HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Mathematik I Prof. Dr. M

HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik
Prof. Dr. M. Voigt
Mathematik I
Lineare Algebra
Mathematik für Bauingenieure - Übungsaufgaben
Übungsserie 10:
Produkte von Vektoren, Winkel, Flächen, Volumina
Vorbereitungsaufgaben:
1. Für die Vektoren ~a = (1, −2, 3)T , ~b = (3, 0, 4)T , ~c = (−2, 4, 5)T ∈ R3 berechne man:
(a) ~a ◦ ~b
(b) ~a × ~b
(c) ~a(~b ◦ ~c)
(d) ~a ◦ (~b × ~c)
(e)
(~a × ~b) × ~c
(f ) ~a × (~b × ~c)
2. Gegeben sind die Vektoren ~a = e~1 +2e~2 , ~b = 4e~1 −2e~2 ∈ R2 . Bestimmen Sie ~c = ~a +~b
und d~ = ~b − ~a. Skizzieren sie alle vier Vektoren und berechnen Sie den Winkel α
~
zwischen ~a und ~b, sowie den Winkel β zwischen ~c und d.
3. (a) Bestimmen Sie die Verbindungsvektoren ~a von P1 (1, −1, 0) nach P2 (3, 1, −1)
und ~b von Q1 (0, 0, 1) nach Q2 (2, 2, 0) und kommentieren Sie das Ergebnis.
(b) Bestimmen Sie den Einheitsvektor ~a
0
zu ~a.
(c) Wie groß sind die Winkel, die ~a mit den Koordinatenachsen (in pos. Richtung)
und Koordinatenebenen einschließt?
4. Welchen Winkel schließen die Vektoren ~a = (4, 3, 9)T und ~b = (1, 1, −1)T ein?
Übungsaufgaben:
5. Es seien ~a, ~b zwei Einheitsvektoren des Rn mit <
)(~a, ~b) = 60◦ . Weiterhin seien
~x = 2~a − 3~b und ~yt = 4~a + t~b mit t ∈ R. Bestimmen Sie:
(a) ~a ◦ ~a, ~b ◦ ~b, ~a ◦ ~b
(b) ~x ◦ ~yt , k~xk
(c)
alle Werte t ∈ R, für die ~x ⊥ ~yt gilt
6. Im R3 seien die Vektoren ~a = (2, 3, 1)T und ~b = (1, 1, −5)T gegeben. Berechnen Sie
~a × ~b, ~a ◦ (~a × ~b), k~a × ~bk und ~e1 × ~e2 im R3 .
7. Gegeben sei eine reguläre Pyramide mit dem Quadrat ABCD (Kantenlänge 2) als
Grundfläche und der Spitze S in der Höhe 2. Berechnen Sie die Länge der von
S ausgehenden Kanten sowie die Winkel zwischen den Kanten SA und SB, SA
und SC, AS und AB und den Neigungswinkel der Kanten zur Spitze gegen die
Grundfläche.
8. Unter welchen Winkeln schneiden sich die Raumdiagonalen eines Quaders mit den
Kantenlängen 1, 1, 2?
9. Berechnen sie den Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Vektoren
~a = −e~2 + e~3 und ~b = e~1 + e~2 + e~3 aufgespannt wird.
10. Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck mit den Eckpunkten P1 (1, 0, 6), P2 (4, 5, −2)
und P3 (7, 3, 4)?
11. Gegeben sind die Vektoren ~a = (1, −2, 3)T , ~b = (3, 0, 4)T und ~c = (−2, 4, 5)T .
Berechnen Sie Volumen und Oberfläche des von ~a, ~b und ~c aufgespannten Spates.
12. Ein Prisma ABCDEF entstehe durch Parallelverschiebung des Dreiecks mit den
Eckpunkten A(0, 0, 0), B(2, −1, 3) und C(−1, 2, 1) um den Vektor ~c = (3, 3, −2)T .
Bestimmen Sie die Eckpunkte D, E und F und berechnen Sie das Volumen des
Prismas.
Lösungen:
1.
(a)
15
(b)
(−8, 5, 6)T
(d) 66
(e) (1, 28, −22)T
5
3
2. ~c =
, d~ =
, α = 90◦ , β ≈ 53, 13◦
0
−4
(c)
14~a
(f)
(45, −60, −55)T
3. (a) ~a = ~b = (2, 2, −1)T , die Verbindungsstrecken P1 P2 und Q1 Q2 sind parallel
(b) ~a
0
= 31 (2, 2, −1)T
(c) <
)(~a, ~e1 ) ≈ 48, 19◦ , <
)(~a, ~e2 ) ≈ 48, 19◦ , <
)(~a, ~e3 ) ≈ 109, 47◦
◦
<
)(~a, x, y-Ebene) ≈ 19, 47 , <
)(~a, x, z-Ebene) ≈ 41, 81◦ , <)(~a, y, z-Ebene) ≈ 41, 81◦
4. 96, 44◦
√
(b) 2 − 2t, 7
(c) t = 1
√
6. (−16, 11, −1)T , 0, 378 ≈ 19, 442, e~3
5. (a) 1, 1, 1/2
7. <
)(SA, SB) = 48, 19◦ , <
)(SA, SC) = 70, 53◦ , <
)(AS, AB) = 65, 91◦ ,
◦
<
)(AS, Grundfläche) = 54, 74
8. 48, 19◦ und 70, 53◦
√
9. 6
10.
49
2
11. V = 66, AO = 132, 51
12. D(3, 3, −2), E(5, 2, 1), F (2, 5, −1), 21