PHYS70356 Klassische und relativistische Mechanik WH

Aufgabenblatt zum Seminar 02
PHYS70356 Klassische und relativistische Mechanik (Physik, Wirtschaftsphysik,
Physik Lehramt, Nebenfach Physik)
Othmar Marti, ([email protected])
27. 10. 2008
1 Aufgaben
1. Berechnen Sie mit
f (x, y) = e−(x
2 +y 2 )/σ 2
a)
∂f (x, y)
∂x
b)
∂f (x, y)
∂y
c)
∂ 2 f (x, y)
∂x2
d)
∂ 2 f (x, y)
∂y 2
e)
∂ 2 f (x, y)
∂x∂y
2. Sie wollen mit einem Pendel den Betrag des Feldvektors der Gravitation g
bestimmen. Sie kennen die Pendelgleichung
2π
=
T
r
g
`
Es liegen die folgenden Messungen für T und ` vor
27. 10. 2008
KRM 2008-2009, Aufgabenblatt Nr. 02
2
Nummer ` in m T in s
1 0,669 0,913
2 0,691 0,870
3 0,641 0,796
4 0,681 0,856
5 0,675 0,845
6 0,654 0,855
7
0,852
8
0,846
9
0,884
10
0,838
11
0,850
Berechnen Sie dazu
a) h`i, hT i, σ` , σT , σh`i , σhT i .
b) Berechnen Sie mit dem Gaussschen Fehlerfortpanzungsgesetz σhgi .
c) Wie gross ist hgi und σhgi ?
3. Eine Strecke von 100 m soll von einem Fahrzeug, das eine Beschleunigung von
3 m · s−2 und eine Bremsverzögerung von 2 m · s−2 aufweist, aus dem Stand
heraus in möglichst kurzer Zeit befahren werden. Am Ende der Strecke soll
das Fahrzeug wieder anhalten. Zu welchem Zeitpunkt muss die Bremsung
einsetzen? Wie gross sind Fahrzeit und Höchstgeschwindigkeit?
4. In welcher Entfernung vom Anfang müssen Kugeln an einer Schnur angebracht werden, damit sie, wenn die senkrecht gehaltene Schnur fallengelassen
wird, im zeitlichen Abstand von jeweils 0, 3 s auf dem Boden auftreen?
5. Die Schwingungen einer Stimmgabel (Eigenfrequenz 100 Hz) werden mittels
einer kleinen Feder auf einer mit Russ geschwärzten Glasplatte registriert,
die neben der Stimmgabel herabfällt. Der Abstand der Nulldurchgänge nach
6; 12; 18; 24 bzw. 30 Schwingungen vom Anfang betrage 18; 71; 159; 283
bzw. 441 mm. Man zeige, dass es sich beim Fall der Glasplatte um eine
gleichförmig beschleunigte Bewegung handelt und ermittle aus den Daten
die Fallbeschleunigung. (Skizze auf der nächsten Seite)
2
c 2008-2009
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Aufgaben
3
KRM 2008-2009, Aufgabenblatt Nr. 02
27. 10. 2008
6. Auf eine Strassenbahn, die mit der Geschwindigkeit 20 km · h−1 fährt, wirke
eine zeitabhängige Beschleunigung a (t) = a0 + bt (a0 = 0, 3 m · s−2 , b =
0, 25 m · s−3 ). Nach welcher Zeit hat sich die Geschwindigkeit verdoppelt,
und welcher Weg wurde dabei zurückgelegt?
7. Von einem anfangs ruhenden Boot (mB = 180 kg) springt ein Schwimmer
(mS = 70 kg) ins Wasser und lässt beim Absprung über 0, 5 s eine durch
F (t) = a + bt (a = 100 N, b = 100 N · s−1 ) beschreibbare Kraft horizontal wirken. Wie gross sind die Geschwindigkeiten von Boot und Springer
unmittelbar nach dem Absprung?
8. Ein Vogel mit einer Masse von 300 g iegt mit einer Geschwindigkeit von
20 m · s−1 in einer Höhe von 10 m über dem Erdboden in horizontaler Richtung. Ein in gleicher Höhe auf einem Baum sitzender Jäger schiesst mit einem
Pfeil (Masse 100 g) auf den Vogel, der diesen mit einer Geschwindigkeit von
50 m · s−1 senkrecht zur Flugbahn trit.
