Rechenregeln für Terme und Gleichungen

Rechenregeln für Terme und Gleichungen
Allgemeine Vorbemerkung
Das Umformen von Termen und Gleichungen funktioniert nach bestimmten Spielregeln und
läuft in einer fest vorgegebenen Reihenfolge ab.
Um mit Termen umgehen zu können, ist es daher zwingend nötig, alle diese Regeln zu
kennen und zu können!
Reihenfolge
1)
2)
3)
4)
Klammern (bei mehreren Klammern: von innen nach außen auflösen)
Potenzen
Punktrechnung
Strichrechnug
Rechenregeln
Binomische Formeln:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a + b) (a – b) = a² – b²
Minus vor der Klammer ändert alle Vorzeichen, wenn die Klammer weggelassen wird!
Malpunkte können weggelassen werden! Æ ab bedeutet a ⋅ b
Multiplikation von Klammern:
(a + b) c = ac + bc
(a + b) (c + d) = ac + bc + ad + bd
(jedes mit jedem)
(statt + können auch – stehen!)
Nur Variablen gleichen Typs dürfen zusammengefasst werden! Das gilt auch für Potenzen mit
verschiedenen Hochzahlen.
Potenzen:
a1 = a
a2 = a ⋅ a
allgemeines:
ao = 1
negative Zahlen:
(- a)gerade Zahl = positives Ergebnis
(- a)ungerade Zahl = negatives Ergebnis
Potenz der Potenz:
ar ⋅ as = a r + s
ar
= a r : a s = a r −s
as
(ar)s = ars
Potenz von Produkten:
(a b)r = ar br
Potenz von Brüchen:
r
⎛a⎞ a
=
⎜ ⎟
r
⎝b⎠ b
Multiplikation:
Division (Bruch):
r
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Rechenregeln für Terme und Gleichungen
Gleichungen
Gleichungen bestehen aus Termen. Jede Seite einer Gleichung ist ein Term.
Vorgang beim Lösen einer Gleichung:
Æ
Æ
Æ
Æ
jede Seite so weit vereinfachen (umformen nach den Rechenregeln für Terme) wie
möglich
alle Ausdrücke mit Variablen auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere Seite
Lösung der Gleichung bestimmen
Probe
Proben
Grundsätzlich unterscheidet sich das Rechnen mit Zahlen (bei der Probe) vom Umformen
mit Variablen!
Bei der Probe werden keine Klammern aufgelöst oder binomischen Formeln angewendet –
man rechnet (wie du das bereits von früher kennst) nach den Vorrangregeln!
(Klammer Æ Potenz Æ Punkt Æ Strich)
1) bei Termen:
Man setzt für die Variablen eine angegebene Zahl ein und berechnet das Ergebnis
1. Teil: man setzt in der Angabe ein und berechnet das Ergebnis
2. Teil: man setzt in der letzten Zeile der Umformung ein und berechnet das
Ergebnis
Danach sollten beide Zahlen gleich sein
2) bei Gleichungen:
Man setzt für die Variablen die gefundene Lösung der Gleichung ein:
1. Teil: in der linken Seite einsetzen und ausrechnen
2. Teil: in der rechten Seite einsetzen und ausrechnen
Danach sollten beide Seiten gleiche Ergebnisse aufweisen
Achte besonders auf die Vorzeichenregeln und das Minus vor der Klammer!
Vorzeichenregeln:
– (+ a) = – a
+ (– a) = – a
– (– a) = + a
+(+a) = +a
(–) ⋅ (+) = (–)
(+) ⋅ (–) = (–)
(–) ⋅ (–) = (+)
(+) ⋅ (+) = (+)
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