Theoretische Physik I: Weihnachtszettel 21.12.2012

Theoretische Physik I:
Weihnachtszettel
21.12.2012
Michael Czopnik
Aufgabe 1: Rudolph und der Weihnachtsmann
Der Weihnachtsmann (Masse M ) und sein Rentier Rudolph (Masse m) sind
durch ein Seil mit konstanter Länge l miteinander verbunden. Das Seil gleite
durch den Kamin im Hausdach, so dass sich Rudolph frei auf dem Dach
bewegen kann, während sich der Weihnachtsmann nur vertikal bewegt (vgl.
Skizze (ohne Reibung)).
(a) Stellen Sie die Hamiltonfunktion und die kanonischen Bewegungsgleichungen auf.
(b) Suchen Sie Gleichgewichtslösungen r = const und berechnen Sie die
Frequenz kleiner Schwingungen um das Gleichgewicht.
Aufgabe 2: Coriolis-Kraft
(K)
Die Newtonsche Bewegungsgleichung in einem rotierenden System (mit Winkelgeschwindigkeit ω) lautet:
¨ = F~ − m[ω
m~x
~˙ × ~x + 2~
ω × ~x˙ + ω
~ × (~
ω × ~x)]
(a) Warum handelt es sich hier nicht um ein Inertialsystem?
(b) Skizzieren Sie die Richtung der Coriolis-Kraft (links oder rechts bzgl.
~x˙ ) für einen Massenpunkt, der sich entlang des nullten Längengrads
vom Nordpol zum Südpol bewegt und dann zurück zum Nordpol entlang des 180. Längengerads.
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Theoretische Physik I
Weihnachtszettel
Aufgabe 3: Gekoppelte Weihnachtsglocken
Drei gleiche Weihnachtsglocken (Masse m, Länge l) sind durch zwei ideale
Federn derselben Federkonstante k verbunden und bewegen sich im homogenen Schwerefeld der Erde. Die Länge jeder der unbelasteten Federn ist
jeweils gleich dem Abstand der Aufhängungspunkte der zwei durch sie verbundenen Glocken.
(a) Formulieren Sie die Lagrange-Funktion im Falle kleiner Auslenkungen.
(b) Leiten Sie daraus die Bewegungsgleichungen ab.
(c) Zeigen Sie durch Rechnung, dass
ω12 =
g
k
+ ,
l
m
ω22 =
g
g 3k
, ω32 = +
l
l
m
die Eigenfrequenzen des Systems sind.
(d) Berechnen Sie die zu den zwei langsamsten Eigenschwingungen gehörenden Normalschwingungen (Eigenvektoren).
Aufgabe 4: Trägheitstensor
Berechnen Sie die Hauptträgheitsmomente und Hauptträgheitsachsen des
Trägheitstensors


2 0 0
J = 0 2 1 kgm2
0 1 2
2
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Aufgabe 5: Massepunkt im Kreiskegel
Weihnachtszettel
(K)
Ein Massepunkt mit Masse m bewege sich unter Einfluss der (erdnahen)
Schwerkraft reibungsfrei auf der Innenseite eines Kreiskegels, dessen Symmetrieachse senkrecht auf der Erdoberfläche steht und der nach oben offen
ist, siehe Figur, 0 < α < π/2.
(a) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen auf.
(b) Welche (kinematischen) Größen sind aus welchen Gründen erhalten ?
(c) Bestimmen Sie die Hamiltonfunktion. Ist diese gleich der Energie ?
(d) Stellen Sie die Hamiltonschen Bewegungsgleichung auf.
(e) Bestimmen Sie die Zwangskräfte.
Aufgabe 6: ebenes Pendel
(K)
Der Aufhängepunkt x0 , y0 eines ebenen Pendels (Masse m, Länge l) werde
horizontal harmonisch bewegt, x0 (t) = A cos Ωt, y0 (t) = 0.
(a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung im erdnahem Gravitationsfeld auf.
(b) Lösen Sie die Bewegungsgleichung für kleine Ausschläge ϕ und die
Anfangsbedingungen ϕ(0) = ϕ̇(0) = 0.
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Aufgabe 7: Ringbahn
(K)
Weihnachtszettel
Eine Perle der Masse m bewege sich reibungsfrei unter dem Einfluß der
Schwerkraft, ~g = g~ey , auf einer kreisförmigen Bahn.
(a) Stellen Sie die Lagrangefunktion auf. Verwenden Sie dazu eine geeignete verallgemeinerte Koordinate. Machen Sie eine Skizze.
(b) Stellen Sie die Euler-Lagrange-Gleichung auf und leiten Sie die Bewegungsgleichung für die verallgemeinerte Koordinate her.
