Stochastik - JNG-Rohr

GRUNDWISSEN MATHEMATIK
Stochastik
Grundwissenskatalog
G8-Lehrplanstandard
Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums
Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing
JOHANNES-NEPOMUK-GYMNASIUM ROHR
5G8
Grundwissen Mathematik
Zählprinzip
Bsp.: 1) Herr Scherbl bietet Brezen (B), Semmeln (S) und Hörnchen (H) an, sowie Milch (M) und ACE-Saft (A).
Du hast also 3∙2 = 6 Möglichkeiten, dir eine Brotzeit aus einem
Gebäck und einem Getränk zusammenzustellen.
M
B
A
M
S
Baumdiagramm
A
M
H
A
2) Fakultät: Du willst das Mathe-, Musik-, Englisch- und Lateinbuch
nebeneinander
ins
Regal
stellen.
Dafür hast du 4! = 4∙3∙2∙1 = 24 verschiedene Möglichkeiten der
Anordnung.
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Grundwissen Mathematik
Relative Häufigkeit
Florian würfelt 80 mal, dabei erhält er 17 mal die Sechs.
17 heißt absolute Häufigkeit der Sechs,
17
relative Häufigkeit.
80
Daten und Diagramme
Das arithmetische Mittel (=Mittelwert) einer Datenreihe erhält
man, wenn man alle Werte addiert und den Summenwert dann
durch die Anzahl der Werte dividiert.
Beispiel: Notenverteilung bei einer Mathematikschulaufgabe
Note
Anzahl
1
2
2
7
3
8
4
7
5
5
6
1
(1· 2 + 2· 7 + 3· 8 + 4 · 7 + 5· 5 + 6 · 1) : 30 = 3,3
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Grundwissen Mathematik
Verschiedene Diagrammtypen zu obigem Beispiel:
Balkendiagramm
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
6
5
4
Note
Anzahl
Säulendiagramm
3
2
1
1
2
3
4
5
6
0
2
4
6
Anzahl
Note
Anzahl
Liniendiagramm
Note 6
3%
Note 5
17%
Note 4
23%
2
3
10
Kreisdiagramm
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
8
4
5
Note 1
7%
Note 2
23%
Note 3
27%
6
Note
Laplace-Experimente
Grundbegriffe
Jeden möglichen Ausgang eines Zufallsexperiments nennt man
jeweils ein Ergebnis , alle Ergebnisse zusammen bilden den
Ergebnisraum . Ein Ereignis E wird aus einem oder mehreren
Ergebnissen gebildet. Das Gegenereignis E zu einem Ereignis E
enthält alle Ergebnisse, die nicht in E enthalten sind.
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Bsp.: Würfeln mit zwei Würfeln, E = „gerade Augenzahl“
={2; 3; ...; 11; 12}; E={2; 4; ...; 10; 12}; E ={3; 5; ...;11}
Die Laplace-Annahme
Laplace-Experiment: Die Wahrscheinlichkeit P für jedes Elementarereignis (= Ergebnis) ist gleich groß.
Bsp.: Werfen eines idealen Würfels, Werfen einer
idealen Münze
Die Wahrscheinlichkeit P(E) für ein Ereignis E lässt sich dann mit
dieser Formel berechnen:
P( E ) 
Anzahl der Elemente von E
Anzahl der Elemente von 
Bsp.: Eine Urne enthält drei rote und zwei schwarze Kugeln,
E=„Es wird eine rote Kugel gezogen“
P( E ) 
3
32

3
5
Gesetz der großen Zahlen
Führt man ein Experiment sehr oft hintereinander durch, so nähert
sich die relative Häufigkeit für ein Ereignis einem festen Wert an;
dieser wird mit Wahrscheinlichkeit des Ereignisses bezeichnet.
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Zählprinzip
Zieht man aus k verschiedenen Mengen mit n1, n2, …, nk Elementen jeweils ein Element, so gibt es insgesamt:
n 1∙ n2 ∙ n3 ∙ … ∙ nk verschiedene Möglichkeiten
z. B.: Menüauswahl 3-gängig mit 4 Vorspeisen, 3 Hauptspeisen
und 5 Nachspeisen:
4 ∙ 3 ∙ 5 = 60 versch. Menüs
Spezialfall: Will man n Objekte der Reihe nach anordnen,
so gibt es dafür n! = n∙(n-1)∙(n-2)∙…∙3∙2∙1
Möglichkeiten (n Fakultät)
Zusammengesetzte Zufallsexperimente
Zufallsexperimente
Zufallsexperimente, bestehend aus mehreren (n) Teilexperimenten heißen zusammengesetzte Zufallsexperimente; Die Ergebnisse werden als n-Tupel geschrieben, welche die Pfade in
einem Baumdiagramm darstellen.
Bsp.: Gegeben ist eine Urne mit 2 schwarzen und 3 weißen
Kugeln; man zieht zweimal hintereinander ohne
Zurücklegen.
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Pfadregeln
1.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ergibt sich aus
dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Baumpfades.
P ({S,W}) =
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2.
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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ergibt sich aus
der Summe der zum Ereignis gehörenden Pfadwahrscheinlichkeiten.
P („genau eine Kugel ist schwarz“) =
Zusammengesetzte Zufallsexperimente
Bedingte Wahrscheinlichkeit
heißt für P(A)  0 die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung, dass das Ereignis
A eingetreten ist.
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Beispiel:
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Bei einer Befragung von 80 Personen geben 65 an
Englisch und 55 Französisch zu sprechen. Von
denen die Englisch sprechen, sprechen 45 auch
Französisch.
„mit welcher Wahrscheinlichkeit spricht unter denen, die
kein Englisch sprechen, jemand Französisch“
„mit welcher Wahrscheinlichkeit spricht unter denen, die
Kein Englisch sprechen, jemand auch kein Französisch“
„mit welcher Wahrscheinlichkeit spricht unter denen, die
Französisch sprechen, jemand auch Englisch“
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Vierfeldertafel
Passend zum Beispiel:
E
F
1
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