Jahrgangsstufe 7 - Johannes-Nepomuk

GRUNDWISSEN MATHEMATIK
7
Grundwissenskatalog
G8-Lehrplanstandard
Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums
Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing
JOHANNES-NEPOMUK-GYMNASIUM
7G8
Grundwissen Mathematik
1 Symmetrische Figuren
Achsensymmetrie
Abbildungsvorschrift der Achsenspiegelung:
Bei gegebener Achse a wird jedem Punkt P
der Ebene ein Bildpunkt P’ auf folgende
Weise zugeordnet:
C
a
C’
A
 Falls P  a, liegt P’ so, dass [PP’] von
der Achse a senkrecht halbiert wird.
 Falls P  a ist, gilt P = P’ (Fixpunkt)
B=B’
A’
Die Spiegelachse und alle senkrecht zu ihr verlaufenden Geraden
sind Fixgeraden. Eine Figur, die bei einer Achsenspiegelung
wieder auf sich abgebildet wird, heißt achsensymmetrisch.
Punktsymmetrie
Abbildungsvorschrift der Punktspiegelung:
Bei gegebenem Zentrum Z wird jedem
Punkt P der Ebene ein Bildpunkt P’ so
zugeordnet:
 Für P ≠ Z liegt P’ so, dass P’  PZ
und PZ = P'Z (→ so auch Konstruktion)
 Für P = Z ist P’ = Z (Fixpunkt).
C
Z B’
A
B
A’
C’
Alle Geraden durch Z sind Fixgeraden. Eine Figur, die bei einer
Punktspiegelung (180°-Drehung um ein Symmetriezentrum)
wieder auf sich abgebildet wird, heißt punktsymmetrisch.
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Grundwissen Mathematik
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2 Besondere Vierecke
Parallelogramm
Ein Viereck, bei dem je zwei Gegenseiten
parallel sind, heißt Parallelogramm.
Jede der folgenden Aussagen ist gleichwertig:
 Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch.
 Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig.
Sonderfälle:
Die Raute ist ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten
(zweifach diagonalsymmetrisch).
Das Rechteck ist ein Parallelogramm mit 4 gleich großen
Winkeln (zweifach mittensymmetrisch).
Das Quadrat ist ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten
und 4 gleich großen Winkeln
(jeweils zweifach diagonal- und mittensymmetrisch).
Trapez
Ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel
sind, heißt Trapez.
Ein einfach mittensymmetrisches Trapez heißt auch
gleichschenkliges Trapez.
Drachenviereck
Ein Viereck heißt Drachenviereck, wenn es
eine Symmetrieachse durch zwei Gegenecken
hat (einfach diagonalsymmetrisch).
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Grundwissen Mathematik
3 Sätze über Winkel
Geradenkreuzung:

