Grundlagen der Physik für Informatiker VU 134.022

Grundlagen der Physik für Informatiker
VU 134.022 - Wolfgang Husinsky
Juergen Viktor Repolusk - [email protected]
Richard Springle - [email protected]
26.04.2005
1
INHALTSVERZEICHNIS
INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
4
2 Kinematik
2.1 Die Drei Newtonschen Axiome
2.2 Bewegungsgleichung . . . . . .
2.3 Rotationsbewegung . . . . . . .
2.4 Reibungskräfte . . . . . . . . .
2.5 Gravitation . . . . . . . . . . .
2.6 Impuls und Energie . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
8
10
12
15
15
3 Relativitätstheorie
3.1 Maxwellsche Gleichungen . . . . . . . . .
3.2 Ätherhypotese . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Lorenz-Transformation . . . . . . . . . .
3.4 Relativistischer Faktor . . . . . . . . . . .
3.5 Additionstheorem der Geschwindigkeiten .
3.6 Relativistische Effekte . . . . . . . . . . .
3.7 Relativistische Dynamik . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
22
22
23
23
23
24
25
4 Schwingung
4.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Freie ungedämpfte Schwingung . . . . . . . . .
4.3 Gedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . .
4.4 Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . .
4.5 Mehrere Freiheitsgrade - Normalschwingungen
4.6 Harmonische Analyse, Fourieranalyse . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
26
26
27
30
31
32
34
5 Wellen
5.1 Wellengleichung
5.2 Überlagerung .
5.3 Interferenz . . .
5.4 Kohärenz . . .
5.5 Dopplereffekt .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
36
36
38
39
40
41
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
Ladungsverteilungen
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
43
43
44
45
46
49
49
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
53
53
57
63
69
70
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
und charakteristische Größen
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Elektrik
6.1 Einführung . . . . . . . . . . . .
6.2 Ablenkung im elektrischen Feld .
6.3 Elektrischer Fluss . . . . . . . . .
6.4 Berechnung von Feldern für spez.
6.5 Elektrischer Strom . . . . . . . .
6.6 Magnetfelder . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
7 Mathematische Werkzeuge
7.1 Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Wichtige Integrations- und Differentationsregeln
7.4 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . .
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
INHALTSVERZEICHNIS
INHALTSVERZEICHNIS
8 Beispielsammlung
74
8.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Stichwortverzeichnis
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
76
2
INHALTSVERZEICHNIS
INHALTSVERZEICHNIS
Zusammenfassung
Diese Skriptum sollte als Lernunterlage zur Vorlesung Grundlagen der
Physik für Informatiker dienen. Es ersetzt jedoch nicht die Vorlesung.
Weiters wurde dieses Skriptum durch mathematische Hilfsmittel als letztes Kapitel ergänzt um eventuelle Lücken zu diversen mathematischen
Grundlagen zu ergänzen.
Dieses Skriptum wurde mit LATEXgeschrieben. Alle Grafiken und Bilder
wurden mit Dia, Gimp und KmPlot generiert.
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
3
1
1
EINFÜHRUNG
Einführung
Grundsätzliche Vorstellungen in der Physik
Die Natur erscheint dem Betrachter als komplexes Gebilde mit unzähligen Zusammenhängen. Wenn wir z. B. am Strand stehen und auf die See blicken,
sehen wir das Wasser, die brechenden Wellen, den Gischt, die klatschende Wasserbewegung, die Geräusche, die Luft, die Winde und die Wolken, die Sonne
und den blauen Himmel und das Licht: da ist Sand und da sind Steine verschiedener Härte und Haltbarkeit, Farbe und Textur. Diese Erscheinungen sind
durch komplexe Vorgänge miteinander verbunden. Die Physik als Wissenschaft
versucht diese komplexen Zusammenhänge zu entwirren und sie auf das Zusammenspiel einfacher, überschaubarer und elementarer Gesetze zu reduzieren, um
ein Model erschaffen zu könnnen, welches die Natur, die uns umgibt, beschreibt.
Beobachtung, Begründung und Experiment
Da die Physik eine Naturwissenschaft ist, bedient sie sich der Methodik der
Beobachtung, Begründung und des Experimentes. Dadurch wird erreicht, dass
die elemtaren Gesetze der Natur erkannt, beschrieben (in Form von Gleichungen
und Axionen) und verifiziert werden.
Inherent in dieser Vorgehensweise ist das Streben, eine Reduktion der vorliegenden Problematik auf grundlegende Gesetze zu erzielen und eine Analyse
hingehend zu diesen Gesetzen zu machen.
Dies bedeutet nichts anderes, als das komplexe Probleme und Fragestellungen
in kleinere, überschaubarere Teilaspekte der Problem- bzw. der Fragestellung
zerlegt werden um die Findung der Lösung bzw. der Antworten zu erleichtern.
Experiment, Beschreibung und Theorie
Um die Richtigkeit der Begründung der Beobachtung zu zeigen, bedient sich
die Physik mehrerer Konzepte.
Erstens, die Überprüfung der Begründungen in genau definierten Situationen,
in welchen die Natur so eingerichtet ist oder der Mensch die notwendigen Bedingungen dafür geschaffen hat (Experiment).
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
4
1
EINFÜHRUNG
Zweitens, die Ableitung von weniger spezifischen Regeln aus der Begründung,
welche oftmals zur Entdeckung neuer Regeln bzw. Regelwerken führt (Abstraktion).
Und Drittens, die grobe Näherung, die zwar die Ungenaueste, aber gerade deswegen vermutlich die Stärkste ist (Simulation).
Durch die Komplexität der Natur und der Sache, und durch das Streben der
Zerlegung der Problematiken und Fragestellungen in kleiner Aspekte folgt, dass
die Physik keine exakte Wissenschaft ist.
Die Kunst ist es, Probleme lösbar zu machen!i
Lösungsstrategien
Erstens, werden Gleichungen, die komplexe Probleme beschreiben vereinfacht,
in dem nichtlineare Glieder vernachläßigt werden.
Zweitens, werden Gleichungen oftmals nicht mehr analytisch genau, sondern numerisch, also näherungsweise gelöst. (siehe Anhang)
Physikalische Gesetze
Die Beschreibung von Gesetzmäßgkeiten in der Natur kann nur unreichend bis
gar nicht mit der alltäglichen Sprache gelöst werden. Dafür ist die gesproche
Sprache zu ungenau und teilweise wiedersprüchlich.
Stattdessen bedient sich die Physik der Mathematik als Ausdrucksmittel ihrer
Ergebnisse.
Gültige Gesetze sind entweder begründet auf Axiome (F = m.veca) oder der
Ausdruck von Zusammenhängen zwischen anderen Gesetzen. Dies führt zu dem
Begriff der physikalischen Größe und der physikalischen Einheit.
Physikalische Größe = Zahlenwert . Einheit
Grundsätzlich können die Einheiten physikalischer Größen willkürlich gewählt
werden, jedoch ist es sinnvoll Einheiten zu wählen die leicht reproduzierbar,
zweckmäßig und konstant sind.
Weiters ist es von Vorteil eine internationale Einigung über die Wahl der Einheiten zu treffen.
Unterschieden wird zwischen Basisgrößen, welche nicht von anderen Größen
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
5
1
EINFÜHRUNG
abgeleitet werden können (z.B Länge), und den abgeleiteten Größen, welche durch Definitionsgleichungen auf den Basisgrößen beruhen (z.B F = m.~a.
Werden die abgeleiteten Größen so auf die Größen der Basiseinheiten abgestimmt, dass in den Definitionsgeleichungen nur der Zahlenfaktor Eins vorkommt, so sind diese untereinander und zu den Basisgrößen kohärent. Köhärente
Einheiten bilden ein Einheitensystem.
In der Praxis wurden die Einheiten der Basisgrößen (Basiseinheiten) frei gewählt
und in den SI-Einheiten zusammengefaßt, welche von vielen Staaten benutzt
werden.
SI-Basisgrößen:
Einheit
Zeichen
Einheit für
Ampere
A
ele. Stromfluß
Candela
cd
Lichtstärke
Kilogramm
kg
Masse
Meter
m
Länge
Mol
mol
Stoffmenge
Sekunde
s
Zeit
Weiters werden in der Physik gewisse Symbole sinnvollerweise immer für die
gleiche Bezeichnung eines Ausdrucks verwendet (z.B F~ )und sind dadurch genormt.
Für die Darstellung von Einheiten werden in der Physik skallare Größe und vektorielle Größe (siehe Anhang) verwendet. Durch die Verwendung von vektorielle
Größen wird die Prämise der Aufteilung in kleinere Probleme unterstützt
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
6
2
KINEMATIK
2
Kinematik
2.1
Die Drei Newtonschen Axiome
Unter einem Axiom versteht man eine Aussage, die für eine Theorie grundlegend ist und deswegen in dieser nicht bewiesen werden kann.
Sir Isaac Newton (1643 - 1727) begründete im Buch Principia (1687) drei Gesetze, welche die Kinematik (Bewegungslehre) begründete, und bis in die Mitte
des 20 Jahrhunderts die Grundlage der Physik blieb.
Die drei Axiome sind ausreichend um die gesamte Mechanik zu erklären.
Newton definierte die Axiome nach dem Vorbild der Mathematik.
Trägheitsprinzip - Erstes newtonsches Axiom
Ein Körper bleibt in Ruhe oder mit konstanter Geschwindigkeit in Bewegung,
wenn keine resultierende äußere Kraft auf ihn einwirkt.
F~ =
X
F~i = 0
(1)
i
Die resultierende Kraft ist also die Vektorsumme aller Kräfte, die an einem
Körer angreifen.
Das erste Axiom ist die mathematische Abstrakion der Beobachtung von Bewegungen, bei denen die Reibung vernachläßigbar ist.
Aktionsprinzip - Zweites newtonsches Axiom
Das Aktionsprinzip definiert die Kraft , welche für eine Bewegungs- und Richtungsänderung notwendig ist.
F~ = m.~a
(2)
Die Kraft, welche auf einen Körper wirkt, ist direkt proportional zur Masse
des Körpers und der Beschleunigung die der Körper erfährt.
Reaktionsprinzip - Drittes newtonsches Axiom
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
7
2
KINEMATIK
2.2
Bewegungsgleichung
Kräfte treten immer paarweise auf.
F~AB = −F~BA
(3)
Wenn auf einen Körper A vom Kröper B eine Kraft wirkt, dann wirkt eine gleichgroße aber entgegengesetzte Kraft vom Körper B auf A oder anders
ausgedrückt; actio = reactio.
2.2
Bewegungsgleichung
Da es sich bei der Kraft und der Beschleunigung um vekorielle Größen (siehe
Anhang) handelt, können sie in Komponenten zerlegt werden.
Mit dem Aktionsprinzip ergibt sich somit für den Raum R3 :
F~ = (Fx , Fy , Fz ) = m.(ax , ay , az )
(4)
Eine Kraft ist nur durch die Reaktion, die sie selbst hervorruft, feststellbar.
Fx (t) = m.x00 (t) ⇒ x00 (t) = Fxm(t)
R
R R Fx (t)
⇒ x(t) = vx (t) =
m .dt.dt + x0
R Fx (t)
v(t) =
m .dt + v0
Daraus ergeben sich folgende Gleichungen für Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit:
x(t+∆t)−x(t)
∆t
lim∆t→0 x(t+∆t)−x(t)
∆t
vDurchschnitt =
vmomentan =
=
dx
dt
Weiters lässt sich aus diesen Gleichungen die Momentanbeschleunigung herleiten:
amomentan = lim∆t→0
v(t+∆t)−v(t)
∆t
=
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
dv
dt
=
d2 x
dt2
8
2
KINEMATIK
2.2
Bewegungsgleichung
