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Übungsblatt 06 PHYS3100 Grundkurs IIIb (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) Othmar Marti, ([email protected]) 24. 1. 2005 oder 31. 1. 2005 1 Aufgaben 1. Berechnen Sie für das Vektorpotential ~ × ~x ~ x) = µ0 m A(~ 4π (~x · ~x)3/2 ~ x). Welches Objekt könnte diese die dazugehörige magnetische Induktion B(~ magnetische Induktion erzeugen? Hinweis: Ohne Verlust der Allgemeinheit kann man m ~ in die Z-Richtung vorgeben. 2. Welches Vektorpotential gehört zu einem unendlich ausgedehnten Strom I entlang der z-Achse? 3. Welches Vektorpotential gehört zu einem unendlich ausgedehnten Flächenstrom (Stromdichte j) in der yz-Ebene in der z-Richtung? 4. Ein Kupferstreifen mit der Dicke b = 300µm befindet sich in einem homogenen Magnetfeld von 1.5T , das senkrecht zum Streifen orientiert ist. Wie gross ist die Potentialdifferenz U über die Breite des Streifens, wenn we von einem Strom I = 20A durchflossen wird? (ne− = 8.47 · 1028 1/m3 ). 5. Ein Metallstreifen (Länge a = 0.065m, Breite b = 0.0085m und Dicke c = 0.00076m) bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit ~v durch das Erdmagnetfeld (BErde = 50µT ) und senkrecht zu den Feldlinien.Der Geschwindigkeitsvektor des Streifens ist parallel zur längsten Kante a. c ist parallel zu BErde . Über die Breite wird eine Hallspannung UHall von 1µV gemessen. Wie schnell bewegt sich der Streifen? 6. Eine Kompassnadel hat ein magnetisches Moment von µKompass = 0.01Am2 ~ Erde = 50µT . Die Kompassnadel habe die befinde sich im Erdmagnetfeld B Übungsblatt vom 24. 1. 2005 oder 31. 1. 2005 1 c °2005 University of Ulm, Othmar Marti 2 PHYS 3110 Grundkurs IIIb WH 2004-2005 Übungsblatt 06 Masse mKompass = 1g und die Länge ` = 0.05m. Der Haftreibungskoeffizient des Lagers sei µHR = 0.1. Die Nadel liege ringförmig mit einem Durchmesser D = 40µm auf. Um welchen Winkel muss man die Kompassnadel aus der idealen Orientierung drehen, damit sie sich auf die Nordrichtung zurückbewegt? 7. Nach der Abbildung bewegt sich ein geladenes Teilchen im homogenen Ma~ gnetfeld B. Handelt es sich dabei um ein Proton oder ein Antiproton? 8. Ein α-Teilchen (q = +2e, m = 4.00u) bewegt sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius 0.45m in einem Magnetfeld B = 0.12T . Berechnen Sie (a) die Geschwindigkeit (b) die Periodendauer der Kreisbewegung (c) die kinetische Energie (d) die Potentialdifferenz, die das Teilchen auf seine Endgeschwindigkeit beschleunigt hat. 9. Wie in der Abbildung liegt ein Holzzylinder (Masse m = 0.25kg, Länge ` = 0.1m, Durchmesser d = 0.01m) mit einer Drahtspuhle (Anzahl Windungen N = 10, parallel zur geneigten Unterlage) in einem vertikal ausgerichteten Magnetfeld homogenen B = 0.5T . Wie gross muss der Strom I durch die Spule mindestens sein, damit der Zylinder nicht die schiefe Ebene (Winkel θ) hinunterrollt? Übungsblatt vom 24. 1. 2005 oder 31. 1. 