Blatt 7

23. November 2015
T2 - Quantenmechanik I
WS 15/16 - Prof. Scrinzi
Übungsblatt 7
7.1: (Z) Nullstellen gebundener Eigenzustände
Motivation: Die qualitative Form gebunder Eigenzustände lässt sich oft mit einfachen Überlegungen
abschätzen. Hier lernen wir: je höher die Energie des Zustands, desto mehr Nullstellen hat die
entsprechende Ortswellenfunktion.
Sei V ein beliebiges Potential welches gebundene (stationäre) Zustände erlaubt. Dies sind insbesondere die schon betrachteten endlichen und unendlichen Potentialtöpfe, der demnächst
behandelte harmonische Oszillator sowie alle Potentiale von Atomen und Molekülen.
Für zwei gebundene Eigenzustände ψ1 und ψ2 mit Energien E1 und E2 ist die sogenannte
Wronski-Determinante definiert zu
~2
ψ1
ψ2
det
(1)
W [ψ1 , ψ2 ] =
∂x ψ1 ∂x ψ2
2m
b
Rb
(a) Zeige, dass W [ψ1 , ψ2 ](x) = (E1 − E2 ) a dx ψ1 (x)ψ2 (x).
a
(b) Zeige, dass für E1 < E2 gilt: ψ2 hat zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen von
ψ1 eine Nullstelle.
(c) Sei {φn }n=0,1,2,... die Menge aller gebundenen Eigenzustände. (Dies können endlich viele
sein, wie im endlich tiefen Potentialtopf, oder unendlich viele, wie im unendlich tiefen
Potentialtopf.) Es habe φn genau n einfache Nullstellen (plus die ”Nullstellen” am Rand
des Definitionsbereichs). Zeige, dass damit gilt: E0 < E1 < E2 < . . . .
Überzeuge dich, dass dies für die Potentialtöpfe erfüllt ist.
7.2: (Z) Qualitative Analyse von Potentialen (1)
Motivation: Aus der Form des Potentials lassen sich oft bereits qualitative Aussagen über Spektrum und Eigenzustände des Systems ableiten. Hier sollen der einfache und der doppelte endlich
tiefe Potentialtopf untersucht werden. Das Ziel ist es Intuition aufzubauen.
Betrachte zunächst den endlich tiefen Potentialtopf (siehe Aufgabe 6.4).
b = pb2 + V (b
(a) Wie sieht das Spektrum des Hamiltonoperators H
x) aus?
2m
Vergleiche es mit dem Spektrum des unendlich tiefen Potentialtopfs. (Haben die gebundenen Zustände niedrigere oder höhere Energien?)
(b) Wie verhält sich die Anzahl der gebundenen Eigenzustände mit der Masse m? Wie mit
der Breite 2a des Potentialtopfs? Wie mit der Tiefe −V0 ? (Betrachte die grafische Lösung
der transzendenten Gleichung aus Aufgabe 6.4.)
1
(c) Wie sehen die Eigenzustände qualitativ aus? Wo fallen sie exponentiell ab (und welche
fallen schneller ab als andere), wo oszillieren sie (und welche oszillieren schneller als andere)?
Betrachte nun den doppelten endlich tiefen Potentialtopf:
(d) Wie sieht (qualitativ) das Spektrum des zugehörigen Hamiltonoperators aus?
Gibt es mehr oder weniger gebundene Zustände als im einfachen endlich tiefen Potentialtopf (bei gleichem a und V0 )?
(e) Wie sehen die Eigenzustände qualitativ aus? (Wo ist das Verhalten exponentiell, wo oszillatorisch, etc.)
Folgendes kann dazu angenommen werden: 1. Der Grundzustand kann reell und positiv gewählt werden. 2. Die angeregten (aber gebundenen) Zustände können reell gewählt
werden.
Beachte auch die Ergebnisse aus Aufgabe 7.1, sowie die Sätze zu symmetrischen Potentialen und Stetigkeit der Ableitung aus der Vorlesung (behandelt beim endlich tiefen
Potentialtopf).
7.3: (T) Variationsrechnung am endlich tiefen Potentialtopf
Motivation: In der Vorlesung wurde diskutiert, dass man mit größerer räumlicher Ausdehnung
der Wellenfunktion die kinetische Energie absenkt. Hier sehen wir am Beispiel des endlich tiefen
Potentialtopfs und einer einfachen Testwellenfunktion, dass diese Absenkung zunächst größer
ist, als der Anstieg der potentiellen Energie, d.h. man kann die Gesamtenergie dieser Testwellenfunktion verringern wenn sie ein wenig in den klassisch verbotenen Bereich hineinragt.
Solche Verfahren, bei denen man die Parameter einer vorgegebenen Funktionsform so anpasst,
dass man möglichst tiefe Energieerwartungswerte erhält, nennt man auch “Variationsrechung”.
