Zahlen - JNG-Rohr

GRUNDWISSEN MATHEMATIK
Zahlen
Grundwissenskatalog
G8-Lehrplanstandard
Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums
Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing
JOHANNES-NEPOMUK-GYMNASIUM ROHR
5G8
Grundwissen Mathematik
Die natürlichen Zahlen
IN Menge der natürlichen Zahlen {1, 2, 3,...}
IN 0 Menge der natürlichen Zahlen mit Null {0, 1, 2, ...}
Darstellungsmöglichkeiten:
 Zahlenstrahl: der Abstand zweier benachbarter natürlicher
Zahlen ist gleich groß ( Einheit)
 Koordinatensystem: s. negative Zahlen
 Diagramme: Balken-, Säulen-, Kreisdiagramme
 Stellenwertsystem mit Hilfe von Ziffern:
2354 = 2∙1000+3∙100+5∙10+4∙1 (Dezimalsystem)
Zehnerpotenzen: 1.000.000 = 106
1.000=103
90.000=9∙104
Zahlenwörter für große Zahlen: Tausender → Millionen
→ Milliarden → Billionen → Billiarden → Trillionen.
10
Auto
5
Anzahl der
Schüler
0
123456
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Bus
Fahrrad
Fußgänger
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Grundwissen Mathematik
5G8
Zahlenmengen:
Menge der geraden Zahlen: {2,4,6,8,10,…}
Teilermenge T(18) = {1,2,3,6,9,18}
Vielfachenmenge V(7) = {7,14,21,28,35,…}
Menge der Primzahlen: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…}
( Zahlen mit genau zwei Teilern)
Menge der Quadratzahlen: {1,4,9,16,25,36,49,…}
6 T(18) „die Zahl 6 ist ein Element der Teilermenge von 18“
9V(7) „die Zahl 9 ist kein Element der Vielfachenmenge von 7“
Rechnen mit natürlichen Zahlen
Addition:
Subtraktion:
Multiplikation:
Division:
Wert der Summe = 1. Summand + 2. Summand
Wert der Differenz = Minuend – Subtrahend
Wert des Produktes = 1. Faktor ∙ 2. Faktor
Wert des Quotienten = Dividend : Divisor
Kommutativgesetze:
a+b = b+a
a∙b = b∙a
Assoziativgesetze: (a + b) + c = a + (b + c)
(a∙b)∙c = a∙(b∙c)
Distributivgesetze:
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(a ± b)∙c = a∙c ± b∙c
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Grundwissen Mathematik
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Weitere Rechenregeln:
Klammern zuerst (von innen nach außen bzw. runde vor eckigen)
Potenz vor Punkt vor Strich!
Potenzen: 3∙3∙3∙3 = 34 3 heißt Basis,
4 heißt Exponent.
Quadratzahlen sind Potenzen mit 2 als Exponent. z. B.: 3 2 = 9
Primfaktordarstellung:
Jede Zahl lässt sich eindeutig in ein Produkt von Primzahlen zerlegen („Faktorisieren“).
Bsp.:600 =23∙3∙52
Teilbarkeitsregeln:
Quersummen: Eine Zahl ist durch 3 (9) teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 (9) teilbar ist.
Endstellen:
Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie auf 0, 2, 4, 6, oder 8 endet.
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet.
Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet.
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Grundwissen Mathematik
Terme
Ein Term ist ein „Rechenausdruck“, der aus Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und gegebenenfalls aus Platzhaltern/Variablen
besteht.
Die zuletzt auszuführende Rechenart legt die Art des Terms fest.
Bsp.: 1) 54 + (62 – 38) ist eine Summe
2) Gliederungsbaum: 3² ∙4 – (2 + 5)
Differenz
Minuend
Produkt
1. Faktor 2. Faktor
Potenz
4
Subtrahend
Summe
1. Summand 2. Summand
2
5
Basis Exponent
3
2
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Grundwissen Mathematik
Ganze Zahlen
Erweiterung durch die negativen Zahlen zur Zahlengeraden. – a
heißt Gegenzahl von a; Zahl und Gegenzahl haben vom Nullpunkt
den gleichen Abstand. Die positiven und die negativen Zahlen
bilden mit der Zahl 0 die Menge ZZ der ganzen Zahlen
Koordinatensystem:
Es besteht aus einer x-Achse und einer y-Achse. Ein Punkt P(x|y)
ist durch seine Koordinaten festgelegt.
II. Quadrant
I. Quadrant
P(3|2)
X
III. Quadrant
X
R(-2|-3)
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IV. Quadrant
X Q(2|-3)
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Addition und Subtraktion ganzer Zahlen
(+5) – (+8) = 5 – 8 = – (8 – 5 ) = – 3
(–5) + (–8) = – 5 – 8 = – (5 + 8) = – 13
(–5) – (–8) = – 5 + 8 =
8–5 = 3
Multiplikation und Division ganzer Zahlen
(– 2) ∙ (– 4) = +8
(+ 3) ∙ (– 5) = – 15
(– 6) : (– 2) = 3 „Minus mal Minus ist Plus“
(– 8) : (+ 2) = – 4 „Plus mal Minus ist Minus“
Für alle x ≠ 0 gilt: 0 : x = 0
x : 0 ist nicht definiert (Durch 0 kann man nicht dividieren!!!)
Betrag einer Zahl:
Der Abstand einer Zahl a vom Nullpunkt der Zahlengeraden heißt
Betrag von a: |a|; |-7|= 7; |+2|= 2
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Bruchteile und Bruchzahlen
Grundbegriffe
Brüche haben die Form nz („Teile das Ganze in n gleiche Teile und
nimm z von diesen Teilen“)
z heißt der Zähler, n der Nenner des Bruches.
Unechte Brüche (z > n) kann man in gemischte Zahlen umwandeln
Bsp.: 74  1 34 .
Zu jeder Bruchzahl gehören unendlich viele verschiedene Brüche
Bsp.:
1
3

