Höhere Mathematik 2 f¨ur Physik (Analysis 1)

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. K. Buchner
Dr. S. Ulbrich
Wintersemester 2001/2002
Blatt 1
Höhere Mathematik 2 für Physik (Analysis 1)
Zentralübungsaufgaben: erste Zentralübung am Do. 25.10. mit Einschreibung in die Tutorgruppen.
Z 1. a) Man zeige:
i) Anstelle von A ⇒ B kann man B ⇒ A beweisen (sog. Kontraposition).
ii) Die Äquivalenz A ⇔ B läßt sich durch die zwei Implikationen A ⇒ B und B ⇒ A
begründen. (Eine Beweisrichtung genügt nicht!)
iii) Aus A ⇒ B und B ⇒ C folgt A ⇒ C .
b) Man formuliere mit Hilfe von Variablen x, y, . . . und den Quantoren ∀, ∃:
i) Keine Quadratzahl ist negativ.
iii) Die Multiplikation ist kommutativ.
ii) Es gibt keine größte natürliche Zahl.
iv) Die Gleichung x2 = 9 ist eindeutig lösbar.
c) Bilde die Negation von:
i) ∃ x : (A(x) ∧ B(x))
ii) ∀ x : (A(x) ⇒ B(x))
iii) ∀ ε > 0 : ∃ δ > 0 : ∀ x : (0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − b| < ε)
d) Wie sieht die Widerlegung der Aussage ∀x : (A(x) ⇒ B(x)) durch ein Gegenbeispiel aus?
Z 2. Seien A, B, C Mengen. Man zeige die Mengengleichheit A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C).
Z 3. Man beweise:
a)
n
X
k2 =
n
X
qk =
k=1
n(n + 1)(2n + 1)
für alle n ∈ N.
6
q n+1 − 1
für alle q 6= 1 und alle n ∈ N0 (geometrische Reihe).
q−1
k=0
X
n n+1
i
c)
=
für alle m, n ∈ N0 mit m ≤ n.
m+1
m
b)
i=m
Tutoraufgaben: Tutorgruppen am 29., 30. und 31.10.
T 1. Man beweise:
a)
n
X
k=1
k3 =
2
1
n(n + 1)
für alle n ∈ N.
2
n+1
1 − x2
n
b) (1 + x)(1 + x2 )(1 + x4 ) · · · (1 + x2 ) =
1−x
m 1
1
c)
≤
für alle m ∈ N und alle k ∈ N0 .
k mk
k!
für alle x 6= 1 und alle n ∈ N0 .
T 2. Die Fibonacci-Zahlen an sind definiert durch
a0 := 1,
a1 := 1,
an+1 := an−1 + an für n ≥ 1.
Man zeige n ≤ an ≤ 2n für alle n ∈ N0 .
Bitte wenden!
&
T 3. a) Gegeben sei die nebenstehende logische Schaltung mit Eingängen a, b, c
und Ausgang d.
i) Beschreibe die Schaltung durch
eine Aussagenform in a, b, c.
ii) Wann ist die Schaltung geschlossen, d.h. für welche a, b, c ist d
wahr?
iii) Man ermittle eine einfachere äquivalente Schaltung.
&
>1
&
&
a
b
c
>1
a
1
1
1
1
0
0
0
0
b) Man ermittle Schaltungen, welche die
durch nebenstehende Wahrheitstabelle
gegebenen Funktionen g, h, k der Variablen a, b, c realisieren.
d
b
1
1
0
0
1
1
0
0
c
1
0
1
0
1
0
1
0
g
1
1
0
0
1
1
1
1
h
1
0
1
0
0
0
0
0
k
1
1
1
1
1
1
1
0
T 4. a) Dirichletsches Schubfachprinzip: Seien n > m natürliche Zahlen. Man zeige, daß jede
Abbildung f : {1, . . . , n} → {1, . . . , m} nicht injektiv ist, also zwei verschiedene Zahlen
n1 , n2 ∈ {1, . . . , n} existieren mit f (n1 ) = f (n2 ).
b) Auf einem rechteckigen Waldgrundstück der Abmessung 20m × 30m stehen 25 Bäume.
Man zeige mit Hilfe von a), daß mindestens zwei der Bäume einen Abstand von weniger
als 7, 10m haben.
Hausaufgaben:
H 1. Man beweise durch vollständige Induktion:
n
X
1
1
a)
=1−
für alle n ∈ N.
k(k + 1)
n+1
k=1
b) 2k−1 < k! für alle k ∈ N \ {1, 2}.
m
1 m X 1
c)
1+
≤
< 3 für alle m ∈ N.
m
k!
k=0
H 2. Sei n eine natürliche Zahl. Man zeige, daß die Menge {1, . . . , n} genau so viele Teilmengen
mit einer ungeraden Anzahl von Elementen wie Teilmengen mit einer geraden Anzahl von
Elementen hat.
H 3. Seien M, N Mengen. Man zeige die Mengengleichheit M ∩ N = M \ (M \ N ).
H 4. Es sei A = {a1 , . . . , am } eine m–elementige und B = {b1 , . . . , bn } eine n–elementige Menge.
a) Wie viele Abbildungen f : A → B gibt es?
b) Wie viele davon sind injektiv? Dabei nennt man f : A → B injektiv, wenn für alle a1 , a2 ∈
A mit a1 6= a2 gilt f (a1 ) 6= f (a2 ).
Begründen Sie Ihre Antworten durch Induktion.
H 5.∗ Man beweise die Lagrangesche Identität
!
!
!2
n
n
n
n X
k−1
X
X
X
X
2
2
ai ·
bk =
ai bi +
(ai bk − ak bi )2 .
i=1
k=1
i=1
k=2 i=1
Tip: Zeige durch vollständige Induktion, daß die Differenz beider Seiten null ist.
**********
Abgabetermin:
Wegen des Feiertages am 1.11.2001 ausnahmsweise am Freitag, den 2.11.2001,
bis 12.30 Uhr im Briefkasten an der Westseite von S0320.
Terminänderung: Tutorgruppe G3 (S. Ulbrich): Di. 13.45 Uhr–15.15 Uhr in 0602 (Theresienstr.).