Primitiv? – Primzahlen und Primfaktoren schätzen lernen M 1

Primzahlen – ein Spiel
Klasse 6 und 7
Einzelmaterial 84
S1
Primitiv? – Primzahlen und Primfaktoren schätzen lernen
Dr. Heinrich Schneider, Wien
M 1 Grundlegende Zahlenmengen – wiederhole dein Wissen!
IV/B
Die natürlichen Zahlen n
1, 2, 3, 4, 5, … heißen natürliche Zahlen.
1, 3, 5, 7, 9, … heißen ungerade Zahlen.
2, 4, 6, 8, 10, … heißen gerade Zahlen.
Regeln für Summen
4 + 10 = 14; 8 + 12 = 20
T
H
C
I
S
N
A
R
O
V
Die Summe zweier gerader Zahlen ist
stets eine gerade Zahl.
3 + 5 = 8; 11 + 17 = 28
Lisa überlegt.
Die Summe zweier ungerader Zahlen ist
stets eine gerade Zahl.
1 + 4 = 5; 12 + 7 = 19
Ist ein Summand gerade und der andere ungerade, so ist die Summe eine ungerade Zahl.
Teiler
15 = 3 • 5
Die Zahl 15 besitzt die Teiler 3 und 5. Man kann das Produkt in die Faktoren 3 und 5
zerlegen.
Primzahlen und Primfaktoren
Wir zerlegen natürliche Zahlen in möglichst kleine Faktoren.
Beispiele
4 = 2 • 2;
6 = 2 • 3;
20 = 2 • 2 • 5;
49 = 7 • 7
Diese kleinsten Faktoren nennt man Primfaktoren. Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur 2
Teiler besitzt, nämlich die Zahl 1 und sich selbst.
Die Zahl 1 ist keine Primzahl. Auch die Zahl 0 ist keine Primzahl, weil sie jedes Produkt 0
werden lässt:
0 • 2 = 0 • 3 • 7 = 0 • 2 • 3 • 5 • 11 = 0
2 ist die einzige gerade Primzahl.
Zusammengesetzte Zahlen
Die Zahlen 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, … nennt man zusammengesetzte Zahlen. Man kann
jede von ihnen als Produkt von Primzahlen schreiben.
70 RAAbits Mathematik März 2012
Primzahlen – ein Spiel
Klasse 6 und 7
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S2
Primzahlzwillinge
Man nennt zwei Primzahlen, deren Differenz 2 ist, Primzahlzwillinge.
Beispiele
(3, 5); 5 – 3 = 2
(11, 13); 13 – 11 = 2
Primzahlzifferlinge
Die Ziffern mancher Primzahlen sind selbst wieder Primzahlen, z. B. 23 und 37. Wir nennen
solche Zahlen Primzahlzifferlinge.
Primzahlen inden – das Sieb des Eratosthenes
Das Sieb des Eratosthenes ist ein Algorithmus (= „Kochrezept“)
zur Bestimmung einer Liste aller Primzahlen, die kleiner oder
gleich einer vorgegebenen Zahl sind.
T
H
C
So geht’s
1. Du schreibst alle Zahlen 2, 3, 4, 5, … bis zu
einem frei wählbaren Maximalwert (hier 100) auf.
Diese Zahlen sind mögliche Primzahlen.
I
S
N
2. Du streichst
– alle Vielfachen von 2,
A
R
O
– alle Vielfachen von 3,
– alle Vielfachen von 5,
Graik: Wikimedia
IV/B
Eratosthenes
– alle Vielfachen von 7 usw.
V
Die kleinste nicht gestrichene Zahl ist immer eine Primzahl. Du streichst alle Vielfachen
dieser Zahl.
3. Ist die letzte gefundene Primzahl mit sich selbst multipliziert schon größer als die
größte Zahl in der Tabelle? Wenn ja, dann bist du fertig. Alle nicht gestrichenen Zahlen
sind Primzahlen. Wenn nicht, machst du mit Schritt 2 weiter. Hier: 11 • 11 = 121 > 100
2
11
3
13
5
7
17
23
31
41
29
37
43
47
53
61
71
59
67
73
79
83
89
97
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19
Primzahlen – ein Spiel
Klasse 6 und 7
Einzelmaterial 84
S3
Die Spielkarten


Aufgabe – 3 Felder
Aufgabe – 3 Felder
Addiere geschickt:
Multipliziere geschickt:
1 + 2 + 3 + 4 + … + 10 = ?
2•4•7•5•5
Lösung
Lösung
2•5•4•5•7
(1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) +
(4 + 7) + (5 + 6)
= 10 • 20 • 7 = 200 • 7
= 5 • 11 = 55
= 1400
Umordnung!
Umordnung!
T
H
C

