Einstieg in die Welt der Mathematik am 15 August 2001

Einstieg in die Welt der Mathematik
am 15 August 2001
Im Sommer lockt das Schwimmbad, im
Winter kalter Schnee, aber in der Schule, es
Hausaufgaben weht!
Alles geht ganz schnell, doch was soll man
machen, wenn das denken quält??? Nach
einer Packung Aspirin und `ner Krise hilft
nur noch die Rettung
>> Schnell wegzuziehen!<<
Mit Verständnislosem Blick auf diesen
Schund, kehrt auch noch der Rechner
auf den Grund.
Wenn sich dann nach einiger Zeit der Qualm
verzieht und Du des Rätsels Lösung siehst,
kannst du dich nach Stundenlangem toben
endlich einmal selber loben. Wenn du dann
dein Leben lebst, vergesse nie warum du
lebst!!!
__________________
Die erste Mathematikstunde im MSS in Herxheim, mit Hr. Schnurr (Ma1),
erörterte uns, wie man die Unendlichkeit am besten in den Griff bekommt.
Hilfsmittel:
Lambacher Schweizer Gesamtband der „Analysis LK“
ISBN 3-12-732180-5
Lambacher Schweizer „Analytische Geometrie mit linearer Algebra“
ISBN 3-12-732320-4
I. Unendlichkeit
15.8.`01
1. Geschichtliches
Galileo Galilei
( 1564-1642 ) fragt: „Wie viel Quadratzahlen gibt es im
Vergleich zu den natürlichen Zahlen?“
Erste Behauptung:
Natürliche Zahlen:
0
1
2
3
4
5
usw.
Quadratzahlen:
0
1
4
9
16
25
usw.
Es sind gleich viele, denn sie lassen sich alle zuordnen, 0=0; 1=1; 2²=2;
3²=9; 4²=16; 5²=25; usw.
Zweite Behauptung:
Wenn man aber jede Zahl zur gleichen Zahl ( 4=4 ) zuordnet, also nicht zum
Quadrat nimmt, sind es nicht gleich viele !
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
4
8
9
10
11
usw.
9
Also schließen wir daraus, dass es mehr natürliche Zahlen, als
Quadratzahlen gibt.
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Blaise Pascal
Annahme:
( 1623-1662 ) fragt nach Eigenschaften des Unendlichen.
Unendlich (
Erste Behauptung:
, u ) sei eine unendlich große Zahl.
„u + 1 = u“
Wiederspruch,
denn angenommen u=6, dann lautet die Formel
„6 + 1 = 6“ !
Zweite Behauptung:
„u sei gerade“
Wiederspruch
u + 1 = u, kann aber niemals gerade sein, denn wenn u=6, dann ist neues u
(=7) ungerade. Würde man aber zum neuen u (=7) wieder eins dazuzählen,
dann wäre es wieder gerade (=8).
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Arbeitsblatt zum Thema Unendlichkeit
Aus Galileo Galilei: Unterredungen und mathematische Demonstrationen (
1638 )
Salv. Ich setze voraus, Ihr wisset, welche Zahlen Quadratzahlen sind, und welche
nicht.
Simpl. Mir ist sehr wohl bekannt, dass eine Quadratzahl aus der Multiplikation einer
beliebigen Zahl mit sich selbst entsteht, so sind 4,9 Quadratzahlen, die aus 2,3
gebildet sind.
Salv. Vortrefflich; Ihr erinnert Euch auch, dass ebenso wie die Produkte Quadrate
heißen, diejenigen Zahlen, welche mit sich selbst multipliziert werden, Wurzeln
genannt werden. Die anderen Zahlen, welche nicht aus zwei gleichen Faktoren
bestehen, sind nicht Quadrate. Wenn ich nun sage, alle Zahlen, Quadrat- und
Nichtquadratzahlen zusammen, sind mehr, als alle Quadratzahlen allein, so ist das
doch eine durchaus richtige Behauptung, nicht?
Simpl. Dem kann man nicht widersprechen.
*
Salv. Frage ich nun, wie viel Quadratzahlen es gibt, so kann man in Wahrheit
antworten, eben so viel, als es Wurzeln gibt, denn jedes Quadrat hat eine Wurzel,
jede Wurzel hat ihr Quadrat, kein Quadrat hat mehr als eine Wurzel, keine Wurzel
mehr als ein Quadrat.
Simpl. Vollkommen richtig.
Salv. Wenn ich nun aber frage, wie viel Wurzeln gibt es, so kann man nicht leugnen,
dass sie eben so zahlreich
sind wie die gesamte Zahlenreihe, denn es gibt keine Zahl, die nicht Wurzel eines
Quadrates wäre. Steht dieses
fest, so muss man sagen, dass es eben so viel Quadrate als Wurzeln gibt, da sie an
Zahl ebenso groß als ihre Wurzeln sind, und alle Zahlen sind Wurzeln; und doch
sagten wir anfangs, alle Zahlen seien mehr als alle Quadrate, da der größere teil
derselben Nichtquadrate sind. Und wirklich nimmt die Zahl der Quadrate immer mehr
ab, je größer die Zahlen werden; denn bis 100 gibt es 10 Quadrate, d.h. der 10te Teil
ist quadratisch; bis 10 000 ist der 100ste Teil bloß quadratisch, bis 1 000 000 nur der
1000ste teil; und bis zu einer unendlich großen Zahl, wenn wir sie erfassen könnten,
müssten wir sagen, gibt es so viel Quadrate wie alle Zahlen zusammen.
Sagr. Was ist denn zu tun, um einen Abschluss zu gewinnen?
Salv. Ich sehe keinen anderen Ausweg als zu sagen, unendlich ist die Anzahl aller
Zahlen, unendlich die der Quadrate, unendlich die der Wurzeln; weder ist die Menge
der Quadrate kleiner als die der Zahlen, noch ist die Menge der letzteren größer; und
schließlich haben die Attribute des Gleichen, des Größeren und des Kleineren nicht
statt bei Unendlichem, sondern sie gelten nur bei endlichen Größen.
* Das Werk hat die Form eines aufgezeichneten Gesprächs zwischen drei Männern (Dialogform).
Salviati ist der überlegene Gesprächsführer, in der Regel die Stimme GALILEIS selbst. Sagredo ist ein
ebenbürtiger Partner, der präzise fragt und zum Gelingen der Gespräche beiträgt. Diese Figuren sind
nicht erdacht, sondern waren Freunde von GALILEI. Simplicio (d.h. der Einfältige) ist eine
Symbolfigur. In den Gesprächen über die Lehren des KOPERNIKUS zeichnet er sich durch geistige
Befangenheit und Beschränktheit aus. An einer Stelle lässt GALILEI den Simplicio wörtlich ein
Argument von Papst URBAN VIII vortragen, wodurch er sich dessen Feindschaft zuzieht.
Jennifer Berg