Aus den oben angeführten Feststellungen lässt sich nun folgern, dass zu jeder
Aktion eine gleich große, jedoch umgekehrte Reaktion existiert.
Desweiteren neigt ein bewegter Körper dazu, in Bewegung zu bleiben - ein ruhender neigt dazu, in Ruhe zu verharren.
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
9
2
KINEMATIK
2.3
2.3
Rotationsbewegung
Rotationsbewegung
x = r. cos(θ)
y = r. sin(θ)
p
r = x2 + y 2
θ = tan−1 (x, y)
Die Winkelgeschwindigkeit ist daraus folgendermassen definiert:
s = r.θ → θ =
s
r
→
dθ
dt
= θ0 ≡ ω = 1r . ds
dt
Rechte Hand Regel:
Wenn sich die die Rotationsachse paralell zum Daumen befindet und sich die
Objekte in Richtung der Finger bewegen, so zeigen die Vektoren der Winkelverschiebung und der Winkelgeschwindigkeit in Richtung Daumen.
2.3.1
Zentripetalbeschleunigung
Die Zentripetalbeschleunigung ist definiert als das Produkt des Radius und dem
Quadrat der Winkelgeschwindigkeit.
2
2
aZ = −rω 2 = −r vr2 = − vr
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
10
2
KINEMATIK
2.3
Rotationsbewegung
Eigentlich korrekt:
aZ = −|rω 2 | ~rr
2.3.2
Unterschied zwischen Zentrifugal- und Zentripetalkraft
Die Zentripetalkraft is eine wahre Kraft, die gemäss der Bewegungsgleichung
bewirkt, dass sich der Körper auf einer Kreisbahn bewegt. Die Zentrifugalkraft
ist eine Scheinkraft, die man dann einführt, wenn man in einem rotierenden
Bezugssystem sitzt.
2.3.3
Beispiel
Ein PKW fährt auf einem kurvenfreien Streckenabschnitt mit der Geschwindigkeit v0 durch eine Talsenke (Krümmungsradius r1) und danach über eine
Bergkuppe (Krümmungsradius r2). Der Fahrer hat die Masse m.
• Wie groß ist das Gewicht (G) des Fahrers?
• Wie groß sind Zentrifugalkraft (FZ1) und Gesamtkraft (F1) für den Fahrer
in der Talsenke?
• Wie groß sind Zentrifugalkraft (FZ2) und Gesamtkraft (F2) für den Fahrer
auf der Bergkuppe?
• Bei welcher Geschwindigkeit v1 verliert der PKW auf der Bergkuppe die
Bodenhaftung?
• Rechnen Sie zunächst allgemein und berechnen Sie dann die numerischen
Werte für r1 = 135m;m = 80kg; r2 = 68m; v0 = 72 km
h .
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
11
2
KINEMATIK
2.4
Reibungskräfte
Lösung
G = m.g = 0, 78 [kN ]
v2
FZ1 = m.aZ1 = m. r10 = 0, 24 [kN ]
F1 = G + FZ1 = 1, 02 [kN ]
v2
FZ2 = m.aZ2 = m. r20 = 0, 47 [kN ]
F2 = G − FZ2 = 0, 31 [kN ]
F3 = G − FZ3 = 0 = m.g − m −
√
v1 = g.r2 = 93 km
h
2.4
v12
r2
Reibungskräfte
Reibungskräfte sind grundsätzlich Kräfte, die der Bewegung eines Körpers entgegenwirken. Sie treten auf, wenn ein Körper mit einem anderen Körper in
Berührung kommt. Reibungskräfte wirken grundsätzlich paralell zur Berührungsfläche.
2.4.1
Columb-Reibung
Die Columb-Reibung (auch als Haftreibung bekannt) wird für Körper ohne
Schmiermittel auf fester Unterlage verwendet.
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
12
2
KINEMATIK
2.4
Reibungskräfte
Die Reibungsgleichung für die Columbreibung mit dem Reibungskoeffizienten µ:
F~Hr = µHr .F~N
2.4.2
Gleitreibung
Die Gleitreibung tritt auf, wenn ein Körper auf der Berührungsfläche gleitet.
Die Gleitreibungskraft ist der Geschwindigkeit des Körpers entgegengerichtet
und ist betragsmässig immer kleiner als die Haftreibung.
F~Gr = µGr .F~N
2.4.3
Rollreibung
Die Rollreibung beruht auf der anelastischen Deformation von Rollkörper und
Unterlage. Sie liegt dann vor, wenn der Körper ( z.B. ein Rad) auf einer ebenen
Unterlage nicht gleitet, sondern rollt.
Die Rollreibungszahl f drückt das Verhältnis zwischen der Auflagekraft FN
und dem durch die Reibung bewirkten Drehmoment M aus. Sie ist wie folgt
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
13
2
KINEMATIK
2.4
Reibungskräfte
definiert:
M = f.FN
F~R =
f ~
R .FN
Die Rollreibung ist abhängig von folgenden Faktoren:
• Belastung
• Raddurchmesser
• Material des Rades
• Material der Unterlage
2.4.4
Stokes-Reibung
Die Stokes-Reibung (auch bekannt unter dem Namen Viskose-Reibung) gilt für
nicht zu große Körper, die sich nicht zu schnell durch ein Fluid bewegen.
2.4.5
Newton-Reibung
Die Anwendung der Newton-Reibung wird für größere Körper verwendet, die
sich mit hoher Geschwindigkeit durch ein Fluid bewegen. Die Kraft die hier
wirkt ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit:
FR = 21 .cω .ρ.AF luid .v 2
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
14
2
KINEMATIK
2.5
2.5
Gravitation
Gravitation
Die Gravitation ist die Kraft, die zwischen zwei Körpern wirkt:
2
m1 .m2
Nm
F~G = G.
mit G = 6, 67.10−11 [
]
r2
kg 2
(5)
G wird als die Gravitationskonstante bezeichnet.
2.6
Impuls und Energie
Der Impuls ist definiert als Masse mal Geschwindigkeit. Deswegen darf dieser
auf keinen Fall mit der Geschwindigkeit gleichgesetzt werden, denn auch wenn
die Masse vorerst konstant ist wird sich später im Kapitel der Relativitätstheorie zeigen, dass sie ebenso relativ ist.
v
F~ = m.~a = m. d~
dt =
d(m.~
v
dt
=
d~
p
dt
Satz von der Energieerhaltung:
In einem abgeschlossenen System bleibt bei allen physikalischen Vorgängen die
Gesamtenergie konstant. Energie kann nur in verschiedene Energieformen umgewandelt oder zwischen Teilsystemen ausgetauscht werden.
X
Ei = Epot + Ekin + ... = const
(6)
Die Einheit der Energie ist Joule [J]. Arbeit ist definiert als die Summe aller
Kräfte, die über eine gewisse Wegstrecke aufgewendet werden muß, um zum
Beispiel ein Objekt zu verschieben:
W =
X
F~ .~r →
Z
F~ dr
(7)
W egteile
Unter der Leistung P versteht man die geleistete Arbeit nach der Zeit t.
P =
W
T
oder P (t) =
dW (t)
dt
=
1
T
.
R t0 +T
t0
P (t)dt
(8)
Wir wollen nun zwei Arten der Energie ein wenig genauer betrachten, einerseits die kinetische, andererseits die potentielle Energie.
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
15
2
KINEMATIK
2.6.1
2.6
Impuls und Energie
Kinetische Energie
Die kinetische Energie ist die Beschleunigungsarbeit, die beim Beschleunigen
einer Masse m mit der Beschleunigung ~a gegen die Trägheitskraft F~r = −m.~a
mit der Arbeit dWB = −m.~a.d~r verrichtet wird:
dWB = −m.~a.d~r
WB = 21 .m.(v 2 − v0 2 )
Die kinetische Energie eines Massepunktes der Masse m ist dadurch definiert
als:
Ekin =
2.6.2
1
.m.v 2
2
(9)
Potentielle Energie
Allgemein wird die Energie, die nur vom Ort des Körpers, und nicht von der
Geschwindigkeit abhängt, als potentielle Energie bezeichnet. Dazu führen wir
zuerst noch den Begriff der Hubarbeit ein, der als die Arbeit definiert ist, ein
Objekt der Masse m um die Höhendifferenz ∆h anzuheben:
WH = FG .∆h = m.g.∆h
Daraus folgert sich die kinetische Energie:
Epot = m.g.h
(10)
Ein Kraftfeld heißt ”konservativ”, wenn die Arbeit nur von den Endpunkten
des Weges und nicht vom Weg selbst abhängt. Ein Beispiel dafür ist das Gravitationsfeld:
Epot,grav = W = −
2.6.3
Rr
∞
F~ d~r =
Rr
∞
GM m
r .dr
= −m. GM
r
Beispiel
Ein Käfer landet oben auf dem reibungslosen, kugelförmigen Kopf eines Mannes
mit Glatze.
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
16
2
KINEMATIK
2.6
Impuls und Energie
Zeigen Sie, dass der Käfer sich vom Kopf in einer vertikalen Höhe, die 2/3
des Radius beträgt (vom Mittelpunkt gemessen) löst.
Lösung Zentrifugalkraft:
FZ =
m.v 2
r
Teil der Gewichtskraft die radial nach innen gerichtet ist:
FN = m.g. cos (α)
Aus der Energieerhaltung folgt:
m.g.h =
m 2
2 .v
Es gilt auch:
cos (α) =
r−h
r
Die Ablösung der Masse von der Kugel erfolgt bei FN = FZ .
⇒ m.g. cos (α) = m.g. r−h
r =
r − h = 2.h → h =
m.v 2
r
=
2.g.h
r
r
3
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
17
2
KINEMATIK
2.6.4
2.6
Impuls und Energie
Masseverteilung komplizierter Körper
Mathematische Bestimmung vom Massenmittelpunkt komplizierter Körper:
P
2
F~i = m. ddtr~2i → F~i = F~ =
P
M =P i mi
~ = Pi mi .r~i
R
m
i
P
d2 (
mi .r~i )
dt2
i
~ der Ortsvektor des Massenschwerpunktes.
Hierbei ist R
F~ =
~
d2 .M.R
dt2
2
~
= M. ddtR
2
Definition der Schwerpunktsgeschwindigkeit :
~v =
~
dR
dt
P
r
mi d~
= Pi mdt =
i
i
1
M.
P
i
mi .vi wodurch mit m.v = p ⇒ P~ = M.v~s
Der Masseschwerpunkt eines beliebigen Systems bewegt sich, als ob er ein
Körper mit der Gesamtmasse m wäre, auf den die gesamte äußere Kraft wirkt.
Drehimpuls:
Über eine Analogie zu den linearen Größen:
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
18
2
KINEMATIK
2.6
Impuls und Energie
Kraft mal Weg ist Arbeit
Drehmoment mal Winkel wird Arbeit
dW = FX .∆y + FY .∆x = (xFY − yFX ) ∆θ
Mi = xi .FYi − xi .FXi
P
M = i Mi
Drehmoment:
d~r = dθ~ × ~r
~v =
d~
r
dt
=
~
dθ
r
t .~
=ω
~ .~r
~ = ~r.F~
M
~ :
Für Systeme mit Massen ergibt sich somit der Drehimpuls L
~ =
M
~
dL
dt
~ = ~r.p
L
~ = I.ω
L
Massenträgheitsmoment :
Mittels des Massenträgheitsmoments I wird beschrieben, mit welcher Winkelbeschleunigung ein Körper auf ein wirkendes Drehmoment reagiert. Das Massenträgheitsmoment ist abhängig von der Form und der Masseverteilung des
Körpers sowie von der Lage der Drehachse. Anders ausgedrückt beschreibt das
Massenträgheitsmoment den Widerstand, den der Körper einer Veränderung
seines Bewegungszustandes entgegensetzt.
I=
P
i
mi .ri2 →
R
r2 ` dm
Steinersche Satz :
Durch den Steinerschen Satz wird die Beziehung zwischen dem Massenträgheitsmoment bezüglich einer Achse XS , die durch den Schwerpunkt des Körpers geht,
und einer beliebigen anderen dazu paralellen Achse X beschrieben.
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
19
2
KINEMATIK
2.6
Impuls und Energie
IB = IS + a2 .M
(11)
Kennt man das Trägheitsmoment IS bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt, kann man das Trägheitsmoment bezüglich einer dazu im Abstand a parallelen Achse erhalten.
Rotationsenergie, als Analogie zum Drehmoment:
P
2
mi vi2 = 21
mi (ri .ω)
P
= 21 ω 2 i mi .ri2 = 12 .I.ω 2
T =
2.6.5
1
2
P
Beispiel
Rollende Kugel, Zylinder
Aus dem Bild sieht man das die Rotation um den Mittelpunkt M stattfindet,
jedoch die momentane Drehachse der Punkt A ist.
E = Ek + Erot = 12 m.v 2 + 12 .IM .ω 2 =
1
2.π.R 2
+ 12 .IM .ω 2
2 .m.
t
ω = 2.π. 1t ⇒ t = 2.π. ω1
2
2
2.π.R
E = 12 .m. 2.π.
+ 21 .IM .ω 2 = 12 .m.(R.ω) + 21 .IM .ω 2 =
1
ω
1
2
2 .IA .ω
Inertialsysteme :
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
20
2
KINEMATIK
2.6
Impuls und Energie
Es existieren Bezugssysteme S = {x, y, z, t} und S 0 = {x0 , y 0 , z 0 , t0 }. Dabei
sei S ein ruhendes System und S 0 ein sich relativ zu S bewegendes System mit
der konstanten Geschwindigkeit u.
Transformationsgleichungen bei Inertialsystemen:
t = t0
x = x0 + u.t
y = y 0 + u.t
z = z 0 + u.t
→ ~v = ~v 0 + ~u
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
21
3
RELATIVITÄTSTHEORIE
3
Relativitätstheorie
3.0.6
3.1
Galilei-Transformation
Maxwellsche Gleichungen
