Schülerarbeitsheft AUSSAGENLOGIK UND MENGENLEHRE

Mathe
Plus
Aa
Chen
M
P
A
C
Schülerarbeitsheft
AUSSAGENLOGIK UND
MENGENLEHRE
Christa Polaczek
AUSSAGENLOGIK UND MENGENLEHRE
Christa Polaczek
Prof. Dr. Christa Polaczek
Mathematik
FH Aachen
E-Mail: [email protected]
Mathe Plus AaChen (MPAC) ist eine Initiative, die von Hochschullehrerinnen und
Hochschullehrern der FH Aachen und der RWTH Aachen sowie von Lehrerinnen und
Lehrern der Sekundarstufe II getragen wird.
Diese Unterlagen befinden sich noch in der Erarbeitung und sind nur für den persönlichen
Gebrauch bestimmt. Erlaubt ist eine Vervielfältigung zur Nutzung im Unterricht bei der
Endversion, die Anfang 2011 im Netz hinterlegt wird unter: http://www.matha.rwthaachen.de:8062/
© C. Polaczek, Aachen, Dezember 2010
5
Inhaltsverzeichnis
Vorwort: MathePlus Schülerarbeitshefte
7
8
9
7
Grundbegriffe aus der Mengenlehre
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mengen: Grundbegriffe und Schreibweisen . . . . . . . . . .
Gleichheit von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(Echte) Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mächtigkeit einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exkurs: Mengen zur Beschreibung von Zufallsexperimenten
Wissensspeicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Mengenlehre
1. Verknüpfungen von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vereinigungsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schnittmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differenz und Komplement von Mengen . . . . . . . . . . .
Kartesisches Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exkurs: Anwendung aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung .
2. Regeln für Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Assoziativ-, Kommutativ-, Distributiv-, Idempotenzgesetze
Wissensspeicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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32
Anwendung: Gleichungslehre
Einführung . . . . . . . . . . . . . .
Aussageformen (z.B. Gleichungen)
Äquivalenz von Aussageformen .
Folgerung bei Aussageformen . . .
Wissensspeicher . . . . . . . . .
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10 Anwendung: Ungleichungen und Betrag
1. Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . .
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ungleichungen und Monotonie . . . . . .
Exkurs: Anwendung in der Optimierung
2. Der Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wissensspeicher . . . . . . . . . . . . .
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6
Inhaltsverzeichnis
Lösungen
57
Lösungen: Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
MPAC: C. Polaczek
7
Vorwort: MathePlus
Schülerarbeitshefte
MathePlus ist eine Initiative, die von Hochschullehrerinnen und Hochschullehrern der FH Aachen und der RWTH Aachen sowie von Lehrerinnen und Lehrern der Sekundarstufe II getragen wird.
Was ist MathePlus?
Die Initiative ist entstanden, weil der reguläre Mathematikunterricht,
durch Curriculumsreformen bedingt, in immer geringerem Maß auf
die Mathematikanforderungen in vielen Studienfächern, insbesondere
in MINT-Fächern, vorbereitet. MathePlus will hier Akzente setzen und
den teilnehmenden Schülerinnen und Schülern Wissen und Können
vermitteln, das den Einstieg in solche Studiengänge erleichtert.
Warum MathePlus?
MathePlus ist ein zusätzliches Unterrichtsangebot für Schülerinnen
und Schüler der Sekundarstufe II, das von teilnehmenden Schulen in
Kooperation mit der FH Aachen und der RWTH Aachen entwickelt
und durchgeführt wird. MathePlus kann und soll den regulären Mathematikunterricht nicht ersetzen und kann und soll auch nicht als
vertiefendes Angebot für die Abiturvorbereitung dienen.
Vielmehr werden mathematische Strukturen und Anwendungsbereiche präsentiert, die im regulären Unterricht keinen Platz finden, für
ein MINT-Studium oder andere mathematikhaltige Studiengänge aber
sehr nützlich und wichtig sind. Den Schülern und Schülerinnen sollen über einen frühzeitigen Kontakt mit mathematischen Strukturen
mögliche Ängste vor Abstraktem genommen werden. Über geeignete
Inhalte und Aufgabenstellungen soll die Freude am logischen Denken geweckt werden. Auch echte und relevante Anwendungen der
Mathematik sind Thema. Material zum Download finden Sie (nach
Registrierung) unter dem Punkt »Materialien«.
Grundsätzlich stellen die Autoren Texte und Aufgaben allen Interessierten zur Verfügung (einzige Voraussetzung ist eine Registrierung).
Einsetzbar sind diese Materialien zum Beispiel im Wahlunterricht, insbesondere im künftig vorgesehenen Projektunterricht. Die Unterrichtseinheiten (Lehrtexte und Aufgaben) sind konzipiert für ein Halbjahr
mit 2 Wochenstunden; sie bauen aufeinander auf.
Einsetzbarkeit
8
Schülerarbeitshefte
Vorwort: MathePlus Schülerarbeitshefte
Die Schülerarbeitshefte sind als Unterrichtsgrundlage konzipiert, mit
deren Hilfe sich Schülerinnen und Schüler weitgehend selbständig in
das Thema einarbeiten können. Sie beginnen mit einer Einführung
in das übergeordnete Thema und einem Überblick über die nötigen
Vorkenntnisse. Am Ende stehen eine Zusammenfassung und übergeordnete Aufgaben zum Thema. Die Teilkapitel enthalten Einführungen
und Einführungsaufgaben, Basiswissen, Beispiele, einfache Übungsaufgaben, komplexere Aufgaben, Anwendungen und Probleme sowie
Zusammenfassungen des jeweiligen Themengebiets. Neben diesem
»roten Faden« gibt es (am Rand) auch historische und sonstige Anmerkungen, Tipps und Hilfen sowie Merkkästen.
Jedes Heft sollte bei zwei Wochenstunden etwa die Grundlage für ein
Schulhalbjahr bilden. Die Themen der bisher geplanten beziehungsweise erschienenen MathePlus Schülerarbeitshefte sind:
Themen
• Mathematische Notation und Beweisverfahren
• Mengenlehre und Aussagenlogik
• Folgen und Reihen
• Komplexe Zahlen
MPAC: C. Polaczek
9
Kapitel 7
Grundbegriffe aus der
Mengenlehre
Viele Größen in der Realität lassen sich durch eine einzige Zahl beschreiben. Das Guthaben auf Ihrem Konto oder der Spritverbrauch
eines Wagens bei einer Fahrt von 100 km sind Beispiele dafür. Um
demgegenüber die möglichen Ausgänge beim Würfeln mit einem
gewöhnlichen Würfel zu beschreiben, benötigen wir sechs Zahlen.
Wollen wir über ein solches Experiment weitere Aussagen treffen, ist
es hilfreich, diese sechs Zahlen als eine Einheit zu betrachten. Genau
das leistet der Begriff einer Menge, den wir im Folgenden betrachten
werden.
Einführung
Die Tragfähigkeit abstrakter mathematischer Begriffe zeichnet sich
dadurch aus, dass diese Begriffe geeignet sind, um verschiedenste
Problemstellungen zu beschreiben. So eignen sich Zahlen zum Beispiel
dazu, einen Kontostand anzugeben. Mit genau denselben Zahlen können wir aber auch den Spritverbrauch eines Autos angeben. Alles, was
wir einmal über Zahlen und das Rechnen mit Zahlen wissen, können
wir dann in beiden Situationen verwenden. Hier sollen zur Einführung
drei Beispiele benannt werden, bei denen der neue Begriff einer Menge
später Anwendung findet.
Einstieg
(1) Auf einem Schulfest gibt es einen Stand mit vier Würfeln, die die
folgenden Augenzahlen auf ihren sechs Seiten tragen:
Beispiele
Der erste Würfel trägt die Augenzahlen
222666
Der zweite Würfel trägt die Augenzahlen
333377
Der dritte Würfel trägt die Augenzahlen
4 4 44 4 4
Der vierte Würfel trägt die Augenzahlen
555511
Es wird das folgende Spiel angeboten: Sie wählen einen der Würfel aus.
Dann nimmt der Spielleiter einen Würfel und sie würfeln beide einmal.
Wenn Sie die höhere Zahl würfeln, so haben Sie gewonnen. Gibt es
einen Würfel, den Sie bevorzugt nehmen sollten, um Ihre Spielchancen
zu erhöhen?
Anmerkung
Die Würfel wurden von
dem Statistiker Bradley
Efron (geb. 1938; Professor an der Standford
University) erfunden
und werden nach ihm
auch als Efrons Würfel
bezeichnet.
Efrons Würfel
10
Kapitel 7 Grundbegriffe aus der Mengenlehre
(2) Ein praktisches Problem werde genau dann gelöst, wenn eine
Größe x einen Wert annimmt, der die folgende Gleichung erfüllt:
√
√
x · x + 1 = 2x + 3 · x
(Gleichung 1)
um die Größe x zu berechnen, teilen wir zunächst beide Seiten der
Gleichung durch x und erhalten die Gleichung:
√
√
x + 1 = 2x + 3.
Danach quadrieren wir beide Seiten der Gleichung. Nun müssen wir
nur noch die Gleichung
x + 1 = 2x + 3
lösen. Das führt zu dem gewünschten Ergebnis:
x = −2.
Wenn wir nun die Probe machen und x = −2 in (Gleichung 1) einsetzten, so stellen wir fest, dass unter den Wurzeln negative Zahlen
erscheinen. Das berechnete Ergebnis ist gar keine Lösung der Gleichung. Tatsächlich wird die erste Gleichung jedoch von x = 0 erfüllt.
Im Verlauf der Rechnung haben wir offensichtlich die richtige Lösung
verloren und eine falsche Lösung hinzugewonnen. Was ist passiert?
Gerade beim Lösen von Gleichungen ist es eine große Hilfe, die möglichen Lösungen einer Gleichung als Menge zu verstehen und zu
untersuchen, was mit diesen Mengen passiert, wenn man die Gleichung umformt.
y
1
1
x
(3) Die ersten beiden Beispiele sind der Wahrscheinlichkeitstheorie
und der Gleichungslehre zuzuordnen. In beiden Teilbereichen der Mathematik spielt der Begriff der Menge eine zentrale Rolle. Die Mengenlehre hilft uns zusätzlich auch, bei geometrischen Problemen Ordnung
zu schaffen. Betrachten Sie die nebenstehende Graphik. Wie lassen
sich die Punkte beschreiben, die zu der grau markierten Dreiecksfläche
gehören?
Alle drei vorgestellten Probleme lassen sich elegant lösen, wenn man
sie mit den Mitteln der Mengenlehre beschreibt.
MPAC: C. Polaczek
Kapitel 7 Grundbegriffe aus der Mengenlehre
11
Eine Menge M ist eine Gesamtheit von Objekten x, bei denen
wir entscheiden können, ob x zu M gehört. Wenn x zu M gehört
sagen wir, dass x ein Element von M ist und schreiben: x ∈ M.
Die Angabe, welche Elemente zu einer Menge M gehören, kann
auf verschiedene Arten erfolgen:
Besitzt unsere Menge endlich viele Elemente, wie zum Beispiel
die Lösungen der Gleichung x2 = 16, so können wir die Elemente
explizit angeben:
M = {−4, 4}
Sprechweise: M ist die Menge mit den Elementen −4 und 4.
Daneben gibt es die Möglichkeit, eine Menge über eine oder mehrere Aussageformen, die genau für die Elemente der Menge den
Wahrheitswert w annehmen, zu beschreiben:
Mengen:
Grundbegriffe und
Schreibweisen
Anmerkung
Der Begriff einer Menge
wurde von G. Cantor geprägt. Die hier
benutzte einfache Beschreibung einer Menge
ist nicht unproblematisch. In der Mathematik wurde dieses
Problem durch eine
aufwändige Definition
einer Menge gelöst, die
hier aber zu weit führen
würde.
M = { x ∈ G | A( x )}
Sprechweise: M ist die Menge der Elemente aus G, die die Aussageform A( x ) erfüllen. In dieser Menge befinden sich nur Elemente einer Grundmenge G, für die die Aussageform A( x ) wahr
wird. Ist die Grundmenge, aus der die Elemente gewählt werden,
aus dem Zusammenhang klar, so finden wir noch die Schreibweise:
M = { x | x2 = 16}
Sprechweise: M ist die Menge der x, die die Gleichung x2 = 16
lösen.
Wir sollten auch davon sprechen können, dass ein Objekt x nicht
Element einer Menge M ist. Wir schreiben dann: x ∈
/ M.
(4) In der Wahrscheinlichkeitstheorie können die möglichen Ausgänge
eines Zufallsexperiments als Menge zusammengefasst werden. Diese
Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet. Dem Würfeln mit einem
gewöhnlichen Würfel wird die Ergebnismenge
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
zugeordnet.
(5) Für eine Gleichung, die mehrere Lösungen besitzt, können diese
Lösungen durch eine Lösungsmenge beschrieben werden. So wird die
Gleichung
x2 = 16
genau dann gelöst, wenn gilt:
x ∈ {−4, 4}
(6) In der Geometrie können geometrische Objekte als Punktmengen
gefasst werden. So können wir den Kreis mit Radius r = 1 und
MPAC: C. Polaczek
Georg Cantor
Begründer der
Mengenlehre
1845-1918
Beispiele
12
Kapitel 7 Grundbegriffe aus der Mengenlehre
Mittelpunkt im Ursprung nun exakt beschreiben durch die Menge
aller Punkte, die die zugehörige Kreisgleichung erfüllen:
E = {( x |y) | x2 + y2 = 1}
(7) Zu den wichtigsten Beispielen in der Mathematik gehören die
Zahlbereiche:
Zahlbereiche
N = {1, 2, 3, . . .} ist die Menge der natürlichen Zahlen.