In welcher Entfernung vom Ort des Treers trit der vom Pfeil getötete Vogel
auf den Boden auf? Die Luftreibung wird vernachlässigt.
9. Ein Güterwagen mit einer Masse 60 t rollt reibungsfrei einen Ablaufberg mit
einem Höhenunterschied von 2 m herab und kuppelt automatisch an einen
stehenden Wagen von 30 t Masse an. Mit welcher Geschwindigkeit bewegen
sich beide Wagen nach dem Ankuppeln?
10. Eine Stahlkugel springt auf einer elastischen Platte auf und ab. Die Aufschläge haben den zeitlichen Abstand ∆t. Welche Maximalhöhe zm erreicht
die Kugel?
∆t = 0, 40s
11. Ein Junge, ein Mädchen und ein Hund setzen sich gleichzeitig vom gleichen Punkt einer schnurgeraden Strasse aus in Marsch. Der Junge geht
mit 6 km/h, das Mädchen mit 4 km/h und der Hund pendelt ständig mit
10 km/h zwischen beiden hin und her. Wo benden sich der Junge, das Mädchen, der Hund nach genau einer Stunde, und in welche Richtung läuft der
Hund?
Aufgaben
c 2008-2009
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3
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KRM 2008-2009, Aufgabenblatt Nr. 02
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12. Ein Flugzeug iegt mit der Reisegeschwindigkeit v eine Strecke d hin und
zurück. Es weht ein Wind mit der Geschwindigkeit w genau in Flugrichtung
bzw. beim Rückug in Gegenrichtung. Gleicht der Gewinn an Flugzeit beim
Hinug den Verlust beim Rückug aus?
4
c 2008-2009
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Aufgaben
5
KRM 2008-2009, Aufgabenblatt Nr. 02
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2 Lösungen
1. Es ist
f (x, y) = e−(x
2 +y 2 )/σ 2
a) Hier leiten wir nach x ab und betrachten y als Konstante. Wir benötigen
die Kettenregel
∂f (x, y)
2 x x2 +y2
= − 2 e− σ 2
∂x
σ
b) Hier leiten wir nach y ab und betrachten x als konstant.
∂f (x, y)
2 y x2 +y2
= − 2 e− σ2
∂y
σ
c) Hier leiten wir zweimal nach x ab und halten dabei y konstant
2
2
∂ 2 f (x, y)
2 − x2 +y
4 x2 − x2 +y
σ2
σ2
=
−
e
+
e
∂x2
σ2
σ4
d) Hier leiten wir zweimal nach y ab und halten dabei x konstant
2
2
∂ 2 f (x, y)
2 − x2 +y
4 y 2 − x2 +y
2
σ
σ2
=
−
e
+
e
∂y 2
σ2
σ4
e) Hier nehmen wir die erste partielle Ableitung nach x (Resultat von 1a),
halten nun x fest und leiten nach y ab.
2
∂ 2 f (x, y) 4 xy − x2 +y
= 4 e σ2
∂y∂x
σ
Zum gleichen Resultat kommt man, indem man die erste partielle Ableitung nach y (Resultat von 1b) nimmt, und dann y fest hält und nach
x ableitet.
2
∂ 2 f (x, y) 4 xy − x2 +y
= 4 e σ2
∂y∂x
σ
2. Wir verwenden die Gleichungen
n
1X
hxi =
xi
n i=1
v
u
n
u 1 X
t
(xi − hxi)2
σx =
n − 1 i=1
σx
σhxi = √
n
v
uX
2
u m ∂f (x1 , . . . , xm )
t
σf (x1 ,...,xm ) =
σxj
∂xj
j=1
hgi =
Lösungen
c 2008-2009
4π 2 h`i
hT i2
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5
27. 10. 2008
KRM 2008-2009, Aufgabenblatt Nr. 02
6
a) Wir erhalten
h`i = 0.669 m
hT i = 0.855 s
σ` = 0.0184 m
σT = 0.0290 s
σh`i = 0.00751 m
σhT i = 0.00874 s
b) Aus
4π 2 `
g= 2
T
berechnen wir
∂g
4π 2
= 2
∂`
T
∂g
`
= −8π 2 3
∂T
T
Das Gausssche Fehlerfortpanzungsgesetz lautet hier:
s
σhgi =
∂g
· σh`i
∂`
2
+
∂g
· σhT i
∂T
2
Für Funktionen, die nur aus Produkten bestehen, ist es vorteilhaft, links
und rechts durch g = 4π 2 `/T 2 zu teilen. Wir erhalten
σhgi
=
g
s
∂g σh`i
·
∂` g
2
+
∂g σhT i
·
∂T
g
2
Eingesetzt ergibt sich
σhgi = g
r
σ 2
h`i
`
σ 2
hT i
+ −2
T
Wir ersetzen nun überall die Werte durch die Mittelwerte berechnet aus
den Messdaten.
