Information für Lehrer/innen
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Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe Information für Lehrer/innen Bildungsstandards – für höchste Qualität an Österreichs Schulen Aufgabe „Zahlengerade“ Markiere auf einer Zahlengeraden die folgenden Zahlen: 6 ; 1; 1,5; – __ 8 5 ; 4,2 __ 2 Aufgabe „Bremsweg“ Die Länge des Bremswegs bei einem Auto hängt vor allem von der Fahrgeschwindigkeit ab. Als Faustregel gilt, dass die Länge B des Bremswegs (in m) errechnet werden kann, indem man die Geschwindigkeit v (in km/h) quadriert und das Ergebnis durch 100 dividiert. Stelle diese Faustregel für die Berechnung der Länge des Bremswegs B als Formal dar. Aufgabe „Schule 1“ In einer Schule sind 12-mal so viele Kinder wie Lehrpersonen. Stelle diesen Sachverhalt durch eine Gleichung dar, wenn gilt: K ..........Anzahl der Kinder L ..........Anzahl der Lehrpersonen Aufgabe „Kleine Würfel“ Maria baut aus kleinen Würfeln mit der Kantenlänge 1 cm verschiedene größere Würfel. Die neuen Würfel, die Maria baut, dürfen nicht hohl sein. Wie viele kleine Würfel benötigt sie jeweils? Vervollständige die Tabelle Anzahl der kleinen Würfel Kantenlänge des neuen Würfels 8 2 cm 3 cm 64 5 cm Aufgabe „Klassensprecherwahl“ Stelle das Ergebnis der Klassensprecherwahl mithilfe einer geeigneten Graphik in einem passenden Diagramm dar. Kandidat/in Stimmenanzahl Sabine 4 Maria 12 Sebastian Waltraud 10% 10% 2 2 20% Aufgabe „Sebastians Hausübung“ Sebastian hat bei seiner Hausübung nur bei einer Rechnung das richtige Ergebnis erhalten. Erkläre ihm, was er falsch gemacht hat. „Ich hab bei beiden Rechnungen ganz gleich gerechnet!“ 453 + 199 + 1 = 453 + 200 = 653 342 – 201 – 1 = 342 – 200 = 142 Aufgabe „Gleichung“ Löse folgende Gleichung: (x + 3,2) · x = x2 + 4,8 Aufgabe „Zwei Gleichungen“ Löse das Gleichungssystem: I: 3c – 4d = – 7 II: c=d–1 Aufgabe „Satz von Thales“ Konstruiere mithilfe eines dynamischen Geometrieprogramms (wie z. B. GeoGebra) ein Dreieck ABC, dessen Eckpunkte A und B die beiden Endpunkte des Durchmessers eines Halbkreises sind. Der Eckpunkt C liegt auf dem Halbkreis. Bewege den Punkt C entlang des Halbkreises und miss an 5 Stellen die Größe des Winkels ∠ ACB und notiere die Ergebnisse deiner Messungen. Aufgabe „Figur“ Ermittle den Flächeninhalt der dargestellten Figur. 10 cm 10 cm 20 cm 20 cm 12 cm 12 cm 18 cm 18 cm Aufgabe „Rechteck“ Ein Rechteck hat einen Flächeninhalt von 24 m2. Länge und Breite des Rechtecks (in Meter) sind ganze Zahlen. Welche Seitenlängen kann das Rechteck haben? Gib alle Möglichkeiten an. 2 Aufgabe „Körpergröße“ Sebastian ist mit einer Körpergröße von 148 cm der größte Schüler in seiner Klasse. Allerdings beträgt die Spannweite der Körpergröße der Schüler nur 9 cm. Wie groß ist der kleinste Schüler in Sebastians Klasse? Aufgabe „Geldbetrag“ Ein Geldbetrag wird verdoppelt. Welche Aussagen sind richtig? A Der neue Geldbetrag ist um 100 % größer als der ursprüngliche Geldbetrag. B Der neue Geldbetrag beträgt 200 % des ursprünglichen Geldbetrags. C Der neue Geldbetrag ist um 200 % größer als der ursprüngliche Geldbetrag. D Der ursprüngliche Betrag ist um 50 % kleiner als der neue Geldbetrag. E Der neue Geldbetrag ist um 50 % größer als der ursprüngliche Geldbetrag. Aufgabe „Aufzug“ Das Diagramm stellt näherungsweise die Probefahrt eines Aufzugs in einem Hochhaus mit 8 Stockwerken dar. Beschreibe den Fahrtverlauf des Aufzugs in Worten. 2 Aufgabe „Schule 2“ In einer Schule sind L Lehrpersonen und K Kinder. Was sagt die Gleichung K = 12 · L aus? Aufgabe „Sparzinsen“ Die Zinsen Z, die jeder Sparer in Österreich nach einem Jahr und nach Berücksichtigung der Kapitalertragssteuer (KESt) tatsächlich erhält, können mit folgender Formel berechnet werden K·p (K ist das Anfangskapital, p ist der Bankzinssatz, ____ ist die Höhe der Zinsen ohne 100 Berücksichtigung der KESt): K·p Z = _____ · 0,75 100 Interpretiere den Faktor 0,75. Welche Bedeutung hat dieser Faktor für den Sparer? Aufgabe „Auto“ Ein Auto ist auf einer geradlinigen Teststrecke auf dem Weg vom Start zum Ziel. Es kann dabei fahren oder stehen. Es kann beschleunigen, bremsen oder mit konstanter Geschwindigkeit fahren. Die vier Abbildungen zeigen Graphen, die diese Möglichkeiten darstellen. s ... Entfernung vom Startpunkt (zurückgelegter Weg) v ....Geschwindigkeit t ....Zeit Vier Vorschläge (A, B, C, D), die beschreiben, was die Abbildungen in Hinblick auf dieses Auto bedeuten, liegen vor. Ordne die Abbildungen den Beschreibungen zu. v s Abbildung 1 t Abbildung 2 t v Abbildung 3 Beschreibung A: Das Auto beschleunigt. B: Das Auto steht. C: Das Auto bremst. D: Das Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit. Abbildung 4 t Abbildung Aufgabe „Boxplot“ Der Boxplot in der Abbildung gibt einen Überblick über das Bruttojahreseinkommen in € der Angestellten eines Unternehmens. Notiere möglichst viele Informationen, die du der Darstellung entnehmen kannst. 0 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 70.000 Frauen Männer Aufgabe „Potenzrechnen“ Eine Rechenregel für das Rechnen mit Potenzen lautet: ar · as = ar+s a ∈ R, r, s ∈ N Begründe die Gültigkeit dieser Regel. Aufgabe „Division durch 5“ Erika dividiert eine dreistellige natürliche Zahl mit der Einerziffer 3 durch die Zahl 5. Sie behauptet: Das Ergebnis ist eine natürliche Zahl und der Rest ist 0. Begründe, warum diese Behauptung sicher falsch ist. Aufgabe „Temperatur in der Atmosphäre“ Die Abbildung zeigt den Temperaturverlauf in der Atmosphäre. Begründe, weshalb diese Abbildung nicht den Graphen einer Funktion darstellt. 110 100 Thermosphäre 90 Höhe in Kilometer 80 70 Mesosphäre 60 50 40 30 20 10 0 Stratosphäre Ozonmaximum Mount Everest –110 Troposphäre –55 0 Temperatur in °C 20 Aufgabe „Gärtner“ Ein Gärtner spannt eine Knotenschnur (die Abstände zwischen zwei benachbarten Knoten sind immer gleich groß) so wie in der Skizze dargestellt. Er sagt: “Nun habe ich für das Blumenbeet einen rechten Winkel festgelegt!“ Wieso kann er das mit Recht behaupten und wo liegt der rechte Winkel? Aufgabe „Rechtwinkeliges Dreieck“ Begründe: Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen a und b kann mithilfe 1 · a · b berechnet werden. der Formel A = __ 2 Aufgabe 1 Familie König möchte Erdbeeren kaufen. Im Obstgeschäft kostet 1 kg Erdbeeren 4 €. Im Erdbeerland kostet 1 kg Erdbeeren 2 €. Für die Fahrt zum Erdbeerland muss Familie König mit 6 € Gesamtfahrtkosten rechnen. Stelle eine Formel für die Gesamtkosten KE im Erdbeerland und die Gesamtkosten KO im Obstgeschäft auf, wenn jeweils x kg Erdbeeren gekauft werden. KE = ……………………….. KO = ……………………….. Aufgabe 2 Beim Einkauf von x kg Erdbeeren im Erdbeerland entstehen Gesamtkosten KE = 2x + 6. Im Obstgeschäft betragen die Kosten für x kg Erdbeeren KO = 4x (Kosten jeweils in €). Stelle die beiden Kostenfunktionen grafisch in einem Koordinatensystem dar. Aufgabe 3A Beim Einkaufen von x kg Erdbeeren im Erdbeerland entstehen Gesamtkosten KE = 2x + 6. Im Obstgeschäft betragen die Gesamtkosten für x kg Erdbeeren KO = 4x (Kosten jeweils in €). Wie hoch sind jeweils die Gesamtkosten für 4 kg Erdbeeren? Aufgabe 3B Beim Einkaufen von x kg Erdbeeren im Erdbeerland entstehen Gesamtkosten KE = 2x + 6. Im Obstgeschäft betragen die Gesamtkosten für x kg Erdbeeren KO = 4x (Kosten jeweils in €). Wie viel kg kann Familie König in beiden Fällen jeweils um 24 € kaufen? Aufgabe 3C Beim Einkaufen von x kg Erdbeeren im Erdbeerland entstehen Gesamtkosten KE = 2x + 6. Im Obstgeschäft betragen die Gesamtkosten für x kg Erdbeeren KO = 4x (Kosten jeweils in €). Wie viel kg Erdbeeren muss man kaufen, damit die Gesamtkosten gleich hoch sind? Aufgabe 4 Die Grafik zeigt die Graphen der Kostenfunktionen für den Kauf von Erdbeeren durch Familie König im Obstgeschäft und im Erdbeerland. a) Lies aus der Grafik ab, wie hoch die Gesamtkosten beim Kauf von jeweils 4 kg Erdbeeren sind. b) Lies aus der Grafik ab, wie viel kg Erdbeeren jeweils um 8 € gekauft werden können. Aufgabe 5 Die Kosten für x kg Erdbeeren (in €) im Obstgeschäft kann man mit der Formel KO = 4x berechnen. Was gibt in diesem Zusammenhang die Zahl 4 an? Aufgabe 6 Die Graphik zeigt die Gesamtkosten für Familie König beim Kauf von Erdbeeren in einem Obstgeschäft bzw. im Erdbeerland. Wie kann man in diesem Zusammenhang den Schnittpunkt der Geraden interpretieren? Notiere mindestens 3 Informationen, die man der obigen Grafik (Aufgabe 6) entnehmen kann. Aufgabe 7 3 Familie König möchte Erdbeeren kaufen. Im Obstgeschäft kostet 1 kg Erdbeeren 4 €. Im Erdbeerland kostet 1 kg Erdbeeren 2 €. Für die Fahrt zum Erdbeerland muss Familie König mit 6 € Gesamtfahrtkosten rechnen. Die Gesamtkosten für Familie König beim Einkauf von x kg Erdbeeren im Erdbeerland betragen daher KE = 2x + 6. a) Wie verändert sich der Graph der Kostenfunktion KE, wenn das Erdbeerland den Preis pro kg erhöht? b) Wie verändert sich der Graph der Kostenfunktion, wenn Familie König kostenlos mit dem Nachbarn zum Erdbeerland mitfahren kann? Begründe deine Aussagen. Aufgabe 8 Familie König möchte Erdbeeren kaufen. Im Erdbeerland kostet 1 kg Erdbeeren 2 €. Für die Fahrt zum Erdbeerland muss Familie König mit 6 € Gesamtfahrtkosten rechnen. Peter König macht eine Tabelle, aus der die Gesamtkosten beim Kauf einer bestimmten Menge Erdbeeren ersichtlich sind. Menge in kg Gesamtkosten in € 1 2 3 4 5 . . 