N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} ist die Menge, die neben den natürlichen Zahlen
zusätzlich die Null enthält.
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} ist die Menge der ganzen Zahlen.
p
| p, q ∈ Z, q 6= 0 ist die Menge der rationalen Zahlen.
Q=
q
R ist die Menge der reellen Zahlen. Ihre genaue Beschreibung kann
erst mit dem Grenzwertbegriff erfolgen.
(8) Eine Menge, die kein Element enthält, nennen wir die leere Menge.
leere Menge
Übungsaufgaben
Schreibweise: { } oder ∅.
1. Übertragen Sie die folgenden Mengen in eine aufzählende Form.
Beispiel: M = { x | x2 = 9} lässt sich auch schreiben als: M = {−3, 3}.
M1 = { x |
1
x
= 5 ∨ x = −3}
M2 = {( x |y) ∈ R2 | x + y = 0 ∧ x − y = 3}
o
n
1
=
0
M3 = x | x−
1
√
M4 = {z ∈ R | z = 121}
M5 = {y ∈ R | y = (−1)n , n ∈ N}
2. Geben Sie die folgenden Mengen mit einer beliebigen Mengenschreibweise an:
a) Alle natürlichen Zahlen, die sich ohne Rest durch 6 teilen lassen.
b) Alle natürlichen Zahlen, deren letzte Ziffer eine Null ist.
c) Alle geraden ganzen Zahlen.
d) Alle ungeraden ganzen Zahlen.
e) Alle reellen Zahlen, die zwischen −2 und 5 liegen.
MPAC: C. Polaczek
Kapitel 7 Grundbegriffe aus der Mengenlehre
13
3. Geben Sie die Punkte, die zu der nebenstehend abgebildeten Dreiecksfläche gehören, als Menge an.
y
1
4. Bei einem gewöhnlichen Würfel ist für die Beschreibung des Würfelexperimentes die Menge Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} geeignet. Geben Sie entsprechende geeignete Mengen an, um die Ausgänge des Würfelexperiments mit Efrons Würfeln zu beschreiben.
Der erste Würfel trägt die Augenzahlen
222666
Der zweite Würfel trägt die Augenzahlen
333377
Der dritte Würfel trägt die Augenzahlen
444444
Der vierte Würfel trägt die Augenzahlen
555511
Bisher wurden nur der Begriff einer Menge und Bezeichnungsweisen
für Mengen vorgestellt. Um bei Problemen zu tragfähigen Ergebnissen
zu kommen, benötigen wir Eigenschaften von Mengen und Beziehungen zwischen Mengen. So wie wir bei Zahlen eine Gleichheit
oder Ungleichheit feststellen, wird dies auch für Mengen beschrieben.
Sind zwei Zahlen voneinander verschieden, so haben wir noch eine
Anordnung von Zahlen. Eine der Zahlen ist dann größer als die andere. Sicher fallen Ihnen zahlreiche Beispiele ein, bei denen bereits
die Anordnung von Zahlen hilft, kleinere Probleme zu lösen. Ob man
mit einem Sparguthaben eine gewünschte Anschaffung tätigen kann,
hängt zum Beispiel davon ab, ob der Betrag des Sparvermögens größer
oder kleiner als der Preis des Produktes ist. Die folgenden Begriffsbildungen haben Ähnlichkeit mit der Anordnung von Zahlen und
werden uns auch in die Lage versetzen, die ersten Anwendungen für
Mengen zu verstehen.
Zwei Mengen A und B sind genau dann gleich, wenn jedes Element von A auch Element von B ist und umgekehrt.
1
x
Erläuterung
Gleichheit von
Mengen
A = B : ⇔ ∀ x : [ x ∈ A ↔ x ∈ B]
(9) Bei Mengen ist es egal, in welcher Reihenfolge die Elemente aufgezählt werden, so gilt:
{ f , r, u, c, h, t, b, a, r } = { f , u, r, c, h, t, b, a, r }
(10) Bei Mengen kommt es nicht darauf an, wie oft ein Element aufgezählt wird. Es gilt zum Beispiel:
{1, 2, 1} = {1, 2}
MPAC: C. Polaczek
Beispiele
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(Echte) Teilmengen
Kapitel 7 Grundbegriffe aus der Mengenlehre
Eine Menge T heißt Teilmenge von M, wenn jedes Element von T
auch Element von M ist
T ⊆ M : ⇔ ∀ x : [ x ∈ T → x ∈ M]
Eine Menge T heißt echte Teilmenge von M, wenn T Teilmenge
von M ist und M wenigstens ein Element enthält, das kein Element von T ist.
T ⊂ M : ⇔ [ T 6= M ∧ T ⊆ M]
Beispiele
(11) Punktmengen sind eine wichtige Anwendung der Mengenlehre
in der Geometrie. Mit Hilfe von Punktmengen lassen sich die Beziehungen zwischen Mengen auch besonders gut veranschaulichen. So
erhält man für die Teilmengenbeziehung T ⊂ M das nebenstehende
Bild.
(12) Eines der wichtigsten Beispiele sind die Intervalle als Teilmengen
der reellen Zahlen.
[ a, b] := { x | a 6 x 6 b} abgeschlossenes Intervall
( a, b) := { x | a < x < b} offenes Intervall
( a, b] := { x | a < x 6 b} halboffenes Intervall
[ a, b) := { x | a 6 x < b} halboffenes Intervall
Mächtigkeit einer
Menge
Beispiele
Bei einer endlichen Menge M bezeichnen wir mit | M| die Anzahl
der Elemente in dieser Menge. | M| ist eine natürliche Zahl oder
Null. Wir sprechen auch von der Mächtigkeit der Menge M.
(13) |{0, 1}| = 2
(14) |{ I, N, T, E, R, N, E, T }| = 5
Bemerkung: Sie erinnern sich daran, dass es nicht darauf ankommt,
wie oft die Elemente aufgezählt werden.
(15) Für endliche Mengen gilt offensichtlich:
T ⊆ M → |T | 6 | M|
T ⊂ M → |T | < | M|
MPAC: C. Polaczek
Kapitel 7 Grundbegriffe aus der Mengenlehre
15
5. Welche Mengen sind gleich, welche nicht? Geben Sie alle vorhandenen Teilmengenbeziehungen an.
M1 = {2, 3, 4} M2 = {4, 3, 2}
M4 = {n ∈ N | n 6 4}
Übungsaufgaben
M3 = {n ∈ N | n < 4}
6. Geben Sie alle möglichen verschiedenen Teilmengen der Menge
M = {1, 2, 3} an.
7. Gegeben sei die Menge M = {S, I, A, M}. Ermitteln Sie
S = { T | T ⊆ M ∧ | T | = 2} sowie |S|.
8. Wie viele verschiedene Teilmengen besitzt eine Menge M mit n
Elementen?
Bemerkung: Die Menge der Teilmengen von M heißt Potenzmenge
von M.
9. Die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Menge M mit n Elementen
k verschiedene Elemente auszuwählen, spielt in vielen Zusammenhängen eine Rolle. Dies ist genau die Anzahl der Teilmengen von M mit k
Elementen. Man nennt diese Zahlen auch Binomialkoeffizienten und
schreibt dafür (nk). Gelesen wird (nk) als “n über k”.
Probleme und
Anwendungen
Potenzmenge
Binomialkoeffizient
Pascalsches Dreieck
Überlegen Sie sich, warum gilt:
n
n−1
n−1
=
+
k
k
k−1
Erläutern Sie, wie sich die Binomialkoeffizienten über das „Pascalsche
Dreieck“ berechnen lassen.
Blaise Pascal
1623-1662
MPAC: C. Polaczek
16
Kapitel 7 Grundbegriffe aus der Mengenlehre
Exkurs
Mengen zur Beschreibung von Zufallsexperimenten
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung basiert der Begriff der
Laplace-Wahrscheinlichkeit auf der Mächtigkeit endlicher Mengen.
.
Pierre-Simon
Laplace
1749-1827
Laplace-Experimente
und LaplaceWahrscheinlichkeit
Wir betrachten ein Zufallsexperiment, das endlich viele unterscheidbare Ausgänge besitzen kann. Ein Beispiel dafür ist das
Würfeln mit einem gewöhnlichen Würfel. Das Würfeln hat offensichtlich mit den Zahlen von 1 bis 6 zu tun, die wir zu der
Ergebnismenge zusammenfassen können
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Jeder von Ihnen weiß sicherlich bereits, dass man den Kehrwert
der Mächtigkeit dieser Menge - |Ω1 | - “die Wahrscheinlichkeit für
das Würfeln der Zahl i” nennt, wenn i eine Zahl von 1 bis 6 ist.
Es soll nun noch etwas genauer darauf eingegangen werden, wie
die bisher eingeführten Begriffe für Mengen uns helfen können,
die Situation eines Zufallsexperimentes zu beschreiben. Dafür sollten wir uns zunächst nochmals anschauen, was der Übergang von
der praktischen Tätigkeit des Würfelns zu den Zahlen von 1 bis 6
bedeutet. Wir bilden ein mathematisches Modell der Wirklichkeit.
In diesem Modell führen wir Rechnungen durch. Die Ergebnisse der Rechnungen werden verwendet, um Voraussagen für den
Ausgang von Experimenten in der Wirklichkeit zu formulieren.
Ursache
Experiment
Wirkung
Modell
Rechnung
Voraussage
Für diesen Prozess ist es natürlich eminent wichtig, dass wir eine saubere Zuordnung zwischen Vorgängen in der Wirklichkeit
und den mathematischen Objekten vornehmen. Ein sinnvolles mathematisches Objekt, das mit dem Würfeln zu tun hat, ist nach
obigen Überlegungen die Ergebnismenge Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
MPAC: C. Polaczek
Kapitel 7 Grundbegriffe aus der Mengenlehre
17
Es liegt zunächst nahe, dem Ausgang des Experiments: “es wird
eine 4 gewürfelt” die Zahl 4 zuzuordnen. Das führt aber zu Konflikten. Denn wir möchten auch für den Ausgang des Experiments: “es wird eine gerade Zahl gewürfelt” eine Entsprechung
im Modell finden. Und diese Entsprechung ist eine Teilmenge von
Ω : A = {2, 4, 6}. Eine Teilmenge einer Menge wie A = {2, 4, 6} ist
leider grundverschieden von einem Element einer Menge wie die
4. Gleiches in der Wirklichkeit (Ausgang eines Experiments) sollte
auch Gleiches im Modell zugeordnet sein. Insbesondere, wenn wir
damit später rechnen wollen. Die Lösung des Problems liegt auf
der Hand. Dem Ausgang des Experiments: “es wird eine 4 gewürfelt” wird nicht ein Element der Menge Ω - die 4 - zugeordnet,
sondern ebenfalls eine Teilmenge, nämlich {4}. Mengen, die genau ein Element der Ergebnismenge beinhalten, nennen wir dann
Elementarereignis.
Bei einem Laplace-Experiment wie dem Würfeln liegt eine endliche Ergebnismenge vor und es wird davon ausgegangen, dass
jedes Elementarereignis gleich wahrscheinlich ist. Dabei ist ein
Elementarereignis eine Teilmenge der Ergebnismenge mit einem
Element.
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignisse aus A kann bei einem Laplace-Experiment über die Mächtigkeit von Mengen wie folgt
angegeben werden:
| A|
.
P( A) =
|Ω|
Wir betrachten einen von Efrons Würfeln, der die Augenzahlen 3 3 3 3 7 7
trägt. Geben Sie eine Ergebnismenge Ω an, so dass das Würfeln mit
diesem Würfel als Laplace-Experiment betrachtet werden kann.
MPAC: C. Polaczek
Probleme und
Anwendungen
18
Wissensspeicher
Kapitel 7 Grundbegriffe aus der Mengenlehre
Eine Menge M ist eine Gesamtheit von Objekten x, bei denen wir
entscheiden können, ob x zu M gehört.
Menge
Schreibweisen für
Mengen
x ist Element von M
x ist kein Element von M
x∈M
x∈
/M
Die Angabe, welche Elemente zu einer Menge M gehören, kann auf
verschiedene Arten erfolgen:
Aufzählende Schreibweise Angabe der Eigenschaften der
Elemente
M = {−4, 4}
M = { x | x2 = 16}
M = { x ∈ G | A( x )}
Leere Menge
Gleichheit von
Mengen
Eine Menge, die kein Element enthält, nennen wir die leere Menge.
Schreibweise: { } oder ∅.
Zwei Mengen A und B sind genau dann gleich, wenn jedes Element von A auch Element von B ist und umgekehrt.
A = B : ⇔ ∀ x : [ x ∈ A ↔ x ∈ B]
Teilmengen
Eine Menge T heißt Teilmenge von M, wenn jedes Element von T
auch Element von M ist.
T ⊆ M : ⇔ ∀ x : [ x ∈ T → x ∈ M]
Eine Menge T heißt echte Teilmenge von M, wenn T Teilmenge
von M ist und M wenigstens ein Element enthält, das kein Element von T ist.
T ⊂ M : ⇔ [ T 6= M ∧ T ⊆ M]
Potenzmengen
Für eine vorgegebene Menge M können wir die Menge aller Teilmengen von M bilden. Dies ist die Potenzmenge von M.