2
6

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3
9
z
. Der Bruchstrich ersetzt das Divisionszeichen z : n = n .
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Erweitern und Kürzen
Erweitern eines Bruches bedeutet: Zähler und Nenner werden mit
derselben natürlichen Zahl multipliziert.
z
9
 nzkk , k  IN Bsp.: 34  3433  12
n
Kürzen eines Bruches bedeutet: Zähler und Nenner werden durch
einen gemeinsamen Teiler k dividiert.
:7
z
 nz::kk , k  IN Bsp.: 14
 14
 23
n
21
21:7
Durch Kürzen und Erweitern wird der Wert des Bruches nicht
verändert. Alle Brüche, die zum selben Punkt auf der Zahlengeraden gehören, haben denselben Wert, dieser heißt Bruchzahl.
Die Bruchzahlen und ihre Gegenzahlen bilden (mit der Null) die
Menge der rationalen Zahlen 
Anordnung der Bruchzahlen
Von zwei Brüchen mit gleichem Zähler ist derjenige der größere,
4
 74
der
den
kleineren
Nenner
hat.
Bsp.:
9
Von zwei Brüchen mit gleichem Nenner ist derjenige der größere,
3
der
den
größeren
Zähler
hat.
Bsp.:
 75
7
Brüche mit verschiedenen Nennern bringt man vor dem Vergleichen durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner.
Addieren und Subtrahieren
Brüche mit gleichem Nenner werden addiert (subtrahiert), indem
man die Zähler addiert (subtrahiert) und den Nenner beibehält.
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Bsp.:
3
4
11 11
7
 11
,
7
3
13 13
4
 13
Brüche mit verschiedenen Nennern erweitert man zuerst auf einen
3
5
2
gemeinsamen Nenner. Bsp.: 14  16  12
 12
 12
Multiplizieren und Dividieren
Bruch  Bruch 
Bsp.:
3
8
 14
15 
Zähler  Zähler
Nenner Nenner
17
45