Die Maxwellsche Gleichungen besagen, dass die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen dem klassischen Relativitätsprinzip folgt. Das klassische Relativitätsprinzip sagt aus, dass die Gesetze der klassischen Mechanik in jedem Inertialsystem die gleiche Gestalt haben. Elektromagnetische Wellen (Licht) breitet
sich im Vakuum mit der Geschwindigkeit c = 2, 997.108 [ m
s ] aus. Würde diese Geschwindigkeit gemäß der Galilei-Transformation transformieren, so könnte
dieser Wert nur in einem einzigen Bezugssystem gelten.
3.2
Ätherhypotese
Bei der Ätherhypothese handelt es sich um eine Hypothese, die versucht ,eine
Analogie zwischen Licht und Schallausbreitung herzustellen. Dabei sollten die
elektromagnetischen Wellen von einem als Äther bezeichneten Medium übertragen werden.
Die Existenz des Äthers würde dazu führen, dass sich elektromagnetische Wellen
in einem bewegten Bezugssystem mit verschiedenen Geschwindigkeiten ausbreiten.
Die Ätherhypotese wurde erstmals mit dem Michelson-Morly-Versuch (1887)
überprüft. Dieser Versuch führte Einstein zur Annahme, dass die Existenz des
Äthers nicht vorhanden ist. Aus dieser Annahme folgte dann die Relativitätstheorie.
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
22
3
RELATIVITÄTSTHEORIE
3.3
3.3
Lorenz-Transformation
Lorenz-Transformation
Vergleich zwischen Galilei- und Lorenz-Transformation
Der grösste Unterschied zwischen den zwei Transformationen ist, dass die LorenzTransformation gegenüber der Galilei-Transformation die Aussage beinhaltet,
dass die Zeitkoordinate nicht in beiden Systemen gleich sein kann. Dies ist eine direkte Folge, die aus der Aussage hervorgeht, dass die Lichtgeschwindigkeit
konstant ist.
3.4
Relativistischer Faktor
Der relativistische Faktor γ , der in der Lorentz-Transformation bestimmend
ist, ist definiert durch:
1
γ=q
1−
(12)
v2
c2
Aus dieser Formel lässt sich nun weiters folgen, dass sich für Geschwindigkeiten, die viel kleiner sind als die Lichtgeschwindigkeit, der relativistische Faktor
gegen 1 geht:
vc⇒γ≈1
Das bedeutet im weiteren auch, dass für sehr kleine Geschwindigkeiten (im
Verhältnis zur Lichtgeschwindigkeit) die Lorenz-Transformation in die GallileiTransformation übergeht.
3.5
Additionstheorem der Geschwindigkeiten
Ein Körper bewegt sich in einem Bezugssystem S 0 , das sich gegenüber dem System S die Relativgeschwindigkeit ~v besitzt, mit der Geschwindigkeit u~0 . Seine
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
23
3
RELATIVITÄTSTHEORIE
3.6
Relativistische Effekte
Geschwindigkeit ~u relativ zum Bezugssystem S ergibt sich nicht einfach durch
Vektoraddition von u~0 und ~v , sondern gemäß der Lorenz-Transformation:
u0X +v
1+ v2 .u0X
c
u0Y
γ.(1+ v2 .u0X )
c
u0Z
γ.(1+ v2 .u0X )
uX =
uY =
uZ =
c
3.6
Relativistische Effekte
Abstände in einem bewegten System:
l0 = x02 − x01
x01 = γ.(x1 − vt) und x02 = γ.(x2 − vt)
⇒ l = γ1 .l0
Daraus lässt sich der Begriff der Längenkontraktion folgern: Die Länge
einer Strecke in einem bewegten Bezugssystem erscheint dem Beobachter in
seinem Ruhezustand verkürzt um den Faktor:
1
=
γ
r
1−
v2
c2
(13)
Zeitdillatation: Finden zwei Ereignisse im bewegten System S 0 an den
Orten x01 und x02 zu den Zeitpunkten t01 und t02 statt, so ist der Zeitabstand ∆t
zwischen den Ereignissen im ruhenden System gegeben durch:
∆t = t2 − t1 = γ.
h
t02 +
∆t = γ ∆t0 +
v.x02
c2
v
c2
− t01 +
(x02 − x01 )
v.x01
c2
i
Finden nun die zwei Ereignisse im bewegten System S 0 am gleichen Ort statt
x01 = x02 , so gilt:
∆t = γ.∆t0
Der Zeitabstand zwischen zwei Ereignissen in einem bewegten System erscheint dem Beobachter im Ruhezustand verlängert um den Faktor:
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
24
3
RELATIVITÄTSTHEORIE
3.7
1
γ=q
(14)
v2
c2
1−
3.7
Relativistische Dynamik
Relativistische Dynamik
Wie schon im Kapitel der Kinematik (Impuls) angesprochen, gibt es eine sogenannte relativistische Massezunahme. Der Grund dafür liegt im Impulserhaltungssatz, der mit der Definition p~ = m.~v wegen dem Additionstheorem der
Geschwindigkeiten in der Relativitätstheorie nur dann gelten kann, wenn die
Masse geschwindigkeitsabhängig wird. Die relativistische Massezunahme ist definiert als:
m0
m(v) = q
1−
= γ.m0
v2
c2
(15)
Relativistischer Impuls:
p~ = m(v).~v = pm0 .~vv2 = γ.m0 .~v
1−
c2
Relativistische Kraft:
F~ =
d~
p
dt
=
d
dt .
pm0 .~v 2
1− v2
c
Relativistische kinetische Energie:
W =
du = m0 .c2 . p 1v2
1− 2 −1
c
c
1
2
p
Ekin = m0 .c .
v2
Rv
m0 .u
0 1− u2
2
3
2
1−
c2
−1
Ekin = m0 .c2 . (γ − 1)
Äquivalenz von Masse und Energie:
E = m.c2
(16)
Die Enerige kann nur freigesetzt werden, wenn es gelingt, die Masseenergie in
eine andere Energieform umzuwandeln.
Energie-Impuls Beziehung:
E2
= p2 + m20 .c2
c2
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
(17)
25
4
SCHWINGUNG
4
Schwingung
Schwingungen sind zeitlich periodische Zustandsänderungen eines Systems (Oszillator), die immer dann auftreten, wenn:
• das System durch äußere Störung aus dem Gleichgewicht gebracht wird
• oder Kräfte wirksam werden, die das System in Richtung Gleichgewicht
bewegen.
4.1
Grundlagen
Die Periodendauer T ist definiert als die kleinste Zeitdauer, nach der sich eine
bestimmte zeitlich periodische Erscheinung wiederholt:
u(t + T ) = u(t)
Die SI Einheit der Periodendauer ist Sekunde [s]. Die Frequenz ist definiert als:
f=
1
T
[Hz] wobei 1[Hz] =
1
1[s]
Harmonische Schwingung:
Die harmonische Schwingung ist dadurch gekennzeichnet, dass ihr Verlauf durch
eine Sinus- bzw. Cosinusfunktion beschrieben wird. Die Sinusfunktion unterscheidet sich von der Cosinusfunktion durch eine Phasenverschiebung von
u(t) = A. cos (2π.f.t + Φ)
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
π
2.
(18)
26
4
SCHWINGUNG
4.2
Freie ungedämpfte Schwingung
Phase und Amplitude:
Phase bzw. Phasenwinkel ist das Argument der Sinus- bzw. Cosinusfunktion,
die den momentanen Schwingungszustand bestimmt. Die Amplitude A ist der
maximale Wert der Funktion u(t).
Frequenz, Kreisfrequenz und Periodendauer:
Die Kreisfrequenz ω ist definiert als:
ω = 2π.f
Die Periodendauer entspricht dem Kehrwert der Frequenz:
T =
1
f
=
2π
ω
Die Eigenfrequenz ist die nur von den Sytemgrößen abhängige Frequenz, mit
der ein Oszillator schwingt, wenn keine äußeren Kräfte einwirken. Man kann
grundsätzlich zwischen drei Arten der Schwingung unterscheiden:
• Freie Schwingung
• Gedämpfte Schwingung
• Erzwungene Schwingung
4.2
Freie ungedämpfte Schwingung
Die freie ungedämpfte Schwingung ist eine Schwingung ohne äußere Einwirkungen und ohne Reibung. Sie wird exakt durch die harmonische Zeitabhängigkeit
beschrieben. Amplitude und Frequenz sind zeitunabhängig.
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
27
4
SCHWINGUNG
4.2
Freie ungedämpfte Schwingung
Rückstellkraft eines Federpendels:
Fr = −c.x
In dieser Formel beschreibt x die Auslenkung und c stellt die Federkonstante dar.
Aus der Kinematik wissen wir, dass wenn wir den Weg (x) nach der Zeit
ableiten, (x0 ) wir die Geschwindigkeit erhalten. Die zweite Ableitung (x00 ) stellt
dann die Beschleunigung dar:
x(t) = A. cos (ωt + Φ)
x0 (t) = v = −A. sin (ωt + Φ)
x00 (t) = a = −A.ω 2 . cos (ωt + Φ)
Weiters können wir die Winkelgeschwindigkeit und die Frequenz folgendermassen darstellen:
ω=
f=
1
2π .
pc
m
pc
m
p
dementsprechend ist T = 2π. m
c
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
28
4
SCHWINGUNG
4.2
Freie ungedämpfte Schwingung
Betrachten wir nun ein anderes Beispiel für die freie ungedämpfte Schwingung - ein Fadenpendel:
Hierbei beträgt die rücktreibende Kraft:
F = −m.g. sin α
Bilden wir nun wieder die Ableitungen, um auf die Geschwindigkeit und die
Beschleunigung zu kommen:
x = l.α
x0 = v = l.α0
x00 = a = l.α00
F = m.a = m.l.α00 = −m.g.α ⇒ α00 = − gl .α
Es ist nun ersichtlich, dass es sich bei α0 um die Winkelgeschwindigkeit
und bei α00 um die Winkelbeschleunigung handelt. Nun wollen wir noch wie im
vorergehenden Beispiel die Winkelgeschwindigkeit, die Frequenz und die Periodendauer auflösen:
x(t) = A. cos (ωt + Φ)
p
ω = gl
f=
pg
1
2π .
l
q
woraus folgt das T = 2π. gl
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
29
4
SCHWINGUNG
4.3
4.3
Gedämpfte Schwingung
Gedämpfte Schwingung
Bei der gedämpften Schwingung bleibt die Energie des Oszillators nicht konstant, sondern wird an die Umgebung abgegeben. Das führt uns zu einer veränderten Schwingungsgleichung:
m.x00 = F = −cx + FR
Dabei ist x00 die Beschleunigung, c die Richtkonstante der Feder und FR
steht für die Reibungskraft.
m.
Der Term
dx(t)
dt
d2 x(t)
dx(t)
+ γ.
+ k.x(t) = 0
dt
dt
(19)
ist die sogenannte Dämpfungskraft. Die rechte Seite des
Terms beschreibt die Kraft, die von aussen angewendet wird, was in diesem
Falle 0 entspricht. Durch die Dämpfung geht im System Energie verloren. Zur
Lösung der Schwingungsgleichung kann man folgenden Ansatz wählen:
Schritt 1: Lösen der homogenen Gleichung ohne Dämpfung
x(t) = A. cos ωt + B. sin ωt
0
x (t) = −A.ω. sin ωt + B.ω. cos ωt
x00 (t) = −A.ω 2 . cos ωt − B.ω 2 . sin ωt
→ x00 (t) = −ω 2 .x(t)
Daraus ist ersichtlich das der Ansatz die Schwingungsgleichung erfüllt.
2
+ γ. dx(t)
dt + k.x(t) = 0
k
2
2
− A.ω . cos ωt + B.ω . sin ωt + m . (A. cos ωt + B. sin ωt) = 0
m. d
x(t)
dt
ω 2 . (A. cos ωt + B. sin ωt) =
⇒ω=
k
m
q
. (A. cos ωt + B. sin ωt)
k
m
Wenn man nun A und B aus den Anfangsbedingen bestimmt erhält man:
A = x(0)
B = f racx0 (0)ω
Lösung:
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
30
4
SCHWINGUNG
4.4
q
k
+ B. sin m
.t
q
k
ω = 2.π.f = 2.π
T =
m
x(t) = A. cos
q
Erzwungene Schwingung
k
m .t
Bei A und B handelt es sich um die Amplituten die die maximale Auslenkung
beschreiben.
Schritt 2: Lösung der homogenen Gleichung mit Dämpfung
Als möglicher Ansatz wird hier:
x(t) = eγ.t .ζ(t)
4.4
Erzwungene Schwingung
Bei der erzwungenen Schwingung wirkt auf den Oszillator eine äußere Kraft ein.
Nach dem Einschwingvorgang folgt der Oszillator der von der äußeren Kraft
vorgegebenen Frequenz.
m.
d2 x(t)
dx(t)
+ γ.
+ k.x(t) = F (t) = F0 . cos (ω.t)
dt
dt
(20)
Bei der Lösung der inhomogenen Gleichung ist es hilfreich wenn man sich
folgendes Experiment durchdenkt:
1. Welche Frequenz ω auch immer vom Erreger angeboten wird, das Pendel
schwingt immer mit genau dieser Frequenz, nicht mit seiner Eigenfrequenz
(nach dem Einschwingvorgang).
2. Das Pendel schwingt gegenüber dem Erreger mit einer Phasenverschiebung, die von der Erregerfrequenz abhängt.
3. Die Amplitude der Pendelschwingung hängt ebenfalls stark von der Erregerfrequenz ab. Sie wird besonders gross wenn ω, mit der Eigenfrequenz
ω0 des Pendels übereinstimmt (Resonanz).
x(t) = A(ω). cos(ωt + ϕ(ω))
A(ω) = √
F0
m
2
2
(ω0 −ω )2 +(2γω)2
tan(ϕ) =
2γω
ω02 −ω 2
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