8 10 12 14 16 . . Besteht zwischen der Menge der gekauften Erdbeeren und den Gesamtkosten ein direktes oder ein indirektes Verhältnis oder keines von beiden? Begründe deine Meinung. Aufgabe „Wie hat euch das Essen geschmeckt?“ Das Jugendsportheim „Jugend alpin“ bittet am Ende jedes Schikurses die Schüler/innen, das Essen – also die gesamte Hausverpflegung während ihres Aufenthaltes – mit Punkten zu bewerten. Die Skala reicht von 0 Punkten = „Zum Glück hatte ich ausreichend Jause von zu Hause mitgenommen.“ bis zu 5 Punkten = „Einfach großartig, ich habe sicher zugenommen.“ Punktezahl Anzahl der Befragten 0 1 2 3 4 5 2 8 15 15 8 2 H1: Stelle das Ergebnis der Befragung graphisch dar. H2: Berechne den Mittelwert der Punktezahlen, die von den Schüler/innen abgegeben wurden. In der Woche zuvor wurde eine andere Schikursgruppe befragt. Das Säulendiagramm stellt das Ergebnis dieser Umfrage dar. Anzahl der Personen 35 30 25 20 15 10 5 0 0 Punkte 1 Punkt 2 Punkte 3 Punkte 4 Punkte 5 Punkte H3: Wie viele Schüler/innen haben bei dieser Umfrage die Qualität des Essens mit mindestens 3 Punkten bewertet? H4: Der Küchenchef gab zu diesem Säulendiagramm folgenden Kommentar ab: „Normalerweise bin ich mit einer durchschnittlichen Punktezahl von 2,5 Punkten zufrieden. Aber wenn ich genauer hinschaue, muss ich sagen: Diesen Menüplan darf ich nicht noch einmal machen!“ Wieso behauptet er das? Begründe. Aufgabe 1 Erinnere dich: In jedem rechtwinkeligen Dreieck gilt der Lehrsatz des Pythagoras: Der Flächeninhalt des Quadrats über der längsten Seite (Hypotenus) ist gleich groß sie die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den kürzeren Seiten (Katheten). Stelle diesen Sachverhalt für das rechtwinklige Dreieck mit den Seitenlängen 3 cm, 4 cm und 5 cm grafisch dar. Aufgabe 2A Berechne den Flächeninhalt des dritten Quadrats. Aufgabe 2B Berechne den Flächeninhalt A des Quadrats über der kürzeren Kathete. Aufgabe 3 Entscheide jeweils, ob die angeführte Behauptung für das Dreieck in der Abbildung wahr oder falsch ist. Behauptung wahr Für das abgebildete Dreieck gilt r² + s² = t². ______ Für das abgebildete Dreieck gilt s = √ r2 + t2 . Für das abgebildete Dreieck gilt r = t² – s². ______ Für das abgebildete Dreieck gilt t = √ r2 + s2 . Für das abgebildete Dreieck gilt s² = t² – r². Für das abgebildete Dreieck gilt t² = (r + s)². Für das abgebildete Dreieck gilt t = r + s. falsch Aufgabe 4 Zwei Quadrate mit der Seitenlänge (a + b) werden durch je vier rechtwinklige Dreiecke mit den Kathetenlängen a und b und der Hypotenusenlänge c teilweise abgedeckt. Gib in Hinblick auf die folgende Abbildung der zwei teilweise abgedeckten Quadrate eine Argumentationskette an, aus der folgt: a² + b² = c² Quadrat 1 Aufgabe 1 Multipliziere folgende Binome: (x+v) · (y+w) = Quadrat 2 Aufgabe 2 Erinnere dich: Das Produkt von zwei positiven Zahlen kann man als Flächeninhalt eines Rechtecks deuten. a) Stelle das Produkt a · b grafisch dar. b) Stelle das Produkt (c+d) · e grafisch dar. c) Stelle das Produkt (x+v) · (t+w) grafisch dar. Anmerkung: Alle vorkommenden Variablen stehen für positive Zahlen. Aufgabe 3 c b stellt das Produkt von 2 Polynomen grafisch dar. a folgende Grafik Die Welche Polynome werden miteinander multipliziert? Lies aus der Grafik auch ab, welche Teilprodukte entstehen. Schreibe die Multiplikation der beiden Polynome sowie das Ergebnis der Multiplikation an. ay by cy y ax bx cx x a b c Aufgabe 4A Erinnere dich: Das Ergebnis der Multiplikation von zwei positiven Zahlen kann man als Flächeninhalt eines Rechtecks darstellen. Die Regel für die Multiplikation von zwei Binomen lautet: (a + b) · (c + d) = ac + bc + ad + bd Begründe die Richtigkeit dieser Formel für positive Werte der Variablen mithilfe einer geeigneten Grafik. Erläutere deine Grafik in Worten. Du kannst dabei auch Variable verwenden. ab bb b aa ab a a b Aufgabe 4B Eine der binomischen Formeln lautet: (a + b)² = a² + 2ab + b². Begründe die Richtigkeit dieser Formel für positive Werte der Variablen durch einen grafischen Beweis. Schreibe dazu das Quadrieren als Multiplikation an und stelle diese Multiplikation grafisch dar. Verwende diese Darstellung dann als Grundlage für deinen Beweis in Worten und Variablen. Aufgabe Ein Kapital von € 8 500,- wird mit 3,5 % im Jahr verzinst. Berechne die Zinsen nach einem Jahr. Aufgabe Eine Streckenlänge wird mit 8 500 m angegeben. Bei der Messung kann aber ein Fehler von maximal 3,5 % aufgetreten sein. Wie lang ist die Strecke mindestens bzw. höchstens? Aufgabe Den Schülerinnen und Schülern der 2. Klasse wird folgende Aufgabe gestellt: Ein Kapital von € 8 500,- wird mit 3,5 % im Jahr verzinst. Beschreibe, wie du die Zinsen für ein Jahr berechnen würdest. Folgende Lösungsvorschläge kommen: Susi: Ich rechne 8 500 mal 3,5 und dividiere das Ergebnis durch 100. Maria: Ich dividiere 8 500 durch 3,5. Manuel: Ich rechne 8 500 mal 3,5. Karin: Ich rechne 85 mal 3,5. Das Ergebnis dividiere ich durch 100. Erich: Ich rechne 8 500 mal 0,035. Hannah: Ich dividiere 8500 durch 100 und multipliziere das Ergebnis mit 3,5. Entscheide für jeden der 6 Vorschläge, ob er zum richtigen Ergebnis führt. Aufgabe 1 Susi behauptet: Wenn man die Seitenlänge eines Quadrats verdoppelt, verdoppelt sich auch sein Flächeninhalt. Untersuche, ob diese Behauptung richtig ist. Aufgabe 2 Martin behauptet: Der Umfang eines Rechtecks verdoppelt sich, wenn man die Länge einer Seite verdoppelt. Widerlege diese Aussage. Kannst du zusätzlich herausfinden, wie man die Längen der Rechteckseiten ändern muss, damit sich der Umfang verdoppelt? Aufgabe 3 Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn man a) die Länge a verdoppelt b) die Breite b verdoppelt c) die Länge a und die Breite b verdoppelt? D C b Erkläre dein Ergebnis deinem Sitznachbarn/deiner Sitznachbarin. Fertige dazu eine geeignete Zeichnung an. A a B Aufgabe 4 Frau Bauer sagt zu ihrem Mann: „Unser rechteckiger Gemüsegarten ist mir zu klein. Der Garten sollte eine doppelt so große Anbaufläche haben.“ Herr Bauer antwortet: „Wir haben genug Platz. Wir machen einfach jede Seite doppelt so lang. Und weil ich deinen Wunsch kenne, habe ich auch schon eine neue, im Vergleich zur jetzigen doppelt so lange Beeteinfassung gekauft.