P := { T | T ⊆ M}
Mächtigkeit einer
Menge
Bei einer endlichen Menge M bezeichnen wir mit | M| die Anzahl
der Elemente in dieser Menge.
MPAC: C. Polaczek
Kapitel 7 Grundbegriffe aus der Mengenlehre
19
Kurzkontrolle
1. Setzen Sie an die Stelle von ∆ das richtige Symbol ein.
(∈, ∈
/, ⊆, ⊂, =)
a) 3∆R
b) [4, 14]∆R
c) π∆N
d) { x | −2 6 x 6 2}∆[−2, 2]
2. Geben Sie vorhandene Teilmengenbeziehungen oder Identitäten
der Mengen M1 und M2 an.
a)
M1 = { x | −2 6 x 6 2}
M2 = (−2, 2)
b)
M1 = (−2, 2)
M2 = [−2, 2]
c)
M1 = [−2, 2]
M2 = {−2, 2}
3. Geben Sie eine Mengenschreibweise für die skizzierten Mengen
an:
a)
−2
−1
0
1
2
−2
−1
0
1
2
−2
−1
0
1
2
b)
c)
4. M sei die Menge aller Teilmengen von U.
a) Welchen Wert besitzt | M |, wenn |U | = 20.
b) Welchen Wert besitzt |U |, wenn | M | = 64.
5. Beurteilen Sie folgende Aussagen:
a) Jede Menge besitzt ein Element.
b) Die Potenzmenge einer Menge besitzt immer mehr Elemente
als die Menge selber.
c) M sei eine Menge mit endlich vielen Elementen. T sei eine
Teilmenge von M. Dann ist die Mächtigkeit von T kleiner als
die Mächtigkeit von M.
MPAC: C. Polaczek
21
Kapitel 8
Mengenlehre
1. Verknüpfungen von Mengen
Bei den Zahlen kennen wir die beiden Grundrechenarten Addition
und Multiplikation. Wir hatten bereits gesehen, dass für Aussagen
die Disjunktion und die Konjunktion sehr ähnliche Eigenschaften
besitzen. Nun werden wir auch für Mengen zwei Verknüpfungen
beschreiben, bei denen aus zwei alten Mengen jeweils eine neue Menge
gebildet wird. Die Nützlichkeit dieser Operationen soll am Beispiel
der Flächenberechnung motiviert und erläutert werden.
Einführung
Zur Berechnung von Flächeninhalten ist es oftmals eine zielführende
Strategie, die vorgegebene Fläche in Teilflächen zu zerlegen und den
gesuchten Flächeninhalt als Summe von bekannten Flächeninhalten
zu berechnen. Dies soll am folgenden Beispiel nochmals veranschaulicht werden. Zur Berechnung des eingezeichneten Flächeninhaltes F
zerlegen wir die Fläche in zwei Quadrate.
Einstieg
4 cm
F = F1 + F2 = 16 cm2 = 20 cm2
Für zwei Mengen A und B ist die Vereinigungsmenge A ∪ B diejenige Menge, die alle Elemente aus A und alle Elemente aus B
aber sonst keine weiteren Elemente enthält:
A ∪ B := { x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
Sprechweise: A vereinigt B.
4 cm
4 cm
2 cm
F1
F2
2 cm
Die Fläche F kann als Punktmenge beschreiben werden. Da die Fläche
F genau diejenigen Punkte enthält, die entweder in F1 oder in F2 enthalten sind, liegt es nahe, eine entsprechende Menge zu definieren.
2 cm
F
2 cm
Nun können wir den Flächeninhalt der Gesamtfläche F als Summe
der Flächeninhalte von F1 und F2 berechnen.
4 cm
Vereinigungsmenge
22
Erläuterung
Kapitel 8 Mengenlehre
Gilt denn nun immer, dass sich der Flächeninhalt bei der Vereinigungsmenge als Summe der Flächeninhalte der Ausgangsflächen berechnen
lässt? Das folgende Beispiel zeigt, dass dies nicht immer so ist. Die
Fläche F im Bild links ergibt sich als Vereinigungsmenge der folgenden
beiden Flächen F1 und F2 .
Die beiden Flächen überschneiden sich aber in der Mitte des Achsenkreuzes:
Der mit F1 ∩ F2 bezeichnete Flächeninhalt wird doppelt gezählt, wenn
wir die Flächen F1 und F2 addieren. Wir brauchen aber nur den Flächeninhalt der Fläche, die doppelt gezählt wird von der Summe abzuziehen, dann erhalten wir den korrekten Wert. Zunächst einmal geben
wir dieser Punktmenge, die zu beiden Mengen gehört, einen Namen:
Schnittmenge
Für zwei Mengen A und B wird die Schnittmenge A ∩ B wie folgt
gebildet: Die Schnittmenge enthält genau diejenigen Elemente,
die sowohl Element der Menge A als auch Element der Menge B
sind.
A ∩ B := { x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
Sprechweise: A geschnitten B.
MPAC: C. Polaczek
Kapitel 8 Mengenlehre
23
Ein weiteres Beispiel soll uns zeigen, dass das Entfernen einer Menge
aus einer anderen Menge ebenfalls ein schlagkräftiges Mittel sein kann,
um Flächeninhalte zu berechnen. Uns interessiert der Flächeninhalt
F eines Kreisringes, wie er im nebenstehenden Bild dargestellt ist.
Da sich die Punktmenge des Kreisringes ergibt, wenn wir von der
Kreisfläche des äußeren Kreises mit Radius R die Kreisfläche des
inneren Kreis mit Radius r ausschneiden, können wir die Differenz
der Flächeninhalte eines Kreises mit Radius R und eines Kreises mit
Radius r als Flächeninhalt des abgebildeten Kreisringes ermitteln.
Erläuterung
F = π · R2 − π · r 2
Dies gibt Anlass, Mengen einen Namen zu geben, die dadurch entstehen, dass man von einer Menge Ω die Elemente einer anderen Menge
A entfernt.
Die Differenz zweier Mengen Ω und A ist die Menge Ω, ausgenommen die Elemente, die in A vorkommen.
Differenz und
Komplement von
Mengen
Ω \ A := { x ∈ Ω | x ∈
/ A}
Sprechweise: Ω ohne A Gilt A ⊆ Ω, so bezeichnet man Ω \ A
auch als Komplement von A in Ω. Ist klar, welche Bezugsmenge
Ω zugrunde liegt, so schreibt man auch:
A := Ω \ A
10. Ermitteln Sie den Flächeninhalt der folgenden Figuren, indem Sie
die Figuren geeignet zerlegen:
a
b
c
a = 4 cm b = 1 cm
c = 4 cm d = 2 cm
e = 3 cm
a = 2 cm b = 3 cm
c = 3 cm d = 2 cm
a = 3 cm b = 4 cm
c = 5 cm
MPAC: C. Polaczek
Übungsaufgaben
24
Kapitel 8 Mengenlehre
11. Gegeben seien die beiden Mengen von Buchstaben:
M1 = { P, I, R, A, T, E, N }
M2 = { M, A, G, I, E, R}
M3 = { G, E, N, I, A, L}
a) Zeigen Sie, dass gilt: ( M1 ∩ M2 ) ∪ M3 6= M1 ∩ ( M2 ∪ M3 )
b) Berechnen Sie:
M4 = M1 ∪ ( M2 ∩ M3 )
M5 = ( M1 \ M2 ) \ M3
M6 = M1 \ ( M2 \ M3 )
c) Lässt sich die Menge M7 = { L, A, M, P, E} aus den vorgegebenen
Mengen produzieren?
12. Zeichnen Sie für die nebenstehend abgebildeten Mengen A und B
die Mengen A ∪ B, A ∩ B sowie A \ B ein.
13. a) Es gelte A ⊆ B. Berechnen Sie A ∪ B.
b) Es gelte A ∩ B = B. Berechnen Sie A ∪ B.
14. Was kann man über zwei Mengen A und B sagen, wenn gilt:
a) A ∪ B = B
b) A ∪ B = ∅
Probleme und
Anwendungen
15. Wie beurteilen Sie die folgende Statistik des Oberstufenkoordinators nach der Kurswahl der Schüler einer Oberstufe?
64 % der Schüler haben keinen Physik-Leistungskurs gewählt.
53 % der Schüler haben keinen Chemie-Leistungskurs gewählt.
14 % der Schüler haben weder einen Physik-Leistungskurs noch einen
Chemie-Leistungskurs gewählt.
16. Wie sieht die Schnittmenge zweier sich durchdringender Vollzylinder aus, wenn sich die Symmetrieachsen wie im nebenstehenden Bild
senkrecht schneiden?
Kartesisches
Produkt
Für zwei Mengen A und B wird das kartesische Produkt A × B
wie folgt gebildet:
A × B := {( a|b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}
Sprechweise: A kreuz B.
MPAC: C. Polaczek
Kapitel 8 Mengenlehre
25
(16) Ein wichtiges Beispiel ist die Zahlenebene. Diese Menge geht aus
den reellen Zahlen hervor, indem wir Tupel bilden, bei denen jedes
Element der reellen Zahlen mit jedem kombiniert wird.
Beispiele
R2 = R × R = {( x |y) | x ∈ R und y ∈ R}
(17) Ein weiteres Beispiel finden wir in der Wahrscheinlichkeitstheorie.
Ist M die Menge, die die möglichen Ausgänge des Würfelns mit einem
Würfel beschreibt:
M = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
so können wir die möglichen Ergebnisse beim Würfeln mit zwei Würfeln durch M2 angeben.
M2 = {( a|b) | a ∈ M und b ∈ M}
Für ein Ereignis der Form A × B ⊆ M2 , mit A ⊆ M und B ⊆ M
können wir nun die Wahrscheinlichkeit berechnen zu:
P( A × B) = P( A) · P( B)
(18) Als drittes Beispiel soll der allgemeine Zylinder aus der Geometrie
benannt werden. Wir wählen ein zusammenhängendes Grundgebiet G
im R2 als Grundfläche aus. Dazu nehmen wir als Höhe das Intervall
I = [0, h]. Das Kartesische Produkt G × I liefert dann die Punktmenge,
die den Zylinder beschreibt. Handelt es sich bei dem Grundgebiet G
um eine Kreisfläche, so sprechen wir auch vom Kreiszylinder. Für das
Volumens eines Zylinders gilt völlig analog zur Wahrscheinlichkeitsrechnung:
V = M(G × I ) = M(G) · M( I )
Dabei ist M ( G ) der Flächeninhalt der Grundfläche und M( I ) die
Länge der Höhe.
17. Gegeben seien die Mengen M = { A, B} und N = {Y, Z }. Ermitteln
Sie M × N und N × M. Sind die beiden Mengen gleich?
18. A und B seien endliche Mengen. Was können Sie über | A × B|
sagen?
19. Wenn | A × B| eine Primzahl ist, was können Sie dann über die
Mächtigkeit der Mengen A und B aussagen?
20. Welche Flächen lassen sich durch das Kreuzprodukt zweier Intervalle bilden?
21. Es sei D das Dreieck mit den Eckpunkten A = (0, 0), B = (1, 0)
und C = (0, 1) und I das Intervall I = [0, 2]. Welcher Körper ergibt
sich durch die Menge P = D × I und welches Volumen besitzt dieser
Körper?
MPAC: C. Polaczek
Aufgaben
26
Kapitel 8 Mengenlehre
22. Stellen Sie den Würfel mit Kantenlänge 1 als Kreuzprodukt zweier
Mengen dar.
23. Die Menge Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ist eine geeignete Ergebnismenge, um das Würfeln mit einem Würfel darzustellen. Nutzen Sie die
Teilmengen A = {1, 3, 5} und B = {2, 4, 6} um folgendes Ereignis als
Menge darzustellen: Beim Würfeln mit zwei Würfeln ist die Augensumme eine gerade Zahl.
Exkurs
Anwendung aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Nicht alle Zufallsexperimente, bei denen sich die möglichen Ausgänge durch eine endliche Menge von Zahlen beschreiben lassen,
sind automatisch ein Laplace-Experiment. Das populärste Beispiel hierfür ist sicherlich die Augensumme zweier Würfel. Die
Ergebnismenge kann beschrieben werden durch
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Die Elementarereignisse sind aber nicht mehr gleich wahrscheinlich. Bei solchen Zufallsexperimenten entfällt jede Handhabe, die
Wahrscheinlichkeit für Ereignisse einfach aus der Mächtigkeit der
Menge zu errechnen. Hier helfen die Begriffe der Schnitt- und Vereinigungsmenge sowie der Differenz und das kartesische Produkt
von Mengen weiter, denn dadurch können wir aus Elementarereignissen andere Ereignisse zusammensetzen.
Zunächst aber sollten wir noch einen Blick darauf werfen, dass
die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis etwas Ähnliches ist wie
Gewicht oder Länge. Gewicht und Länge sind Eigenschaften von
Objekten, die wir mit einem Messgerät messen können.
Wir hatten bereits geklärt, dass der Ausgang eines Zufallsexperiments durch eine Teilmenge A des Ergebnisraums beschrieben wird. Wir können uns nun vorstellen, dass wir A auf die
Wahrscheinlichkeitswaage legen. Diese Waage zeigt P( A) an - die
Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Ereignisses A. Eine solche Wägung sollte intuitiv einige Bedingungen erfüllen. Zunächst
sollte nie ein negatives Ergebnis herauskommen. Nun nehmen
wir zwei Mengen A und B, die kein gemeinsames Element besitzen. Diese beiden Mengen legen wir erst einzeln auf die Waage.