31
4
SCHWINGUNG
4.5
4.5
Mehrere Freiheitsgrade - Normalschwingungen
Mehrere Freiheitsgrade - Normalschwingungen
Bisher haben wir nur einene Freiheitsgrad betrachtet. Jedoch haben Systeme
mit mehreren Freiheitsgraden eine wesentlich höhere praktische Bedeutung. Einerseits diskrete Systeme die zum Beispiel aus gekoppelten Pendeln oder Massen
bestehen und andererseits kontinuierliche System (z.B. schwingende Saite).
Betrachten wir ein Systen mit gekoppelten Massen:
2
+ k.x1 (t) + k 0 . [x1 (t) − x2 (t)] = 0
2
+ k.x2 (t) + k 0 . [x2 (t) − x1 (t)] = 0
m. d
x1 (t)
dt2
x2 (t)
m. d dt
2
Gekoppeltes Differentialgleichungssystem für x1 und x2 .
Lösungsmöglichkeiten:
• Versuch Gleichungssystem direkt über x1 und x2 zu lösen. (z.B. mit Mathematika)
• Einführen neuer Koordinaten die durch die Addition beziehungsweise durch
die Subtratktion der Gleichungen erreicht wird. Dadurch ist das Entkoppeln von Gleichungen möglich wodurch man zwei Schwingungsgleichungen
erhält, die man sofort lösen kann.
• Jeder beliebige Zustand ist durch Linearkombination der Normalschwingungen darstellbar.
Normalschwingungen
2
m. d
x1 (t)
dt2
2
x2 (t)
m. d dt
2
+ k.x1 (t) + k 0 . [x1 (t) − x2 (t)] = 0
+ k.x2 (t) + k 0 . [x2 (t) − x1 (t)] = 0
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
32
4
SCHWINGUNG
4.5
Mehrere Freiheitsgrade - Normalschwingungen
Addition der Terme:
2
m. d
[x1 (t)+x2 (t)]
dt2
+ k 0 . [x1 (t) + x2 (t)] = 0
Subtraktion der Terme:
2
m. d
[x1 (t)−x2 (t)]
dt2
+ (k + 2k 0 ). [x1 (t) − x2 (t)] = 0
Das sind nun zwei entkoppelte Schwingungsgleichungen für x1 (t)+x2 (t) und
x1 (t) − x2 (t). Aus der Frequenz ergeben sich nun folgende Resonanzfrequenzen:
ω0 =
q
k
m
Dieses ω bezieht sich nun auf die erste Schwingunggleichung:
2
m. d
[x1 (t)+x2 (t)]
dt2
+ k 0 . [x1 (t) + x2 (t)] = 0
Wenn wir nun das ω dementsprechend umformen so erhalten wir für die
zweite Schwingungsgleichung folgendes ω :
2
m. d
ω1 =
[x1 (t)−x2 (t)]
dt2
q
k+2k0
m
=
+ (k + 2k 0 ). [x1 (t) − x2 (t)] = 0
q
k
m.
q
0
0
1 + 2. kk = ω0 . 1 + 2. kk
Nun können wir weiters folgende Gleichungen aufstellen:
x1 (t) + x2 (t) = A. cos [ω0 .t]
x1 (t) − x2 (t) = A0 . cos [ω1 .t]
x1 (t) = A. cos [ω0 .t] − x2 (t)
A. cos [ω0 .t] − x2 (t) − x2 (t) = A0 . cos [ω1 .t] →
x2 (t) = 21 . (A. cos [ω0 .t] − A0 . cos [ω1 .t])
x1 (t) = A. cos [ω0 .t] − 21 . (A. cos [ω0 .t] − A0 . cos [ω1 .t])
x1 (t) = 21 . (A. cos [ω0 .t] + A0 . cos [ω1 .t])
Hieraus ist ersichtlich das x1 und x2 zu jeder Zeit als Überlagerung (Linearkombination) der Normalschwingungen darstellbar ist. Diese Aussage ist von
weitreichender und sehr allgemeiner Gültigkeit für alle Systeme die auf Schwingungen basieren.
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
33
4
SCHWINGUNG
4.6
4.6
Harmonische Analyse, Fourieranalyse
Harmonische Analyse, Fourieranalyse
Wenn f (x) und q(x) Lösungen sind, ist auch eine beliebige Linearkombination
a.f (x) + b.q(x) eine Lösung. Daraus folgt das Superpositionsprinzip:
Ein beliebiger Zustand eines Systems kann als Überlagerung der Eigenschwingung des Systems dargestellt werden.
Daraus kann man weiters folgern, dass eine beliebige periodische Funktion eines Systems sich als Überlagerung von Sinus- und Cosinusfunktionen darstellen
lässt:
x(t) = f (t) =
= const +
P∞
P∞
n=0 An . cos [ωn .t] +
n=0 Bn . sin [ωn .t]
P∞
P∞
n=0 An . cos [ωn .t] +
n=0 Bn . sin [ωn .t]
=
Diese Reihe ist auch bekannt unter dem Namen Fourierreihe .
2π
ωn = n.ω0 = n. 2L
P∞
P∞
f (t) = A0 + n=1 An . cos [n.ωn .t] + n=1 Bn . sin [n.ωn .t]
RT
A0 = T1 0 f (t)dt
RT
Bn = T2 0 f (t). sin [nω0 .t] dt
RT
An = T2 0 f (t). cos [nω0 .t] dt
Der Faktor n beschreibt dabei den Typ der Schwingung. Bei n = 1 handelt
es sich um die Grundschwingung. Bei n = 2 um die erste Oberschwingung, bei
n = 3 um die zweite Oberschwingung und so weiter.
Fourierspektrum :
Darstellungsart einer Fourieranalyse als Frequenz-Amplituden-Diagramm , in
dem man die Amplituden der in der Summe vorkommenden Fourier-Terme über
den Frequenzen als senkrechte Linien aufträgt.
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
34
4
SCHWINGUNG
4.6
Harmonische Analyse, Fourieranalyse
Fouriersynthese:
Aufbau eines komplexen Zeitsignals aus mehreren Sinus- und Cosinusfunktionen
unterschiedlicher Frequenz und Amplitude.
Komplexe Darstellung der Fourierreihe:
x(t) =
cK =
1
T
P∞
j.ω.k.t
k=−∞ cK .e
R
T
2
− T2
x(t).e−j.ω.k.t dt
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
35
5
WELLEN
5
Wellen
Wellen entstehen durch die Ankopplung eines Erregers an ein Kontinuum (Medium), in dem sich die Wellen ausbreiten können.
Bei einer Welle wird Energie transportiert und keine Masse. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle hängt von der Masse des schwingenden Systems und
der Stärke der Kopplung ab.
Man unterscheidet zwischen harmonischen Wellen und einer einmaligen Auslenkung. Der Abstand zweier Teilchen im Kontinuum, die sich im selben Schwingungszustand befinden, wird als Wellenlänge λ bezeichnet.
5.1
Wellengleichung und charakteristische Größen
In dem Kontinuum schwingt jedes Teilchen mit der Frequenz f der Welle. Auch
hier gilt für die Schwingungsdauer T = 1/f . Während dieser Zeit hat sich der
Wellenberg um λ weiterbewegt. Da es sich um eine gleichförmige Bewegung
handelt, gilt s = v.t. Mit t ergibt sich somit für die Geschwindigkeit der Phase:
~vP hase = λ.f
(21)
Stehen die Auslenkung und die Ausbreitungsrichtung der Welle normal zu-
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
36
5
WELLEN
5.1
Wellengleichung und charakteristische Größen
einander, so wird die Welle als transversale Welle bezeichnet.
Sind die Auslenkung und die Ausbreitungsrichtung der Welle parallel zueinander, so wird die Welle als longitudinale Welle bezeichnet.
Je nach Ausbreitung der Welle im Kontinuum spricht man von einer linearen, Flächen- oder Raumwelle.
Raumwelle:
d2 ψ(~
r ,t)
dt2
2
= vphase
d2 y(~
r ,t)
dx2
+
d2 y(~
r ,t)
dy 2
+
d2 y(~
r ,t)
dz 2
Kugelwelle:
ψ(~r, t) =
A
r
cos(ω.t − k.z)
In der Annahme, dass der Erreger harmonisch ist und bei der Ausbreitung
der Welle keine Energieverluste auftreten, gilt dies für jedes Element des Kontinuums.(ebene Wellen)
ψ(z, t) = A. cos(ω.t − k.z)
(22)
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
37
5
WELLEN
5.2
Überlagerung
A ist die Amplitude und cos(ωt − k.z) stellt die Phase dar.
Daraus folgt die Wellengleichung, deren Lösung jede Wellenausbreitung ist:
d2 ψ(z, t)
d2 ψ(z, t)
= vP2 hase .
2
dt
dz 2
(23)
Bei einer Welle wird Energie transportiert, jedoch keine Masse.
Diese Energie wird in Form von Schwingungsenergie weitergeleitet. Die der Welle
inherente Energie bezogen auf das Volumen bzw. Fläche des Mediums, wird
Energiedichte w genannt.
w=
σ.v̂ 2
2
=
ω 2 .ŷ 2
2 ,
[w] =
W
m2
ψ bezeichnet die Dichte des Mediums, v̂ die max. ~v des Teilchens und ŷ die
Amplitude. Daraus ergibt sich der Energiestrom:
E=
σ.v̂ 2 .A.vP hase .t
2
=
ω 2 .ŷ 2 .A.vP hase .t
2
Mit A ist die Fläche gemeint. Daraus ergibt sich für die Leistung nach P =
P = w.A.vP hase =
σ.v̂ 2 .A.vP hase
2
=
E
t
ω 2 .ŷ 2 .A.vP hase
2
Schließlich ergibt sich die Intensität I nach I =
P
A,
also der Leistung pro
Fläche.
I = w.vP hase =
5.2
ω 2 .ŷ 2 .vP hase
σ.v̂ 2 .vP hase
=
2
2
(24)
Überlagerung
Mit einzelnen Sinusschwingungen kann keine Information übermittelt werden.
Wellen überlagern sich jedoch und bilden Wellengruppen.
Für die Überlagerung zweier Wellen und somit für die resultierende Wellengruppe gilt:
ψ = A.(cos[ω1 .t − k1 .z] + cos[ω2 .t − k2 .z])
Somit ergibt sich:
ψ = 2.A cos[
4ω
4k
.t −
.z]. cos[ω.t − k.z]
2
2
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
(25)
38
5
WELLEN
5.3
2.A cos[ 4ω
2 .t −
4k
2 .z]
Interferenz
beschreibt die langsam veränderliche Amplitude der
resultierenden Welle und cos[ω2 .t − k2 .z]) die ebene Welle.
Die resultierende Welle besitzt ebenso eine Geschwindigkeit, die jedoch im
allgemeinen nicht diesselbe ist wie die Phasengeschwindigkeit. Dies wird Dispersion genannt. Nur wenn ω(k) linear ist, sind die Phasengeschwindigkeit und die
Gruppengeschwindigkeit gleich.
vGruppe =
dω
ω
, vP hase =
dk
k
(26)
Stehende Wellen
Laufen zwei harmonische Wellen mit der gleichen Frequenz, der gleichen Amplitude und der gleichen Schwingungsrichtung gegeneinander, kommt es zur Bildung einer stehenden Welle.
Eine stehende Welle hat immer an den selben Stellen im Raum Knoten, also Orte an denen keine Auslenkung stattfindet, bzw. Bäuche, an denen die maximale
Auslenkung im Vergleich zur Umgebung stattfindet.
ψ = A.(cos[ω1 .t − k1 z] + cos[ω.t + k1 z])
(27)
⇒ ψ = 2A cos ωt. cos[kz]
5.3
Interferenz
Treffen zwei oder mehr Wellen zusammen, dann addieren sich ihre Auslenkungen
im Ort des Zusammentreffens. Danach laufen die Wellen ungestört weiter. Diese
ungestörte Überlagerung wird Interferenz genannt. Durch die Überlagerung in
einem Punkt können sich die Wellen dort auslöschen (desktruktive Interferenz)
oder verstärken (konstruktive Interferenz).
Hauptverantwortlich für das Aussehen der überlagerten Welle ist die Phasenverschiebung, die durch die unterschiedlich langen Laufwege der einzelnen Wellen
entsteht. Durch die Phasenverschiebung ist jede der einzelnen Wellen in einer
unterschiedlichen Schwingungsphase, wenn sie bei der Überlagerung aufeinander
treffen.
Kontruktive Interferenz −→ P hasenverschiebung = k.λ
Desktruktive Intereferenz −→ P hasenverschiebung = (2k + 1). λ2
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
39
5
WELLEN
5.4
Kohärenz
Für die Interferenz gilt:
ψ=
Wobei die
p
A21 + A22 + A1 .A2 . cos δ. cos(ωt − kz − )
p
A21 + A22 + A1 .A2 . cos δ die Amplitude der Überlagerung darstellt
und cos(ωt − kz − ) die Phase dessen ist.
5.4
Kohärenz
Wellen gleicher Frequenz, zwischen denen ein konstanter Phasenunterschied besteht, werden als zueinander zeitlich kohärent bezeichnet. Fallen die Amplituden der Wellen zusätzlich räumlich übereinander, dann werden sie als räumlich
kohärent bezeichnet.
heightheight
heightheight
Wenn zwischen interferierenden Wellen keine Kohärenz besteht, kann keine
Interferenz beobachtet werden.
Nur wenn die Phasendifferenz δ der Überlagerung zeitlich konstant ist, dabei
wird auch von zeitlicher Kohärenz gesprochen, ist eine Interferenz zu beobachten. Ansonsten überlagern sich die Intensitäten I additiv. Für die resultierende
Amplitude und folglich die Intensität gilt somit:
p
√
AInk. = A21 + A22 = A 2 −→ IInk. = 2I
p
p
AKoh. = A21 + A22 = A 2(1 + cos δ) −→ IKoh. = 4I
Das heißt, dass Interferenz einer Energieumverteilung gleichzusetzen ist. Mit
anderen Worten gilt auch bei Wellen die Energieerhaltung
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
40
