n−m - Uni Ulm

Übungsblatt 03
Grundkurs IIIb für Physiker
Othmar Marti, ([email protected])
18. 11. 2002 oder 25. 11. 2002
1
Aufgaben für die Übungsstunden
Elektrostatisches Potential1 ,
1. Zwei identische, ungeladene, metallische Kugeln seien durch einen Draht
verbunden (Abbildung a). Zwei ähnliche leitende Kugeln mit gleich großen,
aber entgegengesetzten Ladungen werden in die Positionen gebracht, die
Abbildung b) gezeigt,
(a) Zeichnen Sie die elektrischen Feldlinien zwischen den Kugeln l und 3
sowie die zwischen den Kugeln 2 und 4.
(b) Was kann man über die Potentiale ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , und ϕ4 der Kugeln
aussagen?
(c) Zeigen Sie, daß die Endladung auf jeder Kugel null sein muss, wenn
man die Kugeln 3 und 4 mit einem Draht verbindet.
2. Nach dem Bohrschen Atommodell bewegt sich das Elektron des Wasserstoffatoms auf einer kreisförmigen Bahn mit dem Radius r um das Proton,
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../../node13.html
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°2002
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2
(a) Stellen Sie einen Ausdruck für die kinetische Energie des Elektrons
als Funktion von r auf, indem Sie die auf das Elektron nach dem
Coulomb-Gesetz einwirkende Kraft gleich ma setzen. Hierbei ist a die
Zentripetalbeschleunigung. Zeigen Sie, daß bei jedem Abstand r die
kinetische Energie halb so groß ist wie die potentielle Energie,
(b) Es sei r = 0.529 · 10−10 m der Radius der Elektronenbahn im Wasserstoffatom. Berechnen Sie 12 mv 2 sowie Epot und die Gesamtenergie
Eges = 21 mv 2 + Epot in Elektronenvolt. Die Energie |Eges |, die nötig ist,
um das Elektron aus dem Wasserstoffatom zu entfernen, heißt lonisierungsenergie.
3. Welche Kapazität hat der Plattenkondensator in der Abbildung?
4. Die Platten eines Kondensators haben eine Fläche von 2m2 und einen Abstand von l.0mm. Der Kondensator sei auf eine Spannung von 100V aufgeladen. Wie groß ist
(a) die elektrische Feldstärke,
(b) die Energiedichte zwischen den Platten?
(c) Bestimmen Sie die gespeicherte Energie, indem Sie das Ergebnis von
(4b) mit dem Volumen zwischen den Platten multiplizieren.
(d) Wie groß ist die Kapazität?
(e) Berechnen Sie die gespeicherte Energie als W = 21 CU 2 und vergleichen
Sie das Ergebnis mit dem Resultat aus Teil (4c).
5. (freiwillige Zusatzaufgabe) Berechnen Sie die Ersatzkapazität von a nach b
der unten stehenden Schaltung.
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Hausaufgaben
6. Ein 20pF -Kondensator werde auf 3,0 kV aufgeladen, dann von der Spannungsquelle getrennt und mit einem ungeladenen 50pF -Kondensator verbunden
(a) Wie verteilen sich die Ladungen?
(b) Vergleichen Sie die elektrische potentielle Energie in beiden Kondensatoren vor dem Verbinden mit der nach dem Verbinden.
7. Drei Kondensatoren seien, wie in der Abbildung gezeigt, miteinander verbunden. Wie gross ist die Kapazität zwischen den Punkten a und c?
8. Wie groß ist die Energiedichte in einem elektrischen Feld, dessen Feldstärke
der Durchschlagsfestigkeit von Luft entspricht (3M V /m)?
9.
(a) Berechnen Sie für die Anordnung in der Abbildung mit C1 = 2µF ,
C2 = 6µF und C3 = 3.5µF die Ersatzkapazität,
(b) Die einzelnen Kondensatoren haben eine Durchschlagsfestigkeit U1 =
100V , U2 = 50V und U3 = 400V . Welche Spannung kann dann maximal zwischen den Punkten a und b angelegt werden, ohne daß Durchschläge auftreten?
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Lösungen Aufgaben für die Übungsstunde
1.