Zwei Geraden, die sich in einem Punkt
schneiden, nennt man eine Geraden

kreuzung. Nebeneinander liegende

Winkel heißen Nebenwinkel, sie
0
ergeben zusammen stets 180 . Gegenüberliegende Winkel heißen
Scheitelwinkel. Sie sind gleich groß.
Doppelkreuzung:
Die Winkelpaare 1 und 2, 1 und 2,
1 und 2 sowie 1 und 2 heißen
Stufenwinkel (F-Winkel).
1
g
h
1
1
2
2
1 und 2, 1 und 2, 1 und 2 sowie 1
und 2 heißen Wechselwinkel (ZWinkel).
1 und 2, sowie 1 und 2 heißen Nachbarwinkel
2
1
2
Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn
die Geraden g und h parallel sind; dann ergänzen sich auch
Nachbarwinkel zu 180°
Innenwinkel bei Dreiecken und Vierecken:
Die Summe der Innenwinkel ergibt im Dreieck 180°, in jedem
Viereck 360°. Die Winkelsumme im n-Eck beträgt (n - 2) ∙ 180°
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4 Besondere Dreiecke
Das gleichschenklige Dreieck
Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten
(Schenkel) heißt gleichschenklig. Die dritte Seite
heißt Basis.
Jede der folgenden Aussagen ist gleichwertig:
 Das Dreieck ist gleichschenklig.
 Das Dreieck ist achsensymmetrisch.
 Das Dreieck besitzt zwei gleich große
Winkel.
Basis
Das gleichseitige Dreieck
Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten
heißt gleichseitig. Seine Innenwinkel
betragen jeweils 600.
Das rechtwinklige Dreieck
Ein Dreieck ABC hat genau dann bei C
einen rechten Winkel, wenn C auf dem
Halbkreis über [AB] liegt. (Thaleskreis)
Die Schenkel des rechten Winkels sind die
Katheten, die Gegenseite des rechten
Winkels ist die Hypotenuse (längste Seite).
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5 Besondere Linien im Dreieck
Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis. Sein
Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der
Mittelsenkrechten zu den Dreiecksseiten
(kann innerhalb, außerhalb des Dreiecks
oder auf einer Seite liegen).
C
In jedem Dreieck schneiden sich die
Winkelhalbierenden in genau einem
Punkt, dem Inkreismittelpunkt.
A
B
C
Im Dreieck schneiden sich die Höhen in
genau einem Punkt.
B
A
Im Dreieck schneiden sich die
Seitenhalbierenden im sogenannten
Schwerpunkt.
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6 Kongruenz
Figuren, die sich beim Aufeinanderlegen decken, heißen
deckungsgleich oder kongruent.
Sind zwei Figuren F und G kongruent, so schreibt man kurz:
F  G.
In kongruenten Figuren sind einander entsprechende Winkel
gleich groß und einander entsprechende Seiten gleich lang.
Kongruenzsätze für Dreiecke
SSS:
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen Seiten
übereinstimmen.
SWS: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und
dem Zwischenwinkel übereinstimmen.
WSW Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und
SWW: zwei gleichliegenden Winkeln übereinstimmen.
SsW:
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und
dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen.
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Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln:
In jedem Dreieck liegt der längsten Seite der größte Winkel
gegenüber. Jede Seite ist kleiner als die Summe der anderen
Dreiecksseiten.
7 Konstruktionen
Symmetriepunkt
1. Kreise um A und B (beliebig auf a) mit
Radien AP und BP
2. P‘ ist „zweiter“ Schnittpunkt der
beiden Kreise
Mittelsenkrechte
(Symmetrieachse bzw. damit Symmetriezentrum zu A,B)
1. Kreis um A und B mit gleichem Radius
r
2. Gerade durch die Schnittpunkte ist die
Mittelsenkrechte von [AB]
B
A
Winkelhalbierende
1. Kreis um S mit beliebigem Radius r
schneidet die beiden Schenkel des Winkels
in G und H
2. Mittelsenkrechte zu [GH] ist die
Winkelhalbierende
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w
H

G
S
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Lot errichten (Pg)
1. Kreis um P schneidet die Gerade g in A und B.
2. Mittelsenkrechte der Strecke [AB] ist das
gesuchte Lot
P
A
g
B
Lot fällen (Pg)
1. Spiegle P an der Achse g.
2. Gerade PP’ ist das gesuchte Lot.
8 Terme
Terme mit Variablen
Treten in einem Term (Rechenausdruck) verschiedene Variablen
auf, dann dürfen diese mit verschiedenen oder mit gleichen
Zahlen belegt werden.
Tritt aber dieselbe Variable mehrmals in einem Term auf, so
muss sie jeweils mit derselben Zahl belegt werden.
Erst wenn man die Variablen in einem Term mit Zahlen belegt,
erhält man den Wert des Terms.
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Beispiele:


T(x) = x2 - 3x
T(-4) = (-4)2 - 3∙(-4) = 16 + 12 = 28
T(a;b) = 2b – a² T(3;2) = 2∙2 – 3² = 4 – 9 = –5
Beachte:


3  x = 3x
x³ = x ∙ x ∙ x
Termumformungen
Umformungen sind nach den gültigen Rechengesetzen
(Kommutativ- und Assoziativgesetze, Klammerregeln) möglich.
Äquivalente Terme liefern beim Einsetzen gleicher Zahlen für die
Variable gleiche Termwerte.
Distributivgesetz:
a(b±c) = ab ± ac
Klammern auflösen:
Steht ein Plus vor der Klammer, kann man die Klammer ohne
weiteres weglassen. Steht ein Minus vor der Klammer, lässt man
die Klammer weg und kehrt gleichzeitig alle Rechenzeichen in
der Klammer um.
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Beispiele:


y + [3x + (5x – 2y)] = y + [3x + 5x – 2y] = y + 3x + 5x – 2y
x - (y2 - 2x) + y2 = x - y2 + 2x + y2
Termglieder zusammenfassen:
Summen werden vereinfacht, indem man gleichartige
Summanden zusammenfasst.
Beispiel: x - y2 + 2x + y2 = x + 2x - y2 + y2 = 3x
Bei einer Summe ungleichartiger Terme, etwa 3a + 4a 2, ist kein
Zusammenfassen möglich.
Bei einer Summe von Produkten werden zunächst die einzelnen
Produkte vereinfacht. Dann werden die Summanden, in denen die
gleichen Variablen mit jeweils derselben Potenz vorkommen,
zusammengefasst.
Beispiele:


3x² + (5x)² + 3x = 3x² + 25x² + 3x = 28x² + 3x
3x ∙ 4x + 2 x 5x = 12x² + 10x² = 22x²
Multiplizieren von Summen:
Zwei Summen werden multipliziert, indem man jeden
Summanden der ersten Klammer mit allen Summanden der
zweiten Klammer multipliziert (unter Berücksichtigung der
Vorzeichen) und die Produkte addiert:
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(a+b)·(c+d) = ac + ad + bc + bd
Beispiele:


(2x + 3y)(3 - 4x) = 6x - 8x2 + 9y - 12xy
(3x – 2y)(4x – 10)=12x² - 30x – 8xy + 20y
Faktorisieren:
Durch Ausklammern gemeinsamer Faktoren oder mit Hilfe der
binomischen Formeln kann man bestimmte Summen
faktorisieren.
Beispiele:


-4a + 4b = -4(a – b)
ac + bc – ad – bd = c(a + b) – d (a + b) = (a + b) (c – d)
9 Lineare Gleichungen
Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn man
auf beiden Seiten dieselbe Zahl oder denselben Term addiert
(subtrahiert) oder auf beiden Seiten mit derselben von Null
verschiedenen
Zahl
multipliziert
(dividiert).
Solche
Umformungen sind Äquivalenzumformungen.
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Eine lineare Gleichung hat entweder genau eine Zahl
5 – 0,5x
5
2
1,6
L
L
=
=
=
=
=
3 + 0,75x
3 +1,25x
1,25x
x
{1,6}
= {}
| + 0,5x
| -3
| : 1,25
falls G =
falls G =
oder keine Zahl (unerfüllbare Gleichung)
5 – 0,5x = 3 – 0,5x
5
= 3
| + 0,5x
L = {}
oder alle Zahlen der Grundmenge (allgemeingültige Gleichung)
als Lösung.
3 – 0,5x = 3 – 0,5x
3
= 3
| + 0,5x
L= G
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10 Daten und Diagramme
Das arithmetische Mittel (=Mittelwert) einer Datenreihe erhält
man, wenn man alle Werte addiert und den Summenwert dann
durch die Anzahl der Werte dividiert.
Beispiel: Notenverteilung bei einer Mathematikschulaufgabe
Note
1
2
3
4
5
6
Anzahl
2
7
8
7
5
1
(1· 2 + 2· 7 + 3· 8 + 4 · 7 + 5· 5 + 6 · 1) : 30 = 3,3
Verschiedene Diagrammtypen zu obigem Beispiel:
Balkendiagramm
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
6
5
4
Note
Anzahl
Säulendiagramm
3
2
1
1
2
3
4
5
6
0
2
4
6
Anzahl
Note
Anzahl
Liniendiagramm
Note 6
3%
Note 5
17%
Note 4
23%
2
3
10
Kreisdiagramm
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
8
4
5
Note 1
7%
Note 2
23%
Note 3
27%
6
Note
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