s
σhgi = hgi
σh`i
h`i
c) Wir verwenden
hgi =
2
σhT i
+ −2
hT i
2
4π 2 h`i
hT i2
und erhalten
m
s2 s
2 2
m
0.00751 m
0.00874 s
= 36.10 2
+ −2
s
0.669 m
0.855 s
hgi = 36.10
σhgi
6
c 2008-2009
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=0.84
m
s2
Lösungen
7
KRM 2008-2009, Aufgabenblatt Nr. 02
27. 10. 2008
Wir können also sagen, dass
g = 36.1 ± 0.8
m
s2
ist (innerhalb der 1 · σ Fehlerschranke) oder dass
g = 36.1 ± 2.5
m
s2
ist (innerhalb der 3σ Fehlerschranke).
3.
tges = t1 + t2
vmax = a1 t1 = a2 t2
also
t2 =
a1
t1
a2
Über den zurückgelegten Weg
s=
a1 2 h
a2 i a1
a2
t1 + vmax t2 − t22 = t21 + t22
2
2
2
2
ergibt sich
t21 =
2sa2
a1 (a1 + a2 )
t1 = 5, 16 s
a1
tges = t1 1 +
= 12, 9 s
a2
vmax = 15, 5 m · s−1
4.
g
(n · ∆t)2
2
s1 = 0, 44 m
s2 = 1, 77 m
s3 = 3, 97 m
usw.
sn =
5. 6 Schwingungen entsprechen 0,06 s. Aus den Messungen ergibt sich die folgende Tabelle:
Nr. t in s s (t) in m
1
0,06 0,018
2
0,12 0,071
3
0,18 0,159
4
0,24 0,283
5
0,30 0,441
Lösungen
c 2008-2009
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7
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KRM 2008-2009, Aufgabenblatt Nr. 02
8
Eine Potenzfunktion der Form s (t) = a2 tn ergibt in doppelt-logarithmischer
Darstellung eine Gerade mit dem Anstieg n.
lg
s2
s1
t2
= n lg
t1
Eine Untersuchung dieser Geraden ergibt gemäss Tabelle n = 2. Aus den einzelnen Wertepaaren folgt a2 = 5 m · s−2 , 4, 93 m · s−2 , 4, 91 m · s−2 , 4, 91 m · s−2 ,
4, 90 m · s−2 und ein Mittelwert a2 = 4, 93 m · s−2 . Verwendet man nur die
drei letzten (genaueren) Messungen, folgt a = 9, 81 m · s−2 .
6. Wir starten mit
a(t) = a0 + b t
und integrieren einmal.
b
v (td ) = v0 + a0 td + t2d = 2v0
2
also
1
td =
b
q
2
−a0 + a20 + 2v0 b = 5, 57 s
s (td ) = v0 td +
7.
a0 2 b 3
t + t = 42, 8 m
2 d 6 d
Achtung! korrigierte Lösung
Kraftstoss (τ = 0.5 s)
Zτ
∆p =
F (t)dt
0
Zτ
=
b
(a + bt) dt = aτ + τ 2
2
0
=100 N · 0.5 s +
100 N/s
m kg
(0.5 s)2 = 62.5
2
s
Der Anfangsimpuls ist 0, der Endimpuls muss auch 0 sein.