7
20
(Vorher kürzen!)
Gemischte Zahlen müssen vor dem Multiplizieren in Brüche verwandelt werden.
Bruch : Bruch = Bruch
a
b
: dc  ab  dc
Bsp.:
 Kehrbruch
3
14
37
: 76  14

6
11
22

1
4
Bruchteile
Das Wort “von“ wird nach einem Bruch durch „  “ ersetzt.
Bsp.: 52 von 83 kg  52  83 kg  5134 kg  203 kg
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Dezimalzahlen
Zahlen wie z.B. 1,356 heißen Dezimalbrüche. Dabei bedeutet die
1.(2.,3.,...) Stelle hinter dem Komma Zehntel (Hundertstel, Tausendstel,....).Die Ziffern hinter dem Komma heißen Dezimalen.
4
Bsp.: 0,04 = 100

1
25
;
234
1,234= 1 1000
 1 117
500
Runden von Dezimalbrüchen
Ist die erste wegzulassende Ziffer 0 ,1, 2, 3, 4, so wird abgerundet,
ist sie 5, 6, 7, 8, 9, so wird aufgerundet.
Bsp.: Runden auf:
3,4564
1 Dez.
3,5
2 Dez.
3,46
3 Dez.
3,456
Addition und Subtraktion
Addition (Subtraktion) der Stellen gleichen Wertes
Bsp.: 3,76 + 4,325 = 8,085
Multiplikation und Division mit Zehnerpotenzen
Verschieben des Kommas um so viele Stellen nach rechts (links),
wie die Stufenzahl Nullen hat.
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Bsp.: 2,04  1000 = 2040;
14,73 : 100 = 0,1473
Multiplikation von Dezimalbrüchen
Die Kommas bleiben beim Multiplizieren zunächst unberücksichtigt. Das Ergebnis erhält so viele Dezimalen, wie die Faktoren
zusammen haben.
Bsp.: 9,2  0,02  0,184 (rechne zunächst: 92 ∙ 2 = 184)
Division durch eine natürliche Zahl
Vor dem Herabholen der 1. Ziffer hinter dem Komma wird im
Ergebnis das Komma gesetzt.
Bsp.: 9,2 : 8 = 1,1
Division durch einen Dezimalbruch
Beim Dividenden und Divisor darf das Komma um gleich viele
Stellen in die gleiche Richtung verschoben werden.
Das Komma wird so weit verschoben, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist.
Bsp.: 2,56 : 1,6 = 25,6: 16 = 1,6
Umformen gewöhnlicher Brüche in Dezimalbrüche
z
= z:n ergibt einen endlichen oder unendlichen periodischen
n
Dezimalbruch. Die sich wiederholende Ziffernfolge heißt Periode.
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Prozentrechnung
Prozent  Hundertstel
 5 
Bsp.: 5% =  100
0,05
1
20
 25 
25% =  100
0,25
1
4
Prozentsatz, Grundwert, Prozentwert
Anteile werden häufig in Prozent angegeben. p% =
Es gilt: p% von GW =
p
100
 GW = PW,
p
100
also: p%  PW
GW
p% = Prozentsatz, GW = Grundwert, PW = Prozentwert
Dem Grundwert entsprechen immer 100%.
a) Eine Ware kostet 50,00 €
und wird um 16% verteuert.
100%  50,00 €
1% 50,00€ : 100 = 0,5 €
116%  0,5 € ∙ 116 = 58,00 €
Die Ware kostet jetzt 58 €.
b) Eine Ware kostet 58,00 €
und wird um 16% verbilligt.
100%  58,00 €
1% 58,00€ : 100 = 0,58 €
84%  0,58 € ∙ 84 = 48,72 €
Die Ware kostet jetzt 48,72 €.
c) Eine Ware wird von 50 € auf 58 € verteuert.
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50 €  100%
1 €  100% : 50 = 2%
8 €  2% ∙ 8 = 16%
Die Preiserhöhung beträgt
16%.
Oder mit Formel:
p% 
8€
PW