Variationsrechnung ist die Grundlage der gesamten Quantenchemie und großer Teile der Atomphysik.
(q
λ
λπ
cos
x
für |x| < λa
a
2a
Es sei also die vorgegebene Funktionsform ψλ (x) =
0
sonst
mit a > 0 und λ > 0. (Für λ = 1 ist dies die Grundzustandswellenfunktion
( des unendlich tiefen
−V0 für − a < x < a
Potentialtopfs.) Betrachte nun den endlich tiefen Potentialtopf: V (x) =
0
sonst
mit V0 > 0.
2
pb
(a) Berechne die Erwartungswerte für die kinetische Energie h 2m
iψλ und die potentielle Energie hV (b
x)iψλ .
2
(b) Zeige, dass der Erwartungswert der Gesamtenergie ein Minimum hat welches bei λ < 1
zu finden ist. Interpretiere das Ergebnis.
7.4: (T) Paritätsoperator
Motivation: Zu jedem Operator, der mit dem Hamiltonoperator kommutiert, kann man Projektoren auf die Eigenräume konstruieren und damit den Hilbertraum in Teile mit jeweils festen
Eigenwerten bezüglich des kommutierenden Operators zerlegen. Insbesondre beim Drehimpuls
werden wir diese Möglichkeit ausgiebig nutzen. Hier als Beispiel der Symmetrieoperator.
2
b
Es sei
S : H → H (H = L ) der Paritätsoperator, definiert durch seine Wirkung im Ortsraum:
b (x) = ψ(−x). Zeige die folgenden Aussagen:
Sψ
(a) Sb ist linear, hermitesch und unitär.
(b) Die Eigenwerte sind +1 und −1, die Eigenzustände sind in der Ortsdarstellung die symmetrischen bzw. die anti-symmetrischen Funktionen.
(c) Jede Funktion lässt sich eindeutig in einen symmetrischen und einen anti-symmetrischen
Anteil zerlegen.
b + und Π
b − auf die Eigenräume erfüllen: SbΠ
b ± ψ = ±Π
b ± ψ für alle ψ.
Die Projektoren Π
b ±.
(d) Konstruiere die Projektoren Π
Betrachte ein System mit symmetrischem Potential V (x) = V (−x). Der Hamiltonoperator ist
b = pb2 + V (b
x).
H
2m
b H]
b = 0.
(e) Zeige, dass [S,
b gilt: Auch Π
b ± φ sind Eingenzustände von
(f ) Zeige, dass für beliebigen Eigenzustand φ von H
b mit gleichem Eigenwert.
H
7.5: (T) Teilchen mit konstanter Kraft
Betrachte ein Teilchen im Potential V (x) = −F x mit F > 0. Dies beschreibt beispielsweise ein
geladenes Teilchen im homogenen elektrischen Feld.
(a) Was folgt aus dem Ehrenfest Theorem für die Erwartungswerte von Ort und Impuls des
Teilchens? Löse diese Gleichungen und vergleiche sie mit der klassischen Bewegung.
(b) Berechne die Impulsunschärfe als Funktion der Zeit.
b
(c) Betrachte die zeitabhängige Schrödingergleichung i~∂t |ψi = H|ψi
in Impulsdarstellung,
b
also i~∂t hp|ψi = hp|H|ψi (hp|ψi ≡ ψ̃(p)), und leite eine Beziehung zwischen ∂t |hp|ψi|2
und ∂p |hp|ψi|2 her.
(d) Finde die allgemeine Lösung dieser Gleichung und interpretiere das Ergebnis.
3
7.6: (T) Globale Energieverschiebung
Motivation: Eine globale Energieverschiebung (also die Addition einer Konstanten zur Hamiltonfunktion) hat keine Auswirkung auf die Dynamik des Systems. Dies gilt klassisch genauso
wie quantenmechanisch. Dessen wollen wir uns hier überzeugen.
2
b 0 = pb + V0 (b
x). Die SpektraldarEs sei ein System beschrieben durch den Hamiltonoperator H
2m
stellung sei bereits gefunden, d.h. wir kennen das Spektrum σ(H0 ) und die Eigenzustände |ψE i.
b1 = H
b 0 + Uoff mit
Betrachte nun das energetisch verschobene System beschrieben durch H
konstantem Uoff ∈ R.
(a) Bestimme die Eigenzustände und Eigenenergien des verschobenen Systems.
(b) Zeige, dass sich ein beliebiger Anfangszustand |φ0 i mit der Zeit in beiden Systemen bis
auf eine globale Phase gleich entwickelt.
b φ0 (t) einer beliebigen Observable A
b als Funk(c) Schlussfolgere, dass der Erwartungswert hAi
b 0 oder H
b 1 gegeben
tion der Zeit nicht davon abhängt ob die Zeitentwicklung durch H
ist.
4