“ Schreib auf, was Frau Bauer ihrem Mann antworten wird, wenn sie sich die Antwort genauer überlegt hat. Aufgabe 5 Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Begründe deine Antwort. Verdoppelt man jede Kantenlänge eines Würfels, so ist das Volumen des neuen Würfels A B C D E doppelt so groß. dreimal so groß. viermal so groß. achtmal so groß. vierundzwanzig Mal so groß. 4 Aufgabe 6 Wird bei einem Rechteck die Länge jeder Seite verdoppelt, so verdoppelt sich der Flächeninhalt. Widerlege diese Aussage. Aufgabe 7 Wird bei einem Rechteck die Länge jeder Seite verdoppelt, so verdoppelt sich der Umfang. Beweise diese Aussage. Aufgabe 8 Wird bei einem Rechteck die Länge jeder Seite verdoppelt, so vervierfacht sich der Flächeninhalt. Beweise diese Aussage. Lösung bzw. möglicher Lösungsweg: A=a·b Aneu = 2 · a · 2 · b = 4 · a · b = 4 · A Aufgabe 9 Gegeben ist ein Quader mit den Kantenlängen a, b, c. Wird jede Kantenlänge verdoppelt so verachtfacht sich das Volumen. Beweise diese Aussage! Lösung bzw. möglicher Lösungsweg: Vneu = 2a · 2b · 2c = 8 · abc = 8 Valt Aufgabe 10 Das Volumen eines Quaders mit einer Grundfläche von der Größe G = 8 und einer Höhe h wird durch die Funktion V(h) = 8 · h beschrieben. Zeige: Wird die Höhe a Mal so lang, so wächst das Volumen auf das a-fache. Welcher Funktionstyp liegt vor? Welche Form von Proportionalität liegt vor? Lösung bzw. möglicher Lösungsweg: V(h) = 8 · h V(a · h) = 8 · a · h = a · 8 · h = a · V(h) Es liegt eine homogene lineare Funktion vor. Es liegt eine direkte Proportionalität vor. Aufgabe 1 „Muster legen“, „Treppen bauen“ Lege aus Plättchen die abgebildeten Figuren. Trage in der Tabelle die Anzahl der Plättchen ein, die für 1, 2, 3, … 4 Reihen benötigt werden. Wie viele Plättchen benötigst du, wenn du eine fünfte Reihe ergänzt? a) Anzahl der Reihen Anzahl der Plättchen 1 2 3 4 5 b) Anzahl der Reihen Anzahl der Plättchen 1 2 3 4 5 Aufgabe 2 „Ergänzen, Vervollständigen“ a) Ergänze den fehlenden Preis. b) Im Kochbuch steht, dass man für einen Kuchen 25 dag Mehl benötigt. In der Bäckerei werden mehrere Kuchen gebacken. Wie viel dag Mehl benötigt man für die angegebene Anzahl von Kuchen? c) Vervollständige die Tabelle. 1 kg Äpfel 2€ 3 kg Äpfel € 1 Kuchen 25 dag Mehl 2 Kuchen dag Mehl 4 Kuchen dag Mehl 6 Kuchen dag Mehl Seitenlänge des Quadrats 2 cm 3 cm 4 cm Umfang des Quadrats Aufgabe 3 „Darstellen, Erfinden, Handeln, Diskutieren“ Bei der Bearbeitung von Aufgabenstellungen, wie sie im Folgenden exemplarisch angeführt werden, erleben die Schüler/innen einen Zugang zum Thema „Graphen funktionaler Zusammenhänge“ durch eigenes Darstellen, Erfinden, Handeln und durch Diskussion. a) Ergänze zu folgender Geschichte einen passenden Funktionsgraphen. Fahrt in den Urlaub mit Hindernissen Zeitig am Morgen starten Vater und Mutter gemeinsam mit ihren beiden Kindern und dem Familienhund Pepe die Fahrt in den Urlaub. Gemächlich fahren sie auf der Landstraße dahin. Doch plötzlich ruft Mutter: „Ich glaube, ich habe vergessen, das Bügeleisen auszuschalten.“ Es nützt alles nichts – sie müssen umkehren. Etwas verärgert fährt Vater, der am Steuer sitzt, mit deutlich größerer Geschwindigkeit zurück nach Hause. Ein kurzer Aufenthalt dort genügt, um festzustellen: Das Bügeleisen war ausgeschaltet. Nun kann es aber wirklich losgehen. Ohne weitere Pannen erreichen sie ihren Urlaubsort. Unterwegs machen sie noch einen kurzen Stopp bei einer Raststätte, weil der Hund Pepe ein bisschen Bewegung braucht und die Kinder durstig sind. b) Maria hat heute auf ihrem Schulweg einiges erlebt. Notiere eine Schulweggeschichte, die zum abgebildeten Graphen passt. Entfernung von Zuhause Zeit c) „Graphen gehen“ (nach einer Idee aus mathematik lehren, Heft 156, Oktober 2009) Arbeitsauftrag: • Bildet Gruppen zu je 4 Personen. • Markiert einen Punkt auf dem Boden z. B. mit Kreide. • Schüler/in 1 bewegt sich nun so, wie in der Abbildung 1 dargestellt. Die anderen Gruppenmitglieder entscheiden, ob die Bewegung richtig ist. • Schüler/in 2 bewegt sich nun so, wie in der Abbildung 2 dargestellt. usf. Entfernung vom Punkt 4 Zeit Abbildung 1 Entfernung vom Punkt Zeit Abbildung 2 Entfernung vom Punkt Zeit Abbildung 3 4 Entfernung vom Punkt Zeit Abbildung 4 Aufgabe 4 a) Fülle eine Tasse mit heißem Wasser und miss in regelmäßigen Abständen die Wassertemperatur. Notiere die Messwerte in einer Tabelle und stelle sie grafisch dar. b) Miss die Länge einer Metallfeder. Hänge verschiedene Massen an die Feder und notiere jeweils die Längenänderung der Feder. Stelle den Zusammenhang zwischen der angebrachten Masse und der Längenänderung grafisch dar. c) Entzünde eine dünne Kerze. Miss ihre Länge in Abhängigkeit von der Brenndauer. Notiere die Messwerte in einer Tabelle und stelle sie grafisch dar. Aufgabe 5 Eine lineare Funktion wird durch die Funktionsgleichung f(x) = k · x + d dargestellt, wobei k und d beliebige reelle Zahlen sein können. Untersuche mithilfe eines dynamischen Geometrieprogramms (z. B. GeoGebra), wie sich der Graph der Funktion ändert, wenn du den Wert von k bzw. d änderst (siehe Abb.1 und Abb. 2). Halte deine Ergebnisse schriftlich fest. Abbildung 1 4 Abbildung 2 Aufgabe „Schulfest“ Beim dreitägigen Schulfest verkaufen die Schüler/innen gegrillte Spezialitäten und Getränke. Diese sollen zu folgenden Preisen angeboten werden. Erstelle mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms ein Formular, das die Berechnung der täglichen Einnahmen für unterschiedliche Verkaufszahlen ermöglicht. Lösung bzw. möglicher Lösungsweg: Remembery „Remembery“ überträgt die Idee des Spieles „Memory“ auf mathematische Inhalte. Dies ermöglicht die Festigung dieser Inhalte auf eine Weise, die spielerisch und nachhaltig zugleich ist. 4 Spielregel: 2 bis 4 Spieler/innen. Die Kärtchen werden mit der Textseite nach unten auf den Tisch gelegt. Die Jüngste dreht zwei Kärtchen ihrer Wahl um. Sagen die beiden Kärtchen inhaltlich dasselbe aus und erkennt dies die Spielerin auch, so darf sie dieses Kärtchenpaar an sich nehmen und weitere zwei Kärtchen umdrehen. Ergibt sich kein weiteres Inhaltspaar, so werden diese beiden Kärtchen wieder umgedreht und die Spielerin links neben der Jüngsten setzt in gleicher Weise fort. Gewonnen hat, wer am Schluss die meisten Kärtchenpaare besitzt. (Spielregel wegen Verständlichkeit nicht gegendert). Die im Anhang als Kopiervorlage vorhandene Variante dieses Spiels ist primär dem Handlungsbereich H1 zuzuordnen. Es geht um die Übersetzung verbaler Formulierungen von Operationen in symbolische Darstellungen von Operationen. (Anmerkung: Da diese Übersetzung auf den Spielkarten bereits vollzogen ist und der Zusammenhang zwischen zwei Kärtchen nur mehr richtig erkannt und gedeutet werden muss, ist auch ein H3-Anteil („Interpretieren“) vorhanden). Inhaltlich geht es um das Arbeiten mit Zahlen (I1), von der Komplexität her trifft K1 im Sinn des Einsetzens von Grundfertigkeiten zu. Tipps zur Verwendung der Kopiervorlage im Anhang: Es empfiehlt sich die Vorlage auf farbiges, dickes Papier zu kopieren, sodass keine Worte oder Rechenterme durchscheinen. Eine Folierung der Spielkärtchen erhöht die Haltbarkeit und die Attraktivität dieses Unterrichtsmaterials. Quartett Die im Anhang als Kopiervorlage bereitgestellten Quartettkarten eignen sich zum nachhaltigen Training verschiedener Fertigkeiten: Brüche als Teile des Ganzen zu erkennen, Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen, graphische Darstellung von Prozentsätzen. Besonders wichtig ist die Möglichkeit, die Schüler/innen auf spielerische Weise mit dem Begriff der relativen Häufigkeit vertraut zu machen. Was bedeutet eine relative Häufigkeit von z. B. 0,4? 0,4 entspricht 40 %, aber genau so dem Bruch __25 , der gedeutet werden kann als 2 von 5. 2 von 5 wiederum wird auch grafisch dargestellt. 5 5 5 2 5 5 0,4 2 2 5 5 5 5 5 5 0,4 2 0,4 5 5 0,4 5 5 5 5 5 5 40% 40% 40% 5 40% Spielanleitung: Die Karten werden auf 3 bis 4 Spieler/innen gleichmäßig verteilt. Jede/r versucht, möglichst viele Quartette (d. h. 4 Karten mit derselben Nummer) zu bekommen. Der jüngste Spieler beginnt zu fragen. Jan: „Elisabeth, ich möchte von dir die Grafik, auf der __12 abgebildet ist“ (oder: die Karte, auf der 50 % steht usw.). Wenn Elisabeth die Karte hat, gibt sie diese an Jan und Jan fragt weiter. Wenn Elisabeth die Karte nicht hat, sagt sie „abgeblitzt“. Jetzt darf Elisabeth weiter fragen. Hinweis: Man darf nur nach einer Karte fragen, bei der man selbst schon einen Teil des Quartetts hat. Cubic „Cubic“ ist ein Spiel, das nur einige Würfel und eine Tafel benötigt. Grundgedanke des Spiels: Die Augenzahlen der Würfel entsprechen den Zahlen 1 bis 6. Diese zufällig entstandenen Zahlen müssen durch + , – , · , : und Klammern so verknüpft werden, dass der entstehende Rechenterm eine der von der Spielleiterin vorgegebenen Zahlen ergibt. Beispiel: Die Spielleiterin schreibt die folgende Tabelle an die Tafel: Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4 Peter Stefanie Ali Nida 15 16 17 18 19 20 15 16 17 18 19 20 15 16 17 18 19 20 15 16 17 18 19 20 Die geworfenen Augenzahlen sind 6, 1 und 4. Ein möglicher Term, der zum gewünschten Ergebnis führt, wäre: 6 · (4 – 1). Die Gruppe, die gerade gewürfelt