Wenn wir sie anschließend zusammen auf die Waage legen, so
sollte als gemeinsames Gewicht die Summe der Einzelgewichte
herauskommen. Schließlich ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung noch unser Maximalgewicht 1. Legen wir also die gesamte
Ergebnismenge auf die Waage, so muss ihr Gewicht 1 betragen.
Übertragen in unser mathematisches Kalkül bedeutet das:
MPAC: C. Polaczek
Kapitel 8 Mengenlehre
27
1. A ⊆ Ω → P( A) > 0
2. [ A, B ⊆ Ω ∧ A ∩ B = { }] → P( A ∪ B) = P( A) + P( B)
3. P(Ω) = 1
Damit wissen wir nun, was wir tun, wenn wir die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis berechnen, dessen mögliche Ausgänge eine
endliche Menge bilden.
Im ersten Schritt bilden wir ein mathematisches Modell, das uns
glaubhaft erscheint. Dieses Modell besteht aus dem Ereignisraum
und den Wahrscheinlichkeiten für Elementarereignisse. Die Wahrscheinlichkeiten für Elementarereignisse können wir nicht ganz
willkürlich festsetzen. Die obigen drei Bedingungen liefern zwei
Rahmenbedingungen für diese Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse. Die erste Bedingung verlangt sinnvoller weise, dass
dieser Wert nie negativ sein darf. Die dritte Bedingung besagt,
dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten für Elementarereignisse 1 sein muss.
Wenn wir glaubhaft ein solches Modell aufgestellt haben, können
wir dann mit der zweiten Bedingung, die ein Maß intuitiv erfüllen
sollte, Wahrscheinlichkeiten für weitere Ereignisse berechnen.
Wie gut Voraussagen unseres Modells für die Wirklichkeit werden,
hängt von uns ab. Es steht und fällt damit, ob unser Modell zur
Beschreibung der Wirklichkeit geeignet ist. Die eine Fehlerquelle
liegt in der Auswahl der Elementarereignisse. Des weiteren können wir den Fehler machen, dass wir die Wahrscheinlichkeiten für
die Elementarereignisse falsch eingeschätzt haben.
Wir sind nun in der Lage das Rätsel der Efronschen Würfel zu behandeln. Für die ersten beiden Würfel wird die Rechnung vorgestellt.
Danach können Sie ausrechnen, welcher Würfel gegen welchen gewinnt.
Der erste Würfel trägt die Augenzahlen
222666
Der zweite Würfel trägt die Augenzahlen
333377
Die Ergebnismenge für den ersten Würfel lautet: Ω1 = {2, 6}
Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind: P1 (2) = 1/2 und
P1 (6) = 1/2
Die Ergebnismenge für den zweiten Würfel lautet: Ω2 = {3, 7}
Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind: P2 (3) = 2/3 und
P2 (7) = 1/3
MPAC: C. Polaczek
Probleme und
Anwendungen
28
Kapitel 8 Mengenlehre
Für das Würfeln mit beiden Würfeln erhalten wir die Ergebnismenge
Ω = Ω1 × Ω2 mit den Wahrscheinlichkeiten P(i | j) = P1 (i ) · P2 ( j).
Der erste Würfel gewinnt nur dann, wenn er eine 6 und der andere
eine 3 zeigen. Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der erste
Würfel gewinnt, durch P(6|3) = P1 (6) · P2 (3) = 1/3 bestimmt.
Der zweite Würfel ist dem ersten überlegen.
2. Regeln für Mengen
Einführung
Mit den drei Verknüpfungen Vereinigungsmenge, Schnittmenge und
Komplement lassen sich aus vorgegebenen Mengen neue bilden. Im
folgenden Kapitel werden Regeln für diese Verknüpfungen zusammengestellt.
Einstieg
Sie kennen es bereits, dass Rechenregeln beim Rechnen mit Zahlen die
Ermittlung des Ergebnisses für eine komplexe Rechnung stark vereinfachen können. Soll zum Beispiel die folgende Rechnung durchgeführt
werden:
x = 3 · 427 + 427 · 7,
so können wir im ersten Schritt für den zweiten Summanden das
Kommutativgesetz der Multiplikation nutzen. Es gilt damit:
x = 3 · 427 + 7 · 427.
Wenn wir nun das Distributivgesetz anwenden, so erhalten wir weiter:
x = (3 + 7) · 427.
Die folgende Rechnung ist dann sehr leicht:
x = 10 · 427 = 4270.
Für die Verknüpfung von Mengen erhalten wir ganz ähnliche Regeln:
Assoziativ-,
Kommutativ-,
Distributiv-,
Idempotenzgesetze
Assoziativgesetze:
( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) sowie ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
Kommutativgesetze:
A∪B = B∪A
sowie
A∩B = B∩A
Distributivgesetze:
( A ∩ B) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C )
( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C )
Idempotenzgesetze: A ∪ A = A
MPAC: C. Polaczek
sowie
A∩A = A
Kapitel 8 Mengenlehre
29
Die Regeln für die Verknüpfung von Mengen lassen sich mit der Aussagenlogik nachweisen. Dies soll am Beispiel des Kommutativgesetzes
für die Vereinigungsmenge gezeigt werden:
A ∪ B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
B ∪ A = { x | x ∈ B ∨ x ∈ A}
Nun gilt für die Disjunktion das Kommutativgesetz:
x∈A ∨ x∈B ⇔ x∈B ∨ x∈A
Von daher gilt insgesamt:
x ∈ A∪B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇔ x ∈ B ∨ x ∈ A ⇔ x ∈ B∪A
Und damit sind die beiden Mengen gleich.
Eine Plausibilität der Rechenregeln kann auch durch die geometrischen Veranschaulichungen für Mengen gezeigt werden. Als Nachweis
gelten diese Graphiken aber nicht. Oft können solche Graphiken einem
die Übersicht über mathematische Zusammenhänge verdeutlichen und
einen Leitfaden für den richtigen Nachweis liefern. Als Beispiel soll
hier das Distributivgesetz ( A ∩ B) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) vorgestellt
werden:
Erläuterung
24. Überlegen Sie, welche Gesetzte der Aussagenlogik die weiteren
Regeln für Mengen begründen.
Übungsaufgaben
MPAC: C. Polaczek
30
Kapitel 8 Mengenlehre
25. Welche der folgenden Gleichungen gilt für alle Mengen A, B und
C?
a)
( A \ B) ∩ C = ( A ∩ B) \ ( B ∩ C )
b)
( A ∩ B) \ C = ( A \ C ) ∩ ( B \ C )
c)
A ∩ B = B \ ( B \ A)
26. Wie muss die Menge C gebildet werden, damit folgende Aussagen
wahr sind?
a) ∀ x ∈ C : ( x ∈ A ∧ x ∈ B)
b) ∀ x ∈ C : ( x ∈ A ∨ x ∈ B)
c) ∀ x ∈ C : ( x ∈ A ∧ x ∈
/ B)
d) ∀ x ∈ C : ( x ∈ C → x ∈ B)
27. Alle im Folgenden benutzten Mengen seien Teilmengen einer
Menge Ω. Mit A = Ω \ A sei das Komplement von A in Ω bezeichnet.
Zeigen Sie, dass gilt:
Gesetze von De
Morgan
A∩B = A∪B
sowie
A ∪ B = A ∩ B.
Diese Gleichungen werden auch als Gesetze von De Morgan bezeichnet.
28. Wir betrachten nur Mengen, die Teilmenge einer vorgegebenen
Menge Ω sind.
a) Stellen Sie A ∪ B allein mit Hilfe des Komplements und der Schnittmenge zweier Mengen dar.
August De Morgan
1806-1871
b) Stellen Sie A ∩ B allein mit Hilfe des Komplements und der Vereinigungsmengemenge zweier Mengen dar.
Probleme und
Anwendungen
29. Si seien Teilmengen von T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Welche Elemente in Si enthalten sind, wird durch die folgende Matrix angegeben:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
MPAC: C. Polaczek
S1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
S2
1
1
0
0
0
0
1
1
0
S3
0
0
1
0
1
1
0
0
0
S4
0
0
1
1
0
0
0
0
0
S5
1
0
1
1
0
0
1
0
0
S6
0
1
0
0
1
0
0
1
1
S7
0
1
0
0
0
0
0
1
0
S8
1
0
1
0
0
0
1
0
0
S9
0
1
0
1
1
0
0
0
0
Kapitel 8 Mengenlehre
31
Steht in der Spalte unterhalb von Si in der Zeile von j eine 1, so gehört
j zur Menge Si sonst gehört j nicht zu Si . So lautet zum Beispiel die
Menge
S1 = {1, 3, 4}.
Gesucht ist eine Auswahl von Mengen Si , so dass die Vereinigungsmenge die Menge T ergibt. Dabei sollen möglichst wenige Mengen Si
benutzt werden.
Bemerkung: Bei dem vorgegebenen Problem handelt es sich um ein
Überdeckungsproblem, das im allgemeinen Fall nicht so leicht wie
das vorgegebene zu lösen ist. Bisher ist noch kein Lösungsverfahren
bekannt, bei dem die Bearbeitungszeit für die Lösung auch bei großen
Problemen (die Menge T enthält viele Elemente und es stehen viele
Teilmengen zur Verfügung) realisierbar ist. In der Praxis wird das
Problem noch dadurch erschwert, dass die Teilmengen Si verschiedene
Kosten verursachen.
Das Lösen eines SUDOKU ist im Übrigen ein Überdeckungsproblem.
MPAC: C. Polaczek
32
Wissensspeicher
Anmerkung
Venn-Diagramme dienen zur grafischen Veranschaulichung der
Mengenlehre und wurden nach dem engl. Mathematiker John Venn
(1894-1923) benannt.
Verknüpfungen von
Mengen:
Vereinigungsmenge,
Schnittmenge,
Differenz,
Komplement
kartesisches Produkt
Kapitel 8 Mengenlehre
Die Möglichkeiten, aus zwei vorgegebenen Mengen neue Mengen zu
bilden, sollen hier anhand von Graphiken zusammengestellt werden.
Diese Graphiken heißen auch Venn-Diagramme.
Vereinigungsmenge
A ∪ B := { x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
Schnittmenge
A ∩ B := { x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
Differenz
A \ B := { x ∈ A | x ∈
/ B}
Komplement von A in Ω
Für zwei Mengen A und B wird das kartesische Produkt A × B
wie folgt gebildet:
A × B := {( a|b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}
Regeln für die
Verknüpfung von
Mengen
Assoziativgesetze:
( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) sowie ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
Kommutativgesetze:
A∪B = B∪A
sowie
A∩B = B∩A
Distributivgesetze:
( A ∩ B) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C )
( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C )
Idempotenzgesetze: A ∪ A = A
Regeln von De
Morgan
sowie
Es gelte: A, B ⊆ Ω.
A∩B = A∪B
MPAC: C. Polaczek
sowie
A ∪ B = A ∩ B.
A∩A = A
Kapitel 8 Mengenlehre
33
Kurzkontrolle
1. Setzen Sie an die Stelle von ∆ das richtige Symbol ein.
(∩, ∪, \, ×)
a) N0 = N∆{0}
b) R3 = R2 ∆R
c) N = N0 ∆{0}
d) (−2, 2) = [−2, 2)∆(−2, 2]
2. Bilden Sie die Mengen A ∩ B, A ∪ B, A \ B sowie A × B, wobei
A = (0, 7)
B = [3, 10]
3. Geben Sie eine Mengenschreibweise für die skizzierten Mengen
an:
a)
b)
4. A und B seinen endliche Mengen. Unter welchen
Zusatzvoraussetzungen gelten folgende Regeln:
a) | A ∪ B| = | A| + | B|
b) | A \ B| = | A| − | B|
c) ‘| A × B| = | A| · | B|
5. Beurteilen Sie folgende Aussagen:
a) Die Vereinigungsmenge zweier endlicher Mengen besitzt
immer mehr Elemente als die Mengen, aus denen die
Vereinigungsmenge gebildet wurde.
b) Die Schnittmenge zweier endlicher Mengen besitzt immer
weniger Elemente als die Mengen, aus denen die
Schnittmenge gebildet wurde.
c) Das kartesische Produkt zweier endlicher Mengen besitzt
immer mehr Elemente als die Mengen, aus denen es
gebildet wurde.
MPAC: C. Polaczek
35
Kapitel 9
Anwendung: Gleichungslehre
Die beste aller Gleichungen für eine gesuchte unbekannte Größe x
lautet:
x = Lösung.
Einführung
Das Ziel beim Lösen einer beliebigen anderen Gleichung wie zum
Beispiel
√
√
x · x + 1 = 2x + 3 · x
(Gleichung 1)
besteht darin, diese in die beste aller Gleichungen zu überführen.
In Kapitel 7 hatten wir im zweiten Beispiel bereits Gleichung 1 betrachtet. Die dabei vorgestellten Umformungen enthielten aber offensichtlich Fehler, denn sie führten zu der Gleichung:
Einstieg
x = −2.
Dieser Wert führt nach Einsetzen in die Ausgangsgleichung zu negativen Zahlen unter den Wurzeln und damit zu undefinierten Ausdrücken. Dies gibt Anlass, von vorne herein zu klären, welche Werte
für die gesuchte Lösung überhaupt in Frage kommen. Da Gleichungen
ein Spezialfall der Aussageformen sind, sollen die Begriffsbildungen
allgemein für Aussageformen eingeführt werden.
