑛
𝑃𝑡ℎ = (1+⟨𝑛⟩)𝑛+1
b) (10P) Betrachten Sie nun ein kohärentes Lichtfeld. Quantenmechanisch lässt sich ein kohärenter Zustand |𝛼⟩ als
unendliche Summe von Zuständen |𝑛⟩ mit fester Photonenzahl 𝑛 beschreiben (Fock-Zustände) durch
|𝛼⟩ = 𝑒
−12|𝛼|2
∞
∑
𝑛=0
|𝛼|𝑛
√𝑛!
|𝑛⟩ mit 𝛼 ∈ ℂ
Man kann zeigen, dass 𝑎̂|𝛼⟩ = 𝛼|𝛼⟩, sprich dass der kohärente Zustand ein Eigenzustand des Vernichtungsoperators ist. Folgern Sie daraus, dass die Wahrscheinlichkeit, in einem kohärenten Zustand genau n Photonen zu
finden gegeben ist durch die Poissonverteilung
⟨𝑛⟩𝑛
𝑃𝑘 (𝑛) = 𝑒 −⟨𝑛⟩
𝑛!
Hinweis: Verwenden Sie ⟨𝑛⟩ = ⟨𝛼|𝑎̂† 𝑎̂|𝛼⟩, 𝑎̂|𝛼⟩ = 𝛼|𝛼⟩ und ⟨𝛼|𝑎̂† = 𝛼 ∗ ⟨𝛼|.
c) (10P) Ob die Strahlung einer Lichtquelle thermisch oder kohärent ist, lässt sich durch ihre Photonenstatistik bestimmen. Hierzu werden, vereinfacht gesagt, die Zahl der Photonen einer bestimmten Mode pro Zeitintervall
gezählt. Aus der relativen Varianz der Zählung, definiert als 𝑉(𝑛) =
(Δ𝑛)2
⟨𝑛⟩2
⟨𝑛2 ⟩
= ⟨𝑛⟩2 − 1, kann auf die Natur des
Lichts geschlossen werden. Zeigen Sie, dass
𝑉(𝑛)𝑡ℎ = 1 +
1
⟨𝑛⟩
1
⟨𝑛⟩
Interpretieren Sie diese Resultate für den Fall großer Photonenzahlen. Welche Aussagen können Sie damit über
das Emissionsverhalten für thermische und kohärente Strahler machen?
𝑉(𝑛)𝑘 =
Zusatzfragen
1. Warum erscheint die Sonne, von der Erde aus gesehen, als Scheibe gleicher Helligkeit?
2. Woher kommen die Frauenhoferlinien?
3. Was ist der Balmersprung und wie hängt dieser von der Temperatur eines Sternes ab?
4. Ist Licht ein Teilchen oder/und eine Welle? Was ist Licht?
5. Erklären sie die Funktionsweise der Photoemissionsspektroskopie. Wie sehen die erhaltenen Diagramme
aus? (qualitativ)