I
S
N
Aufgabe – 4 Felder
Aufgabe – 4 Felder
Das Produkt welcher drei
aufeinanderfolgenden
Zahlen ist 990?
A
R
O
V
IV/B
Zerlege in Primfaktoren:
30, 50, 64, 81
Lösung
30 = 2 • 3 • 5;
Lösung
50 = 2 • 5 • 5;
9 • 10 • 11
64 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 26;
81 = 3 • 3 • 3 • 3 = 34

Aufgabe – 5 Felder
Aufgabe – 6 Felder
Suche alle Primzahlen < 100.
Ist „2 + Primzahl“ eine Primzahl?
Finde 3 Beispiele für die Antwort „ja“
und 3 Beispiele für die Antwort „nein“.
Lösung
Lösung
Manchmal ja:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,
2 + 3 = 5; 2 + 5 = 7; 2 + 11 = 13
37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
Manchmal nein:
73, 79, 83, 89, 97
2 + 7 = 9 = 3 • 3;
Methode: Sieb des Eratosthenes
2 + 19 = 21 = 3 • 7;
2 + 31 = 33 = 3 • 11
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Primzahlen – ein Spiel
Klasse 6 und 7
Einzelmaterial 84
S4


IV/B
Aufgabe – 4 Felder
Aufgabe – 2 Felder
Ist die Summe zweier
Primzahlzifferlinge stets
eine Primzahl?
Bilde die Summe aller
einstelligen Primzahlen.
Ist sie eine Primzahl?
Lösung
Nein.
Lösung
Gegenbeispiel:
23 + 37 = 60 = 6 • 2 • 5
2 + 3 + 5 + 7 = 17
ist eine Primzahl.
T
H
C

I
S
N
Aufgabe – 4 Felder
Ist die Summe zweier Primzahlen
eine Primzahl? Und das Produkt?
A
R
O
Lösung
Manchmal ja: 5 + 2 = 7
Manchmal nein: 7 + 13 = 20 = 22 • 5
V
Das Produkt zweier Primzahlen ist
niemals eine Primzahl. 1 ist keine
Primzahl, also sind beide Faktoren
≠ 1 und man hat eine Zerlegung in
Primfaktoren.
Aufgabe – 4 Felder
Bilde die Summe aller zweistelligen
Primzahlen. Ist sie eine Primzahl?
Teile durch 7.
Lösung
11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 +
41 + 43 + 47 + 53 + 59 + 61 + 67 + 71
+ 73 + 79 + 83 + 89 + 97
= 1043 = 7 • 149, also keine Primzahl.

Aufgabe – 5 Felder
Gibt es drei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, deren
Summe eine Primzahl ist?
Aufgabe – 5 Felder
Für welche zweistelligen
Primzahlen ist die Differenz
ihrer beiden Ziffern eine
Primzahl?
Lösung
Nein! Die Summe ist stets gleich
dem Dreifachen der mittleren
Zahl, also durch 3 teilbar.
(a – 1) + a + (a + 1) = 3a
70 RAAbits Mathematik März 2012
Lösung durch Probieren
13, 29, 31, 41, 47, 53, 61, 79,
83, 97
Primzahlen – ein Spiel
Klasse 6 und 7
Einzelmaterial 84
S5


Aufgabe – 3 Felder
Bilde
Aufgabe – 3 Felder
2 + 1; 2 • 3 + 1;
Gibt es zweistellige
Primzahlen, deren Spiegelzahlen Primzahlen sind?
2 • 3 • 5 + 1;
2 • 3 • 5 • 7 + 1.
IV/B
Erhältst du jedes Mal eine Primzahl?
Lösung
Lösung durch Probieren
Ja! 3, 7, 31, 211; aber:
11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97
2 • 3 • 5 • 7 • 11 • 13 + 1 = 30 031
T
H
C
= 59 • 509, also keine Primzahl!

Aufgabe – 4 Felder
I
S
N
Aufgabe – 3 Felder
Gibt es 2 Primzahlen mit der
Differenz 3?
Multipliziere eine natürliche Zahl mit sich
selbst, addiere die natürliche Zahl und
addiere 1. Ist die Summe eine Primzahl?
Lösung
A
R
O
Lösung
Nur 2 und 5.
V
Andere Differenzen sind entweder
1, 2 oder geradzahlig und > 3.
Beweis: Jede Primzahl ≠ 2 ist ungerade. Die Differenz zweier ungerader
Zahlen ist stets gerade, also ≠ 3.