Grundmenge: Dies ist eine Menge von geeigneten Zahlen, die
vom Anwender ausgewählt wird.
Definitionsbereich: Dies ist eine Teilmenge der Grundmenge.
Sie beinhaltet alle Elemente der Grundmenge, für die die in der
Aussageform auftretenden Terme definiert sind.
Lösungsmenge: Dies ist eine Teilmenge der Definitionsmenge. Sie
beinhaltet alle Elemente, die die Aussageform A( x ) nach Einsetzen für x in eine wahre Aussage überführen.
Aussageformen
(z.B. Gleichungen)
36
Beispiele
Kapitel 9 Anwendung: Gleichungslehre
(19) Gesucht ist ein Quadrat, dessen Flächeninhalt F = 49 cm2 beträgt.
Die zugehörige Gleichung für die Maßzahl a der Kantenlänge des
Quadrates lautet:
a2 = 49
Diese Gleichung besitzt zwei Lösungen: a1 = 7 sowie a2 = −7. Wir
können aber von vorneherein negative Lösungen ausschließen. Die
Grundmenge für die Lösung der Gleichung sollte zu G = R>0 gewählt
werden. Die Lösungsmenge lautet daher: L = {7}.
(20) Die Gleichung
3
3
−
=2
x−1 x+1
besitzt einen eingeschränkten Definitionsbereich.
Er lautet: D = R \ {−1, 1}. Dieser eingeschränkte Definitionsbereich
muss bei Umformung der Gleichung beibehalten werden. Multiplizieren wir die Gleichung mit ( x2 − 1), um die Nenner zu beseitigen, so
sehen wir der umgeformten Gleichung optisch den eingeschränkten
Definitionsbereich nicht mehr an:
3 · ( x + 1) − 3 · ( x − 1) = 2 · ( x 2 − 1).
Die Lösungsmenge der letzten Gleichung lautet: L = {−2, 2}. Dies ist
auch die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung, da L ⊆ D.
Aufgaben
30. Geben Sie sinnvolle Grundmengen für die Berechnung der Maßzahlen für folgende Größen an:
a) Stückzahl bei einer Produktion
b) Entfernung
c) Temperatur
d) Kontostand
e) Flächeninhalt eines Grundstücks
f) Prozentzahl
g) Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis
h) Einwohnerzahl
i) Winkel
j) Besucherzahl.
31. Bestimmen Sie die Definitionsmenge der folgenden Gleichungen
in der Grundmenge R.
√
1
1
a) 2
+ =0
b) x2 = 11
x −4 3
√
c)( x )2 = 11
d) lg(1 − x ) = 3
e)x = sin( x )
MPAC: C. Polaczek
f) − 2 = lg(2 sin(3x ) − 4)
Kapitel 9 Anwendung: Gleichungslehre
37
Zwei Aussageformen A( x ) und B( x ) heißen zueinander äquivalent, wenn ihre Definitionsbereiche und ihre Lösungsmengen
gleich sind.
Äquivalenz von
Aussageformen
Schreibweise: A( x ) ⇔ B( x )
Als erstes sollen gutartige Beispiele betrachtet werden.
(21) Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn auf
beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addiert wird:
x+3 = 4 ⇔ x = 1
(22) Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn auf
beiden Seiten der Gleichung mit derselben Zahl a ∈ R \ {0} multipliziert wird:
3·x = 9 ⇔ x = 3
Die Einschränkung im zweiten Beispiel führt bereits zu einer Umformung, die die Lösungsmenge einer Gleichung ändert. Multiplizieren
wir beide Seiten einer Gleichung mit a = 0, so kann sich die Lösungsmenge der Gleichung ändern.
(23) Die Gleichung 3 · x = 9 geht nach Multiplikation beider Seiten
der Gleichung mit Null über in die Gleichung:
0·x = 0
und diese letzte Gleichung besitzt die Lösungsmenge L = D, wobei D
die Definitionsmenge der Gleichung ist.
Nun sagen Sie vielleicht, dass keiner so dumm sei, eine Gleichung mit
Null zu multiplizieren. Tatsächlich ist aber die “heimliche Multiplikation” mit Null einer der häufigsten Fehler beim Lösen von Gleichungen.
Dies schauen wir uns an einem einfachen Beispiel an:
(24)
3+x = 4+x
(Gleichung 2)
Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit a = x − 2 und
erhalten:
(3 + x ) · ( x − 2) = (4 + x ) · ( x − 2)
(Gleichung 3)
Ausmultiplizieren beider Seiten führt zu:
x2 + x − 6 = x2 + 2x − 8
Addition von a = − x2 − x + 8 auf beiden Seiten der Gleichung führt
zu:
2 = x.
MPAC: C. Polaczek
Beispiele
38
Kapitel 9 Anwendung: Gleichungslehre
Dies ist aber keine Lösung der Gleichung 2, denn es gilt:
3 + 2 6= 4 + 2.
Die Lösung x = 2 hat sich bei der Umformung von Gleichung 2
zu Gleichung 3 eingeschlichen. Denn genau für x = 2 wurde in
diesem Schritt mit Null multipliziert. Für x = 2 lautet Gleichung 3
dementsprechend:
0 = 0.
(25) Im vorangegangenen Beispiel haben wir gesehen, dass die Lösungsmenge einer Gleichung vergrößert werden kann. Genauso kann
man bei manchen Umformungen Lösungen verlieren. Hierfür betrachten wir nochmals Gleichung 1 aus dem 2. Beispiel im Einstieg:
√
√
x · x + 1 = 2x + 3 ·
(Gleichung 1)
Diese Gleichung wird für x = 0 gelöst. Wenn wir nun durch x dividieren, so ist diese Operation genau für x = 0 nicht zulässig. Wird der
Sonderfall x = 0 nicht beachtet, verlieren wir die einzige Lösung dieser
Gleichung. Die korrekte Vorgehensweise zur Lösung der Gleichung 1
sieht wie folgt aus:
Wir gehen zunächst davon aus, dass die Grundmenge, in der wir
Lösungen suchen, die reellen Zahlen sind.
Dann bestimmen wir den Definitionsbereich der Gleichung. Dieser
wird durch die Wurzeln eingeschränkt auf:
D = { x | x > −1}
Nun stellen wir fest, dass x = 0 Lösung der Gleichung ist.
Für x 6= 0 ändert sich die Lösungsmenge nicht, wenn wir beide Seiten
der Gleichung durch x dividieren. Alle Lösungen x 6= 0 müssen daher
die Gleichung:
√
√
x + 1 = 2x + 3
erfüllen.
Zwei Wurzeln sind genau dann gleich, wenn die Radikanden gleich
sind. Also muss gelten:
x + 1 = 2x + 3
Dies ist aber nur für x = −2 der Fall und dieser Wert liegt nicht im
Definitionsbereich der Gleichung, gehört damit nicht zur Lösungsmenge. Zusammenfassend lässt sich damit sagen:
Die Lösungsmenge der Gleichung 1 lautet: L = {0}.
MPAC: C. Polaczek
Kapitel 9 Anwendung: Gleichungslehre
39
Aufgaben
32. Wo steckt der Fehler?
x2 − x2 = x2 − x2 ⇔
x · (x − x) = (x + x) · (x − x) ⇔ : (x − x)
x = x+x ⇔ x = 2·x ⇔ : x
1=2
33. Handelt es sich bei folgenden Umformungen von Gleichungen
immer um Äquivalenzumformungen? Welche Sonderfälle müssen
beachtet werden?
a) Addition derselben reellen Zahl auf beiden Seiten der Gleichung.
b) Addition desselben beliebigen Terms auf beiden Seiten der Gleichung.
c) Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit derselben reellen
Zahl.
d) Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit demselben Term.
e) Quadrieren beider Seiten der Gleichung.
f) Wurzelziehen auf beiden Seiten der Gleichung.
g) Kehrwertbildung auf beiden Seiten der Gleichung.
h) Termumformung auf einer Seite der Gleichung.
34. Wo steckt der Fehler (falls es einen gibt )?
0 = 0 − 42
−42 = −42
36 − 78 =
169
4
2
13
6−
2
13
6−
2
6
36 − 78 +
=
=
=
=
169
49 − 91 +
4
169 49 − 91 +
nach binom. Formel
4 13 2 √
7−
2
13 13
7−
+
2 2
7
Manchmal lässt es sich beim Lösen einer Gleichung nicht vermeiden,
Umformungen durchzuführen, die die Lösungsmenge verändern. Um
in diesen Fällen genau nachzuhalten, in welcher Beziehung die Ausgangsgleichung und die umgeformte Gleichung stehen, führen wir
noch die folgenden Beziehungen zwischen Gleichungen ein:
MPAC: C. Polaczek
40
Folgerung bei
Aussageformen
Kapitel 9 Anwendung: Gleichungslehre
Über eine Grundmenge G gelte: Die Aussageformen A( x ) und
B( x ) sind definiert.
A( x ) besitze die Lösungsmenge L1 und B( x ) besitze die Lösungsmenge L2 .
Aus der Aussageform A( x ) folgt die Aussageform B( x ), wenn
gilt: L1 ⊆ L2 .
Schreibweise: A( x ) ⇒ B( x )
Beispiele
(26) Wird eine Gleichung quadriert, so können wir lediglich eine
Folgerung aber keine Äquivalenz zwischen Gleichungen feststellen.
x = 1 ⇒ x2 = 1
Die Gleichung x = 1 besitzt die Lösungsmenge L1 = {1}.
Die Gleichung x2 = 1 besitzt die Lösungsmenge L2 = {−1, 1}.
Es gilt die Beziehung: L1 ⊂ L2 .
(27) Wird die Sinusfunktion auf beiden Seiten einer Gleichung angewendet, so erhält eine Gleichung sogar unendlich viele Lösungen.
x wird dabei im Bogenmaß gemessen:
x = 0 ⇒ sin x = 0
Die Gleichung x = 0 besitzt die Lösungsmenge L1 = {0}.
Die Gleichung sin x = 0 besitzt die Lösungsmenge
L2 = { x | x = π · k, k ∈ Z}.
Aufgaben
35. Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen in der
Grundmenge R.
a) 11x = x2 − 30
√
√
√
√
b) (3 · x + 5) − (6 · x − 10) = 7 · x − 5 − 2 · ( x − 2)
√
c) x = 14 + 5 · x
3
18
−
=0
x−4 x+1
1
1
1
e) 2
− 2
= 2
x +x x +x
x + 3x + 2
d)
36. In der Technik finden wir viele Gleichungen, die den Zusammenhang zwischen physikalischen Größen in bestimmten Versuchsanordnungen beschreiben. Dabei kommen immer mehrere variable Größen
in einer Gleichung vor. So gilt für die Höhe h(t), in der sich ein Körper
MPAC: C. Polaczek
Kapitel 9 Anwendung: Gleichungslehre
41
beim senkrechten Wurf zum Zeitpunkt t befindet, wenn man den
Luftwiderstand mit berücksichtigt:
r
r
r
m
cg
c
cg
h(t) =
· ln cos
· t + v0
· sin
·t
.
c
m
mg
m
m: Masse des Körpers
g: Erdbeschleunigung
v0 : Anfangsgeschwindigkeit
c: Reibungskonstante
Man möchte nun weitere Rechnungen nicht für jeden Spezialfall einzeln durchführen, sondern allgemeine Aussagen unabhängig von den
konkreten Werten für zum Beispiel Masse und Anfangsgeschwindigkeit erhalten. Die folgenden Aufgaben sollen den Umgang mit
Gleichungen üben, in denen mehrere nicht konkretisierte Zahlen vorkommen. Gesucht ist immer eine Lösung für x in Abhängigkeit der
anderen auftretenden Größen:
a + 1x
ax cx
1+x
1
a)
−
=e
b)
=a
i)
= a+
1
b
d
1−x
a
a− x
j)
1
a
1
a
−x 1
+ =
+x a
1
a
x
1
−
+x a
k) 0 = x · tan α −
gx2
2v20 cos2 α
37. In den Anwendungen liegen häufig mehrere Gleichungen für
mehrere zu bestimmende Variablen vor. Soll zum Beispiel 12%-iger
Alkohol mit 84%-igem Alkohol gemischt werden, um 1 l 18% Alkohol
zu erhalten, so entsteht ein lineares Gleichungssystem. Setzten Sie
an, dass Sie x l der 12%-igen Lösung und y l der 18%-igen Lösung
mischen. Es ist hier sinnvoll, die gesuchte Lösung als Tupel ( x |y)
zu verstehen. Die Grundmenge für die gesuchte Lösung ist daher:
G = [0, 1] × [0, 1]. Die erste Gleichung erhalten wir aus der Bedingung,
dass die Mischung 1 l ergibt:
x+y = 1
Die Lösungsmenge dieser ersten Gleichung können wir als Strecke auffassen. Stellen Sie die zweite Gleichung für x und y auf und zeichnen
Sie die Lösungsmenge ebenfalls in das Koordinatensystem ein. Bestimmen Sie die Schnittmenge der beiden Lösungsmengen als gesuchte
Lösung für das Problem.
38. Für welche reellen Zahlen a besitzt das lineare Gleichungssystem
a · x + 3y = a
3x + a · y = a
keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen? Geben Sie im Falle
der Lösbarkeit die Lösungsmenge an.