hat, dürfte nun die Zahl 18 aus ihrer Zahlenreihe streichen. Die Gruppe könnte aber auch entscheiden, den Term (6 – 1) · 4 zu nehmen und in dieser Runde die Zahl 20 streichen. Gewonnen hat jene Gruppe, die als erste alle ihre Zahlen streichen konnte (oder die innerhalb einer festgelegten Zeit, z. B. 20 Minuten, die meisten Zahlen streichen konnte). Weitere Spielregeln: • Die Klasse/Lerngruppe wird in drei oder höchstens vier Gruppen eingeteilt. • Eine Schülerin darf Assistentin der Spielleiterin sein. Sie schreibt jeweils die geworfenen (Augen) Zahlen einer Gruppe in das freie Feld der Tabelle und streicht eine der vorgegebenen Zahlen, falls die betreffende Gruppensprecherin eine korrekte Lösung vorschlagen hat. • Jede Gruppe wählt eine Gruppensprecherin. Diese nennt jeweils den Term, für den sich die Gruppe entschieden hat. Nur die Antwort der Gruppensprecherin zählt. • Jede Gruppe bekommt drei Würfel. Die drei Würfel wandern innerhalb der Gruppe von Schülerin zu Schülerin weiter. Pro Runde würfelt immer nur eine Schülerin. • Es würfelt immer nur eine Gruppe. Sie hat bis zu 45 Sekunden Zeit, einen geeigneten Rechenterm zu finden. Zur Überwachung der 45 Sekunden kann eine Zeitmesserin eingeteilt werden, die evtl. eine Sanduhr erhält. • Jede (Augen)Zahl muss verwendet werden und jede Zahl darf nur einmal verwendet werden. • In jeder Runde kann nur eine Zahl der Zahlenreihe gestrichen werden. • Ab der 7. Schulstufe dürfen aus den gewürfelten (Augen)Zahlen auch Potenzen gebildet werden. (Spielregeln wegen besserer Lesbarkeit nicht gegendert). Hinweise aus der Praxis: Das Spiel weckt Emotionen und verlangt Disziplin. Dennoch kann es auch in großen Klassen erfolgreich eingesetzt werden. Gut bewährt haben sich die letzten 25 Minuten einer Unterrichtseinheit. Das Spiel eignet sich besonders zur Festigung des richtigen Einsatzes von Klammern und der korrekten Anwendung der Vorrangregeln. Methode „Kopfübungen“ Kopfübungen enthalten Beispiele zu länger zurückliegenden mathematischen Inhalten, die nachhaltig verfügbar sein sollen. Bewährt hat sich der regelmäßige ritualisierte Einsatz (etwa einmal pro Woche) am Beginn der Unterrichtsstunde. 104 PraxishandbuchBildungsstandards8.Schulstufe Kopfübungen 1) Zum Bemalen einer quadratischen Holzplatte reicht eine Dose Farbe. Wie viele Dosen benötigt man, wenn man die Seitenlänge der Platte verdoppelt? 2) Der Mittelwert dreier Zahlen ist 25. Zwei der Zahlen sind 15 bzw. 35. Bestimme die dritte Zahl. 3) Berechne den Umfang eines Rechtecks, das 6 m lang und 2 m breit ist. 4) Der Flächeninhalt eines Quadrats beträgt 64 cm². Wie lang ist eine Seite? 5) Ermittle die Lösung der Gleichung 2·z + 8 = 12 im Kopf. 6) Michael hat m Kugeln, Sarah hat um 8 Kugeln mehr als Michael. Welche 2 Gleichungen passen zum Text, wenn Sarah s Kugeln hat? □ m+8=s □ m–8=s □ m+s=8 □ s–8=m Das Aufgabenblatt wird als Folie auf dem Overhead-Projektor aufgelegt oder über den Beamer projiziert. Die Schüler/innen ermitteln in Einzelarbeit die Lösungen und notieren sie im Heft. Im Anschluss daran kann eine Lösungsfolie aufgelegt werden, mit deren Hilfe die Schüler/innen die Anzahl ihrer richtigen Antworten ermitteln. Eine anonymisierte Rückmeldung an die Lehrperson kann in der Form erfolgen, dass die Schüler/ innen auf einem Kontrollblatt notieren, welche Aufgaben von ihnen richtig gelöst worden sind. Dieses Kontrollblatt wird von der Lehrkraft eingesammelt und liefert wertvolle Hinweise, welche Inhalte einer Auffrischung bedürfen. Die obige Abbildung zeigt ein Beispiel für eine Overheadfolie mit Kopfübungen. Die entsprechende Kopiervorlage befindet sich im Anhang. 74 Praxishandbuch Bildungsstandards 8. Schulstufe Methode „Code“ Das Konzept der Bildungsstandards beinhaltet als wesentliches Ziel eine nachhaltige Ergebnisorientierung in der Planung und Durchführung von Unterricht. Um Rückmeldungen über das tatsächliche Wissen und Können aller Schüler/innen einer Klasse bzw. Lerngruppe zu erhalten, sind schriftliche informelle Kontrollen hilfreich. Die im Folgenden beschriebene Methode „Code“ liefert der Lehrperson Informationen über den aktuellen Leistungsstand ihrer Klasse und den Schüler/innen eine individuelle Rückmeldung. Vorgangsweise bei der Methode „Code“: Die Schüler/innen erhalten – in der Regel ohne vorherige Ankündigung – ein Kontrollblatt. Sie schreiben in kleiner Schriftgröße auf die Rückseite des Blattes einen fünfstelligen Code. Dieser dient später zum Wiederfinden des eigenen Kontrollblatts. Anschließend bearbeiten sie die Aufgaben auf der vorderen Seite in Einzelarbeit. Nach Abschluss der Einzelarbeit werden die Kontrollblätter eingesammelt, durchgemischt und wieder ausgeteilt. Gemeinsam mit der Lehrperson kontrolliert jeder Schüler die Aufgaben auf dem vor ihm liegenden Blatt und vergibt die entsprechende Punktezahl. Nach jeder Frage notiert die Lehrkraft auf ihrem Kontrollblatt, wie viele Schüler/innen die Aufgabe vollständig, teilweise oder gar nicht gelöst haben. Anschließend werden die erreichten Punkte addiert und auf dem Kontrollblatt vermerkt. Die Kontrollblätter werden wieder eingesammelt und können von den Schüler/innen am Beginn der folgenden Pause abgeholt werden. Bei dieser Methode wird niemand bloß gestellt und so ist auch niemand veranlasst beim Lehrer-Schüler-Gespräch eine falsche Lösung zu verschweigen (wegen besserer Lesbarkeit nur teilweise gegendert). 4 Offene Fragen sind für die Methode Code nur bedingt geeignet. Stellt man auch solche, so ist für die Auswertung mehr Zeit erforderlich. 1. Bei der Division 30:5 bleibt kein Rest. Man nennt deshalb hier die Zahl 5 O Teiler von 30. O Vielfaches von 30. O Summand von 30. 2. Bei der Division 28:7 bleibt kein Rest. Man nennt deshalb hier die Zahl 28 O Teiler von 7. O Vielfaches von 7. O Quotient von 7. Im Anhang findet sich ein Beispiel (Kopiervorlage) für ein Kontrollblatt im Sinn der Methode „Code“. Es enthält primär Wissensfragen. Wissen allein ist zwar noch keine Kompetenz, aber Kompetenz setzt fast immer Wissen voraus. Bewertungsvorschlag für die Aufgaben auf dem Kontrollblatt im Anhang: Je ein Punkt bei den Aufgaben, wo genau eine Antwort richtig ist (1, 2, 4, 5, 6, 9, 11). Je zwei Punkte bei den Aufgaben, wo zwei Antworten richtig sind bzw. wo nichts anzukreuzen ist (3, 7, 8, 10, 13). Ist bei diesen Aufgaben nur eine richtige Aussage angekreuzt (aber keine falsche) bzw. fehlt bei Nr. 3 ein Teiler oder wird bei Nr. 7 „6“ und bei Nr. 8 „24“ angegeben, dann gibt es jeweils einen Punkt. Bei Nr. 12 gibt es für jede richtige Antwort einen halben Punkt. Bei diesem Bewertungsvorschlag sind maximal 21 Punkte erreichbar. Aufgabe „Mittelwert“ Bestimme mithilfe einer Tabellenkalkulation das arithmetische Mittel und den Median der Höhe des Taschengelds der sechs Schüler. Untersuche den Einfluss von Ausreißern auf das arithmetische Mittel bzw. auf den Median, indem du Taschengeldhöhe von Schüler 6 veränderst. Was stellst du fest? Taschengeld Schüler 1 € 10,00 Schüler 2 € 12,00 Schüler 3 € 14,00 Schüler 4 € 8,00 Schüler 5 € 6,00 Schüler 6 € 25,00 Lösung bzw. möglicher Lösungsweg: Taschengeld Schüler 1 € 10,00 Schüler 2 € 12,00 Schüler 3 € 14,00 Schüler 4 € 8,00 Schüler 5 € 6,00 Schüler 6 € 25,00 arithmetische Mittel Median € 12,50 € 11,00 arithmetisches Mittel Median =MITTELWERT(B3:B8) =MEDIAN(B3:B8) Erhält beispielsweise der Schüler 6 ein Taschengeld in der Höhe von € 70,00, so bleibt der Median unverändert. Das arithmetische Mittel hingegen hat dann den Wert von € 20,00. Das arithmetische Mittel wird vom Ausreißer stark beeinflusst, der Median hingegen ändert sich nicht. Aufgabe „Bevölkerungswachstum“ Im Jahr 2009 lebten im afrikanischen Staat Nigeria 140 Millionen Menschen. Die Bevölkerung in diesem Land nimmt sehr stark zu. Jedes Jahr wächst die Bevölkerung um 3 %. Nütze zur Bearbeitung der folgenden Aufgaben ein Tabellenkalkulationsprogramm. Quelle: wikipedia a) Erstelle eine Tabelle, aus der man die Bevölkerungszahlen der kommenden 25 Jahre ablesen kann. Nimm an, dass sich während dieser Zeit die Zuwachsrate nicht ändert. b) Wie viele Menschen würden im Jahr 2015 in Nigeria leben? c) Wann würde die Anzahl der Menschen in Nigeria 200 Millionen betragen? d) Stelle das Bevölkerungswachstum für eine Wachstumsrate von 3 % graphisch dar. e) Nimm an, dass die jährliche Wachstumsrate durch geeignete Maßnahmen auf 2 % gesenkt werden kann. Untersuche die Auswirkungen. Was stellst du fest? Lösung bzw. möglicher Lösungsweg: a) und d) Einsatz der Formel =B3*1,03 b) Im Jahr 2015 würden ca. 167 Millionen Menschen in Nigeria leben. c) Im Jahr 2021, also 12 Jahre nach 2009, würden rund 200 Millionen Menschen in Nigeria leben. e) Vergleich des Bevölkerungswachstums bei unterschiedlicher Wachstumsrate: (orange: 3 %,lila: 2 %) Anfangs sind die Auswirkungen gering, doch über einen längeren Zeitraum sind sie sehr stark. Zum Beispiel würde im Jahr 2037 der Unterschied bereits mehr als 70 Millionen Menschen ausmachen. 