 0,16  16%
GW 50 €
Schlussrechnung (Dreisatz)
Bsp.: Benzinverbrauch Kosten
Bsp.: 7   7,84 €
1   7,84 € : 7 = 1,12 €
20  22,40 €
Bsp.: Anzahl der Arbeiter Arbeitszeit
Bsp.:
7 A.  40 h
1 A.  7∙40 h = 280 h
5 A.  280 h : 5 = 56 h
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Terme
Terme mit Variablen
Treten in einem Term (Rechenausdruck) verschiedene Variablen
auf, dann dürfen diese mit verschiedenen oder mit gleichen Zahlen belegt werden.
Tritt aber dieselbe Variable mehrmals in einem Term auf, so
muss sie jeweils mit derselben Zahl belegt werden.
Erst wenn man die Variablen in einem Term mit Zahlen belegt,
erhält man den Wert des Terms.
Beispiele:


T(x) = x2 - 3x
T(-4) = (-4)2 - 3∙(-4) = 16 + 12 = 28
T(a;b) = 2b – a² T(3;2) = 2∙2 – 3² = 4 – 9 = –5
Beachte:


3  x = 3x
x³ = x ∙ x ∙ x
Termumformungen
Umformungen sind nach den gültigen Rechengesetzen (Kommutativ- und Assoziativgesetze, Klammerregeln) möglich.
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Äquivalente Terme liefern beim Einsetzen gleicher Zahlen für die
Variable gleiche Termwerte.
Distributivgesetz:
a(b±c) = ab ± ac
Klammern auflösen:
Steht ein Plus vor der Klammer, kann man die Klammer ohne
weiteres weglassen. Steht ein Minus vor der Klammer, lässt man
die Klammer weg und kehrt gleichzeitig alle Rechenzeichen in der
Klammer um.
Beispiele:


y + [3x + (5x – 2y)] = y + [3x + 5x – 2y] = y + 3x + 5x – 2y
x - (y2 - 2x) + y2 = x - y2 + 2x + y2
Termglieder zusammenfassen:
Summen werden vereinfacht, indem man gleichartige Summanden zusammenfasst.
Beispiel: x - y2 + 2x + y2 = x + 2x - y2 + y2 = 3x
Bei einer Summe ungleichartiger Terme, etwa 3a + 4a 2, ist kein
Zusammenfassen möglich.
Bei einer Summe von Produkten werden zunächst die einzelnen
Produkte vereinfacht. Dann werden die Summanden, in denen die
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gleichen Variablen mit jeweils derselben Potenz vorkommen,
zusammengefasst.
Beispiele:


3x² + (5x)² + 3x = 3x² + 25x² + 3x = 28x² + 3x
3x ∙ 4x + 2 x 5x = 12x² + 10x² = 22x²
Multiplizieren von Summen:
Zwei Summen werden multipliziert, indem man jeden Summanden
der ersten Klammer mit allen Summanden der zweiten Klammer
multipliziert (unter Berücksichtigung der Vorzeichen) und die
Produkte addiert:
(a+b)·(c+d) = ac + ad + bc + bd
Beispiele:


(2x + 3y)(3 - 4x) = 6x - 8x2 + 9y - 12xy
(3x – 2y)(4x – 10)=12x² - 30x – 8xy + 20y
Faktorisieren:
Durch Ausklammern gemeinsamer Faktoren oder mit Hilfe der
binomischen Formeln kann man bestimmte Summen faktorisieren.
Beispiele:

