Mechatronik - TU Chemnitz

Mechatronik
Modul 1: Grundlagen
Schülerhandbuch
(Konzept)
Matthias Römer
Technische Universität Chemnitz
Institut für Werkzeugmaschinen und
Produktionsprozesse
EU-Projekt Nr. 2005-146319 „MINOS“, Laufzeit von 2005 bis 2007
Europäisches Konzept für die Zusatzqualifikation Mechatronik für
Fachkräfte in der globalisierten industriellen Produktion.
Das Projekt wurde gefördert von der
Europäischen Union im Rahmen des
Aktionsprogramms der Europäischen Union
für die berufliche Bildung „Leonardo da
Vinci“.
www.tu-chemnitz.de/mb/WerkzMasch
Projektpartner bei der Erarbeitung und Erprobung
des Teachwarekonzepts
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Technische Universität Chemnitz, Institut für Werkzeugmaschinen und
Produktionsprozesse, Deutschland – Projektleitung
Corvinus Universität Budapest, Institut für Informationstechnologien, Ungarn
Universität Stockholm, Institut für Soziologie, Schweden
Technische Universität Wroclaw, Institut für Produktionstechnik und
Automatisierung, Polen
Henschke Consulting Dresden, Deutschland
Christian Stöhr Unternehmensberatung, Deutschland
Neugebauer und Partner OHG Dresden , Deutschland
Korff Isomatic sp.z.o.o. Wroclaw, Polen
Euroregionale Industrie- und Handelskammer Jelenia Gora, Polen
Dunaferr Metallwerke Dunajvaros, Ungarn
Knorr-Bremse Kft. Kecskemet, Ungarn
Nationales Institut für berufliche Bildung Budapest, Ungarn
Teachwearkonzept:
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Modul 1: Grundlagen
Modul 2: Interkulturelle Kompetenzen, Projektmanagement
Modul 3: Fluidtechnik
Modul 4: Elektrische Antriebe und Steuerungen
Modul 5: Mechatronische Komponenten
Modul 6: Mechatronische Systeme und Funktionen
Modul 7: Inbetriebnahme, Sicherheit, Teleservice
Modul 8: Fernwartung, Diagnose
Weitere Informationen:
Technische Universität Chemnitz
Institut für Werkzeugmaschinen und Produktionsprozesse
Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Prof. E.h. Dr.-Ing. E.h. Reimund Neugebauer
Prof. Dr.-Ing. Dieter Weidlich
Reichenhainer Straße 70, 09107 Chemnitz
Tel.: +49(0)0371 531-23500
Fax: +49(0)0371 531-23509
Email: [email protected]
Internet: www.tu-chemnitz.de/mb/WerkzMasch
2
Grundlagen
Minos
Inhalt:
1
Technische Mathematik .................................................................................................... 7
1.1
Grundrechenarten ............................................................................................................ 7
Reihenfolge von Operationen
Berechnung von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen
Allgemeine Hinweise zur Multiplikation von Klammern
1.2
Rechnen mit Brüchen ..................................................................................................... 10
Definition von Brüchen
Kürzen und Erweitern von Brüchen
Addition von Brüchen
Multiplizieren und Dividieren von Brüchen
Berechnen von Brüchen mit dem Taschenrechner
1.3
Höhere Rechenarten ...................................................................................................... 14
Rechnen mit Zehnerpotenzen
Berechnung von Potenzen mit dem Taschenrechner
Multiplikation und Division von Exponentialzahlen
Addition und Subtraktion von Exponentialzahlen
Wurzelberechnung
1.4
Dualzahlen ..................................................................................................................... 20
Umrechnung von Dualzahlen
Addition von Dualzahlen
Subtraktion von Dualzahlen
1.4.1
Dualzahlen im Computer ................................................................................................ 22
1.5
Rechnen mit Variablen ................................................................................................... 24
Aus- und Einklammerregeln
Lösen von Gleichungen
1.6
1.6.1
Potenzrechnung ............................................................................................................. 25
Zinseszinsrechnung ....................................................................................................... 26
1.7
1.7.1
1.7.2
1.7.3
1.7.4
1.7.5
1.7.6
Geometrie ...................................................................................................................... 28
Winkel ............................................................................................................................ 28
Viereck ........................................................................................................................... 30
Dreieck ........................................................................................................................... 32
Winkelfunktionen ............................................................................................................ 35
Kreis ............................................................................................................................... 37
Körper ............................................................................................................................ 38
3
Grundlagen
Minos
2
Technische Physik .......................................................................................................... 41
2.1
2.1.1
2.1.2
Physikalische Grundlagen .............................................................................................. 41
Physikalische Größen und Einheiten ............................................................................. 41
Physikalische Gleichungen ............................................................................................ 43
2.2
2.2.1
2.2.2
Kraft ................................................................................................................................ 44
Addieren von Kräften ..................................................................................................... 45
Zerlegen von Kräften ...................................................................................................... 49
2.3
Drehmoment .................................................................................................................. 50
2.4
Kräfte- und Momentengleichgewicht .............................................................................. 52
2.5
Hebelgesetz ................................................................................................................... 53
2.6
2.6.1
2.6.2
2.6.3