88 Praxishandbuch Bildungsstandards 8. Schulstufe BUNDESGESETZBLATT FÜR DIE REPUBLIK ÖSTERREICH Jahrgang 2008 117. Bundesgesetz: Ausgegeben am 8. August 2008 Teil I Änderung des Schulunterrichtsgesetzes (NR: GP XXIII RV 606 AB 636 S. 65. BR: AB 7998 S. 759.) 117. Bundesgesetz, mit dem das Schulunterrichtsgesetz geändert wird Der Nationalrat hat beschlossen: Das Schulunterrichtsgesetz, BGBl. Nr. 472/1986, zuletzt geändert durch das Bundesgesetz BGBl. I Nr. 28/2008, wird wie folgt geändert: 1. In § 17 wird nach Abs. 1 folgender Abs. 1a eingefügt: „(1a) Der zuständige Bundesminister hat für einzelne Schulstufen der in § 1 genannten Schularten (Formen, Fachrichtungen) Bildungsstandards zu verordnen, wenn dies für die Entwicklung und Evaluation des österreichischen Schulwesens notwendig ist. Bildungsstandards sind konkret formulierte Lernergebnisse, die sich gemäß dem Lehrplan der jeweiligen Schulart (Form, Fachrichtung) auf einzelne Pflichtgegenstände oder auf mehrere in fachlichem Zusammenhang stehende Pflichtgegenstände beziehen. Die individuellen Lernergebnisse zeigen das Ausmaß des Erreichens grundlegender, nachhaltig erworbener Kompetenzen auf. Der Lehrer hat bei der Planung und Gestaltung seiner Unterrichtsarbeit die Kompetenzen und die darauf bezogenen Bildungsstandards zu berücksichtigen sowie die Leistungen der Schüler in diesen Bereichen zu beobachten, zu fördern und bestmöglich zu sichern. Die Verordnung hat über die Festlegung von Schularten, Schulstufen und Pflichtgegenständen hinaus insbesondere die Ziele der nachhaltigen Ergebnisorientierung in der Planung und Durchführung von Unterricht, der bestmöglichen Diagnostik und individuellen Förderung durch konkrete Vergleichsmaßstäbe und der Unterstützung der Qualitätsentwicklung in der Schule sicher zu stellen. Es ist vorzusehen, dass die Ergebnisse von Standardüberprüfungen so auszuwerten und rückzumelden sind, dass sie für die langfristige systematische Qualitätsentwicklung in den Schulen nutzbringend verwertet werden können.“ 1a. § 19 Abs. 2a lautet: „(2a) An allgemein bildenden höheren Schulen ist in der letzten Stufe abweichend von Abs. 2 am Ende des ersten Semesters keine Schulnachricht auszustellen.“ 1b. § 19 Abs. 2b entfällt. 2. § 42 Abs. 6 letzter Satz lautet: „Hat der Prüfungskandidat vor dem Antritt zur Externistenprüfung eine Schule besucht und eine oder mehrere Stufen dieser Schule nicht erfolgreich abgeschlossen, so darf er zur Externistenprüfung über eine Schulstufe der betreffenden Schulart (Form, Fachrichtung) oder über die Schulart (Form, Fachrichtung) frühestens zwölf Monate nach der zuletzt nicht erfolgreich abgeschlossenen Schulstufe antreten.“ 3. In § 82 wird nach Abs. 5m folgender Abs. 5n eingefügt: „(5n) § 17 Abs. 1a, § 19 Abs. 2a und § 42 Abs. 6 dieses Bundesgesetzes in der Fassung des Bundesgesetzes BGBl. I Nr. 117/2008 treten mit 1. September 2008 in Kraft. § 19 Abs. 2b tritt mit Ablauf des 31. August 2008 außer Kraft.“ Fischer Gusenbauer Mathematik 89 BUNDESGESETZBLATT FÜR DIE REPUBLIK ÖSTERREICH Jahrgang 2009 1. Verordnung: Ausgegeben am 2. Jänner 2009 Teil II Bildungsstandards im Schulwesen 1. Verordnung der Bundesministerin für Unterricht, Kunst und Kultur über Bildungsstandards im Schulwesen Auf Grund des § 17 Abs. 1a des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/1986, zuletzt geändert durch das Bundesgesetz BGBl. I Nr. 117/2008, wird verordnet: Geltungsbereich § 1. Diese Verordnung legt in der Anlage für die nachstehend genannten Pflichtgegenstände Bildungsstandards für die 4. Schulstufe der Volksschule sowie für die 8. Schulstufe der Volksschuloberstufe, der Hauptschule und der allgemein bildenden höheren Schule fest: 1. Volksschule, 4. Schulstufe: Deutsch/Lesen/Schreiben, Mathematik; 2. Volksschuloberstufe, Hauptschule und allgemein bildende höhere Schule, jeweils 8. Schulstufe: Deutsch, Lebende Fremdsprache (Englisch), Mathematik. Begriffsbestimmungen § 2. Im Sinne dieser Verordnung sind 1. „Bildungsstandards“ konkret formulierte Lernergebnisse in den einzelnen oder den in fachlichem Zusammenhang stehenden Pflichtgegenständen, die sich aus den Lehrplänen der in § 1 genannten Schularten und Schulstufen ableiten lassen. Diese Lernergebnisse basieren auf grundlegenden Kompetenzen, über die die Schülerinnen und Schüler bis zum Ende der jeweiligen Schulstufe in der Regel verfügen sollen; 2. „Kompetenzen“ längerfristig verfügbare kognitive Fähigkeiten und Fertigkeiten, die von Lernenden entwickelt werden und die sie befähigen, Aufgaben in variablen Situationen erfolgreich und verantwortungsbewusst zu lösen und die damit verbundene motivationale und soziale Bereitschaft zu zeigen; 3. „grundlegende Kompetenzen“ solche, die wesentliche inhaltliche Bereiche eines Gegenstandes abdecken und somit für den Aufbau von Kompetenzen, deren nachhaltiger Erwerb für die weitere schulische und berufliche Bildung von zentraler Bedeutung ist, maßgeblich sind; 4. „Kompetenzmodelle“ prozessorientierte Modellvorstellungen über den Erwerb von fachbezogenen oder fächerübergreifenden Kompetenzen. Sie strukturieren Bildungsstandards innerhalb eines Unterrichtsgegenstandes und stützen sich dabei auf fachdidaktische sowie fachsystematische Gesichtspunkte; 5. „Kompetenzbereiche“ fertigkeitsbezogene Teilbereiche des Kompetenzmodells. Funktionen der Bildungsstandards § 3. (1) Bildungsstandards sollen Aufschlüsse über den Erfolg des Unterrichts und über Entwicklungspotentiale des österreichischen Schulwesens liefern. Darüber hinaus sollen sie 1. eine nachhaltige Ergebnisorientierung in der Planung und Durchführung von Unterricht bewirken, 2. durch konkrete Vergleichsmaßstäbe die bestmögliche Diagnostik als Grundlage für individuelle Förderung sicher stellen und 3. wesentlich zur Qualitätsentwicklung in der Schule beitragen. (2) Zum Zweck der nachhaltigen Ergebnisorientierung in der Planung und Durchführung von Unterricht haben die Lehrerinnen und Lehrer den systematischen Aufbau der zu vermittelnden Kompetenzen und die auf diese bezogenen Bildungsstandards bei der Planung und Gestaltung ihrer Unterrichtsarbeit zu berücksichtigen (Orientierungsfunktion gemäß Abs. 1 Z 1). (3) Die Leistungen der Schülerinnen und Schüler sind in allen Schulstufen unter Zugrundelegung der Bildungsstandards für die 4. bzw. für die 8. Schulstufe besonders zu beobachten und zu analysieren. Auf der Basis des diagnostischen Vergleiches von zu erlangenden und individuell erworbenen Kompetenzen ist eine 90 Praxishandbuch Bildungsstandards 8. Schulstufe bestmögliche individuelle Förderung der Schülerinnen und Schüler sicher zu stellen (Förderungsfunktion gemäß Abs. 1 Z 2). (4) Durch periodische Standardüberprüfungen sind die von den Schülerinnen und Schülern bis zur 4. bzw. zur 8. Schulstufe erworbenen Kompetenzen objektiv festzustellen und mit den angestrebten Lernergebnissen zu vergleichen. Standardüberprüfungen sind auf Anordnung der Schulbehörden für die 8. Schulstufe ab dem Schuljahr 2011/12 und für die 4. Schulstufe ab dem Schuljahr 2012/13 durchzuführen und deren Auswertungen sind den Schulen rückzumelden. Die Auswertungen der Standardüberprüfung und deren Rückmeldungen haben so zu erfolgen, dass sie für Zwecke der Qualitätsentwicklung an den Schulen herangezogen werden können. Maßnahmen der Qualitätsentwicklung sind zu dokumentieren und periodisch zu evaluieren (Evaluationsfunktion gemäß Abs. 1 Z 3). Standardüberprüfungen § 4. (1) An öffentlichen und mit dem Öffentlichkeitsrecht ausgestatteten Schulen der in § 1 genannten Schularten sind hinsichtlich der in § 1 Z 1 und 2 genannten Pflichtgegenstände und