Wir haben also
0 = pB + p S
∆p = pB
= − pS
Also
∆p = pB
pB = ∆p
8
c 2008-2009
= − pS
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Lösungen
9
KRM 2008-2009, Aufgabenblatt Nr. 02
pB
mB
pS
vS =
mS
62.5 m skg
· 180kg
62.5 m skg
=−
· 70kg
∆p
mB
∆p
=−
mS
vB =
=
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=0, 348 m · s−1
=
=0, 90 m · s−1
Eine konsistente alternative Lösung verwendet die reduzierte Masse. Jedes
Zweikörperproblem kann als Einkörperproblem mit einer reduzierten Masse
µ=
mB mS
mB + ms
aufgefasst werden.
Dann ist wenn
vrel = vS − vB
ist
µvrel = ∆p
∆p
vrel =
µ
mS vS + mB (vB ) = mS vS + mB (vS − vrel ) =0
mB
mB (mS + mB )
(mS + mB )vS = vrel mB
=
∆p =
∆p
µ
mS mB
mS vS = ∆p
und weiter wie oben.
q
0.3 kg · 20 m s + 0.1 kg · 50 ms
=
8. Gesamtimpuls von Vogel und Pfeil
√
36 n2 s2 + 25 N 2 s2 = 7, 81 N · s, Gesamtmasse nach dem Treer: 0.4 kg ,
N ·s
Geschwindigkeit unmittelbar nach Treer 7,81
= 19, 5 m · s−1 , Fallzeit=Flugzeit
0.4 kg
p
p
t = 2s/g = (2 · 10 m/9.81 ms−2 = 1.428 s, Auftrepunkt Geschwindigkeit mal Zeit 19.5 ms−1 · 1.428 s = 27, 9 m vom Treerort entfernt.
2
2
9. Aus der Energieerhaltung
p
1
mgh = mv 2 ⇒ v = 2gh
2
Impulserhaltung
m1 v + m2 · 0 = (m1 + m2 )ve
m1 p
⇒ ve =
2gh
m1 + m2
√
60 t
2√
ve =
2 · 9.81 ms−2 · 2 m =
39.24 m2 s−2 = 4, 18m · s−1
60 t + 30 t
3
10. Senkrechter Wurf:
(z0 = 0)
g
z = − t2 + vz0 t
2
vz = −gt + vz0
Lösungen
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Steigzeit bis Maximalhöhe = Fallzeit t =
vz
∆t
2
= 0 = −g
⇒
vz0 =
z
∆t
2
∆t
2
.
∆t
+ vz0
2
g∆t
2
g
= zm = −
2
zm = −
10
∆t
2
2
+ vz0
∆t
2
g∆t2 g∆t2
+
8
4
g
zm = ∆t2 = 20 cm
8
Das Ergebnis folgt auch sofort aus der Formel für den freien Fall:
g
zm =
2
∆t
2
2
11. Diese Aufgabe zeigt, dass kinematische Probleme, die wohldeniert aussehen,
es manchmal gar nicht sind. Die Antwort heisst: Der Hund könnte überall
zwischen 4 und 6 km sein und in jeder der beiden Richtungen laufen - man
weiss es nicht.
Diese Unbestimmtheit sieht man ein, wenn man das umgekehrte Problem
betrachtet: Wo immer der Hund anfangs war, er muss bei seiner Verhaltensweise immer gleichzeitig mit den beiden Kindern am Kilometerstand 0
ankommen. Dies gilt für einen beliebigen Anfangspunkt zwischen Junge und
Mädchen. Dreht man von diesem umgekehrten Vorgang mit verschiedenen
Ausgangspositionen je einen Film, den man dann wieder rückwärts spielt, so
erfüllt jeder dieser Filme genau die Bedingungen der Aufgabe.
12. Die Geschwindigkeit des Flugzeugs gegen den Boden ist beim Hinug v + w,
die Flugzeit d/ (v + w), beim Rückug v − w, Flugzeit d/ (v − w). Dass der
Gewinn den Verlust nicht ausgleichen kann, sieht man schon am Fall w = v ,
wo sich die Hinugzeit halbiert, die Rückugzeit aber unendlich lang würde.
Allgemein ist die Gesamtugzeit T = 2dv/ (v 2 − w2 ), z.B. bei w = v/2 : T =
4
2d/v .
3
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c 2008-2009
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Lösungen