2.6.4
Druck .............................................................................................................................. 54
Kraftübersetzung ............................................................................................................ 56
Druckübersetzung .......................................................................................................... 58
Gasgesetz ...................................................................................................................... 59
Strömende Medien ......................................................................................................... 61
2.7
Spannung ....................................................................................................................... 62
2.8
Reibung .......................................................................................................................... 64
2.9
2.9.1
2.9.2
2.9.3
Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung .................................................................. 66
Gleichförmige Bewegung ............................................................................................... 66
Beschleunigte Bewegung ............................................................................................... 67
Kräfte an bewegten Körpern .......................................................................................... 70
2.10
2.10.1
2.10.2
Rotation .......................................................................................................................... 72
Winkelgeschwindigkeit ................................................................................................... 74
Winkelbeschleunigung ................................................................................................... 75
2.11
2.11.1
2.11.2
2.11.3
2.11.4
2.11.5
Arbeit, Energie und Leistung .......................................................................................... 76
Arbeit .............................................................................................................................. 76
Energie ........................................................................................................................... 79
Energieerhaltungsgesetz ............................................................................................... 81
Leistung .......................................................................................................................... 82
Wirkungsgrad ................................................................................................................. 83
2.12
2.12.1
2.12.2
2.12.3
2.12.4
Wärmelehre .................................................................................................................... 84
Temperatur ..................................................................................................................... 84
Ausdehnung fester Körper ............................................................................................. 85
Ausdehnung von Gasen ................................................................................................. 86
Wärmeenergie und Wärmekapazität .............................................................................. 87
4
Grundlagen
Minos
3
Technisches Zeichnen .................................................................................................... 89
3.1
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
3.1.5
Grundlagen des technischen Zeichnens ........................................................................ 89
Die technische Zeichnung als Kommunikationsmittel der Technik ................................. 89
Zeichnungsarten ............................................................................................................ 90
Papierformate ................................................................................................................. 92
Schriftfelder und Stücklisten ........................................................................................... 94
Maßstäbe ....................................................................................................................... 96
3.2
3.2.1
3.2.2
3.2.3
Darstellungen in Zeichnungen ....................................................................................... 97
Ansichten ....................................................................................................................... 97
Linienarten und Liniendicken ......................................................................................... 98
Schnitte .......................................................................................................................... 99
3.3
3.3.1
3.3.2
Maßeintragungen in Zeichnungen ............................................................................... 101
Maßlinien, Maßhilfslinien und Maßzahlen .................................................................... 101
Besonderheiten bei der Bemaßung ............................................................................. 102
3.4
3.4.1
Oberflächenbeschaffenheit .......................................................................................... 104
Angabe der Oberflächenbeschaffenheit in der Zeichnung ........................................... 106
3.5
3.5.1
3.5.2
Form- und Lagetoleranzen ........................................................................................... 107
Maßtoleranzen ..............................................................................................................111
Passungen ................................................................................................................... 114
3.6
3.6.1
3.6.2
Technische Zeichnungen und Computer ...................................................................... 116
CAD .............................................................................................................................. 116
Numerisch gesteuerte Maschinen ................................................................................ 118
5
Grundlagen
Minos
6
Grundlagen
1
Technische Mathematik
1.1
Grundrechenarten
Minos
Zu den Grundrechenarten zählen die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division.