Schulstufen im Abstand von drei Jahren Standardüberprüfungen durchzuführen. (2) Bei den Standardüberprüfungen ist durch validierte Aufgabenstellungen der Grad der Kompetenzerreichung durch die Schülerinnen und Schüler zu messen. Die gestellten Aufgaben müssen sich aus den Bildungsstandards ableiten lassen. Sie sind so zu wählen, dass die individuellen Testergebnisse, nachdem sie zu den Bildungsstandards in Relation gesetzt wurden, Aufschluss über den nachhaltigen Erwerb von Kompetenzen ermöglichen. (3) Als Verfahren der Standardüberprüfung kommen 1. Tests mit schriftlich zu lösenden Aufgaben in den sprachlichen und mathematischen Gegenständen sowie 2. Befragungen mit mündlich zu lösenden Aufgaben in den sprachlichen Gegenständen in Betracht. (4) Die Auswertungen der Standardüberprüfungen haben so zu erfolgen, dass auf deren Basis Maßnahmen zur Qualitätsentwicklung bundesweit, landesweit und schulbezogen erfolgen können. Die individuellen Ergebnisse der Standardüberprüfung dürfen nicht auf eine bestimmte Schülerin oder auf einen bestimmten Schüler zurückgeführt werden können, außer durch diese oder diesen selbst. (5) Die Bestimmungen über die Leistungsfeststellungen und -beurteilungen bleiben von dieser Verordnung unberührt. Inkrafttreten § 4. Diese Verordnung tritt mit 1. Jänner 2009 in Kraft. Schmied BGBl. II - Ausgegeben am 2. Jänner 2009 - Nr. 1 12 von 15 Mathematik 91 - kurze, einfache Notizen und Mitteilungen schreiben, die sich auf unmittelbare Bedürfnisse Auszug beziehen für Mathematik 8. Schulstufe (A2), - einfache Texte zB zu Bildimpulsen oder Schlüsselwörtern (key words) schreiben (A2). 3. Abschnitt Mathematik Das Kompetenzmodell für Mathematik auf der 8. Schulstufe legt „Inhaltsbereiche“ fest, wobei die jeweiligen Anforderungen durch bestimmte, in „Handlungsbereichen“ dargelegte Tätigkeiten konkretisiert werden. Der „Komplexitätsbereich“ beschreibt Art und Grad der erforderlichen Vernetzung. Handlungsbereich: „Darstellen, Modellbilden“ – Inhaltsbereich „Zahlen und Maße“ Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - gegebene arithmetische Sachverhalte in eine (andere) mathematische Darstellung übertragen, wobei dafür das unmittelbare Einsetzen von Grundkenntnissen erforderlich ist, - gegebene arithmetische Sachverhalte in eine (andere) mathematische Darstellung übertragen, wobei dafür auch Verbindungen zu anderen mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten hergestellt werden müssen, - Aussagen über die Angemessenheit sowie über Stärken und Schwächen verschiedener mathematischer Darstellungen (Modelle) arithmetischer Sachverhalte machen und bewerten. Handlungsbereich „Darstellen, Modellbilden – Inhaltsbereich „Variable, funktionale Abhängigkeiten“ Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - gegebene algebraische Sachverhalte und funktionale Abhängigkeiten in eine (andere) mathematische Darstellung übertragen, wobei dafür das unmittelbare Einsetzen von Grundkenntnissen erforderlich ist, - gegebene algebraische Sachverhalte und funktionale Abhängigkeiten in eine (andere) mathematische Darstellung übertragen, wobei dafür auch Verbindungen zu anderen mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten hergestellt werden müssen, - Aussagen über die Angemessenheit sowie über Stärken und Schwächen verschiedener mathematischer Darstellungen (Modelle) algebraischer Sachverhalte und funktionaler Abhängigkeiten angeben und bewerten. Handlungsbereich „Darstellen, Modellbilden“ – Inhaltsbereich „Geometrische Figuren und Körper“ Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - gegebene geometrische Sachverhalte in eine (andere) mathematische Darstellung übertragen, wobei dafür das unmittelbare Einsetzen von Grundkenntnissen erforderlich ist, - gegebene geometrische Sachverhalte in eine (andere) mathematische Darstellung übertragen, wobei dafür auch Verbindungen zu anderen mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten hergestellt werden müssen, - Aussagen über die Angemessenheit sowie über Stärken und Schwächen verschiedener Darstellungen (Modelle) geometrischer Sachverhalte machen und bewerten. Handlungsbereich „Darstellen, Modellbilden“ – Inhaltsbereich „Statistische Darstellungen und Kenngrößen“ Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - gegebene statistische Sachverhalte (Daten) in eine (andere) mathematische Darstellung übertragen, wobei dafür das unmittelbare Einsetzen von Grundkenntnissen erforderlich ist, - gegebene statistische Sachverhalte (Daten) in eine (andere) mathematische Darstellung übertragen, wobei dafür auch Verbindungen zu anderen mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten hergestellt werden müssen, www.ris.bka.gv.at BGBl. II - Ausgegeben am 2. JäPraxishandbuch nner 2009 - Nr. 1Bildungsstandards 8. Schulstufe 92 - Aussagen über die Angemessenheit sowie über Stärken und Schwächen verschiedener Darstellungen (Modelle) statistischer Sachverhalte machen und bewerten. Handlungsbereich „Rechnen, Operieren“ – Inhaltsbereich „Zahlen und Maße“ Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - elementare Rechenoperationen (+, -, •, /, ↑, √) mit konkreten Zahlen und Größen durchführen sowie Maßeinheiten umrechnen, - elementare Rechenoperationen (+, -, •, /, ↑, √) mit konkreten Zahlen und Größen durchführen sowie Maßeinheiten umrechnen, wobei diese Operationen miteinander, mit anderen mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten verbunden werden müssen, - Aussagen zur Abfolge, Wirkung, Zulässigkeit, Genauigkeit und Korrektheit arithmetischer Operationen und Lösungswege machen und bewerten sowie Rechenabläufe dokumentieren. Handlungsbereich „Rechnen, Operieren“ – Inhaltsbereich „Variable, funktionale Abhängigkeiten“ Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - elementare Rechenoperationen (+, -, •, /, ↑, √) mit Variablen und Termen durchführen, einfache Terme und (Un-)Gleichungen umformen sowie einfache (Un-)Gleichungen und lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen, - elementare Rechenoperationen (+, -, •, /, ↑, √) mit Variablen und Termen durchführen, einfache Terme und (Un-)Gleichungen umformen sowie einfache (Un-)Gleichungen und lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen, wobei diese (Rechen-)Operationen miteinander, mit anderen mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten verbunden werden müssen, - Aussagen zur Abfolge, Wirkung, Zulässigkeit und Korrektheit algebraischer Operationen und Lösungswege machen und bewerten sowie Rechenabläufe dokumentieren. Handlungsbereich „Rechnen, Operieren“ – Inhaltsbereich „Geometrische Figuren und Körper“ Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - elementare geometrische Konstruktionen durchführen, - elementare geometrische Konstruktionen durchführen, wobei dafür auch Verbindungen zwischen Konstruktionsschritten, mit anderen mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten hergestellt werden müssen, - Aussagen zur Abfolge, Zulässigkeit und Korrektheit elementarer geometrischer Konstruktionen machen und bewerten sowie Konstruktionsabläufe dokumentieren. Handlungsbereich „Rechnen, Operieren“ – Inhaltsbereich „Statistische Darstellungen und Kenngrößen“ Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - einfache Operationen und Manipulationen in und mit statistischen Daten durchführen, - einfache Operationen und Manipulationen in und mit statistischen Daten durchführen, wobei dafür auch Verbindungen mit anderen mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten hergestellt werden müssen, - Aussagen zur Abfolge, Wirkung, Zulässigkeit und Korrektheit einfacher Operationen bzw. Manipulationen mit statistischen Daten machen und bewerten sowie derartige Operationen dokumentieren. Handlungsbereich „Interpretieren“ – Inhaltsbereich „Zahlen und Maße“ Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - Zahlenwerte aus Tabellen, grafischen oder symbolischen Darstellungen ablesen und sie sowie Rechenoperationen und Rechenergebnisse im jeweiligen Kontext deuten, - Zahlenwerte aus Tabellen, grafischen oder symbolischen Darstellungen ablesen, sie miteinander, mit anderen mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten verbinden und sie sowie Rechenoperationen und Rechenergebnisse im jeweiligen Kontext