1 • 1 + 1 + 1 = 3 ja
2 • 2 + 2 + 1 = 7 ja
3 • 3 + 3 + 1 = 13 ja
4 • 4 + 4 + 1 = 21 = 3 • 7 nein
5 • 5 + 5 + 1 = 31 ja
6 • 6 + 6 + 1 = 43 ja
7 • 7 + 7 + 1 = 57 = 3 • 19 nein
8 • 8 + 8 + 1 = 73 ja
9 • 9 + 9 + 1 = 91 = 7 • 13 nein
10 • 10 + 10 + 1 = 111 = 3 • 37 nein
Aufgabe – 4 Felder
Zeichne ein Dreieck und trage die Zahlen
1, 2, 3 an den Ecken ein.
Aufgabe – 2 Felder
Ergibt die Summe längs jeder Seite eine
Primzahl?
ist stets eine
Die Summe zweier ungerader Zahlen
Zahl.
Lösung: Nein.
Lösung: gerade

Beispiele: 3 + 5 = 8; 11 + 21 = 32
Beweis: (2a + 1) + (2b + 1) = 2 (a + b + 1),

also gerade
70 RAAbits Mathematik März 2012
Primzahlen – ein Spiel
Klasse 6 und 7
Einzelmaterial 84
S 10
Rund um das Einzelmaterial
IV/B
Klasse:
6/7
Dauer:
2 Stunden
Inhalt:
Natürliche Zahlen, Teiler, Primzahlen, Primzahlzwillinge, Primzahlzifferlinge
Ihr Plus:
geeignet für Vertretungsstunden
Didaktisch-methodische Hinweise
Primzahlen spielen in der Zahlenlehre eine grundlegende Rolle und ermöglichen viele
schöne Aufgaben. Diese Aufgaben kann man auf unterschiedlichen Wegen lösen: durch
Raten, Probieren, (geschicktes) Rechnen, Durchspielen von Möglichkeiten, Verallgemeinern und durch Gegenbeispiele. Dass die gefundene Lösung tatsächlich richtig und vollständig ist, muss man allerdings beweisen, z. B. durch vollständige Induktion.
Zunächst beschäftigen wir uns mit den natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 etc. Wir addieren
und multiplizieren sie. Dabei ist das Ergebnis immer eine natürliche Zahl. Es gilt das
Kommutativ- und das Assoziativgesetz.
T
H
C
Führen Sie anhand der Division zweier natürlicher Zahlen den Begriff Teiler ein:
I
S
N
32 : 4 = 8, d. h. 32 ist durch 4 teilbar. ⇔ 4 ist ein Teiler von 32.
Primzahlen sind natürliche Zahlen > 1, die nur die Zahl 1 und sich selbst als Teiler besitzen.
Das Spiel enthält kniflige Knobelaufgaben und eignet sich für Vertretungsstunden. Man
spielt es zu zweit. Abwechselnd nehmen die Spieler eine Karte vom Stapel und lesen dem
anderen die Frage vor. Ist die Antwort richtig, so darf man die angegebene Anzahl an
Felder vorrücken, sonst nicht. In jedem Fall kommt die Karte wieder unter den Stapel.
Grüne Felder bedeuten: Rücke 2 Felder vor. Laminieren Sie die Karten, dann halten sie
länger.
A
R
O
V
Bezug zu den Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz
Allg. mathematische
Kompetenz
Leitidee
Inhaltsbezogene Kompetenzen
K 1, K 2, K 5
L1
… üben das Rechnen mit natürlichen
Zahlen und insbesondere mit Primzahlen,
II, III
K 1, K 2
L1
… lernen Primzahlzwillinge und Primzahlzifferlinge kennen und lösen Knobelaufgaben.
II, III
Die Schüler ...
Anforderungsbereich
Abkürzungen
Kompetenzen
K 1 (Mathematisch argumentieren); K 2 (Probleme mathematisch lösen); K 3 (Mathematisch modellieren); K 4 (Mathematische Darstellungen verwenden); K 5 (Mit symbolischen,
formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen); K 6 (Kommunizieren)
Leitideen
L 1 (Zahl und Zahlbereich); L 2 (Messen und Größen); L 3 (Raum und Form); L 4 (Funktionaler Zusammenhang); L 5 (Daten und Zufall)
Anforderungsbereiche
I Reproduzieren; II Zusammenhänge herstellen; III Verallgemeinern und Relektieren
70 RAAbits Mathematik März 2012
T
H
C
I
S
N
A
R
O
V
T
H
C
I
S
N
V
A
R
O