Beim Addieren werden Zahlen zusammengezählt. Bei der Subtraktion,
der Umkehrung der Addition, werden Zahlen voneinander abgezogen.
Beide Rechenarten werden wegen der Zeichen + und – als Strichrechnung bezeichnet.
Die Multiplikation bezeichnet das Malnehmen von Zahlen. Die Division
als Umkehrung der Multiplikation ist das Teilen einer Zahl durch eine
andere. Da diese Rechenarten einen Punkt oder einen Doppelpunkt als
Operationszeichen besitzen, werden sie auch Punktrechnung genannt.
Die Punktrechnung ist höherwertiger als die Strichrechnung und muss
vorher ausgeführt werden.
Wichtig
Punktrechnung geht vor Strichrechnung!
Zur Multiplikation gelangt man, indem man mehrfach die gleichen Zahlen addiert. So hat 3 + 3 + 3 + 3 das gleiche Ergebnis wie 4 · 3. In
manchen Unterlagen wird dabei auch das Zeichen * für den Punkt bei
der Multiplikation verwendet.
Durch mehrfaches Multiplizieren mit der gleichen Zahl gelangt man zur
Potenzrechnung. 3 · 3 · 3 · 3 hat also das gleiche Ergebnis wie 34.
Die Potenzrechnung ist höherwertig als die Punktrechnung und muss
deshalb vor der Punktrechnung ausgeführt werden.
Wichtig
Potenzrechnung geht vor Punktrechnung!
Noch höherwertiger ist die Klammerrechnung. Werte innerhalb der Klammer müssen immer zuerst berechnet werden.
Wichtig
Die Klammer wird immer zuerst berechnet!
Beispiel
3+5=8
12 – 5 = 7
3 · 5 = 15
20 : 4 = 5
4 + 2 · 3 = 4 + 6 = 10
(4 + 2) · 3 = 6 · 3 = 18
7
Grundlagen
Minos
Hinweis
Einfache Rechenaufgabe kann man im Kopf ausführen. Häufig wird jedoch auch ein Taschenrechner eingesetzt. Hierbei ist jedoch zu beachten, dass viele einfache Taschenrechner die einzelnen Rechenoperationen nur nacheinander abarbeiten. Bei anderen Taschenrechnern dagegen kann man ganze Formeln eingeben und berechnen lassen. Für das
Einhalten der Rechenregeln ist trotzdem der Mensch zuständig. Bei der
Benutzung fremder Taschenrechner ist gegebenenfalls vorher auszuprobieren, ob das Gerät Punktrechnung vor Strichrechnung beherrscht.
Aufgabe
Lösen Sie die Aufgabe 1 im Übungsbuch!
Bei der Subtraktion kann es vorkommen, dass der zweite Wert größer ist
als der erste. Im Ergebnis erhält man dann eine negative Zahl mit einem
Minus als Vorzeichen. Das Plus zum Kennzeichnen positiver Zahlen kann
dagegen entfallen. Um zu vermeiden, dass ein Rechenzeichen und ein
Vorzeichen direkt hintereinander stehen, wird die Zahl mit dem Vorzeichen in eine Klammer gesetzt.
Beim Addieren und Subtrahieren können gleiche Rechen- und Vorzeichen zu einem Plus zusammengefasst werden. Unterscheiden sich dagegen Rechen- und Vorzeichen, so können sie durch ein Minus ersetzt
werden. Das muss für jede Klammer einzeln erfolgen.
Beispiel
8 – 14 = – 6
4+(+5)=4+5=9
4–(–5)=4+5=9
5–(+4)=5–4=1
5+(–4)=5–4=1
Aufgabe
Lösen Sie die Aufgabe 2 im Übungsbuch!
Befinden sich in einer Klammer mehrere Summanden, so muss jedes
Vorzeichen einzeln neu ermittelt werden um die Klammer entfernen zu
können.
