Universität des Saarlandes Aufgabe 1

Universität des Saarlandes
Fachrichtung 6.1 – Mathematik
Prof. Dr. Martin Fuchs
Jan Müller, M.Sc.
Analysis 1 (WiSe 2016/17)
9. Übungsblatt
Aufgabe 1 (7+3=10P)
a) Beweisen Sie, dass die Potenzreihe
∞
X
n+k−1 k
hn (z) :=
z
(−1)
k
k=0
k
für alle n ∈ N und z ∈ C mit |z| < 1 absolut konvergiert mit Reihenwert
hn (z) = (1 + z)−n .
(Hinweis: Vollständige Induktion nach n)
b) Zeigen Sie: Für alle natürlichen Zahlen m > 1 gilt
∞
X
k
m
=
.
k
2
m
(m
−
1)
k=1
Aufgabe 2 (6×2=12P)
Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der folgenden Reihen:
a)
d)
∞
X
17 + 100n−12 − 7n
n=0
∞
X
n=1
232n+1 + 1
n3 + 1
2n4 + 34n2 + π
b)
e)
∞
X
n=1
∞
X
(−1)n
∞
X
2n
c)
p
3
n(n + 2)
√
( n n − 1)n
f)
n=1
n=0
∞
X
n=1
Aufgabe 3 (10P) Es seien an ∈ C (n ∈ N∪{0}) und f (z) :=
n3
n!
nn
P∞
an z n absolut
konvergent auf {z ∈ C : |z| < R} für ein R > 0. Zeigen Sie: Für jedes r ∈ (0, R)
gibt es eine Konstante L = L(r) > 0 sodass
f (z) − f (w) ≤ L|z − w|
n=0
für alle z, w ∈ {ζ ∈ C : |ζ| < r}.
(Hinweis: Verwenden Sie die Formel z n − wn = (z − w) ·
n−1
P
k=0
Beweis dieser Formel gibt es 3 Bonuspunkte!)
Bitte wenden!
wk z n−1−k . Für einen
Aufgabe 4 (4×2=8P) Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:
∞ X
4n
a)
(z − 2)n .
2n
n=0
∞
X
√ n
n!z .
b)
n=1
c)
∞ X
n
X
1
n=0
d)
∞
X
k=1
k
(z − 4)n .
(4n3 − 3n4 )z n .
n=0
Abgabe: Bis Mittwoch, den 11. Januar 12:00 Uhr in den Briefkästen neben Raum U.39 in
Geb. E 2.5.