-4a + 4b = -4(a – b)
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
ac + bc – ad – bd = c(a + b) – d (a + b) = (a + b) (c – d)
Lineare Gleichungen
Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn man
auf beiden Seiten dieselbe Zahl oder denselben Term addiert
(subtrahiert) oder auf beiden Seiten mit derselben von Null verschiedenen Zahl multipliziert (dividiert). Solche Umformungen
sind Äquivalenzumformungen.
Eine lineare Gleichung hat entweder genau eine Zahl
5 – 0,5x
5
2
1,6
L
L
=
=
=
=
=
3 + 0,75x
3 +1,25x
1,25x
x
{1,6}
= {}
| + 0,5x
| -3
| : 1,25
falls G =
falls G =
oder keine Zahl (unerfüllbare Gleichung)
5 – 0,5x = 3 – 0,5x
5
= 3
| + 0,5x
L = {}
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oder alle Zahlen der Grundmenge (allgemeingültige Gleichung)
als Lösung.
3 – 0,5x = 3 – 0,5x
3
= 3
| + 0,5x
L= G
Lineare Gleichungssysteme
(I) 5x  9 y  8
(II) 10 x  3 y  6
Graphische Lösung
Gleichungen explizit nach y auflösen (Geradengleichungen) Geraden einzeichnen; der Schnittpunkt ergibt die Lösung.
Additionsverfahren
Falls nötig, erst mit geeignetem Faktor multiplizieren, damit Koeffizienten (vom Betrag) gleich, z.B. (I) mit 2 multiplizieren:
 (I) 10 x  18 y  16
(II) 10 x  3 y  6
  23
(I)+(II) : 0  15 y  10  y   10
15
y   23 in (I) eingesetzt  x  52 , also: L={( 52 |  23 )}
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Einsetzungsverfahren
aus (I)
x  95 y  85
in (II)
ausrechnen:
18 y  16  3 y  6; y   23
in (I) (oder (II))
x
2
5
y
(also(I) nach x aufgelöst!)
10  ( 95
8
)  3y
5
6
also: L={( 52 |  23 )}
Anzahl der Lösungen

Genau eine Lösung (Die Geraden schneiden sich)

Keine Lösung (Die Geraden sind echt parallel)

Unendlich viele Lösungen (Die Geraden sind identisch)
Cramersche Regel
Liegt ein LGS in folgender Form vor, lassen sich die Lösungen
mit Hilfe der Determinanten berechnen:
(I) ax + by = c
(II) dx + ey = f
D=
;
D1 =
;
Lösungen des LGS: x =
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D2 =
y=
(D  0)
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Bruchterme
Kürzen durch Faktorisieren:
Add./Sub.:
Multiplikation:
Division (mit Kehrbruch multiplizieren):
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Definitionen für n  IN
a n  a  a  a  ....  a
a n 
n Faktoren

2 3 

a 1 
1  1  0,125
8
23
1 , d.h. "hoch -1"
a
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1
für a  0
an
a 0  1 (a  0)
erzeugt den Kehrbruch!
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Rechengesetze:
1. Potenzgesetz
y
xy
ax  a  a
2. Potenzgesetz
y
xy
ax : a  a
a : b  a : b
10 3 10 5  10 8
a  b  a  b
x
x
x
x
x
3. Potenzgesetz
a 
x y
x
2 3  53  (2  5) 3  10 3
1
 a xy
(a 3 ) 3  a
3 13
a
Beachte die jeweiligen Definitionsmengen!
Gleitkommadarstellung: 1 205 000 000 000 000 = 1,205∙10 15
0,012 = 1,2∙10-2
Die Menge der reellen Zahlen
Quadratwurzel
Die Quadratwurzel
chung x² = a, für a ≥ 0
ist die nicht-negative Lösung der Glei-
a heißt Radikand
Quadratwurzeln können rational (
oder irrational (
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),
), also nur als unendlich nicht-periodische
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Dezimalzahl darstellbar, sein. Die Menge  der reellen Zahlen
umfasst alle rationalen und irrationalen Zahlen.
Rechnen mit Quadratwurzeln





Teilweise radizieren:

Unter die Wurzel ziehen:

Nenner rational machen:
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Potenzen mit rationalen Exponeneten
ist die nicht-negative Zahl, deren n-te Potenz a ergibt (a ≥ 0),
bzw. die Lösung der Gleichung:
heißt n-te Wurzel von a.
x3  8 hat die eine Lösung x  2   3 8 (nicht
3
8 )
x  625 hat zwei L. x1,2  4 625  5
4
Für positive Basis a definiert man:
1
92  2 9  9  3
1
1
1
1
7 3 7 6 7  7 2 7 3 7 6  7 2
 13  16
6
 76  7
2
8 3  (3 8 ) 2  2 2  4
1
5
8

1
5
23

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1
2
3
5
2

3
5
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Binomische Formeln
(a + b)2
= a2 + 2ab + b2
(c2 + 7)2 = c4 + 14c2 + 49
(a – b)2
= a2 – 2ab + b2
(1 – a2x)2 = 1 – 2a2x + a4x2
(a + b) (a – b) = a2 – b2
(2f – 3g)(2f + 3g) = 4f2 – 9g2
Quadratische Gleichungen
Eine Gleichung der Form ax 2  bx  c  0; a  0 nennt man quadratische Gleichung. Für die Lösungen der quadratischen Gleichung gilt:
 b  b 2  4ac
2a
z.B.: – 2x2 – x + 3 = 0; a = –2, b = –1, c = 3  L ={1; –1,5}
x1,2 
Der Ausdruck b 2  4ac wird als Diskriminante D bezeichnet.
Die quadratische Gleichung hat für D > 0 genau zwei Lösungen
für D = 0 genau eine Lösung
für D < 0 keine Lösung
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Satz von Vieta: Sind x1 und x2 Lösungen einer quadratischen
Gleichung der Form x2 + px + q = 0, dann
gilt: x1 + x2 = - p und x1 ∙ x2 = q
x² - x – 6 = 0 → x1 = -2 und x2 = 3; damit gilt faktorisiert:
x² - x – 6 = (x + 2)∙(x - 3)
Biquadratische Gleichungen:
Gleichungen der Form ax 4  bx ²  c  0 heißen biquadratisch:
x4 + 2x2 – 3 = 0
Substitution ( x² = u) liefert: u2 + 2u – 3 = 0
u1 = 1, u2 = -3
Resubstitution x² = 1 und x² = -3 liefern:
x1 = 1, x2 = -1, x3,4 ohne Wert
Lineare Gleichungssysteme mit 3 Unbekannten
Ein LGS mit drei Gleichungen/Unbekannten kann man lösen,
indem man es auf ein System mit zwei Gleichungen/Unbekannten
zurückführt.
I
II
III
3x + 2y + z = 6
x - y + 2z = 1
→
y = x + 2z -1
-2x + y - 3z = -3
in I: 5x + 5z = 8 in III: -x – z = -2
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damit entsteht ein LGS mit zwei Gleichungen/Unbekannten, welches mit den bekannten Verfahren gelöst werden kann, um anschließend die dritte Unbekannte zu finden (hier L = {})
Logarithmus
Die Lösung der Exponentialgleichung a x  b , mit a  IR  \ 1
heißt Logarithmus von b zur Basis a:
x  log a b
( log a b ist diejenige Zahl, mit der man a potenzieren muss
um b zu erhalten. "a hoch wie viel ist b"?)

log 2 8  3 , denn 2 3  8

log 10 100000  5 , denn 105  100000

log5
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1
5
 1 , denn 5 1  15
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Rechenregeln für Logarithmen
log a (u  v)  log a u  log a v
log a (u : v)  log a u  log a v
(a, u, v  IR  , a  1, r  IR)
log a u z  z  log a u
Sonderfälle:
log a 1  0
log a a x  x
Zehnerlogarithmus-Schreibweise: lg x : log10 x
(Auf dem TR ist die Zehnerlogarithmus-Taste mit log beschriftet!)
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JNG Rohr
Grundwissen Mathematik
5G8
Exponentialgleichungen
Anwendung des Logarithmus (hier lg) um die Variable aus dem
Exponenten zu „ziehen“:
| lg „logarithmieren“
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JNG Rohr