Beispiel
– ( 5 + 6 ) = – 5 + ( – 6 ) = – 5 – 6 = – 11
–(5–6)=–5+(+6)=–5+6=1
–(a+b+c)=–a+(–b)+(-c)=–a–b–c
–(–a+b–c)=+a+(–b)+(+c)=a–b+c
Aufgabe
8
Lösen Sie die Aufgabe 3 im Übungsbuch!
Grundlagen
Minos
Bei der Multiplikation und Division gilt ebenfalls, dass gleiche Vorzeichen von zwei Werten zu einem Plus und ungleiche Vorzeichen zu einem Minus im Ergebnis führen.
Beispiel
( + 5 ) · ( + 6 ) = + 30
( – 5 ) · ( – 6 ) = + 30
( + 5 ) · ( – 6 ) = – 30
( – 18 ) : ( – 6 ) = + 3
( – 18 ) : ( + 6 ) = – 3
Aufgabe
Lösen Sie die Aufgabe 4 im Übungsbuch!
Bei der Addition und bei der Multiplikation kann die Reihenfolge der beiden Summanden bzw. Faktoren vertauscht werden. Diese Regel wird
als Kommutativgesetz bezeichnet. In der allgemeinen Schreibweise sieht
das folgendermaßen aus:
a+b=b+a
a·b=b·a
Weiterhin gilt für die Addition und die Multiplikation, dass bei mehreren
gleichen Rechenoperationen die Reihenfolge der Berechnung egal ist.
Dieses Gesetz wird Assoziativgesetz genannt. Die Klammer kann in diesem Fall auch entfallen.
a+(b+c)=(a+b)+c
a·(b·c)=(a·b)·c
Steht in einer Klammer eine Summe und wird diese Klammer mit einem
Wert multipliziert, so gilt das Distributivgesetz. Jeder Wert in der Klammer wird mit dem Wert vor der Klammer multipliziert.
a·(b+c)=a·b+a·c
Befinden sich in zwei Klammern mehrere Summanden, so müssen alle
Summanden miteinander multipliziert werden. Wird dabei mit Variablen
gerechnet, so ist es oft üblich das Multiplikationszeichen wegzulassen.
( a + b ) · ( c + d ) = a · ( c + d ) + b · ( c + d ) = ac + ad + bc + bd
Diese Berechnung kann man auch grafisch darstellen (Bild 1). Die Multiplikation von zwei Strecken (a + b ) und ( c + d ) ergibt den Flächeninhalt eines Rechtecks. Dies gilt auch, wenn die beiden Strecken sich aus
den zwei Teilstrecken a und b sowie c und d zusammensetzen. Die vier
Teilflächen ergeben zusammen wieder das Gesamtrechteck.
9
Grundlagen
Minos
b·d
d
a·c
b·c
a
b
c+d
a·d
c
a+b
Bild 1:
Grafische Darstellung der Multiplikation
Wendet man das Distributivgesetz von rechts nach links an, so bezeichnet man dieses Vorgehen als Ausklammern. Enthalten mehrere Summanden einen gleichen Faktor, so kann dieser vor die Klammer geschrieben werden.
Beispiel
ab + ac = a ( b + c )
15x – 5y = 5 ( 3x – y )
Aufgabe
1.2
Lösen Sie die Aufgabe 5 im Übungsbuch!
Rechnen mit Brüchen
Beim Aufteilen einer bestimmten Anzahl in gleich große Gruppen ist eine
Lösung mit ganzen Zahlen manchmal nicht möglich. So kann man beispielsweise sechs Äpfel in drei Gruppen teilen, wobei jede Gruppe zwei
Äpfel enthält. Soll dagegen ein Apfel in drei gleich große Stücke geteilt
werden, muss er zerteilt werden. Diese Aufgabe kann man dann auch
als Bruch wie folgt schreiben:
1: 3 =
1
3
wobei die Zahl über dem Bruchstrich als Zähler und die Zahl darunter als
Nenner bezeichnet wird.
Der Nenner gibt dabei an, in wieviele Teile das Ganze geteilt ist und der
Zähler gibt an, wie viele Teile davon vorhanden sind.
10