5
WELLEN
5.5
Dopplereffekt
Die Zeit, in der die Phasendifferenz konstant ist, wird als Kohärenzzeit bezeichnet.
5.5
Dopplereffekt
Wenn sich ein Sender, also ein Schwinger in einem Kontinuum, relativ zu dem
Medium bewegt, verändert sich die Frequenz der ausgehenden Wellen.
Je nach dem ob sich der Sender vom Beobachter weg- oder zubewegt, registriert dieser eine größere oder kleinere Wellenlänge.
Wenn der Sender sich relativ zum Beobachter bewegt, addieren sich die ~vSender
des Senders und die ~vP hase der Welle im Medium.
λN aeherung = c.T − vSender
~ .T = (c − ~v ).T
λEntf ernung = cT + vSender
~ .T = (c + ~v ).T
Für die Frequenzen gilt:
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
41
5
WELLEN
5.5
Dopplereffekt
fW elle
v
1− Senders
c
elle
fQuelle entf ehrnt sich = 1+fvW
Senders
c
fQuelle naehert sich =
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
42
6
ELEKTRIK
6
Elektrik
6.1
Einführung
2
F = G. m1r.m
⇒F =
2
q1 .q2
1
4.π.ε0 . r 2
Bei ε0 handelt es sich um die Dielektrizitätskonstante mit den Einheiten
C
36
V m . Die Coloumbkraft ist etwa 10 fach stärker als die Gravitationskraft. Bei
den Atomen sind die Protonen positiv geladen und die Elektronen negativ. Die
Ladung Q wird in Coulomb [C] angegeben und entspricht 1 [As].
Stromstärke
Die Stromstärke ist eine Basisgröße des internationalen Einheitensystems und
wird in Ampere (A) gemessen. Ihr Formelzeichen ist I.
Elektrische Ladung
Unter der Ladwung Q wird das Produnkt aus der Stromstärke und der Zeit
verstanden.
Wobei [Q] = Amperesekunde (A.s) = Coulomb (C)
Q = It bzw. Q =
R t2
t1
Idt
Spannung
Die Spannung ist die Ursache jedes elektrischen Stromes und herrscht zwischen
zwei Polen unterschiedlicher Ladung.
Die Spannung kommt durch einen Elektronenüberschuß am Minuspol und einem Elektronenmangel am Pluspol Zustande.
Die Elektronen fließen vom Minuspol zum Pluspol. Die technische Stromrichtung ist jedoch vom Pluspol zum Minuspol. Unter der Spannung U versteht
man das Verhältnis der in einem Leiter umgesetzten Leistung zu dem durch
dem Leiter fließenden Strom.
Wobei [U] =
W
A
= Volt (V).
Elektrischer Widerstand
Der elektrische Widerstand Ω bestimmt die Stromstärke des Stromflußes durch
einen Leiter bei einer angelegten Spannung und ist durch das ohmsche Gesetz
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
43
6
ELEKTRIK
6.2
Ablenkung im elektrischen Feld
definiert.
Wobei [R] = Ohm (Ω)
R=
6.2
U
I
Ablenkung im elektrischen Feld
.l2
y = 12 . mee.U
.d.v 2
0x
Die kinetische Energie des Teilchens ist gleich der Feldarbeit.
q.U = 12 .m.v 2
~
F~ = −eE
q
v = 2.q.U
m
Die elektrische potentielle Energie ist wie folgt definiert:
Rr
R 1
q
~ = Q.
Epot,el = W = r12 F~ dr
4.π.ε0 . r 2 dr =
q
Q. 4.π.ε
. r12 − r11 = Q. U(r1 ) − U(r2 )
0
~ von N Punktladungen an den Raumpunkten r~i
Die elektrische Feldstärke E
~i aller Punktlaergibt sich aus der Superposition der elektrischen Feldstärken E
dungen:
~ r) = PN E
~ ri ) =
E(~
i=1 i (~
1
4.π.ε0
PN
Qi
~
r −r~i
i=1 |~
r −r~i |
r −r~i |2 |~
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
44
6
ELEKTRIK
6.3
6.3
Elektrischer Fluss
Elektrischer Fluss
~ A
~
dψ = E.d
R
~ A
~
ψ = E.d
ψ=
H
~ A
~=
E.d
1
ε0 .
P
i qi
=
1
ε0
R
q.dV
Gaußscher Satz:
Z
ψ=
X
1
~ A
~= 1.
E.d
qi =
ε0 i
ε0
Z
q.dV
(28)
Gaußscher Satz
Der elektrische Fluss ψ durch eine geschlossene Fläche ist gleich der von der
Fläche umschlossenen elektrischen Ladung q, dividiert durch den Maßfaktor ε0 .
Poisson Gleichung
~ = ∇.E
~ = ∇. (−∇U ) = −∇.∇U =
div E
= −∆U =
p(~
r)
εε0
r)
⇔ ∆U = − p(~
εε0
Herleitung vom Coloumbgesetz
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
45
6
ELEKTRIK
6.4
~ A
~=
E.d
Berechnung von Feldern für spez. Ladungsverteilungen
⇔ E.A = ε10 .Q ⇔
Q
E.4π.r2 = ε10 .Q ⇔ 4.π.ε
. 12
0 r
H
6.4
1
ε
0
Berechnung von Feldern für spez. Ladungsverteilungen
• Durch Gaussschem Satz
• Überlagerung einfacher Feldverteilungen
• Numerische Verfahren zur Lösung der Poisson (Laplace-) Gleichung.
6.4.1
Feld einer kugelförmigen Ladungsverteilung
Φ=
H
~ A
~=
E.d
1
ε0 .
R
%.dV =
Q
ε0
Dabei beträgt die Kugeloberfläche 4.π.r2 .E. Wir betrachten nun den Fall das
r > R ist was beteudet das wir die Berechung zuerst ausserhalb unserer Kugel
durchführen. Zu beachten ist das E immer senkrecht auf dA steht.
4.π.r2 .E =
Q
ε0
daraus folgt:
Eaussen =
Q
4.π.r 2 .ε0
Wenn wir nun den Radius derart verkleinen (R < R: Ladung hängt von r
ab!) das wir die Ladung innerhalb der Kugel berechnen folgt daraus folgendes:
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
46
6
ELEKTRIK
6.4
Φ=
H
Berechnung von Feldern für spez. Ladungsverteilungen
~ A
~=
E.d
1
ε0 .
R
Q
ε0
3
= εQ0 Rr 3
%.dV =
AKugel = 4.π.r2 .E ⇒ 4.π.r2 .E
daraus folgt:
Einnen =
Q.r
4.π.R3 .ε0
Feld einer Hohlkugel im inneren:
Φ=
H
~ A
~=
E.d
1
ε0 .
R
%.dV =
Q
ε0
AKugel = 4.π.r2 .E → 4.π.r2 .E = 0
⇒ Einnen = 0
Feld und Potential zwischen 2 ebenen geladenen Platten
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
47
6
ELEKTRIK
6.4
Berechnung von Feldern für spez. Ladungsverteilungen
E=
σ
ε0
=
UP latten = φ2 − φ1 =
U=
Q.d
A.ε0 mit
Q
A.ε0
Rd
0
E.dx =
1
C
ersetzen durch
=
d
A.ε0
Q.d
A.ε0
⇒U =
Q
C
C beschreibt die Kapazität der Ladung, die die Spannung U hervorruft. Es
ist ein Maß für die gespeicherte Ladung:
A.ε0
d
C=
(29)
Für Paralellschaltungen gilt:
Cgesamt = C1 + C2 + C3 + . . .
Für Serienschaltungen gilt:
1
Cgesamt
=
1
C1
+
1
C2
+
1
C3
+ ...
Energie des elektrischen Feldes
Ra 1 Q
Q
F~ .d~r = dQ. ∞ 4.π.ε
. 2 .dr = dQ. 4.π.ε
0 r
0 .a
Ra
2
Q
Q2
1 Q
W = ∞ 4.π.ε0 .a dQ = 8.π.ε0 .a = 2 . C =
dW = −
Ra
∞
W =
1
.C.U 2
2
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
(30)
48
6
ELEKTRIK
6.5
6.5
Elektrischer Strom
Elektrischer Strom
Elektrische Ströme haben magnetische, thermische und chemische Wirkungen.
Strom I =
dQ
=
dt
Z
~
~jdA
(31)
A
Die Stromrichtung ist definiert als die Flußrichtung positiver Ladungsträger.
Die Kontinuitätsgleichung besagt, dass die zeitliche Änderung der Ladungen in einem Volumen gleich der gesamten Stromstärke durch die Oberfläche
des Volumens ist.
Bei der Messung des Stromes wird dessen magnetische Wirkung zu Nutze gemacht. Es erfolgt eine Konvertierung in Spannung über einen kleinen Widerstand, dessen Messung der Spannung dann über einen Operationsverstärker
erfolgt.
Ohmsches Gesetz
I=
σ.A
1
.U = .U
R
R
(32)
zu beachten:
σe l
R
EdL = U = σe l.E.L
Entlang eines stromdurchflossenen Leiters tritt ein Potentialgefälle u(x) =
x
R. R
6.6
auf. Der Leiter ist nicht mehr auf konstantem Potential.
Magnetfelder
Magnetfelder gehen aus der Coloumbkraft für bewegte Ladungen (Ströme) und
unter der Berücksichtigung der Relativitätstheorie hervor.
Ein Magnetfeld tritt immer dann auf, wenn Ströme vorhanden sind.
F =
p1 .p2
1
4πµ0 . r 2
Aus dieser Formel geht hervor, dass es in der Natur keine isolierten magnetischen Pole gibt. µ0 ist die magnetische Permeablilitätskonstante und beträgt:
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
49
6
ELEKTRIK
6.6
µ0 = 4.π10−7
V.s
A.m
Magnetfelder
Magnetische Feldstärke der Polstärke p. Definition wie bei Feld eines Dipols:
~ = limp →0
H
2
~
F
p2
~
B = µ0 .H
Ampersches Gesetz:
H
H
~ =I
Hds
~ = µ0 .I
Bds
Magnetischer Fluss
Z
Φ=
~ A
~
Bd
(33)
Biot-Savartsches Gesetz
Das Bio-Savart Gesetz ermöglich es die magnetische Feldstärke von drahtförmigen Leitern beliebiger Geometrie zu berechnen. Der Beitrag eines stromdurchflossenen Leiterstücks ist zur magnetischen Feldstärke proportional zum Strom
und umgekehrt. proportional zum Quadrat des Abstandes. Die Richtung der
magnetischen Feldstärke eines Teilstücks ergibt sich aus dem Vektorprodukt
von Abstandsvektor und der Richtung des Leiterstücks.
µ0
B(~r) = − .I.
4π
Z
r12 × d~s
2
r12
(34)
Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld - Lorenzkraft
Diese Kraft bescheibt jene die auf ein Magnetfeld wirkt. Der Betrag der Kraft
F ist gegeben durch die Geschwindigkeit v sowie der Ladung Q und der magnetischen Flussdichte B. Wenn diese Kraft nicht normal auf die Angriffsfläche
~ auftritt.
wirkt so ist auch noch der Winkel zu beachten der zwischen ~v und B
~
Die Lorenzkraft steht senkrecht auf ~v und B.
~
F~ = q. ~v × B
F = Q.v.B. sin α
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
50
6
ELEKTRIK
6.6
Magnetfelder
Faradaysches Induktionsgesetz:
Entlang eines Leiters entsteht in einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld eine
Spannung
Aus der nächsten Formel geht hervor das die Induktionsspannung gleich der
negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Kraftflusses ist.
R
d
~ A
~ = − dΦm ag
Uind = − dt
. B.d
dt
Lenzsche Regel:
Die bei der Bewegung eines Leiters im Magnetfeld induzierten Ströme sind immer so gerichtet, dass sie die Bewegung, durch die sie erzeugt werden, zu hemmen versuchen. Die durch die Spannung in einem Stromkreis erzeugten Ströme
erzeugen eine Magnetfeld Bind , dessen Richtung vom Vorzeichen abhängig ist.
Wenn
dB0
dt
dB0
dt
< 0 zeigt es in Richtung des ursprünglichen Magnetfeldes - wenn
> 0 dann in die gegengesetzte Richtung.
Folgen der Indukton und der Lenzschen Regel
• In einer stromdurchflossenen Spule wird bei eienr zeitlichen Änderung des
Stromes der magnetische Fluss durch die Spule geändert.
• Ausgehend vom Faradayschen Induktionsprinzip entsteht deshalb auch in
der Spule selbst eine Induktionsspannung, welche jedoch nach der Lenzschen Regel der Änderung entgegenwirkt.
• Da das von der Spule erzeugte Magnetfeld proportional zum Strom I ist
der durch die Spule fliesst lassen sich folgende Formeln daraus folgern:
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
51
6
ELEKTRIK
6.6
Φ=
R
Magnetfelder
B.dF = L.I
Uind = −L. dI
dt
I(t) =
U0
R .
1 − e−( L ).t
R
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
52
7
MATHEMATISCHE WERKZEUGE
7
Mathematische Werkzeuge
7.1
Vektorrechnung
Es muß zwischen skalaren und vektoriellen Größen unterschieden werden
Skalare Größen sind durch Zahlenwert und Einheit vollständig beschrieben. (z.B
Zeit)
Vektorielle Größen sind durch Zahlenwert, Einheit und Richtung vollständig
beschrieben (z.B Kraft) Vektorielle Größen werden mit einem Pfeil über der
Variablen gekennzeichnet
Komponentendarstellung eines Vektors
~ = A~x + A~y + A~z = Ax~i + Ay~j + Az~k
A
(35)
~i, ~j und ~k sind die Einheitsvektoren. Diese Vektoren werden benutzt, um
mit dem Produkt eines Skalars jeden beliebigen Raum (Rn ) aufzuspannen.
(siehe Komponentendarstellung eines Vektors)
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
53
7
MATHEMATISCHE WERKZEUGE
| ~a |=
7.1
q
x21 + x22 + ... + x2n
Vektorrechnung
(36)
Der Betrag eines Vektors beschreibt dessen Länge.
Vektoraddition und Vektorsubtraktion