MPAC: C. Polaczek
Probleme und
Anwendungen
42
Wissensspeicher
Gleichungen:
Grundmenge,
Definitionsbereich,
Lösungsmenge
Kapitel 9 Anwendung: Gleichungslehre
Bevor eine Gleichung gelöst wird, muss festgestellt werden, welche
Lösungen überhaupt in Frage kommen. Dabei kann die Lösungsmenge sowohl durch das praktische Problem, aus dem die Gleichung
resultiert, als auch durch auftretende Terme eingeschränkt werden.
Grundmenge: Dies ist eine Menge von geeigneten Zahlen, die
vom Anwender ausgewählt wird.
Definitionsbereich: Dies ist eine Teilmenge der Grundmenge.
Sie beinhaltet alle Elemente der Grundmenge, für die die in der
Aussageform auftretenden Terme definiert sind.
Lösungsmenge: Dies ist eine Teilmenge der Definitionsmenge. Sie
beinhaltet alle Elemente, die die Aussageform A( x ) nach Einsetzen für x in eine wahre Aussage überführen.
Gleichungen werden in der Regel dadurch gelöst, dass sie durch Umformungen in andere Gleichungen überführt werden. Dieses Verfahren
führt gesichert zum Ziel, wenn die Lösungsmenge durch die Umformung nicht verändert wird.
Äquivalenz von
Aussageformen
Zwei Aussageformen A( x ) und B( x ) heißen zueinander äquivalent, wenn ihre Definitionsbereiche und ihre Lösungsmengen
gleich sind.
Schreibweise: A( x ) ⇔ B( x )
Kann nach Umformung einer Gleichung nur noch eine Enthaltensrelation für die Lösungsmengen festgestellt werden, so besteht keine
Äquivalenz der Gleichungen mehr.
Folgerung bei
Aussageformen
Über einer Grundmenge G gelte: Die Aussageformen A( x ) und
B( x ) sind definiert.
A( x ) besitze die Lösungsmenge L1 und B( x ) besitze die Lösungsmenge L2 .
Aus der Aussageform A( x ) folgt die Aussageform B( x ), wenn
gilt: L1 ⊆ L2 .
Schreibweise: A( x ) ⇒ B( x )
Wurden solche Umformungen benutzt, so müssen die Endlösungen
daraufhin überprüft werden, ob sie auch die Anfangsgleichungen
lösen.
MPAC: C. Polaczek
Kapitel 9 Anwendung: Gleichungslehre
43
Kurzkontrolle
1. Über welcher der folgenden Grundmengen besitzen die unten
angeführten Gleichungen Lösungen: Z, Q, R?
a) x2 = 122
b) 5x + 2 = 4
c)
3
=1
x+2
2. Geben Sie den Definitionsbereich in der Grundmenge R für die
folgenden Gleichungen an:
√
p
1
3
2 + 4x = 3 c)
a)
=
b)
5
−
x
( x − 1)2 = 7
( x − 1)2
x2 − 1
3. Ermitteln Sie die Lösungen der Gleichungen aus Aufgabe 2.
4. Beurteilen Sie folgende Aussagen:
a) Der Definitionsbereich einer Gleichung kann nie die leere
Menge sein.
b) Die Lösungsmenge einer Gleichung ist immer eine endliche
Menge.
c) Die Grundmenge einer Gleichung hängt vom
Definitionsbereich ab.
d) Äquivalente Gleichungen besitzen immer dieselbe
Lösungsmenge.
MPAC: C. Polaczek
45
Kapitel 10
Anwendung: Ungleichungen
und Betrag
1. Ungleichungen
In der Praxis spielen Ungleichungen womöglich eine größere Rolle als
Gleichungen. Insbesondere im Zeitalter der elektronischen Hilfsmittel.
Mit elektronischen Hilfsmitteln können meistens nur Näherungslösungen berechnet werden. Wir haben es dann nicht mehr mit Gleichungen,
sondern mit Ungleichungen zu tun. Die folgenden Gleichungen sind
allesamt falsch:
√
√
√
2 = 1, 414
2 = 1, 41421
2 = 1, 41421356
Korrekt ist eine Ungleichungskette der Form:
√
1, 4142135 6 2 6 1, 4142136
Zu einer Näherungslösung gehört unbedingt eine Angabe des Fehlers.
Dies kann aber nur über Ungleichungen erfolgen. Denn könnten wir
den Fehler über eine Gleichung angeben, so könnten wir offensichtlich
die exakte Lösung angeben und die Näherungslösung verwerfen.
Genauso wie bei Gleichungen kann eine Ungleichung eine Aussage
oder eine Aussageform sein:
√
Aussage:
2 6 1, 4142136
Aussageform:
x2 < 1
Liegt mit einer Ungleichung eine Aussageform vor, so interessieren
uns auch hier die Werte für x, die diese Ungleichung erfüllen. Die
Begriffe Grundmenge, Definitionsbereich und Lösungsmenge wurden
bereits in Kapitel 9 formuliert.
Einführung
46
Kapitel 10 Anwendung: Ungleichungen und Betrag
Beispiele
(28) Gesucht sind alle positiven reellen Zahlen, für die die Ungleichung
x2 − x − 2 6 0
erfüllt wird.
Die Grundmenge lautet:
G = R >0
Der Definitionsbereich lautet:
D = R>0
Zur Ermittlung der Lösungsmenge betrachten wir den nebenstehenden
Graphen der Funktion
y
3
2
f ( x ) = x 2 − x − 2 = ( x + 1) · ( x − 2).
1
−3 −2 −1
−1
x
1
2
3
−2
−3
Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel. Zwischen ihren Nullstellen x1 = −1 und x2 = 2 nimmt die Funktion negative Funktionswerte an. Daher lautet
die Lösungsmenge:
L = [0, 2].
(29) Gesucht sind alle reellen Zahlen, für die gilt:
√
x6 x
Die Grundmenge lautet:
G=R
Da die Wurzel nur für nichtnegative Zahlen definiert ist, gilt :
y
1
1
x
Der Definitionsbereich lautet:
D = R >0
Zur Lösung der Ungleichung
betrachten wir nun die Funktionen
√
f ( x ) = x und g( x ) = x, die genau zwei Schnittpunkte bei x1 = 0
und x2 = 1 besitzen. Nur in solchen Schnittpunkten kann sich das
Ungleichheitsverhältnis umkehren. Es gilt:
r
1
1
1
1
6 =
und 0 6 6 1.
4
2
4
4
Daher lautet
die Lösungsmenge:
Aufgaben
L = [0, 1].
39. Die Zahlen
a = −1017
b = 37 · 1015
c = 63 · 1015
d = 10
e = 27
f = 180
sollen mit einem gewöhnlichen Taschenrechner (maximal 12 Stellen in
der Mantisse) in der vorgegebenen Reihenfolge addiert werden:
A
B
C
D
= a+d+b+e+c+ f
= d+a+e+b+ f +c
= a+b+c+d+e+ f
= a+b+e+c+d+ f
Wie erklären sich die unterschiedlichen Ergebnisse und wie lautet das
korrekte Ergebnis der Addition?
MPAC: C. Polaczek
Kapitel 10 Anwendung: Ungleichungen und Betrag
47
40. Ermitteln Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der
folgenden Ungleichungen. Die Grundmenge soll als R vorgegeben
sein.
x+1
a) x + 2 < 5
b) x2 − 4x − 21 > 0
c)
>0
x−1
Die bisherigen Möglichkeiten lassen lediglich die Lösung äußerst
simpler Ungleichungen zu. Damit wir wie bei Gleichungen auch für
Ungleichungen die Lösung einer Ungleichung auf die Lösung einer
möglichst einfacheren Ungleichung zurückführen können, nutzen wir
die in Kapitel 9 definierte Äquivalenz von Aussageformen.
Erläuterung
Wie bereits bei den Gleichungen sollen auch hier zunächst gutartige
Beispiele betrachtet werden.
(30) Die Lösungsmenge einer Ungleichung ändert sich nicht, wenn
auf beiden Seiten der Ungleichung dieselbe Zahl addiert wird:
Beispiele
x+3 > 4 ⇔ x > 1
Die Lösungsmenge lautet damit: L = { x | x > 1}.
(31) Die Lösungsmenge einer Ungleichung ändert sich nicht, wenn
auf beiden Seiten der Ungleichung mit derselben positiven Zahl a
multipliziert wird:
3·x 6 9 ⇔ x 6 3
Die Lösungsmenge lautet damit: L = { x | x 6 3}.
(32) Bei Gleichungen konnten wir noch eine Gleichung mit einer negativen Zahl multiplizieren, ohne dass sich die Lösungsmenge ändert.
Bei Ungleichungen gilt dies bereits nicht mehr. Es gilt:
2<3
Multiplizieren wir beide Seiten der Ungleichung mit der negativen
Zahl a = −1, so dreht sich offensichtlich das Ungleichheitszeichen um.
−2 > −3
Es gilt allgemein, dass die Multiplikation beider Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl ein Ungleichungszeichen umdreht.
41. Ermitteln Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen.
Beachten Sie, dass sich Ungleichheitszeichen umdrehen, wenn man
beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert.
x+1
>3
x−2
Auch der Begriff der Folgerung lässt sich für die Behandlung von
Ungleichungen nutzen.
a) 3x − 2 6 7
b) (5x − 2) · ( x + 1) < x + 1
c)
MPAC: C. Polaczek
Aufgabe
48
Kapitel 10 Anwendung: Ungleichungen und Betrag
Beispiel
(33) Dass die Verhältnisse bei Ungleichungen um ein Vielfaches komplizierter als bei Gleichungen sind, schauen wir uns in mehreren
konkreten Fällen am Beispiel des Quadrierens an.
2<3
und
4<9
Das Ungleichheitszeichen bleibt erhalten.
−3 < −2 und 9 > 4 Das Ungleichheitszeichen dreht sich um.
f (y)=−y
a<b
a
b
−2 < 3
und
4<9
Das Ungleichheitszeichen bleibt erhalten.
−3 < 2
und
9>4
Das Ungleichheitszeichen dreht sich um.
Wollte man ein Regelwerk aufstellen, bei welchen Operationen das
Ungleichheitszeichen erhalten bleibt, und bei welchen dieses sich umdreht, so könnte man mehrere Kapitel mit Sonderfällen füllen. Die
meisten Umformungen von Gleichungen oder Ungleichungen lassen
sich auch so interpretieren, dass man eine Funktion f (y) auf beiden
Seiten der Ungleichung anwendet. Bei der Multiplikation mit der Zahl
a = −1 nutzen wir zum Beispiel die Funktion f (y) = −y und erhalten:
−a
a < b ⇒ f ( a) > f (b) [− a > −b]
− a>−b
−b
Diese Tatsache ist Ihnen bereits als Eigenschaft der strengen Monotonie
bekannt. Die Funktion f (y) = −y ist eine streng monoton fallende
Funktion.
Für Funktionen, die uns vertraut sind und deren Monotonieverhalten
bekannt ist, ist es eine gute Hilfe, wenn man beachtet:
Ungleichungen
und Monotonie
Wenden wir auf beiden Seiten einer Ungleichung eine streng monoton wachsende Funktion an, so bleibt das Ungleichungszeichen
erhalten.
Wenden wir auf beiden Seiten einer Ungleichung eine streng monoton fallende Funktion an, so dreht sich das Ungleichungszeichen um.
Beispiele
(34) Damit erklärt sich auch das “Chaos” beim Quadrieren einer
Ungleichung. Die quadratische Funktion f (y) = y2 ist im positiven
Bereich monoton wachsend und im negativen Bereich monoton fallend.
Beim Quadrieren einer negativen und einer positiven Zahl können
wir zunächst nichts über das Verhältnis der Quadrate zueinander
aussagen.
y
5
4
3
2
1
−3 −2 −1
−1
x
1
2
3
(35) Schauen wir uns an, wie wir mit den bereitgestellten Mitteln eine
Ungleichung lösen können. Gesucht sind alle natürlichen Zahlen, für
die gilt:
4n + 2
3
<
4n + 1
2
MPAC: C. Polaczek
Kapitel 10 Anwendung: Ungleichungen und Betrag
49
Zunächst formen wir die linke Seite der Ungleichung geeignet um:
(4n + 1) + 1
4n + 1
1
1
4n + 2
=
=
+
= 1+
4n + 1
4n + 1
4n + 1 4n + 1
4n + 1
Damit ist die gegebene Ungleichung äquivalent zu
1+
3
1
<
4n + 1
2
Nun addieren wir auf beiden Seiten der Gleichung die Zahl a = −1.
Dies ist eine Äquivalenzumformung für Ungleichungen.
1
1
<
4n + 1
2
Bilden wir auf beiden Seiten den Kehrwert, so wenden wir die Funktion f (y) = 1y auf beiden Seiten der Ungleichung an. Diese Funktion
ist für positive Zahlen monoton fallend und das Ungleichungszeichen
dreht sich um. Wir erhalten die wiederum äquivalente Ungleichung
3
2
Anschließende Addition der Zahl a = −1 und danach Multiplikation
beider Seiten der Ungleichung mit b = 41 führt zu:
f (y)= 1y
1
−3 −2 −1
−1
4n + 1 > 2
4n > 1 ⇔ n >
y
x
1
2
3
−2
−3
1
4
Die letzte Ungleichung wird von allen natürlichen Zahlen erfüllt und
wir erhalten als Lösungsmenge der gegebenen Ungleichung: L = N.