(a) Die Kugeln 3 und 4 induzieren Ladungen entgegengesetzten Vorzeichens auf den Kugeln l und 2. Daher haben die Feldlinien folgenden
Verlauf:
(b) Weil die Kugeln l und 2 leitend miteinander verbunden sind, haben
sie gleiches Potential. Die positiv geladene Kugel hat das höchste Potential und die negativ geladene das niedrigste Potential. Also ist
ϕ3 ≥ ϕ1 = ϕ2 ≥ ϕ4 . Die Gleichheitszeichen gelten, wenn Q = 0
ist. Die Potentiale der Kugeln l und 2 haben einen mittleren Wert,
weil die auf ihnen induzierten Ladungen jeweils nur einen Bruchteil
von Q betragen.
(c) Wenn die Kugeln 3 und 4 leitend miteinander verbunden werden, dann
haben auch sie gleiches Potential. Wegen ϕ3 = ϕ4 müssen in diesem
Falle alle vier Kugeln gleiches Potential haben. Das ist nur bei Q = 0
möglich.
2. (a) Hier ist nach dem zweiten Newtonschen Axiom F = ma bzw.
1 e2
v2
=m
4π²0 r2
r
Daraus folgt
Ekin
1 2
1 e2
= mv =
2
4π²0 2r
Die potentielle Energie ist
Epot = −
1 e2
4π²0 2r
Damit ist
E − kin =
1
|Epot |
2
Dies gilt für alle r.
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(b) Mit e = 1.6·101−19C und r = 0.529·10−10 m ist die kinetische Energie
Ekin =
1 e2
= 2.18 · 10−18 J = 13.6eV
4π²0 2r
Damit erhalten wir
Epot = −2E − kin = −27.2eV
und
W = Ekin + Epot = Ekin − 2Ekin = −Ekin = −13.6eV
Also sind 13.6eV nötig, um ein Wasserstoffatom zu ionisieren.
3. Dieser Kondensator ist eine Kombination von drei Kondensatoren, die jeweils die Fläche A/2 haben. Die Kondensatoren mit den Dielektrizitätszahlen ²1 und ²2 sind in Reihe geschaltet. Sie haben eine Dicke von d/2. Parallel
dazu ist der Kondensator mit ²3 und der Dicke d.
C = C3 +
1
C−1
1
+
mit
1
C2
= C3 +
C1 C2
C1 + C2
C1 = ²1 ²0
A/2
A
= ²1 ²0
d/2
d
C2 = ²2 ²0
A/2
A
= ²2 ²0
d/2
d
A/2
1
A
= ²3 ²0
d
2
d
Zusammen ergibt sich mit C0 = ²0 A/d
·
¸
·
¸
²3
²3
²1 C0 ²2 C0
²1 ²2
²3
²1 ²2
A
C = C0 +
=
+
C0 =
+
²0
2
²1 C0 + ²2 C0
2
²1 + ²2
2
²1 + ²2
d
C3 = ²3 ²0
4. Sei d = 1mm, A = 2m2 und U = 100V
(a) U = E · d und damit E = U/d = 100V /0.001m = 105 V /m
2
2
(b) Die Energiedichte wel = ²0 E2 = 8.85·10−12 VAsm (105 V /m) /2 = 0.0443J/m3
(c) E = wel · A · d = 0.0443J/m3 ∗ 2m2 ∗ 0.001m = 8.85 · 10−5 J
(d) C = ²0 A/d = 8.85 · 10−12 VAsm ∗ 2m2 /0.001m = 1.77 · 10−8 F
(e) E = 21 CU 2 =
1
2
× 1.77 · 10−8 F × 10000V 2 = 8.85 · 10−5 J
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5. Die dargestellte Schaltung ist die zweidimensionale Projektion einer vierdimensionalen Schaltung, bei der jede Kante eines Würfels die gleiche Kapazität trägt. Man nummeriert alle Ecken eines Würfels in der n-ten Dimension mit 0 oder 1. Wir erhalten also n-stellige Zahlen. Zwei Ecken sind
miteinander verbunden, wenn sich die Zahl ihrer Einsen um eins unterscheidet.
Wir erhalten die folgende Eckenzahl:
• Alles 0 : 1 Ecke
• Eine 1 : n Ecken
• Zwei 1 : n(n − 1)/2 Ecken
• Drei 1 : n(n − 1)(n − 2)/(1 ∗ 2 ∗ 3) Ecken
µ
¶
n
Allgemein: Es gibt
Ecken eines n-dimensionalen Würfels mit m
m
Einsen.
