AUFGABEN ZUR FUNKTIONENTHEORIE von Prof. Dr. H

AUFGABEN ZUR FUNKTIONENTHEORIE
von
Prof. Dr. H.-W. Burmann
Bei den folgenden Aufgaben handelt es sich um „Reste“, die bei der Erstellung der
Aufgabenblätter übriggeblieben sind. Der Schwierigkeitsgrad der einzelnen Aufgaben
ist sehr unterschiedlich und hängt auch davon ab, in welchem Stadium der Vorlesung
eine Lösung angestrebt wird. Vielleicht ist die Sammlung bei der Nachbearbeitung der
Vorlesung oder bei der Vorbereitung auf die Staatsexamensklausur oder Diplomprüfung
von Nutzen.
1. Komplexe Zahlen und Geometrie.
Die euklidische Ebene sei mit einem kartesischen Koordinatensystem versehen. Offensichtlich gibt es Quadrate, deren Eckpunkte ausschließlich ganzzahlige Koordinaten
haben.
Gibt es auch
a) auch ein gleichseitiges Dreieck,
b) ein regelmäßiges Fünfeck,
c) ein regelmäßiges Achteck,
dessen Eckpunkte nur ganzzahlige Koordinaten haben?
2. Das Bild einer Abbildung.
a) Zeige, daß für alle komplexen Zahlen a, z ∈ C
|1 − az|2 − |z − a|2 = (1 − |a|2 )(1 − |z|2 )
gilt.
b) Sei nun a eine komplexe Zahl mit |a| < 1. Folgere aus a), daß die Funktion f mit
f (z) :=
z−a
1 − az
die offene Einheitskreisscheibe in sich abbildet.
3. Die Exponentialfunktion als Limes einer ³
Folge. ´
z n
= ez gilt.
Zeige, daß für alle z ∈ C die Gleichung lim
1
+
n→∞
n
4. Das Urbild.
Für n ∈ N sei ψn : C → C gegeben durch ψn (z) = zn . Wir betrachten das Urbild Γn
des Einheitskreises mit Mittelpunkt 1,
Γn = ψn−1 ({z ∈ C | |z − 1| = 1}).
2
a) Skizziere Γ2 und Γ3 . Zeige, daß alle Γn kompakt sind.
b) Beweise, daß zu jedem z ∈ Γn \{0} eine Umgebung Uz derart existiert, daß Uz ∩ Γn
eine glatte Kurve ohne Selbstschnitte ist. Ist jedoch U0 eine genügend kleine Umgebung
der 0, so ist U0 ∩ Γn die Vereinigung von n glatten Kurven, die sich in {0} schneiden.
5. Exponentialfunktion.
a) Zeige für alle komplexen Zahlen z die Ungleichung
|ez − 1| ≤ e|z| − 1 ≤ |z|e|z| .
b) Beweise für alle komplexen Zahlen z mit z < 1 die Ungleichung
e|z| − 1 ≤ 2|z|.
6. Eine trigonometrische Summe.
Es seien r , ϕ ∈ R reelle Zahlen mit r ≥ 0. Im Falle r = 1 sei zusätzlich ϕ 6= 2π k für
alle k ∈ Z vorausgesetzt. Zeige
n
∑ rk cos kϕ =
k=0
1 − r cos ϕ − rn+1 cos (n + 1)ϕ + rn+2 cos nϕ
.
1 + r2 − 2r cos ϕ
Hinweis: Betrachte die geometrische Reihe im Komplexen.
7. Abelscher
Stetigkeitssatz.
∞
N
Es sei ∑ ai eine konvergente Reihe und es mögen sN := ∑ ai ihre Partialsummen und s
i=0
i=0
ihren Grenzwert bezeichnen. Zeige:
∞
∞
i=0
i=0
a) Die Potenzreihen ∑ ai xi und ∑ si xi konvergieren für alle z ∈ C mit |z| < 1.
b) Für z mit |z| < 1 gilt
∞
∞
(1 − z) ∑ si z = ∑ ai zi
i
i=0
und
i=0
∞
(1 − z) ∑ szi = s.
i=0
c) Es gilt
∞
∑ ai z i = s .
z→1,|z|<1
lim
i=0
∞
d) Gilt die folgende Umkehrung?
Sei {ai }i≥0 eine Folge derart,
daß ∑ ai zi für |z| < 1
∞
∞
i=0
konvergiere und lim ∑ ai zi existiert. Dann konvergiert ∑ ai .
z→1,|z|<1 i=0
i=0
8. Abschätzung der Ableitung.
Es seien r eine positive reelle Zahl und z0 ∈ C. Dann bezeichne
Ur (z0 ) := {z ∈ C | |z − z0 | < r}
die offene Kreisscheibe mit Radius r um z0 . Weiterhin sei f : Ur (z0 ) → C eine komplexwertige Funktion, welche auf Ur (z0 ) holomorph und auf dem Rand stetig sei. Schließlich
bezeichne
M := max | f (z)|
|z−z0 |=r
3
das Maximum von f auf dem Rand. Zeige
| f (n) (z0 )| ≤
n!M
rn
für alle n ∈ N.
9. Konvergenzgebiet.
Es sei a 6= 0 eine komplexe Zahl. Finde das maximale Gebiet, in dem die folgenden
Laurentreihen konvergieren.