42. Ermitteln Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen:
a) 3x − 7 6 8x + 5
b) ( x − 3)2 6 x2 − 32
c) − x + 2 6 −3 · x + 2
d) sin( x ) 6 18
e) 2x > 2
f) ( x − 3) · ( x + 6) 6 0
g) (3 − x ) · ( x + 6) 6 0
h)
i) ( x − a) · ( x − b) 6 0
k) 5x 6 14 − x2
3−x
>0
x+6
MPAC: C. Polaczek
Aufgabe
50
Exkurs
Kapitel 10 Anwendung: Ungleichungen und Betrag
Anwendung in der Optimierung
Wir betrachten ein möglichst einfaches Probem, bei dem der Gewinn einer Firma optimiert werden soll. Eine Firma kann zwei
verschiedene Produkte mit zwei verschiedenen Maschinen herstellen. Die erste Maschine kann 200 Stunden im Monat betrieben
werden. Sie benötigt eine Stunde für eine Mengeneinheit des ersten Produktes. Die zweite Maschine kann 300 Stunden im Monat
betrieben werden. Sie benötigt zwei Stunden für eine Mengeneinheit des zweiten Produktes. Der Gewinn der Firma beträgt pro
Mengeneinheit des ersten Produktes 120 €, beim zweiten Produkt
beträgt der Gewinn 150 € je Mengeneinheit. Beide Produkte müssen für den Versand fertig gemacht werden. Für eine Mengeneinheit des ersten Produktes wird für diesen Arbeitsprozess 1 Stunde
benötigt, beim zweiten Produkt dauert es 2 Stunden, bis eine Mengeneinheit versandfertig ist. Die Gesamtkapazität beträgt hier 400
Stunden im Monat. Es stellt sich die Frage, welche Mengen der
beiden Produkte den optimalen Gewinn für die Firma einbringen.
Schauen wir uns die Situation in einer Tabelle an:
Zeit
Kapazität
P1 : Produkt 1
P1 · 1 h
200 h
P2 : Produkt 2
P2 · 2 h
300 h
Versand
(P2 · 1 h +P2 · 2 h)
400 h
Sind P1 und P2 die Anzahl der Mengeneinheiten, mit denen die
Produkte produziert werden, so kann der Gewinn in € der Firma
als Funktion dieser beiden Größen angegeben werden durch:
G = 120 · P1 + 150 · P2 .
Es liegt nahe, die mögliche Produktion als Tupel (P1 |P2 ) und damit als Teilmenge des R2 darzustellen. Die drei Zeilen der Tabelle
geben uns über Ungleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen, den realisierbaren Bereich an. Diese Ungleichungen lauten:
P1 , P2 > 0
P1 6 200
P2 6 150
P1 + 2 · P2 6 400
Es ist sofort klar, dass der maximale Gewinn am Rand des zulässigen Gebietes liegt. Denn für jeden inneren Punkt gilt, dass wir
die Produktionsmenge der Produkte und damit automatisch den
Gewinn erhöhen können.
MPAC: C. Polaczek
Kapitel 10 Anwendung: Ungleichungen und Betrag
51
Die folgende Überlegung zeigt weiter, dass das Maximum in einem Eckpunkt angenommen werden muss. Wir betrachten diejenigen Punktmengen, die den gleichen Gewinn erbringen (Isolinien).
Im nebenstehenden Bild ist die Linie der Produktionen (P1 |P2 )
eingezeichnet, die 25 000 € Gewinn einbringen. Diese Linien verlaufen alle parallel. Eine von Ihnen berührt den Rand in einem
Punkt und liefert das gesuchte Maximum des Gewinns. In unserem Beispiel liegt der maximale Gewinn bei einer Produktion von
(P1 |P2 ) = (200, 100) und beträgt im Monat:
Gmax = 39.000 €.
Bemerkung: Wenn in einem anderen Fall einmal die Isolinie für
den Gewinn parallel zu einer Randlinie des zulässigen Bereiches
verläuft, so wird der maximale Gewinn auf der gesamten Randstrecke angenommen.
Ein Kraftfutter wird in zwei Sorten angeboten. Die Nährstoffe A, B
und C liegen gemäß der folgenden Tabelle in einer Mengeneinheit der
beiden Marken vor: (GE ist eine geeignete Gewichtseinheit.)
1. Marke
2. Marke
Mindestmenge
Nährstoff A
5 GE
2 GE
16 GE
Nährstoff B
1 GE
1 GE
5 GE
Nährstoff C
2 GE
1 GE
6 GE
Probleme und
Anwendungen
Die 1. Marke kostet 5 € pro Mengeneinheit und die 2. Marke kostet
3 € pro Mengeneinheit. Die dritte Spalte der oben stehenden Tabelle
gibt die empfohlene Mindestmenge der Nährstoffe an, die pro Tag
verfüttert werden sollte.
Wie viele Mengeneinheiten der beiden Marken sollten täglich verfüttert
werden, damit die empfohlene Mindestmenge eingehalten wird und
die Kosten minimal werden?
2. Der Betrag
Eine der wichtigen Anwendungen von Ungleichungen liegt in der
Behandlung von Fehlern. In der Praxis treten Fehler oftmals bereits
bei der Erhebung von Messwerten auf. Dabei ist in der Regel nicht
bekannt, ob die wahre Größe größer oder kleiner als die gemessene
Größe ist. Damit kennen wir nur die Größenordnung, den Betrag des
MPAC: C. Polaczek
Einführung
52
Kapitel 10 Anwendung: Ungleichungen und Betrag
Messfehlers, nicht aber sein Vorzeichen. Im folgenden Kapitel schauen
wir uns an, wie man mit Beträgen weiterrechnen kann.
Einstieg
Ein Fieberthermometer misst die Temperatur auf 0,05° genau. Wenn
das Thermometer 37, 25◦ anzeigt, so gilt für die unbekannte richtige
Temperatur x ◦ die Ungleichungskette
37, 2◦ 6 x ◦ 6 37, 3◦
Diese Ungleichungskette hat den Nachteil, dass wir den maximalen
Abstand zwischen der wahren Temperatur x ◦ und der gemessenen
Temperatur nicht optisch sehen. Es hat sich für die Angabe des Messwertes mit Fehler von daher die folgende Schreibweise eingebürgert:
x ◦ = 37, 25◦ ± 0, 05◦
Hier können wir nun den gemessenen Wert und den Fehler ablesen,
aber wir können zunächst nicht weiter damit rechnen. Denn es liegt
nicht wirklich eine Gleichung vor, obwohl das Symbol des Gleichheitszeichens verwendet wird. Außerdem ist ± auch keine Rechenoperation,
für die wir im weiteren Rechenregeln verwenden könnten.
Um zu einer Schreibweise zu gelangen, die für weitere Rechnungen
tragfähig ist und gleichzeitig optisch die Information des Messwerts
und des maximalen Fehlers beinhaltet, betrachten wir nochmals die
Ungleichungskette:
37, 2◦ 6 x ◦ 6 37, 3◦
Wir subtrahieren in allen Positionen den Messwert:
−0, 05◦ 6 x ◦ − 37, 25◦ 6 0, 05◦
Nun steht immerhin in den äußeren Positionen bis auf das Vorzeichen
dieselbe Zahl. In der Mathematik kennen wir bereits den Betrag einer
Zahl. Dieser Betrag löscht das Vorzeichen einer Zahl aus.
Betrag
Beispiele
Der Betrag einer reellen Zahl x wird definiert durch:
(
x
für x > 0
|x| =
− x für x < 0
(36) | − 0, 05| = 0, 05
|0, 05| = 0, 05
| − 2| = 2
(37) Damit können wir die Ungleichungskette
−0, 05◦ 6 x ◦ − 37, 25◦ 6 0, 05◦
schreiben als:
MPAC: C. Polaczek
| x ◦ − 37, 25◦ | 6 0, 05◦
Kapitel 10 Anwendung: Ungleichungen und Betrag
53
Diese Schreibweise gewährleistet, dass die wichtigen Informationen
der gemessene Wert sowie die maximale Abweichung vom gemessenen Wert optisch sichtbar sind. Gleichzeitig haben wir auch eine
korrekte Ungleichung, die für weitere Rechnungen tragfähig ist.
43. Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Betragsgleichungen:
a) | x | = 2
b) | x | = 4
c) | x | = 0
d) | x + 2| = 7
e) |7 − x | = 4
f) |5 + x | = 2
g) |2 − x | = 0
h) |2x − 3| = 0
i) |5 − 2x | = 10
44. Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Betragsungleichungen:
a) |3x | 6 3
b) | − 4x | 6 8
c) | x + 2| 6 5
d) |2x − 6| 6 4
e) |2( x − 3)| > 6
f) | − 3x + 5| 6 2
g) | − 3( x + 5)| > 2
h) |2x − 3 + ( x + 1)| 6 7
i) |5( x − 1) − 3( x − 2)| > 1
45. Welche Beziehungen bestehen zwischen | x |, |y| und
a) | x · y|
b) | x + y|
46. Geben Sie für die folgenden Intervalle eine Bedingung der Form
| x − x0 | < ε an.
Beispiel: x ∈ (1, 2) ⇔ | x − 1, 5| < 0, 5
I1 = (−3, 3)
I2 = (−5, 2)
I3 = (100, 104)
I4 = (−7, −5)
I5 = ( a, b)
MPAC: C. Polaczek
Aufgaben
54
Wissensspeicher
Kapitel 10 Anwendung: Ungleichungen und Betrag
Die Begriffe: Grundmenge, Definitionsmenge und Lösungsmenge für
Aussageformen wurden bereits in Kapitel 9 formuliert. Auch die Äquivalenz und Folgerung gilt für Ungleichnungen, die Aussageformen
sind, wie in Kapitel 9 beschrieben.
Häufig verwendete Umformungen von Gleichungen oder Ungleichungen lassen sich durch die Anwendung derselben Funktion auf beiden
Seiten der Gleichung oder Ungleichung erklären. Nur bei streng monotonen Funktionen können wir dann weitere Aussagen über das
Verhältnis der Ungleichungen vornehmen.
Ungleichungen und
Monotonie
Wenden wir auf beiden Seiten einer Ungleichung eine streng monoton wachsende Funktion an, so bleibt das Ungleichungszeichen
erhalten.
Wenden wir auf beiden Seiten einer Ungleichung eine streng monoton fallende Funktion an, so dreht sich das Ungleichungszeichen um.
Ist über das Vorzeichen einer Zahl nichts bekannt, so muss man mit
dem Betrag dieser Zahl rechnen.
Betrag
Der Betrag einer reellen Zahl x wird definiert durch:
(
x
für x > 0
|x| =
− x für x < 0
MPAC: C. Polaczek
Kapitel 10 Anwendung: Ungleichungen und Betrag
55
Kurzkontrolle
1. Geben Sie die Lösungsmenge der Ungleichung
3x2 − 4 6 2x2 + 5
jeweils in den Grundmengen Z, Q und R an.
2. Welche reellen Zahlen erfüllen:
1
3
<
?
x−1
x−2
3. Skizzieren Sie den Graphen der folgenden Funktion
f ( x ) = x − | x |.
MPAC: C. Polaczek
57
Lösungen
Lösungen der Aufgaben zu Mengen
Im Lösungsteil werden nur exemplarisch für ausgewählte Aufgaben
ausführliche Lösungen vorgestellt.
Dies geschieht einerseits, wenn die Vorgehensweise für einen Aufgabentyp exemplarisch vorgestellt werden soll, andererseits wenn die
Lösung besondere Ideen erfordert. Im Allgemeinen werden lediglich
die Ergebnisse zum Vergleich angegeben. Die Ermittlung der Lösungen und die Einpflege in ein Textverarbeitungssystem wurden mit
großer Sorgfalt vorgenommen. Dennoch können sich Fehler eingeschlichen haben. Die Autoren sind für diesbezügliche Hinweise dankbar.
Die Gleichung 1x = 5 wird nur für x = 15 gelöst. Die zweite Gleichung
x = −3 gibt die Lösung direkt an.
M2 = { 32 | − 23 }
M3 = ∅
M4 = {−11; 11}
M1 = { 51 ; −3}
M5 = {−1; 1}
Hier wird nur exemplarisch eine Möglichkeit angegeben, die Mengen
darzustellen:
a)
{m | m = 6 · n; n ∈ N}
b)
{m | m = 10 · n; n ∈ N}
c)
{m | m = 2 · n; n ∈ Z} Bemerkung: Diese Menge wird auch als
2 · Z geschrieben.
d)
{m | m = 2 · n + 1; n ∈ Z}
e)
(−2; 5)
Die Punkte erfüllen, dass beide Koordinaten nichtnegativ sind. Die
Hypothenuse des Dreiecks liegt auf der Geraden, die die Geradengleichung y = 1 − x erfüllt. Zu jedem Punkt des Dreiecks mit einer
x-Koordinate aus dem Intervall [0; 1] liegt die y-Koordinate daher
Lösung: Aufgabe 1
Lösung: Aufgabe 2
Lösung: Aufgabe 3
58
Kapitel 10 Anwendung: Ungleichungen und Betrag
zwischen 0 und 1 − x. Die Menge kann daher beschrieben werden
durch:
D = {( x |y) | x ∈ [0; 1] ∧ 0 6 y 6 1 − x }
Lösung: Aufgabe 4
Lösung: Aufgabe 5
erster Würfel: W1 = {2, 6}
zweiter Würfel: W2 = {3, 7}
dritter Würfel: W3 = {4}
vierter Würfel: W4 = {5, 1}
Zur Lösung der Aufgabe ist es hilfreich, die Mengen M3 und M4
zunächst in aufzählender Schreibweise darzustellen:
M3 = {1; 2; 3}
M4 = {1; 2; 3; 4}
Es gelten folgende Relationen:
M1 = M2
M1 ⊆ M2
M2 ⊆ M1
M1 ⊆ M4 sowie M1 ⊂ M4
M2 ⊆ M4 sowie M2 ⊂ M4
M3 ⊆ M4 sowie M3 ⊂ M4
Lösung: Aufgabe 6
∅;
Lösung: Aufgabe 7
S = {S, I }; {S, A}; {S, M }; { I, A}; { I, M }; { A, M}
|S| = 6
Lösung: Aufgabe 8
{1};
{2};
{3};
{1, 2};
{1, 3};
{2, 3};
{1, 2, 3}
Folgende Überlegung führt zu einer einfachen Lösung der Aufgabe:
Wir nummerieren die Elemente der Menge von 1 bis n. Nun können
wir einer Teilmenge T von M eindeutig eine Folge von n Ziffern zuordnen, wobei wir uns auf die Ziffern 0 und 1 beschränken. Eine solche
Folge lautet für n = 4 zum Beispiel: 0 1 0 1. Ist das i-te Element von M
in T, so schreiben wir an die i-te Stelle der Ziffernfolge eine 1, sonst
schreiben wir an diese Stelle eine Null.