xa + xb


~c = ~a + ~b = ~b + ~a =  ya + yb

za + zb
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien





(37)
54
7
MATHEMATISCHE WERKZEUGE
7.1

xa − xb


~c = ~a − ~b = ~b − ~a =  ya − yb

za − zb
Vektorrechnung





(38)
Bei dieser geometrischen Addition werden die beiden Vektoren aneinadergereit, sodas das Ende des einen Vektors der Anfang des anderen ist.
Produkt eines Vektors mit einem Skalar
(siehe Komponentendarstellung eines Vektors)
~ | =| λ | | A
~ |
~ = λA,
~ |B
B
(39)
Jedes Element des Vektors wird mit dem Skalar multipliziert. Mit der Multiplikation eines geeigneten Skalars und der Einheitsvektoren der Achsen, läßt
sich jeder Vektor erzeugen
Abstand zweier Punkte
d = P1 P2 =
p
(x11 − x12 )2 + (x21 − x22 )2 + (xn1 − xn2 )2
(40)
Winkel zwischen Vektor und Achse
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
55
7
MATHEMATISCHE WERKZEUGE
cos(α) =
7.1
y
x
; sin(α) =
| ~x |
| ~y |
Vektorrechnung
(41)
Ist der Winkel zwischen einem Vektor und einem anderen oder einer Achse
bekannt, so kann durch geeignete Umformung der Formel der Beitrag der Achse
oder des anderen Vektors zum Vektor bestimmt werden.
Vektorprodukt zweier Vektoren
Nur in R3 definiert.

a1


b1


a1 b2 − a3 b2

 
 

 
 
~c = ~ax~b =  a2  +  b2  =  a2 b2 − a1 b3

 
 
