Lösungszettel Nr. 1

FU Berlin: SoSe 2015 (Mathematik 1, Weber)
Lösungszettel Nr. 1
Aufgabe 1: (Summenzeichen, Ausgleichsgerade) Häufig kommt es vor, dass zwei
verschiedene (Mess-)Größen aus insgesamt Messungen miteinander korreliert
werden sollen, z.B. indem die einen Größen
gegen die anderen
aufgetragen werden und eine Ausgleichsgerade durch diese Punkte gelegt wird. In
der folgenden Abbildung sind beispielhaft vier Messungen als Kreise dargestellt. Die
entsprechende Ausgleichsgerade ist gestrichelt gezeichnet.
y
x
Berechnen Sie die ungefähre Geradengleichung
für die folgenden
Messpaare, indem Sie die Steigung
und den Achsenabschnitt
mit Hilfe
gegebener Formeln ausrechnen!
Messung
x-Werte
y-Werte
1
1,5
19
2
2
10
3
3
11
4
3,5
5
Setzen Sie dazu die Werte aus der Tabelle in die folgenden Formeln ein:
Lösungshinweis: Bei der Verwendung des Summenzeichens gibt es immer
einen Laufindex, z.B. in der Summe
durchläuft der Index i die Zahlen 1
bis n. n ist in unserem Fall 4, da es vier Messwerte gibt. Der Ausdruck
bedeutet wiederum, dass man den i-ten x-Wert nehmen soll. Diesen kann man
aus der Tabelle oben ablesen. So ergibt sich b=24,75 und a = -5,4.
Aufgabe 2: (Produktzeichen, n-te Wurzel) Im Sprachgebrauch bezeichnet der
Begriff "Mittelwert" normalerweise den arithmetischen Mittelwert. Sie können ja gern
mal bei Wikipedia nachschauen, welche Arten von Mittelwerten es alle gibt. LINK Der
sogenannte geometrische Mittelwert (der vor allem im Bereich der Reaktionskinetik
eine Rolle spielt) aus einer Anzahl von Größen
berechnet sich wie folgt
Rechnen Sie den geometrischen Mittelwert für die x-Werte aus
Aufgabe 1 aus. Überlegen Sie sich dazu bitte auch, wie man die n-te Wurzel mit
Ihrem Taschenrechner ausrechnen kann.
Lösung: Wie bei der Summe hat auch das Produktzeichen einen Laufindex i.
bedeutet, dass man
bis
miteinander multiplizieren soll.
ist wie
gehabt der i-te x-Wert. Einsetzen aus der Tabelle ergibt:
Das Problem ist es nun eigentlich, auf dem Taschenrechner die n-te Wurzel zu
ziehen. Dazu muss man wissen, dass
das Gleiche ist wie
Die Taste
gibt es vermutlich auf Ihrem Rechner.
Aufgabe 3: (Absolutbetrag, ganze Zahlen) Eine Heiz-Apparatur erlaubt nur
diskrete Einstellungen für die Temperatur , wobei die folgenden Temperaturen
einstellbar sind
. Schreiben Sie alle
erlaubten und möglichen Temperatureinstellungen auf, wenn Sie als Zieltemperatur
den Wert
mit einer maximalen Abweichung von
erreichen wollen.
Lösung: Schwierigkeit an dieser Aufgabe ist es, die sehr formal erklärte Menge
zu verstehen. Bei solchen Ausdrücken
steht in den geschweiften Klammern vor dem Semikolon stets, welcher
"Bauart" die Elemente der Menge sind. Die einstellbaren Temperaturen haben
also die Werte
. Es fehlt jetzt noch eine Erklärung zu dem, was
sein soll. Die Erklärungen zu der Bauart stehen immer hinter dem Semikolon.
bedeutet, dann n eine ganze Zahl ist, also 0, +1,-1, +2, -2... Und weiter
heißt
dass n maximal 499 und minimal -499 ist. Also sind die
erlaubten Werte
,
da ja die Toleranz angegeben war.
Aufgabe 4 (Polynomdivision, Horner-Schema, Euklidischer Algorithmus):
a) Kürzen Sie den folgenden Bruch, indem Sie mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus
den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner bestimmen:
Lösung: Erster Schritt des Euklidischen Algorithmus
Der Rest ist also
Zweiter Schritt:
Der ggT von Zähler und Nenner ist also
Nachdem man Zähler und Nenner durch diesen ggT geteilt hat, ergibt
sich:
Wenn man beabsichtigt, Werte für x einzusetzen: Die beiden Ausdrücke
(Originalbruch und gekürzter Bruch) sind nur dann gleich, wenn sie beide
definiert sind (Nenner nicht Null).
b) Wie viele reelle Zahlen
lösen die Gleichung
? Hinweis:
Eine Lösung der Gleichung kann man leicht "erraten"
. Mit Hilfe der
Polynomdivision (LINK, LINK) können Sie eine Nullstelle "abdividieren". Rechnen Sie
dazu aus, was
ist. Es ergibt sich wieder ein Polynom,
dessen Nullstellen alle weiteren Lösungen der Gleichung sind.
Lösung: Hat man die Nullstelle des Polynoms abdividiert (siehe den Zettel zum
Horner-Schema!), dann bleibt als Gleichung
Was mit dieser
Gleichung zu tun ist, wurde in der Vorlesung erklärt.... Kurz gesagt: Es gibt nur
eine reelle Nullstelle
!
Aufgabe 5: (Rationale Zahlen, reelle Zahlen) Gibt es eine rationale Zahl
, die
die Gleichung
löst? Schauen Sie sich dazu den Artikel bei Wikipedia zu der
"Irrationalität der Wurzel aus 2 (Euklid)" an und versuchen Sie, in dem Artikel den
einen relevanten Hinweis zum Beantworten dieser Aufgabe zu finden. LINK
Lösung: Der entsprechende Satz lautet " Wenn
keine
-te Potenz ist (nicht darstellbar
Die gesuchte Zahl
ist also irrational. Daher gibt es keine rationale Zahl
, die die
Gleichung
löst.
als
für eine natürliche Zahl
Viel Erfolg!
), dann ist
irrational.".