So ordnen wir der Teilmenge { I, M} der Menge {S, I, A, M } die Ziffernfolge 0 1 0 1 zu.
Nun brauchen wir nur noch zu überlegen, wie viele verschiedene
Folgen aus Nullen und Einsen der Länge n existieren. Dies sind offensichtlich doppelt so viele, wie Folgen aus Nullen und Einsen der Länge
(n − 1). Denn jeder Folge der Länge (n − 1) kann man eine 0 oder eine
1 anhängen. Daher existieren 2n verschiedene Folgen aus Nullen und
Einsen der Länge n. Da jede dieser Folgen für genau eine Teilmenge
einer Menge mit n Elementen steht, existieren auch 2n Teilmengen.
Zusammengefasst:
M sei eine Menge mit n Elementen, | M| = n, dann gilt für die Mächtigkeit der Potenzmenge von M : |P ( M)| = 2n .
MPAC: C. Polaczek
Kapitel 10 Anwendung: Ungleichungen und Betrag
59
M sei eine Menge mit n Elementen. Es gelte x ∈ M und M1 = M\{ x }.
Damit gilt: | M1 | = n − 1.
Lösung: Aufgabe 9
Alle Teilmengen der Menge M1 sind auch Teilmengen der Menge M.
1
Es gibt (n−
k ) solcher Teilmengen. Keine dieser Teilmengen enthält
das Element x. Es fehlen also noch genau diejenigen Teilmengen von
M, die x enthalten. Die restlichen Elemente dieser Teilmenge bilden
1
eine Teilmenge von M1 mit (k − 1) Elementen. Davon gibt es (nn−
−1 )
verschiedene.
Zusammengefasst lässt sich die Anzahl der Teilmengen von M mit k
Elementen daher darstellen als:
n
n−1
n−1
=
+
k
k
k−1
Im Pascalschen Dreieck finden wir die Zahlen (nk) in der n-ten Zeile
als k-tes Element von links gezählt, wobei wir die Zählung der Zeilen
und Elemente mit 0 beginnen.
An den Rändern des Dreiecks befinden sich Einsen.
(n0 ) ist die Anzahl der Teilmengen mit Null Elementen.
Da nur die leere Menge Null Elemente enthält, gilt: (n0 ) = 1.
(nn) ist die Anzahl der Teilmengen mit n Elementen.
Dies kann nur die Menge selber sein und es gilt: (nn) = 1.
Die inneren Elemente ergeben sich zeilenweise, indem jeweils die
beiden diagonal darüber stehenden Elemente der vorangegangenen
Zeile addiert werden.
Lösung: Kapitel 7
(Grundbegriffe aus
der Mengenlehre)
Lösungen Kurzkontrolle
1. a) 3 ∈ R
b) [4; 14] ⊂ R
c) π ∈
/N
d) { x | −2 6 x 6 2} = [−2, 2]
2. a) M2 ⊂ M1
3. a) [−1, 1]
4. a) | M| = 220
b) M1 ⊂ M2
b) {−1, 1}
c) M2 ⊂ M1
c) (−1, 1]
b) 64 = 26 damit |U | = 6
5. a) Die Aussage ist falsch, denn die leere Menge ist eine
Menge und besitzt kein Element.
b) Die Aussage ist wahr. (2n > 2 gilt für alle n > 0)
c) Die Aussage ist falsch, denn auch T = M ist Teilmenge
von M.
MPAC: C. Polaczek
60
Kapitel 10 Anwendung: Ungleichungen und Betrag
Lösung: Aufgabe 10
a)
F = F1 + F2 + F3
= a · b + d( a − e) + a · b
= 10 cm2
F = F1 + F2 + F3
b)
= a · b + 12 b · d + c · d
= 15 cm2
F = F1 + F2 + F3 + F4
c)
= a2 + 12 a · b + b2 + c2
= 56 cm2
Lösung: Aufgabe 11
a) M1 ∩ M2 = { I, R, A, E}
A = ( M1 ∩ M2 ) ∪ M3 = { G, E, N, I, A, L, R}
M2 ∪ M3 = { M, A, G, I, E, R, N, L}
B = M1 ∩ ( M2 ∪ M3 ) = { I, R, A, E, N }
Da G ∈ A aber G ∈
/ B gilt: A 6= B
b) M2 ∩ M3 = { A, G, I, E}
M4 = M1 ∪ ( M2 ∩ M3 ) = { P, I, R, A, T, E, N, G }
M1 \ M2 = { P, T, N }
M5 = ( M1 \ M2 ) \ M3 = { P, T }
M2 \ M3 = { M, R}
M6 = M1 \ ( M2 \ M3 ) = { P, I, A, T, E, N }
c) Die Menge M7 lässt sich nicht produzieren. In den Mengen M1 ,
M2 und M3 sind jeweils die beiden Buchstaben I und E enthalten.
Jede zusammengesetzte Menge enthält entweder sowohl I als auch E
oder keinen der beiden Buchstaben. Die Menge M7 enthält aber genau
einen der beiden Buchstaben.
Lösung: Aufgabe 12
A ∪ B:
A ∩ B:
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Kapitel 10 Anwendung: Ungleichungen und Betrag
61
A \ B:
a) A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B
b) A ∩ B = B ⇒ A ∪ B = A
a) A ∪ B = B ⇒ A ⊆ B
b) A ∪ B = ∅ ⇒ A = B = ∅
A sei die Menge der Schüler, die keinen Physik-Leistungskurs gewählt
haben.
Lösung: Aufgabe 13
Lösung: Aufgabe 14
Lösung: Aufgabe 15
B sei die Menge der Schüler, die keinen Chemie-Leistungskurs gewählt
haben.
A ∩ B ist die Menge der Schüler, die beides nicht
gewählt haben.
Die Gesamtmenge der Schüler (100%) ist nicht größer als diejenigen,
die weder einen Physik- noch einen Chemie-Leistungskurs belegt
haben. Diese Menge berechnet sich zu
S = A ∪ ( B \ { A ∩ B})
mit 64% + (53% − 14%) = 103%.
Die Statistik des Oberstufenkoordinators muss also einen Fehler enthalten.
Die Zylinder schneiden sich in einem “Kreuzgewölbe”; siehe Bild.
Lösung: Aufgabe 16
Lösung: Aufgabe 17
M × N = {( A | Y ); ( A | Z ); ( B | Y ); ( B | Z )}
N × M = {(Y | A); ( Z | A); (Y | B); ( Z | B)}
Die beiden Mengen sind verschieden.
Lösung: Aufgabe 18
| A × B| = | A| · | B|
| A × B| = p. Es muss entweder | A| = 1 und | B| = p gelten oder
| A| = p und | B| = 1.
Es lassen sich Rechtecke bilden, deren Kanten parallel zur x- bzw. zur
y-Achse verlaufen.
Lösung: Aufgabe 19
Lösung: Aufgabe 20
Lösung: Aufgabe 21
Es ergibt sich ein Prisma.
Das Volumen des Körpers beträgt V = 1.
MPAC: C. Polaczek
62
Lösung: Aufgabe 22
Lösung: Aufgabe 23
Lösung: Aufgabe 24
Kapitel 10 Anwendung: Ungleichungen und Betrag
Es sei M1 = [0; 1] und M2 = M1 × M1 .
Dann kann der Würfel dargestellt werden durch M = M1 × M2 .
E = A×A∪B×B
Assoziativgesetz für die Vereinigungsmenge:
x ∈ ( A ∪ B) ∪ C ⇔
x ∈ ( A ∪ B) ∨ x ∈ C ⇔
[ x ∈ A ∨ x ∈ B] ∨ x ∈ C ⇔
Aufgrund des Assoziativitätsgesetzes der Disjunktion:
x ∈ A ∨ [x ∈ B ∨ x ∈ C] ⇔
x ∈ A ∨ x ∈ B∪C ⇔
x ∈ A ∪ (B ∪ C)
Daher gilt: x ∈ ( A ∪ B) ∪ C ⇔ x ∈ A ∪ ( B ∪ C )
und damit: ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )
Assoziativitätsgesetz für die Schnittmenge:
x ∈ ( A ∩ B) ∩ C ⇔
x ∈ ( A ∩ B) ∧ x ∈ C ⇔
[ x ∈ A ∧ x ∈ B] ∧ x ∈ C ⇔
Aufgrund des Assoziativitätsgesetzes für die Konjunktion:
x ∈ A ∧ [x ∈ B ∧ x ∈ C] ⇔
x ∈ A ∧ x ∈ (B ∩ C) ⇔
x ∈ A ∩ (B ∩ C)
Daher gilt: x ∈ ( A ∩ B) ∩ C ⇔ x ∈ A ∩ ( B ∩ C )
und damit: ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
Kommutativitätsgesetz für die Schnittmenge:
x ∈ A∩B ⇔
x∈A∧ x∈B ⇔
mit dem Kommutativgesetz für die Konjunktion
x∈B ∧ x∈A ⇔
x ∈ B∩A
Damit gilt: x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ B ∩ A
und damit: A ∩ B = B ∩ A
Distributivgesetze:
x ∈ ( A ∩ B) ∪ C ⇔
x ∈ ( A ∩ B) ∨ x ∈ C ⇔
[ x ∈ A ∧ x ∈ B] ∨ x ∈ C ⇔
mit dem Distributivgesetz der Aussagenlogik
[x ∈ A ∨ x ∈ C] ∧ [x ∈ B ∨ x ∈ C] ⇔
(x ∈ A ∪ C) ∧ (x ∈ B ∪ C) ⇔
(x ∈ A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
Damit gilt: x ∈ ( A ∩ B) ∪ C ⇔ x ∈ ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C )
und damit: ( A ∩ B) ∪ C = ( A ∪ B) ∩ ( B ∪ C )
Der Nachweis für das zweite Distributivgesetz erfolgt analog. Es müssen lediglich Vereinigung und Schnitt für die Mengen sowie Disjunkti-
MPAC: C. Polaczek
Kapitel 10 Anwendung: Ungleichungen und Betrag
63
on und Konjunktion für die Aussagen vertauscht werden.
Die Idempotenzgesetze für Schnitt- und Vereinigungsmengen folgen
unmittelbar aus den Idempotenzgesetzen der Konjunktion und der
Disjunktion.
Lösung: Aufgabe 25
a) Gilt nicht allgemein. Gegenbeispiel:
A = {1, 2, 3} B = {2, 3, 4} C = {1, 3, 4}
( A \ B ) ∩ C = {1} 6 = ( A ∩ B ) \ ( B ∩ C )0{2}
b) Gilt allgemein.
c) Gilt allgemein.
a) C = A ∩ B
b) C = A ∪ B
c) C = A \ B
d) C ⊆ B
Lösung: Aufgabe 26
Lösung: Aufgabe 27
x ∈ A∩B ⇔
x∈
/ A∩B ⇔
¬( x ∈ A ∩ B) ⇔
¬( x ∈ A ∧ x ∈ B) ⇔
¬( x ∈ A) ∨ ¬( x ∈ B) ⇔
x∈
/A∨ x∈
/B ⇔
x∈A∨ x∈B ⇔
x ∈ A∪B
insgesamt gilt: x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∪ B
und daher: A ∩ B = A ∪ B
Die zweite Regel von De Morgan wird völlig analog nachgewiesen. Es
müssen lediglich Schnitt und Vereinigung für Mengen sowie Disjunktion und Konjunktion für Aussagen vertauscht werden.
a) A ∪ B = A ∩ B
Lösung: Aufgabe 28
b) A ∩ B = A ∪ B
Da das Element 9 nur in S6 enthalten ist, muss die Menge S6 ausgewählt werden. Dann sind auch die Elemente 2, 5 und 8 erfasst.
Desweiteren muss die Menge S3 genommen werden, da nur diese
Menge das Element 6 enthält. Damit wird zusätzlich 3 erfasst. Die
noch fehlenden Elemente 1, 4 und 7 liegen alle in der Menge S5 .
Die gesuchte Vereinigungsmenge kann also minimal gebildet werden
durch:
T = S3 ∪ S5 ∪ S6 .
MPAC: C. Polaczek
Lösung: Aufgabe 29