Übungsblatt 6

Mathematisches Institut der LMU
Prof. Dr. P. Müller
Dr. S. Morozov
Analysis 1
WiSe 2014/15
12. 11. 2014
Übungsblatt 6
21. Zu einer Folge (an )n∈N sei die Folge (CN )N ∈N der Cesàro-Mittel definiert durch
N
1 X
an
CN :=
N n=1
(N ∈ N).
(a) Zeige: Falls die Folge (an )n∈N konvergiert, so konvergiert auch die Folge (CN )N ∈N
der Cesàro-Mittel.
a n
(b) Zeige: Falls die Folge (CN )N ∈N der Cesàro-Mittel konvergiert, so ist die Folge
n n∈N
eine Nullfolge.
(c) Finde ein Beispiel einer beschränkten Folge (an )n∈N , so dass die Folge (CN )N ∈N der
Cesàro-Mittel nicht konvergiert.
(6 Punkte)
22. Sei (an )n∈N eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen mit an −→ 0.
n→∞
∞
X
Beweise: Dann ist
(−1)n an konvergent.
(6 Punkte)
n=1
n
X
1
23. Es sei sn :=
.
k!
k=0
(a) Zeige: Die Euler’sche Zahl e := lim sn existiert.
n→∞
(b) Bestimme durch Abschätzen des Reihenrests eine Zahl N ∈ N,
für die |e − sN | ≤ 0,5 · 10−3 gilt. Gib den Wert von sN an.
1
Hinweis: Zeige die Ungleichung |e − sn | ≤
(n ∈ N).
n · n!
(c) Zeige: Die Euler’sche Zahl e ist irrational.
Hinweis: Gegenteil annehmen, d.h. e = m
∈ Q mit m, n ∈ N. Dann x := n!(e − sn )
n
betrachten und Hinweis von (b) beachten.
(6 Punkte)
24. Sei (an )n eine Folge in R und a ∈ R. Beweise:
(a) a ist Häufungspunkt von (an )n ⇐⇒ ∀ε > 0 ∀N ∈ N ∃n ≥ N : |a − an | < ε.
(b) (an )n konvergiert gegen a ⇐⇒ (an )n ist beschränkt und hat a als einzigen Häufungspunkt.
(6 Punkte)
Abgabe: Bis Mittwoch, 19. 11. 2014, 14:00 Uhr im Briefkasten im 1. Obergeschoss.