Aufgaben

Mathematik-Olympiaden in Rheinland-Pfalz
G LEICHUNGEN
Fortgeschrittene 1
Tipps, Tricks und Hinweise
Grundlegende Strategien für Gleichungssysteme:
(A) Zwei Gleichungen addieren/subtrahieren/..., sodass möglichst viele Variablen wegfallen und nur
noch eine Variable übrig bleibt. Die entstehende Gleichung nach dieser Variablen auflösen.
(B) Zwei Gleichungen so umformen, dass auf einer Seite dasselbe steht, dann gleichsetzen. Auch so können oft Variablen wegfallen.
(C) Eine Gleichung so umformen, dass dass eine Variable durch die anderen Variablen ausgedrückt wird,
also z.B. x = Term mit y und z. Dann diesen Term für x in einer anderen Gleichung einsetzen.
Satz von Vieta:
Sind x1 und x2 die Lösungen der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0, so kann man die Gleichung
äquivalent schreiben als ( x − x1 ) · ( x − x2 ) = 0. Es gilt dann p = −( x1 + x2 ) und q = x1 · x2 .
Faktorisierung:
Forme Terme einer Gleichung so um, dass sie als Produkt einfacher Terme geschrieben sind. Besonders
nützlich ist dies, wenn die Gleichung dann die Form
Term1 · Term2 · . . . · Termn = 0
hat. Dies ist äquivalent dazu, dass mindestens einer der Terme gleich 0 ist. Sind die Terme einfach genug,
kann man meistens sehr schnell Lösungen gewinnen. Denke an eine ggf. nötige Fallunterscheidung!
Wichtige Faktorisierungstechniken sind das Distributivgesetzt („rückwärts“), der Satz von Vieta und die
binomischen Formeln. Außerdem sind die Faktorisierungen von a3 + b3 und a3 − b3 aus dem Faktorisierungstraining oft nützlich.
Substitutionsmethode:
Ersetze einen Term durch eine neue Variable (Substitution), sodass die entstehende Gleichung einfacher
wird. Löse die neue Gleichung nach der neuen Variablen auf. Wenn die neue Variable bestimmt ist, setze
den alten Term wieder ein (Resubstitution) und löse nach der ursprünglichen Variablen auf.
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Faktorisierungstraining
Faktorisiere die folgenden Terme! Bei einigen Aufgaben ist eine vollständige Faktorisierung nicht möglich,
aber zumindest eine Summe aus faktorisierten Termen (und evtl. einer Zahl).
Tipp: Manchmal hilft es, sich ein „= 0“ hintendran zu denken. Gibt es offensichtliche Lösungen? Diese lassen sich
als Faktoren abspalten.
Ansonsten denke an binomische Formeln, quadratische Ergänzung, Satz von Vieta, Distributivgesetz!
a) x2 + 4x − 32
b) 2x2 − 10x
c) a2 − 5a + 6
d) x3 − 8x2 − 9x
e) x4 − 8x2 + 15
f) a3 + b3
g) a3 − b3
h) x2 y2 − x2 − y2
i) x3 + 5x2 − x − 5
j) x3 − 6x2 + 11x − 6
k) x4 + 3x2 + 2
l) a3 + a2 + a + 1
m) 2x2 + y2 − 2xy + 2x + 1
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Olympiade-Aufgaben
Hinweis: Die folgenden Aufgaben sind schwierig und es wird nicht erwartet, dass du sie alle im Rahmen des Workshops lösen kannst. Suche dir stattdessen ein bis zwei Aufgaben aus, die dir sympathisch
erscheinen.
Aufgabe 1. Man bestimme alle Tripel reeller Zahlen ( x, y, z), die das Gleichungssystem
x · y = 20
y · z = 12
x + y + z = 12
lösen.
Aufgabe 2. Ermittle alle Paare ( x, y) reeller Zahlen, die Lösungen des Gleichungssystems
( x + y)2 + 3( x + y) = 4
1
1 1
+
= −
x
y
6
sind.
Aufgabe 3. Bestimme alle reellen Lösungen des Gleichungssystems
x3 + y2 + x + 1 = 0
y3 + x2 + y + 1 = 0.
Tipp: Gleichungen subtrahieren, Lösung raten und faktorisieren.
Aufgabe 4. Löse die Gleichung
x4 − 6x3 + 14x2 − 15x + 4 = 0.
Tipp: Geschickt umformen und Substitution z = x2 − 3x.
Aufgabe 5. Wählt man reelle Zahlen x und y und setzt diese Werte in den Term
2x2 + 4y2 − 4xy − 4y + 3
ein, so erhält man (nach Berechnung) eine reelle Zahl, die im folgenden T ( x, y) genannt wird, also
T ( x, y) = 2x2 + 4y2 − 4xy − 4y + 3.
a) Zeige: wählt man y halb so groß wie x, dann gilt T ( x, y) = ( x − 1)2 + 2.
b) Zeige: Wählt man x und y gleich groß, dann kann T ( x, y) nicht negativ werden.
c) Bestimme den kleinsten Wert von T ( x, y), den man erreichen kann! Beweise deine Behauptung und
gib alle Paare ( x, y) an, für die man diesen kleinsten Wert erhält!
Tipp für b) und c): Quadrate sind immer größer oder gleich Null. Finde Faktorisierungen, die zu Quadraten führen
(z.B. mit binomischen Formeln)!
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