a3
b3
a3 b3 − a2 b1
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien





(42)
56
7
MATHEMATISCHE WERKZEUGE
7.2
Winkel
Mit dem Vektorprodukt zwischen den zwei Vektoren ~a und ~b wird der Vektor
~c gebildet, welcher normal auf die durch die beiden Vektoren gebildete Fläche
steht.
Betrag der Resultierenden
| ~c |=
7.2
p
a2 + b2 + 2ab cos α
(43)
Winkel
Radiant
Winkelangaben erfolgen entweder in Grad (Gradmaß) oder Radiant (Bogenmaß).
Gradmaß , φ in Grad
◦
1 Grad = 1 = 1/360 Vollwinkel = 0,01745 rad
Bogenmaß, x =
b
r
= arcus α = arc α
1 Radiant = 1 rad =
r
r
=1=
180◦
π
= 57, 29578◦
Für die Umrechnung zwischen den Winkelgrößen gilt:
Vom Bogenmaß x ins Gradmaß α:
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
57
7
MATHEMATISCHE WERKZEUGE
7.2
Winkel
180◦
∗x
π
(44)
π
∗α
180◦
(45)
α=
Vom Gradmaß α ins Bogenmaß x:
x=
Dreiecksungleichung
a + b > c, b + c > a, c + a > b, und a − b < c, b − c < a, c − a < b
(46)
Die Summe der Längen von zwei Seiten ist immer größer als die dritte Seite.
Ebenso ist die Differenz der Längen zweier Seiten kleiner als die Dritte.
Winkelsumme
α + β + γ = 180◦
(47)
Die Summe aller Winkel im Dreieck beträgt immer 180◦ .
Außenwinkel
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
58
7
MATHEMATISCHE WERKZEUGE
7.2
α0 = β + γ, β 0 = α + γ, γ 0 = α + β
Winkel
(48)
Jeder Außenwinkel ist Nebenwinkel eines Innenwinkels. Außenwinkel und
Innenwinkel ergänzen sich zu 180◦ , und die Summe der Außenwinkel beträgt
360◦ .
Zwei Winkel sind dann gleich, wenn ihre Schenkel normal zu einander stehen
und der Scheitelpunkt außerhalb des Schenkels des anderen liegt.
Winkel an Parallelen
α + α0 = 180◦
(49)
Die benachbarten Winkel an zwei sich schneidenten Geraden ergänzen sich
zu 180◦ .
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
59
7
MATHEMATISCHE WERKZEUGE
7.2
Winkel
Die Gegenüberliegenden Winkel an zwei sich schneidenten Geraden sind
gleich.
Entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß
und werden als Wechselwinkel bezeichnet.
Sich entsprechende Winkel an geschnittenen Parallelen sind gleich und werden als Stufenwinkel bezeichnet.
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
60
7
MATHEMATISCHE WERKZEUGE
7.2
Winkel
Entgegengesetzte Winkel ergänzen sich zu 180◦
Sinussatz
a : b : c = sin α : sin β : sin γ,
α
β
γ
=
=
sin α
sin β
sin γ
(50)
Das Verhältnis der Seitenlängen ist gleich dem Verhältnis der Sinusse der
gegenüberliegenden Winkel.
Kosinussatz
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α, b2 = c2 + a2 + 2ca cos β, c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ (51)
In einem rechtwinkeligen Dreieck (α, β oder γ = 90◦ ) folgt der Satz des Pythagoras, a2 + b2 = c2
Tangenssatz
a+b
tan[(α + β)/2]
cot[γ/2]
=
=
a−b
tan[(α − β)/2]
tan[(α − β)/2]
(52)
b+c
tan[(β + γ)/2]
cot[α/2]
=
=
b−c
tan[(β − γ)/2]
tan[(β − γ)/2]
(53)
a+c
tan[(α + γ)/2]
cot[β/2]
=
=
a−c
tan[(α − γ)/2]
tan[(α − γ)/2]
(54)
Rechtwinkeliges Dreieck
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
61
7
MATHEMATISCHE WERKZEUGE
7.2
Winkel
Gegenkathede
a
=
Hypotenuse
c
(55)
Ankathede
b
=
Hypotenuse
c
(56)
tan α =
Gegenkathede
a
=
Ankathede
b
(57)
cot α =
b
Ankathede
=
Gegenkathede
a
(58)
sin α =
cos α =
Die Hypotenuse c, Gegenkathede a und Ankathede b sind über die trigonometrischen Funktionen mit dem Winkel α und miteinander verknüpft.
Satz des Pythagoras
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
62
7
MATHEMATISCHE WERKZEUGE
7.3
Wichtige Integrations- und Differentationsregeln
c2 = a2 + b2 −→ sin2 α + cos2 α = 1
(59)
Der Satz des Pythagoras gilt nur in einem Dreieck mit einem rechten Winkel. Die Fläche des Quadrats über die Hypotenuse c ist gleich der Summe der
Flächen der Quadrate über den Kanten a und b.
7.3
Wichtige Integrations- und Differentationsregeln
Sei f (x) eine stetige Funktion definiert auf dem Intervall [a, b]. Unterteilt man
dieses Interval in n gleich große Teilintervalle I1 , I2 , ...In der Länge
wählt man für jedes Intervall Ik ,
k
b−a
n
und
∈ [1, 2, ..., n] ein beliebiges Element
ξk ∈ Ik und bildet die Summe des Produktes aus Intervallslänge und FunktionsPn
wert an der Stelle ξ, also k=0 f (ξk ) ∗ b−a
n , so erhält man eine Aproximation
der Fläche zwischen der Funktion f (x) und der Abszisse.
Bei immer kleiner werdenden Intervallen, wird die Aproximation immer besser.
Pn
Bildet man den Limes limn−→∞ k=0 f (ξk ) b−a
n , so spricht man von dem beRb
stimmten Integral von f auf dem Intervall [a, b] oder f (x) dx).
a
a wird als die untere Integrationsgrenze und b als die obere Integrationsgrenze
bezeichnet.
Unbestimmte Integral
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
63
7
MATHEMATISCHE WERKZEUGE
Das unbestimmte Integral
R
7.3
Wichtige Integrations- und Differentationsregeln
f (x) dx wird als die Stammfunktion F (x) der
Funktion f (x) bezeichnet und ist bis auf die Integrationskonstante c ∈ R eindeutig bestimmt.
Z
F (x) =
f (x) dx = F (b) − F (b))
(60)
Bestimmtes Integral
Das bestimmte Integral für die stetige Funktion f (x) auf dem Intervall [a, b]
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
64
7
MATHEMATISCHE WERKZEUGE
7.3
Wichtige Integrations- und Differentationsregeln
mit den Grenzen a und b beschreibt die Fläche der Funktion auf diesen Intervall.
Für das bestimmte Integral gilt:
Zb
f (x) dx = F (b) − F (b))
(61)
a
Stammfunktionen der Grundfunktionen
Z
xn+1
+ c, ∀n ∈ {R \ −1}
n+1
xn , dx =
Z
(62)
ex , dx = ex + c
(63)
cos(x), dx = sin(x) + c
(64)
sin(x), dx = − cos(x) + c
(65)
Z
Z
Z
1
, dx = ln | x | +c
x
(66)
Rechenregeln
Aus den Rechenregeln für die Differentialrechnung ergeben sich unmittelbar
die Rechenregeln für die Integralrechnung.
Wobei für Addition und Subtraktion von den Funktionen f (x) und g(x) ∈ R gilt:
Z
Z
(f (x) + / − g(x)), dx =
Z
f (x), dx + / −
g(x), dx
(67)
Für Konstanten c gilt:
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
65
7
MATHEMATISCHE WERKZEUGE
7.3
Z
Wichtige Integrations- und Differentationsregeln
Z
cf (x) = c
f (x), dx
(68)
Aus der Produktregel folgt die partielle Integration:
Z
0
Z
0
(f g + f g ), dx = f g + c −→
Z
0
f g, dx = f g −
0
f g , dx0
(69)
Aus der Kettenregel folgt die Substitutionsregel für die Kompostion von
Funktionen:
Z
7.3.1
(f 0 ◦ g) ∗ g 0 , dx = f ◦ g + c
(70)
Differentialrechnung
Ableitung einer Funktion
Unter der Ableitung einer Funktion, dem sogenannten Differentialquotienten
versteht man den Grenzwert:
f 0 (x0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
Man kann den Differentialquotienten auch durch
(71)
∆y
∆x
=
∆f (x)
∆x
=
y1 −y0
x1 −x0
aus-
gedrücken.
Man kann hier gut erkennen, dass es sich bei der Ableitung der Funktion f (x)
an der Stelle x0 um die Steigung der Tagente im Punkt P0 mit den den Koordinaten (x0 , y0 ) handelt.
Wenn man sich die Menge der reelwertigen Funktionen ansieht erkennt man,
dass diese alle stetigen Funktionen beinhaltet. Weiters kann man sehen, dass sich
die Menge aller differenzierbaren Funktionen in der Menge der stetigen Funktionen befindet. Das heisst nichts anderes, dass jede Funktion die differnzierbar
ist, auch stetig ist - jedoch nicht, dass jede stetige Funktion differenzierbar ist.
limx→x0
|x|
×
existiert nicht, d.h. f (x) = |x| für x0 = 0 ist nicht differentierbar,
obwohl stetig.
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
66
7
MATHEMATISCHE WERKZEUGE
7.3
Wichtige Integrations- und Differentationsregeln
Differenzierbarkeit
Eine Funktion f (x) heisst in x0 differenzierbar, wenn für alle Folgen, die zu
x0 konvergieren, der Grenzwert y 0 (x0 ) = f 0 (x0 ) = limx→x0
f (x)−f (x0 )
x−×0
existiert,
d.h. endlich ist.
Ableitungen der Grundfunktionen
f (x) = c → f 0 (x) = 0
(72)
f (x) = x → f 0 (x) = 1
(73)
f (x) = ax + b → f 0 (x) = a
(74)
f (x) = x2 → f 0 (x) = 2x
(75)
f (x) = xn → f 0 (x) = nxn−1
(76)
(f (x))n → nf (x)n−1 f 0 (x)
(77)
n
1
→ f 0 (x) = − n+1
×n
×
√
1
f (x) = n × → f 0 (x) = √
n
n ×n−1
f (x) =
(78)
(79)
Ableitungen trigonometrischer Funktionen
f (x) = sin x → f 0 (x) = cos x
(80)
f (x) = cos x → f 0 (x) = − sin x
(81)
1
= 1 + tan2 x
cos2 x
1
= −1 − cot2 x
f (x) = cot x → f 0 (x) = −
cos2 x
f (x) = tan x → f 0 (x) =
(82)
(83)
Arcusfunktionen:
1
1 − x2
1
f (x) = cos−1 x → f 0 (x) = − √
1 + x2
1
f (x) = tan−1 x → f 0 (x) =
1 + x2
1
f (x) = cot−1 x → f 0 (x) = −
1 + x2
f (x) = sin−1 x → f 0 (x) = √
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
(84)
(85)
(86)
(87)
67
7
MATHEMATISCHE WERKZEUGE
7.3
Wichtige Integrations- und Differentationsregeln
Konstantenregel
Die Ableitung einer Konstanten ergibt immer Null.
f (x) = c → f 0 (x) = 0
(88)
Faktorregel
Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten.
(c · f (x))0 = c · f 0 (x)
(89)
Potenzregel
Beim Ableiten einer Potenzfunktion wird der Exponent um Eins erniedrigt,
und der alte Exponent erscheint als Faktor.
f (x) = xn → f 0 (x) = nxn−1
(90)
Summenregel
Die Ableitung einer Summe (Differenz) ist gleich der Summe (Differenz) der
Ableitungen.
(f (x) ± g(x))0 = f 0 (x) ± g 0 (x)
(91)
Produktregel
Produktregel für zwei Funktionen:
(f (x) · g(x))0 = f (x) · g 0 (x) + f 0 (x) · g(x)
(92)
Produktregel für drei Funktionen:
(f gh)0 = f gh0 + f g 0 h + f 0 gh
(93)
0
f
gf 0 − f g 0
=
g
g2
(94)
Quotientenregel
Für
1
f
ergibt das folgende vereinfachte Form:
0
1
−f 0
= 2
f
f
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
(95)
68
7
MATHEMATISCHE WERKZEUGE
7.4
Numerische Integration
Kettenregel
Die Kettenregel wird bei Ableitungen von zusammengesetzen Funktionen y =
f (g(x)) = f (g) verwendet. y = f (g) ist hierbei die äussere und g = g(x) die
innere Funktion.
7.4
Numerische Integration
Oft sind Integrale
Rb
f (x) dx schwer oder gar nicht analytisch zu lösen, obwohl
a
2
eine Stammfunktion existieren muß (z.B.: ex ).
Eine Lösung für dieses Problem liefern numerische Integrationsverfahren. Hierfür
wird eine Ersatzfunktion für die zu integrierende Funktion f definiert.
Zb
Zb
f (x) dx =
a
Zb
p(x) dx +
a
r(x) dx
(96)
a
p(x) ist typischerweise eine Polynomfunktion. Der Grund dafür liegt in der
einfachen Integriebarkeit und Handhabung dieser Funktionen
Die Polynomfunktion ersetzt die Funktion f (x).
r(x) beschreibt den Verfahrensfehler, welcher in den meisten Fällen sehr klein
ist.
Sehnentrapezregel
Das zu integrierende Intervall wird durch n Teilintervallen der Länge h (h =
b−a
n )
unterteilt. h wird als die Schrittweite bezeichnet.
Um Fläche unter der Funktion f (x) zu berechnen, werden die Flächen von
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
69
7
MATHEMATISCHE WERKZEUGE
7.5
Fouriertransformation
Trapeze die zwischen den Schrittweiten gebildet werden aufsummiert.
Somit gilt für die Sehnentrapezformel:
Zb
f (x) dx b−a
(y0 + 2y1 + ... + 2yn + yn )
2n
(97)
a
Für den Integrationsfehler gilt:
R=−
00
b−a 2
h ∗ f (ξ) mit ξ ∈ [a, b]
12
(98)
Das heißt für h −→ 0 ist R = O(h2 )
Simsonsche Formel
Das zu integrierende Intervall wird durch 2n Teilintervallen der Länge h
(h =
b−a
2n )
unterteilt. h wird als die Schrittweite bezeichnet.
Die zu integrierende Funktion f (x) wird durch eine quadratische Splinefunktion
ersetzt. Dadurch ergibt sich die Simsonsche Regel:
Zb
f (x) dx b−a
(y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + ... + 2y2n−2 + 4y2n−1 + y2n ) (99)
6n
a
Für den Integrationsfehler gilt:
R=−
b−a 4
h ∗ f (4) (ξ) mit ξ ∈ [a, b]
180
(100)
Das heißt für h −→ 0 ist R = O(h4 )
7.5
Fouriertransformation
Gegeben sei eine Zeitreihe xr der Dauer T mit N = 2n + 1 Samplepunkten.
xr = x−n , ..., x0 , x1 , ..., xn
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
70
7
MATHEMATISCHE WERKZEUGE
7.5
Fouriertransformation
Diese Zeithreihe läßt sich mit einer Fourier Tranformation in eine Reihe von
N = 2n + 1 Cos-Funktionen zerlegen.
xr = A0
Pn
m=1
Am cos(2πmf1 r∆) + Bm sin(2πmf1 r∆)
f1 wird als die Grundfrequenz oder Frequenzauflösung bezeichnet.
f1 = fres =
1
T
A0 wird als der Mittelwert der Zeitreihe bezeichnet und berechnet sich
wie folgt:
A0 =
1
N
Pn
r=−n
xr
Am , sowie Bm werden als die Fourierkoeffizienten bezeichnet:
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
71
7
MATHEMATISCHE WERKZEUGE
Am =
1
N
Pn
r=−n
7.5
xr cos 2πmr
und Bm =
N
1
N
Pn
r=−n
Fouriertransformation
xr sin 2πmr
N
Die Fourierkoeffizienten können zu einer komplexen Funktion zusammengefaßt werden, die Fouriertransformation beschreibt
Xm = Am − iBm mit i2 = −1