deuten, www.ris.bka.gv.at Mathematik BGBl. II - Ausgegeben am 2. Jänner 2009 - Nr. 1 93 - Aussagen zur Angemessenheit und Aussagekraft kontextbezogener Interpretationen von Zahlenwerten, Rechenoperationen und Rechenergebnisse machen und bewerten. Handlungsbereich „Interpretieren“ – Inhaltsbereich „Variable, funktionale Abhängigkeiten“ Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - algebraisch, tabellarisch oder grafisch dargestellte Strukturen und (funktionale) Zusammenhänge beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten, - algebraisch, tabellarisch oder grafisch dargestellte Strukturen und (funktionale) Zusammenhänge beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten, wobei dafür auch Verbindungen mit anderen mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten hergestellt werden müssen, - Aussagen zur Angemessenheit und Aussagekraft kontextbezogener Interpretationen von algebraisch, tabellarisch oder grafisch dargestellten (funktionalen) Zusammenhängen machen und bewerten. Handlungsbereich „Interpretieren“ – Inhaltsbereich „Geometrische Figuren und Körper“ Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - geometrische Figuren, Körper und Eigenschaften/Beziehungen beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten, - geometrische Figuren, Körper und Eigenschaften/Beziehungen beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten, wobei dafür auch Verbindungen zu anderen mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten hergestellt werden müssen, - Aussagen zur Angemessenheit und Aussagekraft kontextbezogener Interpretationen von geometrischen Figuren, Körpern und Eigenschaften/Beziehungen machen und bewerten. Handlungsbereich „Interpretieren“ – Inhaltsbereich „Statistische Darstellungen und Kenngrößen“ Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - Werte aus statistischen Tabellen und Grafiken ablesen, Strukturen, Muster und Zusammenhänge erkennen und diese sowie statistische Kennzahlen im jeweiligen Kontext deuten, - Werte aus statistischen Tabellen und Grafiken ablesen, Strukturen, Muster und Zusammenhänge erkennen, und diese sowie statistische Kennzahlen im jeweiligen Kontext deuten, wobei die Daten miteinander, mit anderen mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten in Verbindung gesetzt werden müssen, - Aussagen zur Angemessenheit und Aussagekraft kontextbezogener Interpretationen von statistischen Tabellen, Grafiken und Kennzahlen machen und bewerten. Handlungsbereich „Argumentieren, Begründen“ – Inhaltsbereich „Zahlen und Maße“ Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - mathematische Argumente nennen bzw. Begründungen angeben, die für oder gegen ein bestimmtes arithmetisches (Rechen-)Modell, eine arithmetische Operation, eine arithmetische Eigenschaft/Beziehung, einen arithmetischen Lösungsweg oder eine bestimmte Lösung sprechen, - mathematische Argumente nennen bzw. Begründungen angeben, die für oder gegen ein bestimmtes arithmetisches (Rechen-)Modell, eine arithmetische Operation, eine arithmetische Eigenschaft/Beziehung, einen arithmetischen Lösungsweg oder eine bestimmte Lösung sprechen, wobei dafür auch Verbindungen zu anderen mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten hergestellt werden müssen, - zutreffende und unzutreffende mathematische Argumente bzw. Begründungen bezüglich arithmetischer (Rechen-)Modelle, arithmetischer Operationen, arithmetischer Eigenschaften/Beziehungen, arithmetischer Lösungswege oder Lösungen erkennen sowie begründen, warum eine arithmetische Argumentation oder Begründung (un-)zutreffend ist. Handlungsbereich „Argumentieren, Begründen“ – Abhängigkeiten“ Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können www.ris.bka.gv.at Inhaltsbereich „Variable, funktionale BGBl. II - Ausgegeben am 2. JäPraxishandbuch nner 2009 - Nr. 1Bildungsstandards 8. Schulstufe 94 - mathematische Argumente nennen bzw. Begründungen angeben, die für oder gegen ein bestimmtes algebraisches oder funktionales Modell, eine algebraische oder funktionale Darstellung, eine algebraische Operation oder einen bestimmten algebraischen Lösungsweg sprechen, - mathematische Argumente nennen bzw. Begründungen angeben, die für oder gegen ein bestimmtes algebraisches oder funktionales Modell, eine algebraische oder funktionale Darstellung, eine algebraische Operation oder einen bestimmten algebraischen Lösungsweg sprechen, wobei dafür auch Verbindungen zu anderen mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten hergestellt werden müssen, - zutreffende und unzutreffende mathematische Argumente bzw. Begründungen bezüglich algebraischer oder funktionaler Darstellungen und Modelle, bezüglich algebraischer Operationen oder algebraischer Lösungswege erkennen sowie begründen, warum eine algebraische oder funktionale Argumentation bzw. Begründung (un-)zutreffend ist. Handlungsbereich „Argumentieren, Begründen“ – Inhaltsbereich „Geometrische Figuren und Körper“ Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - mathematische Argumente nennen bzw. Begründungen angeben, die für oder gegen ein bestimmtes geometrisches Modell, eine geometrische Darstellung, eine geometrische Konstruktion, eine geometrische Eigenschaft/Beziehung oder einen bestimmten geometrischen Lösungsweg sprechen, - mathematische Argumente nennen bzw. Begründungen angeben, die für oder gegen ein bestimmtes geometrisches Modell, eine geometrische Darstellung, eine geometrische Konstruktion, eine geometrische Eigenschaft/Beziehung oder einen bestimmten geometrischen Lösungsweg sprechen, wobei dafür auch Verbindungen zu anderen mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten hergestellt werden müssen, - zutreffende und unzutreffende mathematische Argumente bzw. Begründungen bezüglich geometrischer Darstellungen und Modelle, bezüglich geometrischer Konstruktionen, geometrischer Eigenschaften/Beziehungen oder geometrischer Lösungswege erkennen sowie begründen, warum eine geometrische Argumentation bzw. Begründung (un-)zutreffend ist. Handlungsbereich „Argumentieren, Begründen“ – Inhaltsbereich „Statistische Darstellungen und Kenngrößen“ Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können - mathematische Argumente nennen bzw. Begründungen angeben, die für oder gegen die Verwendung einer bestimmten statistischen Kennzahl, einer statistischen Darstellung, eines statistischen Satzes, einer statistischen Vorgehensweise oder einer bestimmten Interpretation statistischer Daten sprechen, - mathematische Argumente nennen bzw. Begründungen angeben, die für oder gegen die Verwendung einer bestimmten statistischen Kennzahl, einer statistischen Darstellung, eines statistischen Satzes, einer statistischen Vorgehensweise oder einer bestimmten Interpretation statistischer Daten sprechen, wobei dafür auch Verbindungen zu anderen mathematischen Inhalten (Begriffen, Sätzen, Darstellungen) oder Tätigkeiten hergestellt werden müssen, - zutreffende und unzutreffende mathematische Argumente bzw. Begründungen bezüglich statistischer Darstellungen und Kennzahlen, bezüglich statistischer Sätze, bezüglich bestimmter statistischer Vorgehensweisen oder bestimmter Interpretationen statistischer Daten erkennen sowie begründen, warum eine solche Argumentation bzw. Begründung (un-)zutreffend ist. www.ris.bka.gv.at Mathematik Literaturverzeichnis Blum, W. u.a. (Hrsg.) (2006): Bildungsstandards Mathematik: konkret Sekundarstufe I: Aufgabenbeispiele, Unterrichtsanregungen, Fortbildungsideen. Cornelsen: Berlin 2006. Bruder, R. u.a. (2008): Mathematikunterricht entwickeln. Bausteine für kompetenzorientiertes Unterrichten. Cornelsen: Berlin 2008. Büchter, A. & Leuders, T. (2005): Mathematikaufgaben selbst entwickeln, Lernen fördern – Leistung überprüfen. Cornelsen: Berlin 2005. Herget, W. u.a. (2001): Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I. Cornelsen: Berlin 2001. Heugl, H. (2009): Bildungsstandards als Orientierungshilfe - unveröffentlichtes Vortragsmanuskript. Graz 2009. Leuders, T. (2001): Qualität im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I und II. Cornelsen: Berlin 2001. Leuders, T. (Hrsg.) (2003): Mathematik Didaktik, Praxishandbuch für die Sekundarstufe I und II. Cornelsen: Berlin 2003. Maaß, K. (2007): Mathematisches Modellieren, Aufgaben für die Sekundarstufe I. Cornelsen: Berlin 2007. mathematik lehren (Pädagogische Zeitschrift bei Friedrich in Velber, in Zusammenarbeit mit Klett) Vollrath, H.