Die zweite Frage, die es zu beantworten gilt, ist: Auf wieviele Arten kann
eine 1 hinzugefügt werden?
• Alles 0 : n Arten
• Eine 1 : (n-1) Arten
• Zwei 1 : (n-2) Arten
Allgemein: Wenn m Einsen schon gesetzt sind, kann man auf (n − m) Arten
noch eine 1 dazufügen.
Nun sind alle Ecken mit der gleichen Anzahl 1 äquivalent bezüglich Symmetrieoperationen um die Achse von 00 . . . 0 nach 11 . . . 1. Sie sind deshalb
auf gleichem Potential.
Die Gesamtkapazität ist also die Serieschaltung von
• n Kapazitäten von der Startecke 0000 aus
• n ∗ (n − 1) Kapazitäten von Ecken mit einer 1
• n(n − 1)/2 ∗ (n − 2) Kapazitäten von Ecken mit zwei 1
µ
¶
n
Allgemein: nC (m) =
(n − m) Kapazitäten.
m
Das Resultat ist also


n−1
n−1
X
X
 1
1
1
1


µ
¶
µ
¶
=
=
C
Ctot m=0
n
n
m=0
(n − m) C
(n − m)
m
m
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oder
1
Ctot =
n−1
P
0
m=0 @
n
m
C
1
1
A(n−m)
In unserem Falle haben wir
Ctot =
1
n−1
P
0
m=0 @
n
m
C=
1
1
1
4
+
1
12
1
+
1
12
+
1
4
C
A(n−m)
Ctot =
1
4
6
6
C = C = 1.5C
4
Bemerkung: Dieses Verfahren lässt sich auch auf Widerstände und Spulen
anwenden.
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4
Lösungen Hausaufgabe
6. Mit C1 = 20pF und C2 = 50pF
(a) Ladung auf C1 : Q = CU = 3000V ∗ 2 · 10−11 F = 6 · 10−8 C
Wenn die beiden Kondensatoren verbunden werden, bleibt Q = Q1 +
Q2 erhalten.
Die neue Spannung muss an beiden gleich sein.
1
2
U=Q
=Q
C1
C2
also
Q1
1
1
= Q−Q
= CQ2 − Q
C1
C2
C2
oder
¶
µ
1
Q
1
Q1
+
=
C1 C2
C2
C1 C2
C1
Q1 = Q
=Q
C2 (C1 + C2 )
(C1 + C2 )
20pF
6·2
Q1 = 6 · 10−8 C
=
· 10−8 C = 1.71 · 10−8 C
20pF + 50pF
7
Q2 = Q − Q1 = 4.29 · 10−8 C
(b) Die Energie vorher ist E1 = 0.5C1 U 2 = 0.5 · 2 · 10−11 30002 J = 9 · 10−5 J
−8 C
1
Die Spannung nachher ist Un = Q
= 1.71·10
= 855V
C1
2·10−11 F
2
Die Energie nachher ist E2 = 0.5(C1 + C2 )Un = 0.5 · 7 · 10−11 8552 J =
2.56 · 10−5 J
Wo ist die Energie hin? Sie ist in Form von Strahlung und Joulscher
Wärme in den Verbindungsdrähten dissipiert.
7. C = C1 +
1
1
+ C1
C2
3
= C1 +
C2 C3
C2 +C3
8. Wenn wir in der vorherigen Aufgabe C1 mit C3 ersetzen, erhalten wir das
Resultat für diese Aufgabe.
¡
¢
C1
2·6
(a) C = C3 + CC22+C
=
3.5
+
µF = 5µF
2+6
1
(b) An C3 liegt die gesamte Spannung Uab Also ist Uab < 400V
Die Ladung der beiden Kondensatoren ist gleich, also teilt sich die
Spannung U = Q/C proportional zu den Kehrwerten der KondensaC2
toren auf. Die Kapazität der Serieschaltung ist C = CC11+C
2
C2
C
6
1
U1 = Uab 1/C
=
U
=
U
=
U
1/C
C1 ab
C1 +C2 ab
8 ab
8
Also Uab < 6 100V = 133V
2
1
U2 = Uab 1/C
= CC2 Uab = C1C+C
Uab = 28 Uab
1/C
2
Also Uab < 82 50V = 200V
Die maximale Spannung ist 133V . Das schwächste Bauteil in der Schaltung ist C1 .
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