Das diese Größe komplex ist, kann sie nur wenig anschaulich dargestellt werde. Deswegen verwendet man den Betrag Rm und das Argument φm um eine
eine bessere Dartstellung der Fouriertransformation zu bekommen.
| Xm |=
p
2 und φ = arctan − Bm
A2m + Bm
m
Am
Mit dem Betrag der Fouriertransformation und deren Argument, kann die
Fouriertransformation wie folgt dargestellt werden.
xr =
Pn
m=−n
Rm cos(2/pimf1 r∆ + φm )
Die Cos-Funktionen haben unterschiedliche Frequenzen, wobei sie immer ein
Vielfaches m der Grundfrequenz f1 sind.
Dass heißt, die Cos-Funktionen haben Frequenzen zwischen −nf1 und +nf1 ,
daraus folgt, dass alle Frequenzkomponenten im Intervall − 21 fsample ≤ mf1 ≤
+ 21 fsample liegen, auch Bandbreite genannt.
Die Cos-Funktionen besitzen ebenfalls Amplituden, ausgedrückt durch Rm , wobei jeweils die positve und die negative Cos-Funktion einer Frequenz dieselbe
Amplitude besitzen.
Durch diese Symetrie wird in der Regel nur die positive Seite der Spektrums
dargestellt und somit kann die Fourier-Reihe auch nur mit positiven Frequenzkomponenten entwickelt werden.
xr = D0 +
Pn
M =1
Dm cos(2πmf1 r∆ + φm ) mit D0 = R0 , Dm = 2Rm
Das heißt, die Zeitreihe kann in Reihe von positiven Frequenzkomponenten
Dm cos(mf1 ) und deren Mittelwert D0 zerlegt werden.
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
72
7
MATHEMATISCHE WERKZEUGE
7.5
Fouriertransformation
mf1 sind harmonische Entwicklungen der Grundfrequenz f1 = /1 T , und haben
eine Bandbreite von 0 ↔ 21 fs ample.
Dm sind die Amplituden der Frequenzkomponenten, sie bestimmen den Beitrag
der Komponente zur Reihenentwicklung.
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
73
8
BEISPIELSAMMLUNG
8
Beispielsammlung
8.1
8.1.1
Kinematik
Beispiel 1
Aus einem Rettungsflugzeug, das in einer Höhe von 100m über dem Boden fliegt,
wird ein Rettungspaket für eine verirrte Gruppe von Abenteurern abgeworfen.
Das Flugzeug bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 40 m/s relativ zum
Boden. Hinweis: Die Gravitationsbeschleunigung g beträgt 9, 81 sm2 .
• Machen sie eine Skizze des Problems und definieren sie ein Koordinatensystem, welches für die Lösung hilfreich ist.
• Berechnen sie wo das Rettungspaket am Boden aufschlägt, bezogen auf
den Punkt, wo das Pakte aus dem Flugzeug geworfen wird.
• Wie grosß sind die Komponenten der horizontalen und vertikalen Geschwindigkeit des Pakets kurz vor dem Aufschlag?
8.1.2
Beispiel 2
Ein PKW fährt auf einer Bundesstraße mit konstantem Sicherheitsabstand d =
40m hinter einem LKW (Länge l = 25m) mit der konstanten Geschwindigkeit
von 80 km
h her. Als der PKW-Fahrer eine 300m lange freie Strecke einsehen
kann, setzt er zum Überholen an. Damit beschleunigt er mit a = 1, 3 sm2 bis auf
v = 100 km
s .
• Geben sie bevor sie zu rechnen beginnen eine Schätzung ab ob der Überholvorgang gefahrlos vonstatten geht.
• Wie lange sind Überholzeit und Überholweg, wenn auch beim Wiedereinschweren ein Sicherheitsabstand von 40m vorhanden sein sollte?
8.1.3
Beispiel 3
Lösen sie die folgende Differentialgleichung auf die einfachste Art. Ziel ist es
eine analystische Lösung zu erhalten:
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
74
8
BEISPIELSAMMLUNG
8.1
d2 y(t)
dt2
Kinematik
= sin (ωt)
Hinweis: beim ω handelt es sich um eine Konstante.
Wie könnte man die Differentialgleichung lösen, wenn man keine analytische
Lösung benötigt? Diese Methode ist dann auch für Gleichungen anwendbar, die
sich nicht so einfach lösen lassen.
Wenn Sie die Möglichkeit haben, führen Sie diese Art der Lösung durch und
untersuchen Sie die Lösungen für verschiedene Werte von ω.
8.1.4
Beispiel 4
4 Eine Raumstation hat die Form eines hohlen Ringes (Durchmesser d = 450 m).
Wie viele Umdrehungen pro Minute mußdiese Raumstation ausführen, damit ein
Astronaut,der sich amäußeren Rand der Raumstation be.ndet, eine Gravitationsanziehung vergleichbar mit der der Erde spürt?
8.1.5
Beispiel 5
Ein Stück Granit (m = 940 g) wird an das Ende einer masselosen, l = 1; 3 m
langen Schnur gebunden und gedreht. Es ist bekannt, daßdie Schnur bei einer
Belastung von F = 120 N reißt. Mit welcher Maximalgeschwindigkeit kann man
den Granit drehen, ohne daßdie Schnur reißt?
8.1.6
Beispiel 6
8.1.7
Beispiel 7
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
75
Stichwortverzeichnis
Symbols
Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Ätherhypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Drehimpuls L
Überlagerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
~ . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Drehmoment M
A
E
Aktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Elektrische Ladung Q . . . . . . . . . . . 43
Ampersche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . 50
Elektrischer Fluss ψ . . . . . . . . . . . . 45
Arbeit W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Elektrischer Strom . . . . . . . . . . . . . . 49
Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Elektrischer Widerstand Ω . . . . . . 43
B
Energie
kinetische Ekin . . . . . . . . . . . . . 16
Beschleunigung ~a . . . . . . . . . . . . . . . . 8
potentielle Epot . . . . . . . . . . . . 16
Biot-Savartsches Gesetz . . . . . . . . . 50
Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . 15
C
Energiestrom E . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Coloumbkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
F
D
Faradaysches Induktionsgesetz . . 51
Feldstärke
Dielektrizitätskonstante ε0 . . . . . . 43
~ . . . . . . . . . . . . . . . 44
elektrische E
Differential
gravitation F~ . . . . . . . . . . . . . . .16
Grundfunktionen . . . . . . . . . . . 67
magnetische F~ . . . . . . . . . . . . . 50
trigonometrische Funktionen67
Fourierreihe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
Differentialquotient . . . . . . . . . 66
Fourierspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Differenzierbarkeit. . . . . . . . . .67
Fouriersynthese . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Faktorregel . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Fouriertransformation . . . . . . . . . . . 70
Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Fourierkoeffizienten. . . . . . . . .71
Konstantenregel . . . . . . . . . . . . 68
Frequenzauflösung . . . . . . . . . . 71
Potenzregel . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Grundfrequenz . . . . . . . . . . . . . 71
Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . 68
Frequenz f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Quotientenregel . . . . . . . . . . . . 68
Frequenz-Amplituden-Diagramm 34
Summenregel . . . . . . . . . . . . . . . 68
76
STICHWORTVERZEICHNIS
STICHWORTVERZEICHNIS
G
Kraft F~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Gaußscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
L
Geschwindigkeit ~v . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Gravitation F~G . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Gravitationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Gravitationskonstante G . . . . . . . . 15
Gruppengeschwindigkeit vGruppe 39
Längenkontraktion . . . . . . . . . . . . . . 24
Leistung P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Lenzsche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Lorenzkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
M
H
Hubarbeit WH . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Magnetische Permeabilitätskonstan-
I
te µ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Impuls p~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Inertialsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Integral
bestimmtes . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
partielle Integration . . . . . . . . 66
Magnetischer Fluss . . . . . . . . . . . . . 50
Massenmittelpunkt M . . . . . . . . . . 18
Massenträgheitsmoment I . . . . . . .19
Maxwellsche Gleichungen . . . . . . . 22
N
Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . 65
Stammfunktionen . . . . . . . . . . 65
Numerische Integration
Sehnentrapez . . . . . . . . . . . . . . . 69
Substitutionsregel . . . . . . . . . . 66
Simsonsche Formel . . . . . . . . . 70
unbestimmtes . . . . . . . . . . . . . . 63
Intensität I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
O
Interferenz
destruktive . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
konstruktive. . . . . . . . . . . . . . . .39
K
Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . 49
P
Periodendauer T . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Kapazität C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Kohärenz
Phasengeschwindigkeit vP hase . . . 39
räumlich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
zeitlich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Poisson Gleichung . . . . . . . . . . . . . . 45
R
Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . 49
Kontinuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Rückstellkraft Fr . . . . . . . . . . . . . . . 28
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
77
STICHWORTVERZEICHNIS
STICHWORTVERZEICHNIS
Reaktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Abstand zweier Punkte . . . . . 55
Rechte Hand Regel . . . . . . . . . . . . . 10
Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Reibung
Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Columb F~Hr . . . . . . . . . . . . . . . 12
Betrag der Resultierenden . . 57
Gleit F~Gr . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Komponentendarstellung . . . 53
Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Produkt mit einem Skalar . . 55
Roll F~R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . 56
Winkel zwischen Vektor und Ach-
Relativistische Faktor γ . . . . . . . . . 23
se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Relativistische kin. Energie Ekin 25
Relativistische Kraft F~ . . . . . . . . . 25
Relativistischer Impuls p~ . . . . . . . . 25
W
Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
S
Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Schwerpunktsgeschwindigkeit ~v . 18
Länge λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . 37
Erzwungene . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
freie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Stehende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Gedämpfte . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Transversal. . . . . . . . . . . . . . . . .37
Harmonisch . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Winkel
Spannung V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Ankathede . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Steinersche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Außenwinkel . . . . . . . . . . . . . . . 58
Stromrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Benachbarte Winkel . . . . . . . . 59
Stromstärke I . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Cotangens cot . . . . . . . . . . . . . . 62
Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . 34
Dreiecksungleichung . . . . . . . . 58
T
Entgegengesetzte Winkel . . . 60
Gegenüberliegende Winkel . 60
Trägheitsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Transformation
Galilei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
V
Gegenkathede . . . . . . . . . . . . . . 62
Grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Hypotenuse . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Kosinus cos . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Kosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Radiant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Vektor
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
78
STICHWORTVERZEICHNIS
STICHWORTVERZEICHNIS
Satz des Pythagoras . . . . . . . . 62
Sinus sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Sinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Stufenwinkel . . . . . . . . . . . . . . . 60
Tangens tan . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Tangenssatz . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Winkelsumme . . . . . . . . . . . . . . 58
Winkelgeschwindigkeit ω . . . . . . . . 10
Z
Zeitdillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Zentrifugalkraft F~z . . . . . . . . . . . . . .11
Zentripedalbeschleunigung ~az . . . 10
Zentripedalkraft F~r . . . . . . . . . . . . . 11
Jürgen Repolusk, Richard Springle - Technische Universität Wien
79