2005 2 c °2005 University of Ulm, Othmar Marti Übungsblatt 06 2 PHYS 3110 Grundkurs IIIb WH 2004-2005 3 Lösungen 1. Es handelt sich um das Vektorpotential eines Dipols. Wir setzen ~x = x~ex + y~ey + z~ez und m ~ = m~ez Dann ist · ¸ µ0 m −y x ~ A(~x) = ~ex + 2 ~ey 4π (x2 + y 2 + z 2 )3/2 (x + y 2 + z 2 )3/2 und ~ x) = rot A(~ ~ x) B(~ oder · ¸ 2 2 2 µ m 3xz 3yz 2(z − x − y ) 0 ~ x) = B(~ ~ex + 2 ~ey + 2 ~ez 4π (x2 + y 2 + z 2 )5/2 (x + y 2 + z 2 )5/2 (x + y 2 + z 2 )5/2 Dies kann man auch als · ¸ 3(~ x · m)~ ~ x µ m ~ 0 ~ x) = B(~ − 4π (~x · ~x)5/2 (~x · ~x)3/2 2. Wir setzen ~x = r~er + θ~eθ + z~ez und erhalten ~ x) = µ0 I ~eθ B(~ 2πr Mit der Funktion VectorCalculus:VectorPotential aus Maple bekommt man ~ x) = µ0 Iz ~er A(~ 2πr 3. Wir setzen ~x = x~ex + y~ey + z~ez und erhalten ~ x) = µ0 jx ~ey B(~ 2|x| Mit der Funktion VectorCalculus:VectorPotential aus Maple bekommt man ~ x) = µ0 jxz ~ex A(~ 2|x| Übungsblatt vom 24. 1. 2005 oder 31. 1. 2005 3 c °2005 University of Ulm, Othmar Marti 4 PHYS 3110 Grundkurs IIIb WH 2004-2005 4. Lösung UHall = UHall = 8.47 · Übungsblatt 06 IB nbe 20A · 1.5T = 2.21 · 10−5 V · 3 · 10−4 m · 1.6 · 10−19 C 1028 1/m3 5. Wir verwenden UHall = bvB oder v= UHall 10−6 V = = 11.8m/s bB 8.5 · 10−3 m · 5 · 10−5T 6. Mit µk ompass wird das Drehmoment1 M = µKompass B sin θ Dieses Drehmoment wirkt auf das Lager. Das durch die Haftreibungskraft hervorgerufene Drehmoment ist MLager = m · g · µHR · D 2 Daraus kann man den Winkel berechnen sin θ = 10−3 kg · 9.81 ms · 0.1 · 4 · 10−5 m m · g · µHR · D = = 0.04 2µKompass · B 2 · 0.01Am2 · 5 · 10−5 T oder θ = 2.2◦ 7. Dies ist ein Proton. 8. Die Krümmung der Bahnkurve, beschrieben durch die Zentripetalkraft, wird durch die Lorentzkraft hervorgerufen. FL = q · v · B = FZp oder 2e · B = m v2 =m r v r 1 Wir nehmen an, dass die Kompassnadel aus Eisen sei und aus zwei gleichschenkligen Dreiecken mit der Basis 5mm und der Höhe 25mm zusammengesetzt sei. Die Dicke sei 1mm. Mit der Dichte von 8g/cm3 folgt m = 1g. Eisen hat 55.847g/mol. Mit der Avogadrozahl 6·1023 /mol folgt, dass es 1022 Atome in der Kompassnadel gibt. Jedes Atom trägt ein magnetisches Moment von 1µB = 9.27 · 10−24 Am2 . Das maximale magnetische Moment erhält man, wenn alle Atome ausgerichtet sind µmax = 0.1Am2 . Wir nehmen an, dass 10% der atomaren Spins ausgerichtet sind und erhalten damit µKompass = 0.01Am2 . Übungsblatt vom 24. 1. 2005 oder 31. 1. 2005 4 c °2005 University of Ulm, Othmar Marti Übungsblatt 06 PHYS 3110 Grundkurs IIIb WH 2004-2005 5 (a) v= 2r · e · B 2 · 0.45m1.6 · 10−19 C · 0.12T m = = 2.59 · 106 −27 m 4 · 1.67 · 10 kg s (b) Die Umlaufszeit ist T = 2πr 2 · π · 0.45m −6 = m = 1.09 · 10 s 6 v 2.59 · 10 s (c) Die kinetische Energie ist (nichtrelativistisch) ³ ´2 1 2 1 −27 6m Ekin = mv = ·4·1.67·10 kg· 2.59 · 10 = 2.24·10−14 J = 1.4·105 eV 2 2 s (d) Die Beschleunigungsspannung ist 2e · Ubeschl = Ek in oder Ubeschl = Ekin = 70kV 2e 9. Das Drehmoment eines Dipols µ im magnetischen Feld ist Mmagn = µ · B · sin θ wobei α der Winkel zwischen dem magnetischen Feld und dem magnetischen Moment ist. Das Drehmoment durch den Hangabtrieb ist MHang = m · g · sinθ · d 2 Diese beiden Momente müssen gleich sein, also m · g · sinθ · d = µ · B · sin θ 2 oder m · g · sinθ · d 2B · sin θ Nun ist das magnetische Moment µ= µ=N ·I ·d·L Wir setzen ein N ·I ·d·L= m·g·d 2B und lösen nach I auf I= 0.25kg · 9.81m/s2 m·g = = 2.45A 2N · B · L 2 · 10 · 0.5T · 0.1m Übungsblatt vom 24. 1. 2005 oder 31. 1. 2005 5 c °2005 University of Ulm, Othmar Marti
