Teil III: Aufgaben zur Vektorrechnung Ohne Lösungsweg
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Staatliche Studienakademie Leipzig Brückenkurs Mathematik Studienrichtung Informatik 14. - 17. September 2009 Teil III: Aufgaben zur Vektorrechnung Ohne Lösungsweg 1. Aufgabe: Gegeben sind die Vektoren: A=1, 2, 3 =−1, 1, 2 B Bestimmen Sie die Vektoren: A B , A− B , 3 A2 B , A⋅ B , A× B Lösungen: A B = 0, 3, 5 A− B = 2,1, 1 3 A2 B = 1, 8, 13 A⋅ B = 7 1 A× B = −5 3 2. Aufgabe: Ein Flugzeug fliegt relativ zur Erdoberfläche mit einer Geschwindigkeit von 800 km/h genau nach Osten. Es weht ein Wind mit 50 km/h von Nord nach Süd. Mit welcher Geschwindigkeit und in welcher Richtung würde das Flugzeug fliegen, wenn der Wind plötzlich aufhört? Die Geschwindigkeit des Flugzeugs in der Luft beträgt: ∣V 0∣ = 800250 2 = 801,56 km/h Bei geographischen Angaben ist Norden üblicherweise 0° und Osten 90°. Gemessen wird also im Uhrzeigersinn bzw. mathematisch negativ: = 86,42° 3. Aufgabe: Ein Schwimmer schwimmt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s genau rechtwinklig zur Strömung über einen 40 m breiten Fluss. Die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses betrage konstant 2 m/s. a) Geben Sie den Vektor der Geschwindigkeit des Schwimmers bezogen auf das Ufer an. b) Kann der Schwimmer das andere Ufer erreichen? Wenn ja, wie viel Zeit benötigt er dafür? Lösung: Der resultierende Vektor der Geschwindigkeit des Schwimmers bezogen auf das Ufer ist: v ges = 2,1 m s−1 b): Ja, der Schwimmer kann das andere Ufer erreichen. Jedoch kann er nicht direkt gegenüber seines Startpunktes landen, da der Fluss schneller fließt, als er schwimmt. t = = 40 s Der Schwimmer benötigt unabhängig von der Strömungsgeschwindigkeit 40 s zur Überquerung des Flusses. 4. Aufgabe: Ein Wagen der Masse m = 1000 kg bewegt sich entgegen dem Uhrzeigersinn längs einer kreisförmigen Rennstrecke vom Radius R = 5 km mit einer konstanten Geschwindigkeit v = 81 m/s. Man geben den Vektor der Bahngeschwindigkeit v und den der im Punkt P(4 km, 3 km) auf der Bahn an. Der Mittelpunkt des Kreises Zentrifugalkraft F liegt im Koordinatenursprung. Lösung: v = −48,6 ; 64,8m s−1 Für die Zentrifugalkraft erhält man: = 1049,76 ; 787,32 N F 5. Aufgabe: Bilden Sie die zu den folgenden Vektoren gehörenden Einheitsvektoren! 11 −2 2 , , a) A= 15 3 15 4 −8 1 b) B= , , 3 3 3 Lösung a): Der Einheitsvektor berechnet sich wie folgt: A a = ∣A∣ Damit ergibt sich: 11 2 2 a = ,− , = A 15 3 15 Vektor A ist der Einheitsvektor! Lösung b): Der Einheitsvektor berechnet sich wie folgt: B b = ∣B∣ Damit ergibt sich: 4 8 1 b = ,− , 9 9 9 6. Aufgabe: Welchen Winkel bildet der Vektor = mit den Koordinatenachsen? Gegeben ist: D A B C A= 1, 2 2,−3 B= 1, 2, 0 −2,−1, 5 C= Lösung: und den zu den Koordinatenachsen x, y und z parallelen Die Winkel zwischen D Einheitsvektoren i , j und k sind: D , i D , i = = 90 ° 2 D , j D , j = 0,48 = 27,58 ° D , k D , k = 1,09 = 62,42 ° in der y-z-Ebene. Folglich liegt der Vektor D 7. Aufgabe: Die drei Punkte A(2, 1, 5), B(5, 2, 8) und C(4,8,2) bilden ein Dreieck. Es ist mittels der Vektorrechnung die Fläche dieses Dreiecks zu ermitteln. Lösung: A = 17,04 FE 8. Aufgabe: Die acht Punkte A(1, 2, 3), B(5, 1, 4), C(6, 4, 4), D(2, 5, 3), E(2, 2, 6), F(6, 1, 7), G(7, 4, 7) und H(3,5,6) bilden ein Parallelepiped. Es ist mittels der Vektorrechnung das Volumen dieses Parallelepipeds zu ermitteln. Lösung: V = 36 9. Aufgabe: Bestimmen Sie die Komponenten des Einheitsvektors n , der zu den Vektoren B jeweils senkrecht (orthogonal) ist. Es sei: A=2,−3,1 =6, 1,−2 B Lösung: n = 1 ; 21 2 4 ; 21 21 A und 10. Aufgabe: =Q v × B wird durch die Lorentzbeziehung F Die magnetische Induktion B definiert. F ist die Kraft, die auf die Ladung Q wirkt, wenn sich diese mit der Geschwindigkeit v B bewegt. Berechnen Sie B aus den Ergebnissen der in der magnetischen Induktion drei Experimente: v1=1,0, 0 und F 1=Q0,−4, 2 v2=0, 1,0 und F2=Q 4, 0,−1 v3=0, 0,1 und F 3=Q−2, 1, 0 Lösung: Die Ergebnisse der drei Experimente sind widerspruchsfrei und liefern den gesuchten Vektor der magnetishen Induktion: B = 1, 2, 4