∞
a)
∑
an z n ,
∑
a−|n| zn ,
∑
a−n zn .
n=−∞
∞
b)
n=−∞
∞
c)
2
n=−∞
10. Charakterisierung der konstanten Funktionen.
Es sei f eine auf ganz C holomorphe Funktion. Zeige, daß die folgenden Aussagen
jeweils äquivalent dazu sind, daß f konstant ist.
i) Re f ist beschränkt,
ii) Im f ist beschränkt,
iii) Es gilt Re f (z) ≥ 0 für alle z ∈ C,
iv) Es gilt Im f (z) ≥ 0 für alle z ∈ C,
v) Es gibt eine komplexe Zahl w und ein ε > 0 derart, daß | f (z) − w| > ε für alle z ∈ C
gilt.
11. Ein Integral, welches von einem Parameter abhängt.
Zeige, daß für alle komplexen Zahlen z mit z 6∈ (−∞, 0] das uneigentliche Integral
Z∞ −t
e
0
t+z
dt
konvergiert und eine auf der gesamten geschlitzten Ebene C \ (−∞, 0] holomorphe
Funktion E darstellt. Beweise ferner, daß die Ableitung von E durch Differentiation
unter dem Integralzeichen bestimmt werden kann. Zeige schließlich, daß E der Differentialgleichung
1
E 0 (z) = − + E(z)
z
genügt.
12. Die Gammafunktion.
Die Gammafunktion wird durch das Integral
Γ(z) :=
Z∞
tz−1 e−t dt
0
4
für alle komplexen Zahlen z mit Re z > 0 erklärt.
a) Berechne Γ( 12 ).
b) Sei nun Re z > 1 vorausgesetzt. Zeige die Gleichung
Γ(z) ·ζ (z) =
Z∞
0
tz−1
dt,
et − 1
wobei ζ die Riemannsche Zetafunktion aus Aufgabe 4 von Blatt 5 bezeichnet.
Z∞
2
Hinweis zu a): Die Berechnung des Integrals e−x dx darf wie in Aufgabe 3 von Blatt 6
als bekannt angenommen werden.
−∞
13. Die Betafunktion.
a) Zeige, daß das Integral
Z1
xα−1 (1 − x)β−1 dx
0
für alle komplexen Zahlen α und β mit Re α > 0 und Re β > 0 existiert und
für jedes derartige β eine holomorphe Funktion in α auf der gesamten Halbebene
{α ∈ C | Re α > 0} liefert. Man spricht von der Betafunktion B(α, β ).
b) Zeige, daß die Betafunktion symmetrisch ist, B(α, β ) = B(β, α). Beweise, daß
B(α, 1 − α) eine holomorphe Funktion auf dem Streifen {α ∈ C | 0 < Re α < 1}
darstellt.
c) Beweise für alle komplexen Zahlen α im Streifen 0 < Re α < 1 die Formel
B(α, 1 − α) =
d) Überprüfe die Formel
B(α, β ) =
π
.
sin πα
Γ(α)Γ(β )
Γ(α + β )
für alle α und β mit Re α > 0 und Re β > 0. Folgere die berühmte Formel
Γ(α)Γ(1 − α) =
π
sin πα
für alle α ∈ C \ Z.
Hinweis zu c): Betrachte zunächst nur reelle α. Überführe das zu betrachtende Integral
mittels Substitutionen auf das Eulersche Integral von Aufgabe 4 aus dem achten Blatt.
Nutze dann die Holomorphie.
14. Singularität im unendlichen Punkt.
Ermittle den Charakter des Punktes z = ∞ für die folgenden Funktionen.
a) g1 (z) :=
b) g2 (z) :=
z6 +1
,
z2 +z
z+2
,
z5 +4z+3
c) g3 (z) := cos z − sin z,
d) g4 (z) :=
z2 +1
.
ez
5
15. Klassifikation der isolierten Singularitäten.
Es sei f eine auf einem Gebiet G holomorphe Funktion mit f 6≡ 0. Im Punkt z0 ∈ G
habe f eine Nullstelle der Ordnung n. Zeige
a)
b)
1
hat in
f (z)
1
hat
e f (z) −1
c) e
1
f (z)
z0 eine Polstelle der Ordnung n,
in z0 ebenfalls eine Polstelle der Ordnung n,
hat in z0 eine wesentliche Singularität,
d) log f (z) kann gar nicht als auf G \ {z0 } holomorphe Funktion definiert werden.
Genauer: Es existiert keine holomorphe Funktion g auf G\{z0 } derart, daß e g(z) = f (z)
für alle z ∈ G \{z0 } gilt.
16. Singularitäten.
Es seien r1 , r2 , . . . die rationalen Zahlen im Intervall [0,1) in irgendeiner Reihenfolge.
Betrachte die Reihe
∞
1
1
∑ 3n z − e2πirn .
n=1
a) Zeige, daß diese Reihe in der offenen Einheitskreisscheibe konvergiert und dort eine
holomorphe Funktion f darstellt.
b) Beweise für jede komplexe Zahl z0 mit |z0 | = 1
lim | f (rz0 )| = ∞.
r→1−0
17. Residuensatz.
Berechne das uneigentliche Integral
Z∞
0
Log x
dx.
x2 + 1
Hinweis: Betrachte das Integral über den Weg, der in der folgenden Abbildung dargestellt wird.
Ri
.............................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.........
.......
.......
.......
.
.
.......
.
.
.
.
.
.
.....
...
.
.....
.
.
.
.
....
.
....
...
...
...
...
..
...
...
...
..
...
..
...
ri.........
..
.................................................................................. ...........................................................................................
−r 0 r
−R
R
Abb. 1
Ferienblatt, Ausgabe am 13. Juli 2001
Abgabetermin: Sankt Nimmerleinstag, 9.15 Uhr
Url : http://www.uni-math.gwdg.de/jahnel/Aufg.html