Ubungsbeispiele Gleichungen

Übungsbeispiele Gleichungen
1. Man leite die große Lösungsformel von quadratischen Gleichungen her. (x1,2 =
√
−b± b2 −4ac
)
2a
2. Die Gleichung x2 + px + q = 0 hat die Lösungsmenge L = {−2, 2}. Man berechne p und q.
3. Von der Gleichung x2 − x + q = 0 kennt man die Lösung x1 = 2. Man bestimme x2 und q.
4. Die Gleichung x2 − ax + a = 0 hat eine Doppellösung. Man finde alle möglichen Werte für
a und die dazugehörige Lösung.
5. Von der Gleichung x3 − 6x2 + qx − 6 = 0 kennt man die Lösung x1 = 2. Man bestimme die
anderen beiden Lösungen und q.
6. Die drei Lösungen der Gleichungen x3 + px2 + 5x + r = 0 sind {−1, 2, x3 }. Man berechne p,
q und x3 .
7. Für welche x ∈ R+ ist die Gleichung x + 2b x2 c + 4b x4 c = 7 erfüllt.
8. Landesbewerb für Anfänger 2007: Man bestimme alle reellen Lösungen der Gleichung
1
bxc2 + bxc = x2 − .
4
9. Man finde alle Paare ganzer Zahlen (x, y), für die die Gleichung (x − y)(x+y) = 4 erfüllt ist.
10. Man finde die Lösungen der Gleichung x3 + 6x2 + 12x + 8 = 0.
11. Man finde alle Lösungen der Gleichung x3 + x2 + x + 1 = 0.
12. Man finde alle Lösungen der Gleichung x4 − 10x3 + 35x2 − 50x + 24 = 0.
13. Kursbewerb TU Graz 2008: Man finde alle reellen Zahlen x, die die Gleichung x + |x| +
bxc + sgn(x) = 2008 erfüllen.
14. Kursbewerb TU Graz 2009:
(a) Man bestimme alle reellen Zahlen x, für die |bxc| = b|x|c gilt.
(b) Man bestimme alle reellen Zahlen x, für die | sgn(x)| = sgn |x| gilt.
(c) Man bestimme alle reellen Zahlen x, für die bsgn(x)c = sgn(bxc) gilt.


 1, wenn x > 0 
0, wenn x = 0
die Signumfunktion, bxc] die größte ganze Zahl
Dabei ist sgn(x) =


−1, wenn x < 0
kleiner oder gleich x und |x| der Absolutbetrag.
15. Man löse die Gleichung (x+1)2009 +(x+1)2008 (x−2)+· · ·+(x+1)(x−2)2008 +(x−2)2009 = 0.
2
16. Man bestimme alle Lösungen der Gleichung b x2x
2 +1 c = x.
√
√
√
√
17. Mann finde alle Lösungen der Gleichung 3 2x − 7 + 3 3x − 3 = 3 x − 8 + 3 4x − 2.
q
p
18. Für alle b ∈ R löse man b2 − 4b2 x2 − 3y 4 = y − b.
19. Für alle a ∈ R löse man
1
x
+
1
x+|a+1|
= |a − 1|.
20. Man finde alle paare (x, y) ∈ R+ , für die bxc · byc = x + y.
1
21. Für welche Werte von b haben die beiden Gleichungen x2 − 19x + b2 = 0 und x2 − b2 x + 98
reelle Lösungen.
p
√
22. Sei
a eine nicht negative ganze Zahl. Für welche x gilt die Gleichung 1 + (a − 1) 3 x =
p
√
3
1 + (a − 1) x.
23. Für welche reellen Zahlen m hat die Gleichung (m − 2)x2 + (m2 − 4m + 3)x − (6m2 − 2) = 0
zwei reelle lösungen, fur die die Summe ihrer dritten Potenzen gleich 0 ist.
24. Man finde alle Tripel (x, y, z) reeller Zahlen, die die folgende Gleichung erfüllen: 4x4 −
x2 (4y 4 + 4z 4 − 1) − 2xyz + y 8 + 2y 4 z 4 + y 2 z 2 + z 8 = 0.
2