Funktionentheorie

Prof. Dr. A. Lytchak
SS 2016
Blatt 0
15.4.2016
Funktionentheorie
Anwesenheitsblatt - keine Abgabe aber (Klausur)relevant
Die Aufgaben werden in der ersten Übungsstunde besprochen.
1. Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen
4 2 + 3i 5 − 7i √
,
,
, −i
i 5 + 7i
eiφ
in der Form
a) x + iy mit x, y ∈ R,
b) reiφ mit r ≥ 0, φ ∈ [0, 2π).
Für eine komplexe Zahl z 6= 0 nennt man jeden Winkel φ mit z = reiφ ein
Argument von z und schreibt φ = arg(z). Beachten Sie, dass φ nur bis auf
Addition von ganzzahligen Vielfachen von 2π definiert ist. Man kann daher arg(z)
nicht als Funktion von z ansehen.
2. Ein stetiger Weg γ : [0, 1] → C heißt stückweise achsenparallel, falls es 0 = t0 <
t1 < · · · < tn−1 < tn = 1 gibt, sodass jeder Teilweg γ|[ti ,ti+1 ] , i = 0, . . . , n −
1, parallel zu der reellen oder der imaginären Achse verläuft. Eine Teilmenge
U ⊂ C heißt stückweise-achsenparallel-zusammenhängend, falls sich jedes Paar
von Punkten in U durch einen stückweise achsenparallelen Weg verbinden lässt.
Zeigen Sie, dass eine offene, zusammenhängende Teilmenge U ⊂ C stückweiseachsenparallel-zusammenhängend ist.
3. Die Abbildung f : C → C sei R-linear und bijektiv. Zeigen Sie, dass die folgenden
Aussagen äquivalent sind.
a) f ist C-linear.
b) det(f ) > 0 und f erhält Winkel zwischen Geraden.
c) det(f ) > 0 und f bildet orthogonale Geraden auf orthogonale Geraden ab.