(c) Die Perle ruhe zur Zeit t = 0 auf halber Höhe (z.B. auf 9 Uhr). Leiten
Sie die Formel her, mit der die Zeit berechnet werden könnte, in der
die Perle den unteren Halbkreis durchläuft
Aufgabe 8: Lösung des harmonischen Oszillators mittels PoissonKlammern (K)
Die Poisson-Klammern zweier klassischer Observabler sind wie folgt definiert
X ∂f ∂g
∂f ∂g
[f, g] ≡ {f, g} :=
−
∂qi ∂pi ∂pi ∂qi
i
Dabei sind qi die generalisierten Koordinaten und pi die generalisierten Impulse. Mit Hilfe der Poisson-Klammern kann man die Zeitentwicklung des
harmonischen Oszillators bestimmen. Gehen Sie dabei in folgenden Schritten
vor:
(a) Stellen Sie die Hamilton-Funktion eines eindimensionalen harmonischen Oszillators mit der Frequenz ω sowie die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen auf
(b) Nehmen Sie nun an, Sie kennten die Funktion q(t). Entwickeln Sie
diese Funktion in eine Taylor- Reihe und bestimmen Sie die Entwicklungskoeffizienten über Poisson-Klammern mit der Hamiltonfunktion.
Vereinfachen Sie die entstandene Reihe
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Weihnachtszettel
Aufgabe 9: Elektrische Felder
Berechnen Sie das elektrische Feld von:
(a) Rudolph’s roter Nase, wobei Sie diese als punktförmig annehmen dürfen.
(b) Einer Weihnachtsbaumkugel.
(c) Wie sieht die Ladungsverteilung von n Elektronen auf einer Kugeloberfläche aus? Skizzieren Sie den Fall für n = 2, 3. Können Sie etwas über
n → ∞ sagen?
Aufgabe 10: Kontinuitätsgleichung
Leiten Sie die Kontinuitätsgleichung für Ladung und Strom aus den Maxwellschen Gleichungen ab.
Aufgabe 11: Kreisförmiger Leiter
(K)
Ein unendlich dünner metallischer Leiter sei zu einer kreisförmigen Schleife
mit Radius R geformt und werde von einem Strom I durchflossen. Bestimmen Sie das magnetische Feld B auf der Symmetrieachse des Leiters.
Aufgabe 12: Kreisförmige Leiterschleife
(K)
Eine kreisförmige Leiterschleife mit dem Radius R bewege sich mit konstanter Geschwindigkeit v senkrecht zu ihrer Ebene im Feld eines magnetischen
Dipols m im Ursprung. Die Bahn des Zentrums der Schleife verläuft durch
den Ursprung, siehe Figur.
(a) Berechnen Sie den magnetischen Fluß φ durch die Schleife.
(Hinweis: in kartesischen Koordinaten rechnen)
(b) Welche Spannung U wird in der Leiterschleife induziert ?
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Aufgabe 13: Lösung von Maxwell Gleichungen
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(K)
Wir betrachten den Ansatz
~ x, t) = α~e1 cos(ωt − kz),
E(~
~ x, t) = β~e2 cos(ωt − qz)
B(~
wobei ω eine gegebene Konstante ist, und k, q, α, β zu bestimmende Kon~ und
stanten sind. Welche Bedingungen müssen k, q, α, β erfüllen, so dass E
~ Lösungen von Maxwell-Gleichungen im Vakuum sind?
B
Aufgabe 14: Wasserstoffatom
Das elektrostatische Potential in einem Wasserstoffatom im Grundzustand
ist von der Form
r
2r
e
1+
exp −
Φ=
r
aB
aB
Dabei ist e die Elementarladung und aB = 0, 53Å der Bohrsche Radius.
(a) Bestimmen Sie das elektrische Feld E(r) und die Ladungsdichte %(r).
(b) Berechnen Sie mit Hilfe des Gaußschen Gesetzes die Ladung q(R) und
interpretieren Sie das Resultat.
Aufgabe 15: Plattensender
(K)
Ein PPlattensenderërzeugt rechts und links der Ebene x1 = 0 das elektrische
Feld
~ x, t) = E0~e2 [Θ(x1 ) cos(kx1 − ωt) + Θ(−x1 ) cos(kx1 + ωt)]
E(~
Dabei ist Θ(x) die Stufenfunktion und ω = c · k. Berechnen Sie, welche
~ x, t) man braucht, um dieses Feld zu erzeugen. Geben Sie
Stromdichte J(~
~ x, t) an.
zunächst einen Ausdruck für B(~
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Weihnachtszettel
Aufgabe 16: Bewegung eines Teilchens im elektromagnetischen
Feld (K)
Die kovariante Bewegungsgleichung eines Teilchens im elektromagnetischen
Feld lautet
dpµ
q
= F µν uν
dτ
c
(a) Wie erhält man daraus den üblichen Ausdruck für die Lorentz-Kraft?
(b) Zeigen Sie, dass p2 = pµ pµ eine Erhaltungsgröße ist.
(c) Wie verhält sich p2 , falls wir einen zusätlichen Term −Γpµ auf der
rechten Seite hinzufügen? Wäre ein solcher Term physikalisch sinnvoll?
Aufgabe 17: Zerfall
(K)
Ein instabiles Teilchen (nicht unbedingt in Ruhe) zerfällt in zwei Teilchen.
Im Detektor werden die Impulse p~b , p~c der Zerfallsprodukte gemessen, und
ihre Massen mb , mc seien auch bekannt. Wie bekommt man die Masse ma
des zerfallenden Teilchens?
Wünsche euch frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins
neue Jahr!!
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