-J. & Weigand, H.G. (2007): Algebra in der Sekundarstufe. Spektrum: München 2007. 95 96 Praxishandbuch Bildungsstandards 8. Schulstufe Anhang Kopiervorlage Remembery 1 die Hälfte von ein Viertel von drei Viertel von vermindere um 4 so erhält man Spielregel: 2 bis 4 Spieler. Die Kärtchen werden verdeckt auf den Tisch gelegt. Der Jüngste dreht zwei Kärtchen seiner Wahl um. Sagen die beiden Kärtchen inhaltlich dasselbe aus und erkennt dies der Spieler auch, so darf er dieses Kärtchenpaar an sich nehmen und weitere zwei Kärtchen umdrehen. Ergibt sich kein weiteres Inhaltspaar, so werden diese beiden Kärtchen wieder umgedreht und der Spieler links neben dem Jüngsten setzt in gleicher Weise fort. Gewonnen hat, wer am Schluss die meisten Kärtchenpaare besitzt. vermehre um 4 das Vierfache von vier Drittel von 4 Prozent von teile durch 3 das Doppelte von Mathematik 97 Kopiervorlage Remembery 2 :2 :4 · 0,75 = Spielregel: 2 bis 4 Spielerinnen. Die Kärtchen werden verdeckt auf den Tisch gelegt. Die Jüngste dreht zwei Kärtchen ihrer Wahl um. Sagen die beiden Kärtchen inhaltlich dasselbe aus und erkennt dies die Spielerin auch, so darf sie dieses Kärtchenpaar an sich nehmen und weitere zwei Kärtchen umdrehen. Ergibt sich kein weiteres Inhaltspaar, so werden diese beiden Kärtchen wieder umgedreht und die Spielerin links neben der Jüngsten setzt in gleicher Weise fort. Gewonnen hat, wer am Schluss die meisten Kärtchenpaare besitzt. +4 ·4 4 · 3 4 · 100 :3 ·2 -4 98 Praxishandbuch Bildungsstandards 8. Schulstufe Kopiervorlage Quartett 1 1 1 2 1 0,5 1 50% 2 1 4 2 25% 1 2 0,25 2 1 Spielanleitung: Die Karten werden auf 3 bis 4 Spieler gleichmäßig verteilt. Jeder versucht, möglichst viele Quartette (d. h. 4 Karten mit derselben Nummer) zu bekommen. Der jüngste Spieler beginnt zu fragen. Jan: „Peter, ich möchte von dir die Grafik, auf der _ 12 abgebildet ist“ (oder: die Karte, auf der 50 % steht usw.). Wenn Peter die Karte hat, gibt er sie an Jan und Jan fragt weiter. Wenn Peter die Karte nicht hat, sagt er „abgeblitzt“. Jetzt darf Peter weiter fragen. Hinweis: Man darf nur nach einer Karte fragen, bei der man selbst schon einen Teil des Quartetts hat. Mathematik 99 Kopiervorlage Quartett 2 3 3 4 3 0,75 3 75% 4 1 5 4 20% 3 4 0,2 4 Spielanleitung: Die Karten werden auf 3 bis 4 Spielerinnen gleichmäßig verteilt. Jede versucht, möglichst viele Quartette (d. h. 4 Karten mit derselben Nummer) zu bekommen. Die jüngste Spielerin beginnt zu fragen. Eva: „Anna, ich möchte von dir die Grafik, auf der _ 21 abgebildet ist“ (oder: die Karte, auf der 50 % steht usw.) Wenn Anna die Karte hat, gibt sie diese an Eva und Eva fragt weiter. Wenn Anna die Karte nicht hat, sagt sie „abgeblitzt“. Jetzt darf Anna weiter fragen. Hinweise: Man darf nur nach einer Karte fragen, bei der man selbst schon einen Teil des Quartetts hat. 100 Praxishandbuch Bildungsstandards 8. Schulstufe Kopiervorlage Quartett 3 5 2 5 5 0,4 5 40% 6 3 5 6 60% 5 6 0,6 6 Ersatzkarte Mathematik 101 Kopiervorlage Quartett 4 7 4 5 7 0,8 7 80% 8 1 8 8 12,5% 7 8 0,125 8 Ersatzkarte 102 Praxishandbuch Bildungsstandards 8. Schulstufe Kopiervorlage Quartett 5 9 1 10 9 0,1 9 10% 10 3 10 10 30% 9 10 0,3 10 Ersatzkarte Mathematik 103 104 Praxishandbuch Bildungsstandards 8. Schulstufe Vorlage für Overheadfolie Kopfübungen 1) Zum Bemalen einer quadratischen Holzplatte reicht eine Dose Farbe. Wie viele Dosen benötigt man, wenn man die Seitenlänge der Platte verdoppelt? 2) Der Mittelwert dreier Zahlen ist 25. Zwei der Zahlen sind 15 bzw. 35. Bestimme die dritte Zahl. 3) Berechne den Umfang eines Rechtecks, das 6 m lang und 2 m breit ist. 4) Der Flächeninhalt eines Quadrats beträgt 64 cm². Wie lang ist eine Seite? 5) Ermittle die Lösung der Gleichung 2·z + 8 = 12 im Kopf. 6) Michael hat m Kugeln, Sarah hat um 8 Kugeln mehr als Michael. Welche 2 Gleichungen passen zum Text, wenn Sarah s Kugeln hat? □ m+8=s □ m–8=s □ m+s=8 □ s–8=m Mathematik Vorlage für Overheadfolie Kopfübungen mit Lösungen 1) Zum Bemalen einer quadratischen Holzplatte reicht eine Dose Farbe. Wie viele Dosen benötigt man, wenn man die Seitenlänge der Platte verdoppelt? 4 Dosen 2) Der Mittelwert dreier Zahlen ist 25. Zwei der Zahlen sind 15 bzw. 35. Bestimme die dritte Zahl. Die dritte Zahl ist 25. 3) Berechne den Umfang eines Rechtecks, das 6 m lang und 2 m breit ist. u = 18 m 4) Der Flächeninhalt eines Quadrats beträgt 64 cm². Wie lang ist eine Seite? 8 m 5) Ermittle die Lösung der Gleichung 2·z + 8 = 12 im Kopf. z = 2 6) Michael hat m Kugeln, Sarah hat um 8 Kugeln mehr als Michael. Welche 2 Gleichungen passen zum Text, wenn Sarah s Kugeln hat? X m+8=s □ m–8=s □ m+s=8 X s–8=m 105 Methode Code: Teiler, Vielfache, Primzahlen Achtung: Es können bei jeder Nummer auch 2 oder 3 Auswahlantworten richtig sein! 1. 2. 3. Bei der Division 30:5 bleibt kein Rest. Man nennt deshalb hier die Zahl 5 O Teiler von 30. O Vielfaches von 30. O Summand von 30. Bei der Division 28:7 bleibt kein Rest. Man nennt deshalb hier die Zahl 28 O Teiler von 7. O Vielfaches von 7. O Quotient von 7. Notiere alle Teiler der Zahl 18: _______________ 4. 1 und 18 nennt man 5. 9 ist ein O Primfaktoren von 18. O echte Teiler von 18. O unechte Teiler von 18. O Primfaktor von 18. O echter Teiler von 18. O unechter Teiler von 18. 6. Zwei Zahlen, die nur 1 als gemein‐ samen Teiler haben heißen O O O Primzahlen. zusammengesetzte Zahlen. teilerfremd. 7. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 36 und 60. ggT (36,60) = 8. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 2, 3 und 4. kgV (2,3,4) = 9. Eine Zahl ist genau dann O die Einerstelle durch 3 teilbar ist. durch 3 teilbar, wenn O die Ziffernsumme durch 3 teilbar ist. O sie auch durch 9 teilbar ist. 10. Eine Zahl ist genau dann O die Einerstelle durch 2 teilbar ist. durch 2 teilbar, wenn O die Ziffernsumme durch 2 teilbar ist. O sie eine gerade Zahl ist. 11. Eine Zahl ist genau dann O die Einerstelle durch 4 teilbar ist. durch 4 teilbar, wenn O sie eine gerade Zahl ist. O die aus den beiden letzten Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist. 12. Setze das Zeichen für „ teilt“ „ ” oder „ teilt nicht“ „ “ ein! 2 6 456 456 13. Eine Primzahl 3 9 456 456 4 10 O hat keine echten Teiler. O hat genau zwei Teiler. O ist ein Produkt von Primfaktoren. 456 456 5 25 456 456 Methode Code: Teiler, Vielfache, Primzahlen Lösungsblatt Achtung: Es können bei jeder Nummer auch 2 oder 3 Auswahlantworten richtig sein! 1. 2. 3. Bei der Division 30:5 bleibt kein Rest. Man nennt deshalb hier die Zahl 5 X Teiler von 30. O Vielfaches von 30. O Summand von 30. Bei der Division 28:7 bleibt kein Rest. Man nennt deshalb hier die Zahl 28 O Teiler von 7. X Vielfaches von 7. O Quotient von 7. Notiere alle Teiler der Zahl 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 4. 1 und 18 nennt man 5. 9 ist ein O Primfaktoren von 18. O echte Teiler von 18. X unechte Teiler von 18. O Primfaktor von 18. X echter Teiler von 18. O unechter Teiler von 18. 6. Zwei Zahlen, die nur 1 als gemein-­‐ samen Teiler haben heißen O O X Primzahlen. zusammengesetzte Zahlen. teilerfremd. 7. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 36 und 60. ggT (36,60) = 12 8. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 2, 3 und 4. kgV (2,3,4) = 12 O die Einerstelle durch 3 teilbar ist. 9. Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn X die Ziffernsumme durch 3 teilbar ist. O sie auch durch 9 teilbar ist. X die Einerstelle durch 2 teilbar ist. 10. Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn O die Ziffernsumme durch 2 teilbar ist. X sie eine gerade Zahl ist. 11. Eine Zahl ist genau dann O die Einerstelle durch 4 teilbar ist. durch 4 teilbar, wenn O sie eine gerade Zahl ist. X die aus den beiden letzten Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist. 12. Setze das Zeichen für „ teilt“ „ ” oder „ teilt nicht“ „ “ ein! 2 6 456 456 13. Eine Primzahl 3 9 456 456 4 10 456 456 X hat keine echten Teiler. X hat genau zwei Teiler. O ist ein Produkt von Primfaktoren. 5 25 456 456 www.bifie.at Leykam Buchverlag [email protected] www.leykamverlag.at ISBN 978-3-7011-7710-3
